高中數(shù)學選擇性必修二課件：4 2 2 第2課時 等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用(人教A版)

第2課時等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用第四章

4.2.2等差數(shù)列的前n項和公式學習目標XUEXIMUBIAO1.進一步熟練掌握等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式，了解等差

數(shù)列前n項和的一些性質(zhì).2.掌握等差數(shù)列前n項和的最值問題.內(nèi)容索引知識梳理題型探究隨堂演練課時對點練1知識梳理PARTONE知識點一等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)2.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，Sn為其前n項和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為

.m2dS偶思考在性質(zhì)3中，an和an＋1分別是哪兩項？在性質(zhì)4中，an＋1是哪一項？答案中間兩項，中間項.知識點二等差數(shù)列{an}的前n項和公式的函數(shù)特征二次2.等差數(shù)列前n項和的最值(1)在等差數(shù)列{an}中，當a1>0，d<0時，Sn有最

值，使Sn取得最值的n可由不等式組________確定；當a1<0，d>0時，Sn有最

值，使Sn取到最值的n可由不等式組________確定.大小大小預(yù)習小測自我檢驗YUXIXIAOCEZIWOJIANYAN1.在等差數(shù)列{an}中，若a1＋a2＝2，a3＋a4＝4，則a7＋a8等于A.7 B.8 C.9 D.10解析∵a1＋a2＝2，a3＋a4＝4，由等差數(shù)列的性質(zhì)得a5＋a6＝6，a7＋a8＝8.√預(yù)習小測自我檢驗YUXIXIAOCEZIWOJIANYAN1.在等差數(shù)列{an}中，若a1＋a2＝2，a3＋a4＝4，則a7＋a8等于A.7 B.8 C.9 D.10解析∵a1＋a2＝2，a3＋a4＝4，由等差數(shù)列的性質(zhì)得a5＋a6＝6，a7＋a8＝8.√2.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a2＝0，a4＝－2，則其前n項和Sn的最大值為解析由a4＝a2＋(4－2)d，得－2＝0＋2d，故d＝－1，a1＝1，√所以當n＝1或2時，Sn的最大值為1.3.(多選)已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝2n－48，則Sn取得最小值時，n為A.22 B.23 C.24 D.25解析由an≤0即2n－48≤0得n≤24.∴所有負項的和最小，即n＝23或24.√√20202題型探究PARTTWO一、等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)所以S偶－S奇＝5d＝10，所以d＝2.2一、等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)所以S偶－S奇＝5d＝10，所以d＝2.2(2)等差數(shù)列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，求數(shù)列{an}的前3m項的和S3m.解方法一在等差數(shù)列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列，∴30,70，S3m－100成等差數(shù)列.∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.反思感悟利用等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)簡化計算(1)在解決等差數(shù)列問題時，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有時運算量大些；(2)等差數(shù)列前n項和Sn的有關(guān)性質(zhì)在解題過程中，如果運用得當可以達到化繁為簡、化難為易、事半功倍的效果.(3)設(shè)而不求，整體代換也是很好的解題方法.跟蹤訓練1

(1)已知數(shù)列{an}是項數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列，它的奇數(shù)項的和是50，偶數(shù)項的和為34，若它的末項比首項小28，則該數(shù)列的公差是_____.－4解析設(shè)等差數(shù)列{an}的項數(shù)為2m，∵末項與首項的差為－28，∴a2m－a1＝(2m－1)d＝－28，

①∵S奇＝50，S偶＝34，∴S偶－S奇＝34－50＝－16＝md，

②由①②得d＝－4.(2)已知一個等差數(shù)列的前10項和為100，前100項和為10，求前110項之和.解S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差數(shù)列.∴S110－S100＝S10＋(11－1)d＝100＋10×(－22)＝－120，∴S110＝－120＋S100＝－110.二、等差數(shù)列前n項和的最值問題例2

