高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解+真題測(cè)試專題7.5數(shù)列的綜合應(yīng)用(知識(shí)點(diǎn)講解)(原卷版+解析)

專題7.5數(shù)列的綜合應(yīng)用（知識(shí)點(diǎn)講解）【知識(shí)框架】【核心素養(yǎng)】1.數(shù)列與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化、實(shí)際問題相結(jié)合，考查等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算，凸顯數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．2．?dāng)?shù)列與新定義問題相結(jié)合，考查轉(zhuǎn)化、遷移能力，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．3．?dāng)?shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何等相結(jié)合，考查學(xué)生綜合分析解決問題的能力，凸顯邏輯推理的核心素養(yǎng)．【知識(shí)點(diǎn)展示】（一）數(shù)列與函數(shù)數(shù)列與函數(shù)的綜合問題主要有以下兩類：（1）已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般是利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題；（2）已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對(duì)式子化簡(jiǎn)變形．（二）數(shù)列與不等式1.數(shù)列型不等式的證明常用到“放縮法”，一是在求和中將通項(xiàng)“放縮”為“可求和數(shù)列”；二是求和后再“放縮”．放縮法常見的放縮技巧有：(1)eq\f(1,k2)＜eq\f(1,k2－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k－1)－\f(1,k＋1))).(2)eq\f(1,k)－eq\f(1,k＋1)＜eq\f(1,k2)＜eq\f(1,k－1)－eq\f(1,k).(3)2(eq\r(n＋1)－eq\r(n))＜eq\f(1,\r(n))＜2(eq\r(n)－eq\r(n－1))．2.數(shù)列中不等式恒成立的問題數(shù)列中有關(guān)項(xiàng)或前n項(xiàng)和的恒成立問題，往往轉(zhuǎn)化為數(shù)列的最值問題；求項(xiàng)或前n項(xiàng)和的不等關(guān)系可以利用不等式的性質(zhì)或基本不等式求解．（三）解答數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題的步驟(1)確定模型類型：理解題意，看是哪類數(shù)列模型，一般有等差數(shù)列模型、等比數(shù)列模型、簡(jiǎn)單遞推數(shù)列模型．基本特征如下：等差數(shù)列模型：均勻增加或者減少等比數(shù)列模型：指數(shù)增長(zhǎng)或減少，常見的是增產(chǎn)率問題、存款復(fù)利問題簡(jiǎn)單遞推數(shù)列模型：指數(shù)增長(zhǎng)的同時(shí)又均勻減少．如年收入增長(zhǎng)率為20%，每年年底要拿出a(常數(shù))作為下年度的開銷，即數(shù)列(2)準(zhǔn)確解決模型：解模就是根據(jù)數(shù)列的知識(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)、數(shù)列的和、解方程(組)或者不等式(組)等，在解模時(shí)要注意運(yùn)算準(zhǔn)確．(3)給出問題的回答：實(shí)際應(yīng)用問題最后要把求解的數(shù)學(xué)結(jié)果化為對(duì)實(shí)際問題的答案，在解題中不要忽視了這點(diǎn)．【?？碱}型剖析】題型一：數(shù)列與函數(shù)的綜合例1.（2023·河南·睢縣高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列的首項(xiàng)，函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則通項(xiàng)（

）A． B． C． D．例2.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，．則數(shù)列的前n項(xiàng)和______．例3．(2023·上海·高考真題）根據(jù)預(yù)測(cè)，某地第個(gè)月共享單車的投放量和損失量分別為和（單位：輛），其中，，第個(gè)月底的共享單車的保有量是前個(gè)月的累計(jì)投放量與累計(jì)損失量的差.（1）求該地區(qū)第4個(gè)月底的共享單車的保有量；（2）已知該地共享單車停放點(diǎn)第個(gè)月底的單車容納量（單位：輛）.設(shè)在某月底，共享單車保有量達(dá)到最大，問該保有量是否超出了此時(shí)停放點(diǎn)的單車容納量？【溫馨提醒】解題時(shí)要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運(yùn)用函數(shù)的思想方法求解，在問題的求解過程中往往會(huì)遇到數(shù)列的求和、和的最值，利用函數(shù)性質(zhì)或不等式性質(zhì)求解較為常規(guī)．題型二：數(shù)列與不等式的綜合例4.（2023·浙江·高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例5.（2023·天津·高考真題）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．（I）求和的通項(xiàng)公式；（II）記，（i）證明是等比數(shù)列；（ii）證明例6.（2023·全國(guó)·高考真題（文））設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．【溫馨提醒】數(shù)列與不等式的結(jié)合，除應(yīng)熟練掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，關(guān)于不等式證明、不等式恒成立問題的處理方法亦應(yīng)靈活運(yùn)用.題型三：數(shù)列與實(shí)際應(yīng)用問題例7．【多選題】(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）參加工作年的小郭，因工作需要向銀行貸款萬元購(gòu)買一臺(tái)小汽車，與銀行約定：這萬元銀行貸款分年還清，貸款的年利率為，每年還款數(shù)為萬元，則（

