高中數學選擇性必修2課件：5 1 2 第二課時 導數的幾何意義(人教A版)

第二課時導數的幾何意義課標要求素養(yǎng)要求通過函數圖象直觀理解導數的幾何意義.通過學習導數與曲線的切線的關系，理解導數的幾何意義，發(fā)展學生直觀想象素養(yǎng).新知探究從物理學中我們知道，如果物體運動的軌跡是一條曲線，那么該物體在每一個點處的瞬時速度的方向是與曲線相切的.例如，若物體的運動軌跡如圖所示，而且物體是順次經過A，B兩點的，則物體在A點處的瞬時速度的方向與向量v的方向相同.問題如果設曲線的方程為y＝f(x)，A(x0，f(x0))，那么曲線在點A處的切線的斜率是什么？提示k＝f′(x0).1.切線的概念

在曲線y＝f(x)上任取一點P(x，f(x))，如果當點P(x，f(x))沿著曲線y＝f(x)無限趨近于點P0(x0，f(x0))時，割線P0P無限趨近于一個確定的位置，這個確定的位置P0T稱為曲線y＝f(x)在點P0處的切線.2.

當點P沿著曲線y＝f(x)無限趨近于點P0時，即當Δx→0時，k無限趨近于函數y＝f(x)在x＝x0處的導數，因此，函數y＝f(x)在x＝x0處的導數f′(x0)就是切線P0T的斜率k0，即導數的幾何意義“在點(x0，f(x0))處”的切線就是指(x0，f(x0))是切點.3.導函數拓展深化[微判斷]1.函數在x＝x0處的導數f′(x0)是一個常數.()2.函數y＝f(x)在x＝x0處的導數值就是曲線y＝f(x)在x＝x0處的切線的斜率.()3.直線與曲線相切，則直線與已知的曲線只有一個公共點.()

提示

也可能有多個公共點，如曲線y＝x3在點(1，1)處的切線與曲線y＝x3有兩個公共點.√√×答案B2.函數f(x)的圖象如圖所示，則(

)A.f′(1)>f′(2)>f′(3) B.f′(2)>f′(1)>f′(3)C.f′(3)>f′(2)>f′(1) D.f′(3)>f′(1)>f′(2)解析由函數的圖象可知，曲線在點A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))處切線的斜率大小關系為kC>kB>kA，故f′(3)>f′(2)>f′(1).答案

C2.函數f(x)的圖象如圖所示，則(

)A.f′(1)>f′(2)>f′(3) B.f′(2)>f′(1)>f′(3)C.f′(3)>f′(2)>f′(1) D.f′(3)>f′(1)>f′(2)解析由函數的圖象可知，曲線在點A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))處切線的斜率大小關系為kC>kB>kA，故f′(3)>f′(2)>f′(1).答案

C[微思考]1.與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線嗎？

提示不一定，例如直線x＝1與曲線y＝cosx只有一個公共點，但直線x＝1不是曲線y＝cosx的切線.2.導函數f′(x)與函數在x＝x0處的導數f′(x0)相同嗎？它們有什么區(qū)別與聯系？

提示不相同.(1)兩者的區(qū)別：由導數的定義知，f′(x0)是一個具體的值，f′(x)是由于f(x)在某區(qū)間I上每一點都存在導數而定義在I上的一個新函數，所以兩者的區(qū)別是：前者是數值，后者是函數. (2)兩者的聯系：在x＝x0處的導數f′(x0)是導函數f′(x)在x＝x0處的函數值，因此是函數在某一點處的導數.∴曲線在點P(2，4)處切線的斜率為∴曲線在點P(2，4)處的切線方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.故所求的切線方程為x－y＋2＝0，或4x－y－4＝0.規(guī)律方法若題中所給點(x0，y0)不在曲線上，首先應設出切點坐標，然后根據導數的幾何意義列出等式，求出切點坐標，進而求出切線方程.規(guī)律方法若題中所給點(x0，y0)不在曲線上，首先應設出切點坐標，然后根據導數的幾何意義列出等式，求出切點坐標，進而求出切線方程.解曲線在點處的切線的斜率為k題型二求切點坐標或參數值【例2】

