高中數(shù)學(xué)選擇性必修2課件：5 3 2 第二課時 函數(shù)的最大（?。┲?人教A版)

第二課時函數(shù)的最大(小)值課標要求素養(yǎng)要求1.能利用導(dǎo)數(shù)求某些函數(shù)的在給定閉區(qū)間上不超過三次的多項式函數(shù)的最大值、最小值.2.體會導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值、最大(小)值的關(guān)系.區(qū)別函數(shù)的極值和最大(小)值，借助于求函數(shù)的最大(小)值的運算，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算和直觀想象素養(yǎng).新知探究觀察如圖所示的函數(shù)y＝f(x)，x∈[－3，2]的圖象，回憶函數(shù)最值的定義，回答下列問題：問題1圖中所示函數(shù)最值點與最值分別是什么？提示最大值點是x＝2，最大值是3；最小值點是x＝0，最小值是－3.問題2圖中所示函數(shù)的極值點與極值分別是什么？提示極大值點是x＝－2，極大值是2；極小值點是x＝0，極小值是－3.問題3一般地，函數(shù)的最值與函數(shù)的極值有什么關(guān)系？提示函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點的函數(shù)值.1.

(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，則該函數(shù)在[a，b]上一定能夠取得最大值與最小值，函數(shù)的最值必在_____處或_______處取得. (2)求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上最值的步驟 ①求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的______. ②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與________的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是________，最小的一個是________.端點極值點極值端點處最大值

函數(shù)的最大值與最小值最多只有一個，極大值與極小值則可能有多個函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最值

最小值2.最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系 (1)極值是對某一點附近(即局部)而言，最值是對函數(shù)的定義區(qū)間的整體而言. (2)在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，極大(小)值可能有多個，但最大(小)值只有一個(或者沒有). (3)函數(shù)f(x)的極值點為定義域中的內(nèi)點，而最值點可以是區(qū)間的端點. (4)對于可導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的最大(小)值必在極大(小)值點或區(qū)間端點處取得.

如圖是y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的函數(shù)圖象.顯然f(x1)，f(x3)，f(x5)為極大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)為極小值.最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分別在x＝x3及x＝b處取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4處取得.拓展深化[微判斷]1.函數(shù)的最大值不一定是函數(shù)的極大值.()2.函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值一定在區(qū)間端點處取得.()

提示也可能在極值點處取到.3.有極值的函數(shù)一定有最值，有最值的函數(shù)不一定有極值.()

提示

有極值的函數(shù)不一定有最值，如圖所示，導(dǎo)函數(shù)f(x)有極值，但沒有最值.√××4.函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a，b]上一定有最值，但不一定有極值.()√[微訓(xùn)練]1.連續(xù)函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上(

) A.極大值一定比極小值大

B.極大值一定是最大值 C.最大值一定是極大值

D.最大值一定大于極小值

解析由函數(shù)的最值與極值的概念可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值一定大于極小值.

答案

D[微訓(xùn)練]1.連續(xù)函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上(

) A.極大值一定比極小值大

B.極大值一定是最大值 C.最大值一定是極大值

D.最大值一定大于極小值

解析由函數(shù)的最值與極值的概念可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值一定大于極小值.

答案

D[微思考]1.若函數(shù)的最大值與最小值所構(gòu)成的集合為A，則A中的元素個數(shù)可能是多少？

提示可能為0，1，2.2.在開區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)f(x)在此開區(qū)間上只有一個極值點，那么這個極值是最值點嗎？

提示是.題型一求函數(shù)的最值【例1】求下列各函數(shù)的最值.解

(1)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，∵f′(x)在[－1，1]內(nèi)恒大于0，∴f(x)在[－1，1]上為增函數(shù).故當(dāng)x＝－1時，f(x)min＝－12；當(dāng)x＝1時，f(x)max＝2.即f(x)的最小值為－12，最大值為2.所以當(dāng)x＝0時，f(x)有最小值f(0)＝0；當(dāng)x＝2π時，f(x)有最大值f(2π)＝π.所以當(dāng)x＝0時，f(x)有最小值f(0)＝0；當(dāng)x＝2π時，f(x)有最大值f(2π)＝π.規(guī)律方法求解函數(shù)在定區(qū)間上的最值，需注意以下幾點(1)對函數(shù)進行準確求導(dǎo)，并檢驗f′(x)＝0的根是否在給定區(qū)間內(nèi).(2)研究函數(shù)的單調(diào)性，正確確定極值和端點函數(shù)值.(3)比較極值與端點函數(shù)值的大小，確定最值.【訓(xùn)練1】求下列函數(shù)的最值： (1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2，4]； (2)f(x)＝e－x－ex，x∈[0，a]，a為正實數(shù).

解

(1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2).

令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.

當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表x－2(－2，0)0(0，2)2(2，4)4f′(x)

＋0－0＋

f(x)－37↗極大值3↘極小值－5↗35∴當(dāng)x＝4時，f(x)取最大值35.當(dāng)x＝－2時，f(x)取最小值－37.即f(x)的最大值為35，最小值為－37.當(dāng)x∈[0，a]時，f′(x)＜0恒成立，即f(x)在[0，a]上是減函數(shù).故當(dāng)x＝a時，f(x)有最小值f(a)＝e－a－ea；當(dāng)x＝0時，f(x)有最大值f(0)＝e－0－e0＝0.即f(x)的最小值為e－a－ea，最大值為0.