）A． B．小郭第年還款的現(xiàn)值為萬元C．小郭選擇的還款方式為“等額本金還款法” D．小郭選擇的還款方式為“等額本息還款法”例8.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某集團(tuán)公司有一下屬企業(yè)A從事一種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn).A企業(yè)第一年年初有資金2000萬元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長(zhǎng)了40%，預(yù)計(jì)以后每年資金年增長(zhǎng)率與第一年的相同.集團(tuán)公司要求A企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金t萬元（），并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設(shè)第n年年底A企業(yè)上繳資金后的剩余資金為萬元.則（）A． B．C． D．當(dāng)時(shí)，【總結(jié)提升】1.與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動(dòng)向，這類問題的特點(diǎn)是通過現(xiàn)實(shí)生活的事例考查書本知識(shí)，解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題，只有吃透題意，才能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.2.等比數(shù)列最值有關(guān)問題的解題思路：求解此類問題的常用思路是根據(jù)題目所給條件建立關(guān)于變量n的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解．有時(shí)也注意基本不等式的應(yīng)用．題型四：數(shù)列的“新定義”問題例9．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)于數(shù)列，定義為數(shù)列的“加權(quán)和”，已知某數(shù)列的“加權(quán)和”，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)p的取值范圍為（

）A． B． C． D．例10．(2023·江西撫州·高二階段練習(xí)（理））對(duì)大于1的自然數(shù)m的三次冪可用奇數(shù)進(jìn)行以下形式的“分裂”：，，，…仿此，若的“分裂數(shù)”中有一個(gè)是1111，則m的值為（

）A．32 B．33 C．34 D．35例11.(2023·河南開封·高二期末（理））若數(shù)列中不超過的項(xiàng)數(shù)恰為，則稱數(shù)列是數(shù)列的生成數(shù)列，稱相應(yīng)的函數(shù)是數(shù)列生成的控制函數(shù).已知，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．例12.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）定義：對(duì)于任意一個(gè)有窮數(shù)列，第一次在其每相鄰的兩項(xiàng)間都插人這兩項(xiàng)的和，得到的新數(shù)列稱之為一階和數(shù)列，如果在一階和數(shù)列的基礎(chǔ)上再在其相鄰的兩項(xiàng)間插入這兩項(xiàng)的和稱之為二階和數(shù)列，以此類推可以得到n階和數(shù)列，如的一階和數(shù)列是，設(shè)它的n階和數(shù)列各項(xiàng)和為．(1)試求的二階和數(shù)列各項(xiàng)和與三階和數(shù)列各項(xiàng)和，并猜想的通項(xiàng)公式（無需證明）；(2)若，求的前n項(xiàng)和，并證明：．【溫馨提醒】立足于“轉(zhuǎn)化”，將新定義問題轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列、等比數(shù)列問題求解.題型五：數(shù)列與解析幾何例12．（2023·浙江·高考真題）已知，函數(shù).若成等比數(shù)列，則平面上點(diǎn)的軌跡是（

）A．直線和圓 B．直線和橢圓 C．直線和雙曲線 D．直線和拋物線例13．(2023山東，理19）已知{xn}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1+x2=3，x3-x2=2（Ⅰ）求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，依次連接點(diǎn)P1(x1,1)，P2(x2,2)…Pn+1(xn+1,n+1)得到折線P1P2…Pn+1，求由該折線與直線y=0，所圍成的區(qū)域的面積.題型六：數(shù)列與傳統(tǒng)文化例14.(2023·云南師大附中模擬預(yù)測(cè)（理））《九章算術(shù)》是我國(guó)秦漢時(shí)期一部杰出的數(shù)學(xué)著作，書中第三章“衰分”有如下問題：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百錢.欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次變低）5個(gè)人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數(shù)成遞增等差數(shù)列，這5個(gè)人各出多少錢?”在這個(gè)問題中，若不更出17錢，則公士出的錢數(shù)為（

