高中數(shù)學選擇性必修2課件：5 2 1 基本初等函數(shù)的導數(shù)(人教A版)

5.2導數(shù)的運算5.2.1基本初等函數(shù)的導數(shù)

新知探究問題2函數(shù)(2)(3)(4)(5)的導數(shù)分別是什么？問題3函數(shù)(2)(3)(5)均可表示為y＝xα(α∈Q*)的形式，其導數(shù)有何規(guī)律？1.幾個常用函數(shù)的導數(shù)2.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式×√×提示若f(x)＝4x，則f′(x)＝4xln4.[微訓練]1.已知f(x)＝x2，則f′(3)等于(

) A.0 B.2x

C.6 D.9

解析

∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.

答案

C2.求下列函數(shù)的導數(shù)：2.求下列函數(shù)的導數(shù)：題型一利用導數(shù)公式求函數(shù)的導數(shù)【例1】求下列函數(shù)的導數(shù)：解

(1)y′＝0；規(guī)律方法求簡單函數(shù)的導函數(shù)的基本方法：(1)用導數(shù)的定義求導，但運算比較繁瑣；(2)用導數(shù)公式求導，可以簡化運算過程，降低運算難度.解題時根據(jù)所給問題的特征，將題中函數(shù)的結(jié)構(gòu)進行調(diào)整，再選擇合適的求導公式.【訓練1】求下列函數(shù)的導數(shù)：【訓練1】求下列函數(shù)的導數(shù)：題型二利用導數(shù)公式解決切線問題角度1求切線的方程答案B角度2求參數(shù)值【例2－2】已知y＝kx是曲線y＝lnx的一條切線，則k＝________.角度3曲線上的點到直線的最小距離問題【例2－3】設(shè)P是曲線y＝ex上任意一點，求點P到直線y＝x的最小距離.解如圖，設(shè)l是與直線y＝x平行，且與曲線y＝ex相切的直線，則切點到直線y＝x的距離最小.設(shè)直線l與曲線y＝ex相切于點P(x0，y0).因為y′＝ex，所以ex0＝1，所以x0＝0.代入y＝ex，得y0＝1，所以P(0，1).規(guī)律方法利用導數(shù)的幾何意義解決切線問題的兩種情況(1)若已知點是切點，則在該點處的切線斜率就是該點處的導數(shù).(2)如果已知點不是切點，則應(yīng)先設(shè)出切點，再借助兩點連線的斜率公式進行求解.解

(1)設(shè)所求切線的斜率為k.(2)設(shè)切點坐標為(x0，y0).即4x－y－1－ln4＝0.題型三導數(shù)公式的實際應(yīng)用【例3】某城市近10年間房價年均上漲率為10%，房價p(單位：萬元)與時間t(單位：年)有如下函數(shù)關(guān)系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5個年頭，房價上漲的速度大約是多少(精確0.01萬元/年)？(參考數(shù)據(jù)：1.15＝1.611，ln1.1＝0.095)解由題意得p′(t)＝1.1tln1.1所以p′(5)＝1.15ln1.1≈1.611×0.095≈0.15(萬元/年)所以在第5個年頭，該市房價上漲的速度大約是0.15萬元/年.規(guī)律方法由導數(shù)的定義可知，導數(shù)是瞬時變化率，所以求某個量的變化速度，就是求相關(guān)函數(shù)在某點處的導數(shù).【訓練3】從時刻t＝0開始的t(s)內(nèi)，通過某導體的電量(單位：庫侖)可以由公式q＝cost表示.

求第5秒和第7秒時的電流強度(單位：安)

解由q＝cost得q′＝－sint，

所以q′(5)＝－sin5，q′(7)＝－sin7，

即第5秒，第7秒時的電流強度分別是－sin5安，－sin7安.一、素養(yǎng)落地1.通過學習導數(shù)公式及應(yīng)用導數(shù)公式求基本初等函數(shù)的導數(shù)，提升數(shù)學運算素養(yǎng).2.利用常見函數(shù)的導數(shù)公式可以比較簡捷的求出函數(shù)的導數(shù)，其關(guān)鍵是牢記和運用好導數(shù)公式.解題時，能認真觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，積極地進行聯(lián)想化歸.二、素養(yǎng)訓練1.函數(shù)y＝xe的導數(shù)是(

) A.y′＝xe B.y′＝exe－1 C.y′＝exe D.y′＝lnx

解析由(xα)′＝αxα－1得，y′＝exe－1.

答案

B答案D3.已知f(x)＝x2，g(x)＝x.若m滿足f′(m)＋g′(m)＝3，則m的值為________.

解析

f′(x)＋g′(x)＝2x＋1，f′(m)＋g′(m)＝2m＋1＝3，故m＝1.

答案

1答案x＋9y－6＝05.曲線y＝ex在點(2，e2)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為________.

解析

∵y′＝(ex)′＝ex，∴在點(2，e2)處的切線斜率為k＝e2，∴曲線在點(2，e2)處的切線方程為y－e2＝e2(x－2)，

即y＝e2x－e2.當x＝0時，y＝－e2，當y＝0時，x＝1.備用工具&資料答案x＋9y－6＝0答案D題型二利用導數(shù)公式解決切線問題角度1求切線的方程解

(1)y′＝0；問題2函數(shù)(2)(