在等差數(shù)列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n項和Sn的最大值.解方法一因為S8＝S18，a1＝25，所以當n＝13時，Sn有最大值為169.方法二同方法一，求出公差d＝－2.所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.因為a1＝25>0，又因為n∈N*，所以當n＝13時，Sn有最大值為169.方法三因為S8＝S18，所以a9＋a10＋…＋a18＝0.由等差數(shù)列的性質(zhì)得a13＋a14＝0.因為a1>0，所以d<0.所以a13>0，a14<0.所以當n＝13時，Sn有最大值.由a13＋a14＝0，得a1＋12d＋a1＋13d＝0，解得d＝－2，所以Sn的最大值為169.方法四設(shè)Sn＝An2＋Bn.因為S8＝S18，a1＝25，所以當n＝13時，Sn取得最大值.所以Sn＝－n2＋26n，所以S13＝169，即Sn的最大值為169.反思感悟(1)等差數(shù)列前n項和Sn最大(小)值的情形①若a1>0，d<0，則Sn存在最大值，即所有非負項之和.②若a1<0，d>0，則Sn存在最小值，即所有非正項之和.(2)求等差數(shù)列前n項和Sn最值的方法①尋找正、負項的分界點，可利用等差數(shù)列性質(zhì)或利用②運用二次函數(shù)求最值.跟蹤訓練2在等差數(shù)列{an}中，a10＝18，前5項的和S5＝－15.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；解設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因為在等差數(shù)列{an}中，a10＝18，S5＝－15，解得a1＝－9，d＝3，所以an＝3n－12，n∈N*.(2)求數(shù)列{an}的前n項和的最小值，并指出何時取最小值.解因為a1＝－9，d＝3，an＝3n－12，所以當n＝3或4時，前n項的和Sn取得最小值S3＝S4＝－18.例3

數(shù)列{an}的前n項和Sn＝100n－n2(n∈N*).(1)判斷{an}是不是等差數(shù)列，若是，求其首項、公差；三、求數(shù)列{|an|}的前n項和解當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(100n－n2)－[100(n－1)－(n－1)2]＝101－2n.∵a1＝S1＝100×1－12＝99，適合上式，∴an＝101－2n(n∈N*).又an＋1－an＝－2為常數(shù)，∴數(shù)列{an}是首項為99，公差為－2的等差數(shù)列.(2)設(shè)bn＝|an|，求數(shù)列{bn}的前n項和.解令an＝101－2n≥0，得n≤50.5，∵n∈N*，∴n≤50(n∈N*).①當1≤n≤50時，an>0，此時bn＝|an|＝an，∴數(shù)列{bn}的前n項和Sn′＝100n－n2.②當n≥51時，an<0，此時bn＝|an|＝－an，由b51＋b52＋…＋bn＝－(a51＋a52＋…＋an)＝－(Sn－S50)＝S50－Sn，得數(shù)列{bn}的前n項和Sn′＝S50＋(S50－Sn)＝2S50－Sn＝2×2500－(100n－n2)＝5000－100n＋n2.反思感悟已知等差數(shù)列{an}，求絕對值數(shù)列{|an|}的有關(guān)問題是一種常見的題型，解決此類問題的核心便是去掉絕對值，此時應(yīng)從其通項公式入手，分析哪些項是正的，哪些項是負的，即找出正、負項的“分界點”.跟蹤訓練3