）A．10 B．14 C．23 D．26例15.(2023·山東青島·一模）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有人持金出五關(guān)，前關(guān)二稅一，次關(guān)三而稅一，次關(guān)四而稅一，次關(guān)五而稅一，次關(guān)六而稅一，并五關(guān)所稅，適重一斤．問本持金幾何？”其意思為“今有人持金出五關(guān)，第1關(guān)收稅金為持金的，第2關(guān)收稅金為剩余金的，第3關(guān)收稅金為剩余金的，第4關(guān)收稅金為剩余金的，第5關(guān)收稅金為剩余金的，5關(guān)所收稅金之和恰好重1斤．問原來持金多少？”．記這個(gè)人原來持金為斤，設(shè)，則（

）A． B．7 C．13 D．26例16.(2023·全國(guó)·高考真題（理））我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（）A．1盞 B．3盞C．5盞 D．9盞【總結(jié)提升】理解題意，構(gòu)造數(shù)列，應(yīng)用數(shù)列模型解題．專題7.5數(shù)列的綜合應(yīng)用（知識(shí)點(diǎn)講解）【知識(shí)框架】【核心素養(yǎng)】1.數(shù)列與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化、實(shí)際問題相結(jié)合，考查等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算，凸顯數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．2．?dāng)?shù)列與新定義問題相結(jié)合，考查轉(zhuǎn)化、遷移能力，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．3．?dāng)?shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何等相結(jié)合，考查學(xué)生綜合分析解決問題的能力，凸顯邏輯推理的核心素養(yǎng)．【知識(shí)點(diǎn)展示】（一）數(shù)列與函數(shù)數(shù)列與函數(shù)的綜合問題主要有以下兩類：（1）已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般是利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題；（2）已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對(duì)式子化簡(jiǎn)變形．（二）數(shù)列與不等式1.數(shù)列型不等式的證明常用到“放縮法”，一是在求和中將通項(xiàng)“放縮”為“可求和數(shù)列”；二是求和后再“放縮”．放縮法常見的放縮技巧有：(1)eq\f(1,k2)＜eq\f(1,k2－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k－1)－\f(1,k＋1))).(2)eq\f(1,k)－eq\f(1,k＋1)＜eq\f(1,k2)＜eq\f(1,k－1)－eq\f(1,k).(3)2(eq\r(n＋1)－eq\r(n))＜eq\f(1,\r(n))＜2(eq\r(n)－eq\r(n－1))．2.數(shù)列中不等式恒成立的問題數(shù)列中有關(guān)項(xiàng)或前n項(xiàng)和的恒成立問題，往往轉(zhuǎn)化為數(shù)列的最值問題；求項(xiàng)或前n項(xiàng)和的不等關(guān)系可以利用不等式的性質(zhì)或基本不等式求解．（三）解答數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題的步驟(1)確定模型類型：理解題意，看是哪類數(shù)列模型，一般有等差數(shù)列模型、等比數(shù)列模型、簡(jiǎn)單遞推數(shù)列模型．基本特征如下：等差數(shù)列模型：均勻增加或者減少等比數(shù)列模型：指數(shù)增長(zhǎng)或減少，常見的是增產(chǎn)率問題、存款復(fù)利問題簡(jiǎn)單遞推數(shù)列模型：指數(shù)增長(zhǎng)的同時(shí)又均勻減少．如年收入增長(zhǎng)率為20%，每年年底要拿出a(常數(shù))作為下年度的開銷，即數(shù)列(2)準(zhǔn)確解決模型：解模就是根據(jù)數(shù)列的知識(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)、數(shù)列的和、解方程(組)或者不等式(組)等，在解模時(shí)要注意運(yùn)算準(zhǔn)確．(3)給出問題的回答：實(shí)際應(yīng)用問題最后要把求解的數(shù)學(xué)結(jié)果化為對(duì)實(shí)際問題的答案，在解題中不要忽視了這點(diǎn)．【常考題型剖析】題型一：數(shù)列與函數(shù)的綜合例1.（2023·河南·睢縣高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列的首項(xiàng)，函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則通項(xiàng)（

