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文檔簡介

第四章

數(shù)列[數(shù)學(xué)文化]——了解數(shù)學(xué)文化的發(fā)展與應(yīng)用數(shù)列的歷史悠久,中國、古印度、阿拉伯、古希臘等數(shù)學(xué)歷史中都有數(shù)列的主題,分布廣泛,人類對數(shù)列的認識很早,不晚于函數(shù),而且各個國家、地區(qū)對數(shù)列的認識水平較深入.《莊子》中有“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”;古代《易經(jīng)》中有“是故《易》有太極,是生兩儀;兩儀生四象,四象生八卦”,這里包含了數(shù)列的涵意.中國的劉徽《九章算術(shù)》、西方的歐幾里得《幾何原本》都有豐富的數(shù)列內(nèi)容.它們表明,數(shù)列是非常古老的數(shù)學(xué)對象,無論東方還是西方,古往今來,數(shù)列始終是數(shù)學(xué)研究的重要問題之一,歷史悠久,文化燦爛.[讀圖探新]——發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象背后的知識發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力是各行各業(yè)的人都需要具備的,因此,很多職業(yè)測試中都會有數(shù)字推理的考查內(nèi)容.例如,以下是“行政職業(yè)能力測驗”中的一道題,你能快速地做出來并說明理由嗎?根據(jù)1,2,4,7,(

),16中各數(shù)字之間的關(guān)系,填出括號中的數(shù).解答此類題目的關(guān)鍵無疑是要找出其中數(shù)字出現(xiàn)的規(guī)律.事實上,很久以前人們就開始了對類似問題的研究.例如,古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派將1,4,9,16等數(shù)稱為正方形數(shù),因為這些數(shù)目的點可以擺成一個正方形,如下圖所示.依據(jù)這一規(guī)律,我們很容易就能知道,下一個正方形數(shù)應(yīng)該是25,再下一個是36,等等.你知道嗎?通過尋找數(shù)字出現(xiàn)的規(guī)律,可以產(chǎn)生新的發(fā)現(xiàn).19世紀的時候,門捷列夫?qū)?dāng)時已有的原子量約為7至14的元素按從小到大的順序排列后,得到了如下結(jié)果:元素鋰硼碳鈹?shù)恿?111213.514化合價

+1+3+4+2+5仔細觀察,你是否發(fā)現(xiàn)了其中的不“和諧”的地方?門捷列夫當(dāng)時猜測,鈹?shù)脑恿靠赡懿皇?3.5,而應(yīng)該約為9,這一猜測后來在實驗室得到驗證!數(shù)學(xué)上,通常將按一定順序排列的數(shù)稱為數(shù)列.本章我們要學(xué)習(xí)的就是數(shù)列的基礎(chǔ)知識,以及兩種規(guī)律比較常見的數(shù)列.4.1數(shù)列的概念第一課時數(shù)列的概念與表示課標要求素養(yǎng)要求1.通過日常生活和數(shù)學(xué)中的實例,了解數(shù)列的概念和表示方法(表格、圖象、解析法).2.了解數(shù)列是一種特殊函數(shù).從日常生活和數(shù)學(xué)中的實例,經(jīng)歷數(shù)列的概念的抽象過程,并在由數(shù)列的前幾項歸納數(shù)列的通項公式的過程中,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng).新知探究傳說古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題.他們研究數(shù)的概念時,喜歡把數(shù)描繪成沙灘上的小石子,小石子能夠擺成不同的幾何圖形,于是就產(chǎn)生一系列的形數(shù).畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn),當(dāng)小石子的數(shù)目是1,3,6,10等數(shù)時,小石子都能擺成正三角形,如圖1.他把這些數(shù)叫作三角形數(shù);當(dāng)小石子的數(shù)目是1,4,9,16等數(shù)時,小石子都能擺成正方形,如圖2.他把這些數(shù)叫作正方形數(shù),等等.每一系列有形狀的數(shù)按順序排列出來就稱為數(shù)列.那么數(shù)列的有關(guān)概念是什么?可分為哪幾類?就讓我們一起進入今天的學(xué)習(xí)吧.1. (1)數(shù)列:按照____________排列的一列數(shù)稱為數(shù)列. (2)數(shù)列的項:數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.