在等差數(shù)列{an}中，a10＝23，a25＝－22.(1)數(shù)列{an}前多少項和最大？∴an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53.∴當n≤17，n∈N*時，an>0；當n≥18，n∈N*時，an<0，∴數(shù)列{an}的前17項和最大.(2)求{|an|}的前n項和Sn.解當n≤17，n∈N*時，|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an當n≥18，n∈N*時，|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an)核心素養(yǎng)之數(shù)學建模HEXINSUYANGZHISHUXUEJIANMO等差數(shù)列前n項和公式的實際應(yīng)用典例某單位用分期付款的方式為職工購買40套住房，共需1150萬元，購買當天先付150萬元，按約定以后每月的這一天都交付50萬元，并加付所有欠款利息，月利率為1%，若交付150萬元后的一個月開始算分期付款的第一個月，問分期付款的第10個月應(yīng)付多少錢？全部付清后，買這40套住房實際花了多少錢？解因購房時付150萬元，則欠款1000萬元，依題意分20次付款，則每次付款的數(shù)額依次構(gòu)成數(shù)列{an}，則a1＝50＋1000×1%＝60，a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5，a3＝50＋(1000－50×2)×1%＝59，a4＝50＋(1000－50×3)×1%＝58.5，所以an＝50＋[1000－50(n－1)]×1%所以實際共付1105＋150＝1255(萬元).素養(yǎng)提升(1)本題屬于與等差數(shù)列前n項和有關(guān)的應(yīng)用題，其關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的等差數(shù)列.(2)遇到與正整數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題時，可以考慮與數(shù)列知識聯(lián)系，抽象出數(shù)列的模型，并用有關(guān)知識解決相關(guān)的問題，是數(shù)學建模的核心素養(yǎng)的體觀.3隨堂演練PARTTHREE解析∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2(n≥2，n∈N*)，∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列.又a1＝24，d＝－2，1.已知數(shù)列{an}滿足an＝26－2n，則使其前n項和Sn取最大值的n的值為A.11或12 B.12

C.13 D.12或13√∵n∈N*，∴當n＝12或13時，Sn最大.12345123452.一個等差數(shù)列共有10項，其偶數(shù)項之和是15，奇數(shù)項之和是12.5，則它的首項與公差分別是A.0.5,0.5 B.0.5,1

C.0.5,2 D.1,0.5√解析由于項數(shù)為10，故S偶－S奇＝15－12.5＝5d，3.(多選)設(shè){an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項和，且S5<S6＝S7>S8，則下列結(jié)論正確的是A.d<0

B.a7＝0C.S9>S5

D.S6與S7均為Sn的最大值12345√解析∵S5<S6＝S7>S8，∴a6>0，a7＝0，a8<0.∴d<0.∴S6與S7均為Sn的最大值.S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0.∴S9<S5，故C錯.√√123454.已知在等差數(shù)列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d>0，則使得其前n項和Sn取得最小值的正整數(shù)n的值是______.解析∵公差d>0，|a5|＝|a9|，∴－a5＝a9，即a5＋a9＝0.由等差數(shù)列的性質(zhì)，得2a7＝a5＋a9＝0，解得a7＝0.故數(shù)列的前6項均為負數(shù)，第7項為0，從第8項開始為正.∴Sn取得最小值時的n為6或7.6或7123455.已知等差數(shù)列的前12項和為354，前12項中偶數(shù)項和與奇數(shù)項和之比為32∶27，則公差d＝___.5故S偶＝192，S奇＝162，所以6d＝S偶－S奇＝30，故d＝5.1.知識清單：(1)等差數(shù)列前n項和的一般性質(zhì).(2)等差數(shù)列前n項和的函數(shù)性質(zhì).2.方法歸納：整體思想、函數(shù)思想、分類討論思想.3.常見誤區(qū)：求數(shù)列{|an|}的前n項和時不討論，最后不用分段函數(shù)表示.課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE4課時對點練PARTFOURA.10 B.100 C.110 D.120基礎(chǔ)鞏固解析∵{an}是等差數(shù)列，a1＝1，√123456789101112131415162.若等差數(shù)列{an}的前m項的和Sm為20，前3m項的和S3m為90，則它的前2m項的和S2m為A.30 B.70 C.50 D.6012345678910111213141516√解析∵等差數(shù)列{an}中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差數(shù)列，∴2(S2m－Sm)＝Sm＋S3m－S2m，∴2(S2m－20)＝20＋90－S2m，∴S2m＝50.3.已知數(shù)列{2n－19}，那么這個數(shù)列的前n項和SnA.有最大值且是整數(shù) B.有最小值且是整數(shù)C.有最大值且是分數(shù) D.無最大值和最小值解析易知數(shù)列{2n－19}的通項an＝2n－19，∴a1＝－17，d＝2.∴該數(shù)列是遞增等差數(shù)列.√∴a1<a2<a3<…<a9<0<a10<….123456789101112131415164.(多選)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，且S6>S7>S5，下列判斷正確的是A.d<0