）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：由奇偶性定義可判斷出為偶函數(shù)，由此可確定唯一零點(diǎn)為，從而得到遞推關(guān)系式；利用遞推關(guān)系式可證得數(shù)列為等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可推導(dǎo)得到.【詳解】，為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，的零點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，又有唯一零點(diǎn)，的零點(diǎn)為，即，，即，又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，則.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)與數(shù)列的綜合應(yīng)用問題；解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)奇偶性的性質(zhì)確定函數(shù)的唯一零點(diǎn)為，從而結(jié)合零點(diǎn)確定數(shù)列的遞推關(guān)系式，由遞推關(guān)系式證得數(shù)列為等比數(shù)列.例2.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，．則數(shù)列的前n項(xiàng)和______．答案：【解析】分析：由題設(shè)，討論n的奇偶性求的通項(xiàng)公式，再求.【詳解】由題設(shè)，，所以，即且n≥2，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故答案為：.例3．(2023·上海·高考真題）根據(jù)預(yù)測(cè)，某地第個(gè)月共享單車的投放量和損失量分別為和（單位：輛），其中，，第個(gè)月底的共享單車的保有量是前個(gè)月的累計(jì)投放量與累計(jì)損失量的差.（1）求該地區(qū)第4個(gè)月底的共享單車的保有量；（2）已知該地共享單車停放點(diǎn)第個(gè)月底的單車容納量（單位：輛）.設(shè)在某月底，共享單車保有量達(dá)到最大，問該保有量是否超出了此時(shí)停放點(diǎn)的單車容納量？答案：（1）935；（2）見解析.【解析】【詳解】試題分析：（1）計(jì)算和的前項(xiàng)和的差即可得出答案；（2）令得出，再計(jì)算第個(gè)月底的保有量和容納量即可得出結(jié)論.試題分析：（1）（2），即第42個(gè)月底，保有量達(dá)到最大，∴此時(shí)保有量超過了容納量.【溫馨提醒】解題時(shí)要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運(yùn)用函數(shù)的思想方法求解，在問題的求解過程中往往會(huì)遇到數(shù)列的求和、和的最值，利用函數(shù)性質(zhì)或不等式性質(zhì)求解較為常規(guī)．題型二：數(shù)列與不等式的綜合例4.（2023·浙江·高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.答案：（1）；（2）.【解析】分析：（1）由，結(jié)合與的關(guān)系，分討論，得到數(shù)列為等比數(shù)列，即可得出結(jié)論；（2）由結(jié)合的結(jié)論，利用錯(cuò)位相減法求出，對(duì)任意恒成立，分類討論分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為與關(guān)于的函數(shù)的范圍關(guān)系，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，由①，得②，①②得，又是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，；（2）由，得，所以，，兩式相減得，所以，由得恒成立，即恒成立，時(shí)不等式恒成立；時(shí)，，得；時(shí)，，得；所以.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）已知求不要忽略情況；（2）恒成立分離參數(shù)時(shí)，要注意變量的正負(fù)零討論，如（2）中恒成立，要對(duì)討論，還要注意時(shí)，分離參數(shù)不等式要變號(hào).例5.（2023·天津·高考真題）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．（I）求和的通項(xiàng)公式；（II）記，（i）證明是等比數(shù)列；（ii）證明答案：（I），；（II）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.【解析】分析：（I）由等差數(shù)列的求和公式運(yùn)算可得的通項(xiàng)，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式運(yùn)算可得的通項(xiàng)公式；（II）（i）運(yùn)算可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得證；（ii）放縮得，進(jìn)而可得，結(jié)合錯(cuò)位相減法即可得證.【詳解】（I）因?yàn)槭枪顬?的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．所以，所以，所以；設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以，解得（負(fù)值舍去），所以；（II）（i）由題意，，所以，所以，且，所以數(shù)列是等比數(shù)列；（ii）由題意知，，所以，所以，設(shè)，則，兩式相減得，所以，所以.例6.（2023·全國(guó)·高考真題（文））設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．答案：（1），；（2）證明見解析.【解析】分析：（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及得到，解方程即可；（2）利用公式法、錯(cuò)位相減法分別求出，再作差比較即可.【詳解】（1）因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）[方法一]：作差后利用錯(cuò)位相減法求和，，．設(shè)，

