高中數(shù)學(xué)選擇性必修2課件：4 2 1 第一課時(shí) 等差數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式(人教A版)

4.2等差數(shù)列4.2.1等差數(shù)列的概念第一課時(shí)等差數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.通過(guò)生活中的實(shí)例，理解等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義.2.體會(huì)等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系.在根據(jù)實(shí)例抽象出等差數(shù)列的概念并歸納出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng).新知探究觀察下列現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)列，回答后面的問(wèn)題.我國(guó)有用12生肖紀(jì)年的習(xí)慣，例如，2017年是雞年，從2017年開(kāi)始，雞年的年份為2017，2029，2041，2053，2065，2077，…；①我國(guó)確定鞋號(hào)的腳長(zhǎng)值以毫米為單位來(lái)表示，常用確定鞋號(hào)腳長(zhǎng)值按從大到小的順序可排列為275，270，265，260，255，250，…；②2020年1月中，每個(gè)星期日的日期為5，12，19，26.③問(wèn)題數(shù)列①②③有什么共同的特點(diǎn)？提示從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，都是等差數(shù)列.1.等差數(shù)列的概念

等差數(shù)列的定義中的幾個(gè)關(guān)鍵詞是“從第2項(xiàng)起”，“同一個(gè)常數(shù)”條件從第____項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的________的差都等于____________結(jié)論這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列有關(guān)概念這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的______，通常用字母____表示2前一項(xiàng)同一個(gè)常數(shù)公差d2.等差中項(xiàng)

由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列，這時(shí)____叫做a與b的等差中項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道，2A＝________.Aa＋b3.等差數(shù)列的通項(xiàng)

(1)通項(xiàng)公式：首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝_____________. (2)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系： ①公差d≠0的等差數(shù)列{an}的圖象是點(diǎn)(n，an)組成的集合，這些點(diǎn)均勻分布在直線f(x)＝dx＋(a1－d)上. ②任給一次函數(shù)f(x)＝kx＋b(k，b為常數(shù))，則f(1)＝k＋b，f(2)＝2k＋b，…，f(n)＝nk＋b，構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列{nk＋b}，其首項(xiàng)為_(kāi)_______，公差為_(kāi)___.a1＋(n－1)d(k＋b)k公式

一般形式：an＝am＋(n－m)d拓展深化[微判斷]1.常數(shù)列是等差數(shù)列.()2.若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列.()

提示差都是同一個(gè)常數(shù).3.數(shù)列{an}滿(mǎn)足an＋1－an＝1(n＞1)，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列.()

提示{an}不一定是等差數(shù)列，忽略了第1項(xiàng).√××[微訓(xùn)練]1.已知實(shí)數(shù)m是1和5的等差中項(xiàng)，則m＝(

)解析由題知：2m＝1＋5＝6，m＝3.答案

C[微訓(xùn)練]1.已知實(shí)數(shù)m是1和5的等差中項(xiàng)，則m＝(

)解析由題知：2m＝1＋5＝6，m＝3.答案

C2.等差數(shù)列{1－3n}的公差d等于(

) A.1 B.3 C.－3 D.n

解析

∵an＝1－3n，∴a1＝－2，a2＝－5， ∴d＝a2－a1＝－3.

答案

C3.等差數(shù)列－3，－1，1，…的通項(xiàng)公式為an＝________.解析由題知，a1＝－3，d＝2，an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5.答案

2n－5[微思考]1.如果數(shù)列{an}滿(mǎn)足an＋1－an＝d(常數(shù))或2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，那么數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎？

提示是等差數(shù)列.2.等差數(shù)列{an}的單調(diào)性與其公差d有什么關(guān)系？

提示當(dāng)公差d＝0時(shí)，{an}是常數(shù)列；

當(dāng)公差d>0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；

當(dāng)公差d<0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列.題型一等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及相關(guān)計(jì)算【例1】在等差數(shù)列{an}中，解

(1)an＝a10＝a1＋(10－1)d＝2＋9×3＝29.(2)由an＝a1＋(n－1)d得3＋2(n－1)＝21，解得n＝10.(3)由a6＝a1＋5d得12＋5d＝27，解得d＝3.(4)由a7＝a1＋6d得a1－2＝8，解得a1＝10，解

(1)an＝a10＝a1＋(10－1)d＝2＋9×3＝29.(2)由an＝a1＋(n－1)d得3＋2(n－1)＝21，解得n＝10.(3)由a6＝a1＋5d得12＋5d＝27，解得d＝3.(4)由a7＝a1＋6d得a1－2＝8，解得a1＝10，規(guī)律方法等差數(shù)列通項(xiàng)公式中的四個(gè)參數(shù)及其關(guān)系等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d四個(gè)參數(shù)a1，d，n，an“知三求一”知a1，d，n求an知a1，d，an求n知a1，n，an求d知d，n，an求a1【訓(xùn)練1】

(1)已知{an}為等差數(shù)列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，則公差d＝(

)答案(1)B

(2)B題型二等差中項(xiàng)及其應(yīng)用【例2】在－1與7之間順次插入三個(gè)數(shù)a，b，c，使這五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列.解