B.S11>0C.S12<0

D.數(shù)列{Sn}中的最大項為S11√12345678910111213141516√解析∵S6>S7，∴a7<0，∵S7>S5，∴a6＋a7>0，∴a6>0，∴d<0，A正確；12345678910111213141516數(shù)列{Sn}中最大項為S6，D不正確.故正確的選項是AB.5.在等差數(shù)列{an}中，Sn是其前n項和，且S2011＝S2018，Sk＝S2009，則正整數(shù)k為A.2017 B.2018 C.2019 D.2020√12345678910111213141516解析因為等差數(shù)列的前n項和Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，所以由二次函數(shù)的對稱性及S2011＝S2018，Sk＝S2009，123456789101112131415166.已知在等差數(shù)列{an}中，公差d＝1，且前100項和為148，則前100項中的所有偶數(shù)項的和為____.99解析由題意，得S奇＋S偶＝148，S偶－S奇＝50d＝50，解得S偶＝99.123456789101112131415167.已知在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，則S9－S6＝___.5解析∵S3，S6－S3，S9－S6成等差數(shù)列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.123456789101112131415168.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,7a5＋5a9＝0，且a9>a5，則Sn取得最小值時n的值為___.6又a9>a5，所以d>0，a1<0.取最接近的整數(shù)6，故Sn取得最小值時n的值為6.123456789101112131415169.已知在等差數(shù)列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；解由a1＝9，a4＋a7＝0，得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.(2)當n為何值時，數(shù)列{an}的前n項和取得最大值？12345678910111213141516解方法一a1＝9，d＝－2，12345678910111213141516∴當n＝5時，Sn取得最大值.方法二由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是遞減數(shù)列.∵n∈N*，∴當n≤5時，an>0；當n≥6時，an<0.∴當n＝5時，Sn取得最大值.1234567891011121314151610.在數(shù)列{an}中，a1＝8，a4＝2，且滿足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項公式；解∵an＋2－2an＋1＋an＝0，∴an＋2－an＋1＝an＋1－an，∴{an}是等差數(shù)列，又∵a1＝8，a4＝2，∴d＝－2，an＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N*.12345678910111213141516(2)設(shè)Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.解設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，∵an＝10－2n，令an＝0，得n＝5.當n>5時，an<0；當n＝5時，an＝0；當n<5時，an>0.∴當n≤5時，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2.12345678910111213141516當n>5時，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝2×(9×5－25)－9n＋n2＝n2－9n＋40，1234567891011121314151611.若數(shù)列{an}的前n項和是Sn＝n2－4n＋2，則|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于A.15 B.35 C.66 D.100綜合運用12345678910111213141516√|a1|＝1，|a2|＝1，|a3|＝1，令an>0，則2n－5>0，∴n≥3.∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝1＋1＋a3＋…＋a10＝2＋(S10－S2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.123456789101112131415161234567891011121314151612.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a2＝11，

＝－8，則Sn取最大值時的n為A.6 B.7 C.8 D.9√12345678910111213141516解析設(shè)數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，則a1＝a2－d＝13，則Sn＝－n2＋14n＝－(n－7)2＋49，故當n＝7時，Sn取得最大值.12345678910111213141516解析因為b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11，12345678910111213141516解析設(shè)S4＝k，S8＝3k，由等差數(shù)列的性質(zhì)得S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12構(gòu)成等差數(shù)列.所以S8－S4＝2k，S12－S8＝3k，S16－S12＝4k.拓廣探究12345678