⑧則．

⑨由⑧-⑨得．所以．因此．故．[方法二]【最優(yōu)解】：公式法和錯(cuò)位相減求和法證明：由（1）可得，，①，②①②得，所以，所以，所以.[方法三]：構(gòu)造裂項(xiàng)法由（Ⅰ）知，令，且，即，通過等式左右兩邊系數(shù)比對(duì)易得，所以．則，下同方法二．[方法四]：導(dǎo)函數(shù)法設(shè)，由于，則．又，所以，下同方法二．【整體點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時(shí)采用作差法，或者作商法要根據(jù)式子得結(jié)構(gòu)類型靈活選擇，關(guān)鍵是要看如何消項(xiàng)化簡(jiǎn)的更為簡(jiǎn)潔.（2）的方法一直接作差后利用錯(cuò)位相減法求其部分和，進(jìn)而證得結(jié)論；方法二根據(jù)數(shù)列的不同特點(diǎn)，分別利用公式法和錯(cuò)位相減法求得,然后證得結(jié)論,為最優(yōu)解；方法三采用構(gòu)造數(shù)列裂項(xiàng)求和的方法，關(guān)鍵是構(gòu)造，使，求得的表達(dá)式，這是錯(cuò)位相減法的一種替代方法，方法四利用導(dǎo)數(shù)方法求和，也是代替錯(cuò)位相減求和法的一種方法.【溫馨提醒】數(shù)列與不等式的結(jié)合，除應(yīng)熟練掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，關(guān)于不等式證明、不等式恒成立問題的處理方法亦應(yīng)靈活運(yùn)用.題型三：數(shù)列與實(shí)際應(yīng)用問題例7．【多選題】(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）參加工作年的小郭，因工作需要向銀行貸款萬元購(gòu)買一臺(tái)小汽車，與銀行約定：這萬元銀行貸款分年還清，貸款的年利率為，每年還款數(shù)為萬元，則（

）A． B．小郭第年還款的現(xiàn)值為萬元C．小郭選擇的還款方式為“等額本金還款法” D．小郭選擇的還款方式為“等額本息還款法”答案：BD【解析】分析：因?yàn)樾」磕赀€款錢數(shù)相等，所以小郭選擇為“等額本息還款法”，所以利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求出，再設(shè)小郭第3年還款的現(xiàn)值為，根據(jù)復(fù)利規(guī)則求出．【詳解】解：小郭與銀行約定，每年還一次欠款，并且每年還款的錢數(shù)都相等，小郭靖選擇的還款方式為“等額本息還款法”，故D正確，C錯(cuò)誤，設(shè)每年應(yīng)還元，還款10次，則該人10年還款的現(xiàn)金與利息和為，銀行貸款元10年后的本利和為．，，即，故A錯(cuò)誤．設(shè)小郭第三年還款的現(xiàn)值為，則，所以，故B正確；故選：BD例8.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某集團(tuán)公司有一下屬企業(yè)A從事一種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn).A企業(yè)第一年年初有資金2000萬元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長(zhǎng)了40%，預(yù)計(jì)以后每年資金年增長(zhǎng)率與第一年的相同.集團(tuán)公司要求A企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金t萬元（），并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設(shè)第n年年底A企業(yè)上繳資金后的剩余資金為萬元.則（）A． B．C． D．當(dāng)時(shí)，答案：BC【解析】先求得第一年年底剩余資金，第二年底剩余資金，即可判斷A的正誤；分析總結(jié)，可得與的關(guān)系，即可判斷B的正誤；根據(jù)題意，求得的表達(dá)式，利用作差法即可比較與的大小，即可判斷C的正誤，代入，即可求得，即可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】第一年年底剩余資金，第二年底剩余資金，故A錯(cuò)誤；第三年底剩余資金，所以第n+1年年底剩余資金為，故B正確；因?yàn)?=，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，故C正確；當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤；故選：BC【總結(jié)提升】1.與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動(dòng)向，這類問題的特點(diǎn)是通過現(xiàn)實(shí)生活的事例考查書本知識(shí)，解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題，只有吃透題意，才能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.2.等比數(shù)列最值有關(guān)問題的解題思路：求解此類問題的常用思路是根據(jù)題目所給條件建立關(guān)于變量n的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解．有時(shí)也注意基本不等式的應(yīng)用．題型四：數(shù)列的“新定義”問題例9．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)于數(shù)列，定義為數(shù)列的“加權(quán)和”，已知某數(shù)列的“加權(quán)和”，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)p的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：根據(jù)與的關(guān)系求出，再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求出，將化為對(duì)任意的恒成立，分類討論可求出結(jié)果.【詳解】由，∴時(shí),，∴，∴，時(shí)，也成立，∴，∴數(shù)列的前n項(xiàng)和為：，∵對(duì)任意的恒成立，∴，即，即，即，即，即對(duì)任意的恒成立，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，因?yàn)?，∴，所以，?dāng)時(shí)，恒成立，，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，因?yàn)椋?，所以，綜上可得：實(shí)數(shù)p的取值范圍為．故選：A．例10．(2023·江西撫州·高二階段練習(xí)（理））對(duì)大于1的自然數(shù)m的三次冪可用奇數(shù)進(jìn)行以下形式的“分裂”：，，，…仿此，若的“分裂數(shù)”中有一個(gè)是1111，則m的值為（