(1)已知拋物線y＝f(x)＝2x2＋1在某點處的切線的傾斜角為45°，則該切點的坐標為________. (2)若直線y＝3x＋b與曲線y＝x3相切，則b＝________.解析

(1)設切點坐標為(x0，y0)，因此x0＝±1，所以P(1，1)或P(－1，－1).因為點P在直線y＝3x＋b上，所以b＝±2.規(guī)律方法解答此類題目時，所給的直線的傾斜角或斜率是解題的關鍵，由這些信息得知函數在某點處的導數，進而可求此點的橫坐標.解題時要注意解析幾何知識的應用，如直線的傾斜角與斜率的關系，平行，垂直等.【訓練2】已知曲線f(x)＝x2－1在x＝x0處的切線與曲線g(x)＝1－x3在x＝x0處的切線互相平行，求x0的值.解對于曲線f(x)＝x2－1，對于曲線g(x)＝1－x3，題型三與導數的幾何意義有關的圖象問題【例3】

(1)已知y＝f(x)的圖象如圖所示，則f′(xA)與f′(xB)的大小關系是(

)A.f′(xA)>f′(xB) B.f′(xA)<f′(xB)C.f′(xA)＝f′(xB) D.不能確定(2)若函數f(x)的導函數在區(qū)間[a，b]上是增函數，則函數f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象可能是(

)解析

(1)由導數的幾何意義，f′(xA)，f′(xB)分別是切線在點A，B處切線的斜率，由圖象可知f′(xA)<f′(xB).(2)函數f(x)的導函數f′(x)在[a，b]上是增函數，若對任意x1和x2滿足a<x1<x2<b，則有f′(a)<f′(x1)<f′(x2)<f′(b)，根據導數的幾何意義，可知函數y＝f(x)的切線斜率在[a，b]內單調遞增，觀察圖象.只有A選項符合.答案

(1)B

(2)A規(guī)律方法導數的幾何意義就是切線的斜率，所以比較導數的大小可以根據函數圖象，觀察對應切線的斜率的大小.A.f′(1)<f′(2)<a B.f′(1)<a<f′(2)C.f′(2)<f′(1)<a D.a<f′(1)<f′(2)答案B一、素養(yǎng)落地1.通過學習導數的幾何意義，理解切線的斜率與導數的關系，培養(yǎng)數學運算和直觀想象素養(yǎng).二、素養(yǎng)訓練1.若曲線y＝h(x)在點P(a，h(a))處的切線方程為2x＋y＋1＝0，則(

) A.h′(a)＝0 B.h′(a)<0 C.h′(a)>0 D.h′(a)不存在

解析由2x＋y＋1＝0，得y＝－2x－1，由導數的幾何意義可知h′(a)＝－2<0.

答案

BA.－2 B.－1C.1 D.2答案D3.設曲線f(x)＝ax2在點(1，a)處的切線與直線2x－y－6＝0平行，則a等于(

)所以2a＝2，所以a＝1(經檢驗，正確).答案

A答案3備用工具&資料答案3A.－2 B.－1C.1 D.2答案D題型二求切點坐標或參數值【例2】

(1)已知拋物線y＝f(x)＝2x2＋1在某點處的切線的傾斜角為45°，則該切點的坐標為________. (2)若直線y＝3x＋b與曲線y＝x3相切，則b＝________.解析

(1)設切點坐標為(x0，y0)，∴曲線在點P(2，4)處切線的斜率為∴曲線在點P(2，4)處的切線方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.問題如果設曲線的方程為y＝f(x)，A(x0，f(x0))，那么曲線在點A處的切線的斜率是什么？提示k＝f′(x0).拓展深化[微判斷]1.函數在x＝x0