數(shù)列的第一個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第1項,常用符號______表示,第二個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第2項,用______表示……第n個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第n項,用______表示.其中第1項也叫做______.確定的順序a1a2an首項數(shù)列與數(shù)列的項“順序”是數(shù)列最根本的性質(zhì)2.數(shù)列的

數(shù)列的一般形式是a1,a2,…,an,…,簡記為{an}.3.數(shù)列的表示方法 (1)表示方法:解析式法、表格法、圖象法. (2)數(shù)列的通項公式:如果數(shù)列{an}的__________與它的________之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示,那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式.第n項an序號n一般形式

與集合的表示方法不同!2.數(shù)列的

數(shù)列的一般形式是a1,a2,…,an,…,簡記為{an}.3.數(shù)列的表示方法 (1)表示方法:解析式法、表格法、圖象法. (2)數(shù)列的通項公式:如果數(shù)列{an}的__________與它的________之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示,那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式.第n項an序號n一般形式

與集合的表示方法不同!4.數(shù)列的類別含義遞增數(shù)列從第2項起,每一項都______它的前一項的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項起,每一項都______它的前一項的數(shù)列常數(shù)列各項都______的數(shù)列單調(diào)性

與函數(shù)的單調(diào)性類似,項數(shù)n相當(dāng)于自變量x,項an相當(dāng)于函數(shù)值f(x).大于小于相等拓展深化[微判斷]1.1,1,1,1是一個數(shù)列.()2.數(shù)列1,3,5,7,…的第10項是21.()

提示

第10項并不一定是21,也可能是其它任何數(shù).3.每一個數(shù)列都有通項公式.(

)

提示

并不是每一個數(shù)列都有通項公式.4.如果一個數(shù)列不是遞增數(shù)列,那么它一定是遞減數(shù)列.(

)

提示

也可能是擺動數(shù)列,如:1,-1,1,-1,….√×××解析

a3+a6=(3+2)+(6-3)=5+3=8.答案

82.根據(jù)數(shù)列的前幾項,寫出下面各數(shù)列的一個通項公式.[微思考]1.數(shù)列的項和它的項數(shù)是否相同?

提示數(shù)列的項與它的項數(shù)是不同的概念.數(shù)列的項是指這個數(shù)列中的某一個確定的數(shù),是一個函數(shù)值,也就是相當(dāng)于f(n),而項數(shù)是指這個數(shù)在數(shù)列中的位置序號,它是自變量的值,相當(dāng)于f(n)中的n.[微思考]1.數(shù)列的項和它的項數(shù)是否相同?

提示數(shù)列的項與它的項數(shù)是不同的概念.數(shù)列的項是指這個數(shù)列中的某一個確定的數(shù),是一個函數(shù)值,也就是相當(dāng)于f(n),而項數(shù)是指這個數(shù)在數(shù)列中的位置序號,它是自變量的值,相當(dāng)于f(n)中的n.2.數(shù)列1,2,3,4,5,數(shù)列5,3,2,4,1與{1,2,3,4,5}有什么區(qū)別?

提示數(shù)列1,2,3,4,5和數(shù)列5,3,2,4,1為兩個不同的數(shù)列,因為二者的元素順序不同,而集合{1,2,3,4,5}與這兩個數(shù)列也不相同,一方面形式上不一致,另一方面,集合中的元素具有無序性.題型一數(shù)列的概念與分類【例1】

(1)(多選題)下列四個數(shù)列中的遞增數(shù)列是(

)解析

(1)A是遞減數(shù)列;B是擺動數(shù)列;C,D是遞增數(shù)列.解得2<a<3,選D.答案

(1)CD

(2)D規(guī)律方法數(shù)列單調(diào)性的判斷若滿足an<an+1(n∈N*)則是遞增數(shù)列;若滿足an>an+1(n∈N*)則是遞減數(shù)列;若滿足an=an+1(n∈N*)則是常數(shù)列;若an與an+1(n∈N*)的大小不確定時,則是擺動數(shù)列.【訓(xùn)練1】已知下列數(shù)列:答案(1)①②