）A．32 B．33 C．34 D．35答案：B【解析】分析：根據(jù)分裂數(shù)的定義，求出從到、從到分裂數(shù)個(gè)數(shù)，再根據(jù)所有分裂數(shù)成等差數(shù)列求出對(duì)應(yīng)的位置，進(jìn)而根據(jù)不等式求m值.【詳解】由題意，對(duì)于，它們依次對(duì)應(yīng)2、3、…、m個(gè)分裂數(shù)，則從到各分裂數(shù)個(gè)數(shù)的和為，從到各分裂數(shù)個(gè)數(shù)和為，又的分裂數(shù)，構(gòu)成首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，所以，令，可得，所以，當(dāng)時(shí)，不符合；當(dāng)時(shí)，，符合；當(dāng)時(shí)，不符合；綜上，.故選：B例11.(2023·河南開封·高二期末（理））若數(shù)列中不超過的項(xiàng)數(shù)恰為，則稱數(shù)列是數(shù)列的生成數(shù)列，稱相應(yīng)的函數(shù)是數(shù)列生成的控制函數(shù).已知，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：分析可知對(duì)任意的，當(dāng)，滿足的項(xiàng)數(shù)為，即，滿足條件的的個(gè)數(shù)為，進(jìn)而可求得的值.【詳解】因?yàn)?，由題中定義，對(duì)任意的，當(dāng)，滿足的項(xiàng)數(shù)為，即，滿足條件的的個(gè)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)滿足條件的的個(gè)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)滿足條件的的個(gè)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)滿足條件的的個(gè)數(shù)為，因此，.故選：A.例12.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）定義：對(duì)于任意一個(gè)有窮數(shù)列，第一次在其每相鄰的兩項(xiàng)間都插人這兩項(xiàng)的和，得到的新數(shù)列稱之為一階和數(shù)列，如果在一階和數(shù)列的基礎(chǔ)上再在其相鄰的兩項(xiàng)間插入這兩項(xiàng)的和稱之為二階和數(shù)列，以此類推可以得到n階和數(shù)列，如的一階和數(shù)列是，設(shè)它的n階和數(shù)列各項(xiàng)和為．(1)試求的二階和數(shù)列各項(xiàng)和與三階和數(shù)列各項(xiàng)和，并猜想的通項(xiàng)公式（無需證明）；(2)若，求的前n項(xiàng)和，并證明：．答案：(1)，，(2)，證明見解析【解析】分析：(1)根據(jù)定義求出的二階和數(shù)列各項(xiàng)和與三階和數(shù)列各項(xiàng)和，由此歸納出，(2)由(1)化簡(jiǎn)，再由裂項(xiàng)相消法求其前項(xiàng)和，并完成證明.(1)由題意得，，，，，…，由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得，，所以的通項(xiàng)公式．(2)由于，所以，則，因?yàn)椋?，所以，又隨n的增大而減小，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，故．【溫馨提醒】立足于“轉(zhuǎn)化”，將新定義問題轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列、等比數(shù)列問題求解.題型五：數(shù)列與解析幾何例12．（2023·浙江·高考真題）已知，函數(shù).若成等比數(shù)列，則平面上點(diǎn)的軌跡是（

）A．直線和圓 B．直線和橢圓 C．直線和雙曲線 D．直線和拋物線答案：C【解析】分析：首先利用等比數(shù)列得到等式，然后對(duì)所得的等式進(jìn)行恒等變形即可確定其軌跡方程.【詳解】由題意得，即，對(duì)其進(jìn)行整理變形：，，，，所以或，其中為雙曲線，為直線.故選：C.例13．(2023山東，理19）已知{xn}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1+x2=3，x3-x2=2（Ⅰ）求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，依次連接點(diǎn)P1(x1,1)，P2(x2,2)…Pn+1(xn+1,n+1)得到折線P1P2…Pn+1，求由該折線與直線y=0，所圍成的區(qū)域的面積.答案：(I)（II）（II）過……向軸作垂線，垂足分別為……,由(I)得記梯形的面積為.由題意，所以……+=……+=1\*