∵－1，a，b，c，7成等差數(shù)列，∴b是－1與7的等差中項(xiàng)，∴該數(shù)列為－1，1，3，5，7.規(guī)律方法(1)由等差數(shù)列的定義知an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，即2an＝an－1＋an＋1，從而由等差中項(xiàng)的定義可知，等差數(shù)列從第2項(xiàng)起的每一項(xiàng)都是它前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng).(2)在設(shè)等差數(shù)列的項(xiàng)時(shí)，可利用上述性質(zhì).(2)由m和2n的等差中項(xiàng)為4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中項(xiàng)為5，得2m＋n＝10.兩式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6.答案(1)A

(2)B題型三等差數(shù)列的判定角度1等差數(shù)列的證明【例3－1】

(1)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，設(shè)bn＝2an＋3，求證：數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列.證明因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列，可設(shè)其公差為d，則an＋1－an＝d.從而bn＋1－bn＝(2an＋1＋3)－(2an＋3)＝2(an＋1－an)＝2d，它是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.∴an＝n·2n.角度2等差數(shù)列的探究【例3－2】數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*). (1)當(dāng)a2＝－1時(shí)，求λ及a3的值； (2)是否存在λ，使數(shù)列{an}為等差數(shù)列？若存在，求其通項(xiàng)公式；若不存在，說(shuō)明理由.(2)不存在.∵a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n，∴a2＝(λ－3)a1＋2＝2λ－4，a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ2－10λ＋16.若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則a1＋a3＝2a2，即2＋2λ2－10λ＋16＝2(2λ－4)，∴λ2－7λ＋13＝0.∵Δ＝49－4×13<0，∴方程無(wú)實(shí)數(shù)解，∴λ不存在，即不存在λ使{an}為等差數(shù)列.規(guī)律方法(1)證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法：①定義法：an＋1－an＝d(常數(shù))(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列；an－an－1＝d(常數(shù))(n≥2，n∈N*)?{an}是等差數(shù)列.②等差中項(xiàng)法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列.(2)若證明一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，則只要證明其中特定三項(xiàng)(如前三項(xiàng)a1，a2，a3)不是等差數(shù)列即可.一、素養(yǎng)落地1.通過(guò)學(xué)習(xí)等差數(shù)列的概念，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，通過(guò)學(xué)習(xí)等差數(shù)列的證明及相關(guān)計(jì)算，提升邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).2.判斷一個(gè)數(shù)列是不是等差數(shù)列的常用方法： (1)an＋1－an＝d(d為常數(shù)，n∈N*)?{an}是等差數(shù)列； (2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列； (3)an＝kn＋b(k，b為常數(shù)，n∈N*)?{an}是等差數(shù)列.

但若要說(shuō)明一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需舉出一個(gè)反例即可.3.由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首項(xiàng)a1和公差d，就可以求出通項(xiàng)公式，反過(guò)來(lái)，在a1，d，n，an四個(gè)量中，只要知道其中任意三個(gè)量，就可以求出另一個(gè)量.二、素養(yǎng)訓(xùn)練1.給出下列數(shù)列： (1)0，0，0，0，0，…；

(2)1，11，111，1111，…； (3)2，22，23，24，…；

(4)－5，－3，－1，1，3，…； (5)1，2，3，5，8，….

其中是等差數(shù)列的有(

) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)

解析數(shù)列(1)，(4)是等差數(shù)列，故選B.

答案

B2.若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2(n＋1)＋3，則此數(shù)列(

) A.是公差為2的等差數(shù)列 B.是公差為3的等差數(shù)列 C.是公差為5的等差數(shù)列 D.不是等差

解析

an＋1－an＝[2(n＋2)＋3]－[2(n＋1)＋3]＝2，故{an}是公差為2的等差數(shù)列.

答案

A3.在等差數(shù)列{an}中，a1＋a9＝10，則a5＝(

) A.5 B.6 C.8 D.9

解析因?yàn)閍5是a1和a9的等差中項(xiàng)，所以2a5＝a1＋a9，即2a5＝10，a5＝5.

答案

A4.已知等差數(shù)列1，－1，－3，－5，…，－89，則它的項(xiàng)數(shù)是________.

解析

d＝－1－1＝－2，設(shè)an＝－89，則－89＝a1＋(n－1)d＝1－2(n－1)，解得n＝46.

答案

465.在等差數(shù)列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通項(xiàng)公式an.∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.備用工具&資料4.已知等差數(shù)列1，－1，－3，－5，…，－89，則它的項(xiàng)數(shù)是________.

解析

d＝－1－1＝－2，設(shè)an＝－89，則－89＝a1＋(n－1)d＝1－2(n－1)，解得n＝46.

答案

462.若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2(n＋1)＋3，則此數(shù)列(

) A.是公差為2的等差數(shù)列 B.是公差為3的等差數(shù)列 C.是公差為5的等差數(shù)列 D.不是等差

解析

an＋1－an＝[2(n＋2)＋3]－[2(n＋1)＋3]＝2，故{an}是公差為2的等差數(shù)列.

答案

A【訓(xùn)練1】

(1)已知{an}為等差數(shù)列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，則公差d＝(

)[微思考]1.如果數(shù)列{an}滿(mǎn)足an＋1－an＝d(常數(shù))或2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，那么數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