(2)③題型二由數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式【例2】寫出下面各數(shù)列的一個通項公式(3)這個數(shù)列的奇數(shù)項為負,偶數(shù)項為正,前6項的絕對值可看作分母依次為1,2,3,4,5,6,分子依次為1,3,1,3,1,3,所以它的一個通項公式為規(guī)律方法此類問題主要靠觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法求解.具體注意以下幾方面:(1)分式中分子、分母的特征;(2)相鄰項的變化特征;(3)拆項后的特征;(4)各項的符號特征和絕對值特征;(5)化異為同;(6)對于符號交替出現(xiàn)的情況,可用(-1)k或(-1)k+1處理.【訓(xùn)練2】寫出下列數(shù)列的一個通項公式,使它的前4項分別是下列各數(shù):規(guī)律方法判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項的方法先假定它是數(shù)列中的第n項,然后列出關(guān)于n的方程.若方程解為正整數(shù),則是數(shù)列的一項;若方程無解或解不是正整數(shù),則不是該數(shù)列的一項.【訓(xùn)練3】在數(shù)列{an}中,a1=2,a17=66,通項公式an是n的一次函數(shù).(1)求{an}的通項公式;(2)判斷88是不是數(shù)列{an}中的項?(2)令an=88,即4n-2=88,解得n=22.5?N*,∴88不是數(shù)列{an}中的項.解

法一函數(shù)單調(diào)性法當(dāng)n<8時,an+1-an>0,即an+1>an,即{an}在n<8時單調(diào)遞增;當(dāng)n=8時,an+1-an=0,即an+1=an,得a8=a9;當(dāng)n>8時,an+1-an<0,即an+1<an,得{an}在n>8時單調(diào)遞減.法二不等式組法(1)討論數(shù)列{an}的單調(diào)性;(2)求數(shù)列{an}的最大項和最小項.據(jù)此可得1>a1>a2>a3>…>a15,且a16>a17>a18>a19>…>1,所以當(dāng)n<16時,數(shù)列{an}單調(diào)遞減;當(dāng)n≥16時,數(shù)列{an}單調(diào)遞減.(2)由(1),知數(shù)列{an}的最大項為a16,最小項為a15.一、素養(yǎng)落地1.通過學(xué)習(xí)數(shù)列的通項公式求法及應(yīng)用,重點培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)及提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).2.數(shù)列中的項具有三個性質(zhì):(1)確定性,(2)可重復(fù)性,(3)有序性.3.數(shù)列可以看作以自然數(shù)n(n≥1)為自變量,以對應(yīng)的項為函數(shù)值的函數(shù),因此數(shù)列也具有單調(diào)性,有遞增數(shù)列和遞減數(shù)列之分.4.根據(jù)數(shù)列的前幾項求其通項公式時,抓住其每一項之間的特征,并對此進行聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、歸納.二、素養(yǎng)訓(xùn)練1.下列敘述正確的是(

)答案D2.數(shù)列{an}中,an=2n,則16是這個數(shù)列的(

) A.第16項 B.第8項 C.第4項 D.第2項

解析令an=2n=16,得n=4.

答案

C3.數(shù)列2,3,4,5,…的一個通項公式為(

) A.an=n B.an=n+1 C.an=n+2 D.an=2n

解析這個數(shù)列的前4項都比序號大1,所以它的一個通項公式為an=n+1.

答案BA.12 B.13C.14 D.15答案C5.已知an=n2-2n+5,求數(shù)列{an}的最小值.

解由an=n2-2n+5=(n-1)2+4可知,當(dāng)n=1時,an的最小值為a1=4.備用工具&資料3.數(shù)列2,3,4,5,…的一個通項公式為(

) A.an=n B.an=n+1 C.an=n+2 D.an=2n

解析這個數(shù)列的前4項都比序號大1,所以它的一個通項公式為an=n+1.

答案B答案D題型一數(shù)列的概念與分類【例1】

(1)(多選題)下列四個數(shù)列中的遞增數(shù)列是(

)解析

a3+a6=(3+2)+(6-3)=5+3

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