題型二含參數(shù)的函數(shù)的最值問題【例2】已知f(x)＝ax－lnx，a∈R. (1)當(dāng)a＝1時，求曲線f(x)在點(2，f(2))處的切線方程；(2)是否存在實數(shù)a，使f(x)在區(qū)間(0，e]上的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.①當(dāng)a≤0時，f(x)在(0，e]上單調(diào)遞減，綜上，存在實數(shù)a＝e2，使得當(dāng)x∈(0，e]時，f(x)有最小值3.規(guī)律方法對參數(shù)進行討論，其實質(zhì)是討論導(dǎo)函數(shù)大于0，等于0，小于0三種情況.若導(dǎo)函數(shù)恒大于0或小于0，則函數(shù)在已知區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，最值在端點處取得；若導(dǎo)函數(shù)可能等于0，則求出極值點后求極值，再與端點值比較后確定最值.【訓(xùn)練2】已知a∈R，函數(shù)f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在區(qū)間[0，2]上的最大值.解

f′(x)＝3x2－2ax.題型三由函數(shù)的最值求參數(shù)問題【例3】已知函數(shù)f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]時，f(x)的最大值為3，最小值為－29，求a，b的值.解由題設(shè)知a≠0，否則f(x)＝b為常數(shù)，與題設(shè)矛盾.∵f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去).(1)當(dāng)a>0時，列表如下：x－1(－1，0)0(0，2)2f′(x)

＋0－

f(x)－7a＋b

b

－16a＋b由表可知，當(dāng)x＝0時，f(x)取得最大值.∴f(0)＝3，即b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，∴a＝2.(2)當(dāng)a<0時，同理可得，當(dāng)x＝0時，f(x)取得最小值f(0)＝－29，∴b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，∴a＝－2.綜上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.規(guī)律方法已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值(或范圍)是求函數(shù)最值的逆向思維，一般先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值點，探索最值，根據(jù)已知最值列方程(不等式)解決問題.【訓(xùn)練3】已知函數(shù)h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在區(qū)間[k，2]上的最大值是28，求k的取值范圍.解

∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，∴h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，當(dāng)x變化時，h′(x)，h(x)的變化情況如下表：x(－∞，－3)－3(－3，1)1(1，＋∞)h′(x)＋0－0＋h(x)

28

－4

當(dāng)x＝－3時，取極大值28；當(dāng)x＝1時，取極小值－4.而h(2)＝3<h(－3)＝28，如果h(x)在區(qū)間[k，2]上的最大值為28，則k≤－3.所以k的取值范圍為(－∞，－3].一、素養(yǎng)落地1.通過學(xué)習(xí)函數(shù)最值的概念及求解方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).2.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，只需比較極值和端點處的函數(shù)值即可；若函數(shù)在一個開區(qū)間內(nèi)只有一個極值，這個極值就是最值.3.已知最值求參數(shù)時，可先用參數(shù)表示最值，有時需分類討論.二、素養(yǎng)訓(xùn)練1.函數(shù)f(x)＝x3－3x(|x|<1)(

) A.有最大值，但無最小值 B.有最大值，也有最小值 C.無最大值，但有最小值 D.既無最大值，也無最小值

解析f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，當(dāng)x∈(－1，1)時，f′(x)<0，所以f(x)在(－1，1)上是單調(diào)遞減函數(shù)，無最大值和最小值，故選D.

答案D答案C3.已知函數(shù)f(x)＝x3－3x－1，若對于區(qū)間[－3，2]上的任意x1，x2都有|f(x1)－f(x2)|≤t，則實數(shù)t的最小值是(

) A.20 B.18 C.3 D.0

解析因為f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，x∈[－3，2]，所以f(x)在[－1，1]上單調(diào)遞減，在[1，2]和[－3，－1]上單調(diào)遞增.f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在區(qū)間[－3，2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19，又由題設(shè)知在[－3，2]上|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min＝20，所以t≥20，故選A.

答案

A4.函數(shù)f(x)＝x3－3x2－9x＋k在區(qū)間[－4，4]上的最大值為10，則其最小值為________.

解析f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1).

由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.

又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27， f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.

由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5， ∴f(x)min＝k－76＝－71.

答案－715.已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2處取得極值，若m∈[－1，1]，則f(m)的最小值為________.

解析f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2處取得極值知f′(2)＝0.

即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.

由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4. f′(x)＝－3x2＋6x，由此可得f(x)在(－1，0)上單調(diào)遞減，在(0，1)上單調(diào)遞增， ∴當(dāng)m∈[－1，1]時，f(m)min＝f(0)＝－4.

答案－4備用工具&資料4.函數(shù)f(x)＝x3－3x2－9x＋k在區(qū)間[－4，4]上的最大值為10，則其最小值為________.

解析f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1).

由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.

又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27， f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.

由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5， ∴f(x)min＝k－76＝－71.

答案－71答案C【訓(xùn)練1】求下列函數(shù)的最值： (1)f(x)＝2x