高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型講解+專題訓(xùn)練(新高考專用)專題01集合(原卷版+解析)

2023高考一輪復(fù)習(xí)講與練01集合練高考明方向1、【2022年新高考I卷】若集合，，則 A. B. C. D.2、【2022年新高考II卷】3、【2022年全國(guó)甲卷理科】4、【2022年全國(guó)甲卷文科】設(shè)集合，則（）A. B. C. D.5、【2022年全國(guó)乙卷文科】6.集合，則（）A. B. C. D.7．(2023年高考全國(guó)乙卷理科)已知集合，，則 ()A． B． C． D．8．(2023年高考全國(guó)甲卷理科)設(shè)集合，則 ()A． B． C． D．9．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)設(shè)集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，則a ()A．–4 B．–2 C．2 D．410．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)已知集合U={?2，?1，0，1，2，3}，A={?1，0，1}，B={1，2}，則()A．{?2，3} B．{?2，2，3} C．{?2，?1，0，3} D．{?2，?1，0，2，3}11．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為 ()A．2 B．3 C．4 D．6講典例備高考集合集合含義集合集合含義集合之間的關(guān)系集合的運(yùn)算集合的新定義問(wèn)題由集合關(guān)系求參數(shù)范圍件集合中的分類討論集合中的數(shù)形結(jié)合集合的表示集合集合的表示集合與充要條件交匯類型一、集合的含義(1)元素的特性:確定性、互異性、無(wú)序性(2)注意集合元素的互異性，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性．(3)解決集合含義問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)：確定構(gòu)成集合的元素；確定元素的限制條件．1．現(xiàn)有以下說(shuō)法，其中正確的是（）①接近于0的數(shù)的全體構(gòu)成一個(gè)集合；②正方體的全體構(gòu)成一個(gè)集合；③未來(lái)世界的高科技產(chǎn)品構(gòu)成一個(gè)集合；④不大于3的所有自然數(shù)構(gòu)成一個(gè)集合．A．①② B．②③ C．③④ D．②④2．以方程x2﹣5x+6＝0和方程x2﹣x﹣2＝0的解為元素的集合為（）A．{2，3，1} B．{2，3，﹣1} C．{2，3，﹣2，1} D．{﹣2，﹣3，1}3．（多選題）已知集合，且，則實(shí)數(shù)的可能值為（）A． B． C． D．4．已知a，b，c均為非零實(shí)數(shù)，集合，則集合A的元素的個(gè)數(shù)有_______個(gè).類型二、集合的表示(1)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法．(2)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類型，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他類型集合．(3)五個(gè)特定的集合：集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)eq\a\vs4\al(N)N*或N＋eq\a\vs4\al(Z)eq\a\vs4\al(Q)eq\a\vs4\al(R)1．下列各組中的M、P表示同一集合的是①，；②，；③，；④，.A．① B．② C．③ D．④2．用列舉法可以將集合使方程有唯一實(shí)數(shù)解表示為（）A． B． C． D．或3．由大于﹣3且小于11的偶數(shù)所組成的集合是（）A．{x|﹣3＜x＜11，x∈Q}B．{x|﹣3＜x＜11}C．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈N}D．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z}4．（多選題）下列說(shuō)法中不正確的是（）A．與表示同一個(gè)集合B．集合＝與＝表示同一個(gè)集合C．方程＝的所有解的集合可表示為D．集合不能用列舉法表示5．集合且，用列舉法表示集合________類型三、集合之間的關(guān)系(1)集合之間的基本關(guān)系表示關(guān)系文字語(yǔ)言記法集合間的基本關(guān)系子集集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素A?B或B?A真子集如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?AAB或BA相等集合A中的每一個(gè)元素都是集合B中的元素，集合B中的每一個(gè)元素也都是集合A中的元素A?B且B?A?A＝B空集空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集(2)子集個(gè)數(shù)的求解方法窮舉法：將集合的子集一一列舉出來(lái)，從而得到子集的個(gè)數(shù)，適用于集合中元素個(gè)數(shù)較少的情況．公式法：含有n個(gè)元素的集合的子集個(gè)數(shù)是2n，真子集的個(gè)數(shù)是2n－1，非空真子集的個(gè)數(shù)是2n－2.(3)判斷集合間關(guān)系的常用方法列舉法根據(jù)題中限定條件把集合元素表示出來(lái)，然后比較集合元素的異同，從而找出集合之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)法從元素的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)入手，結(jié)合通分、化簡(jiǎn)、變形等技巧，從元素結(jié)構(gòu)上找差異進(jìn)行判斷數(shù)軸法在同一個(gè)數(shù)軸上表示出兩個(gè)集合(集合為數(shù)集)，比較端點(diǎn)之間的大小關(guān)系，從而確定集合與集合之間的關(guān)系1．已知集合，、、為非零實(shí)數(shù)}，則的子集個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．2．（多選題）下面給出的幾個(gè)關(guān)系中正確的是（）A． B．C． D．3．（多選題）已知集合，，則下列命題中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則或 D．若時(shí)，則或4．滿足的集合M有______個(gè).5．含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合既可表示成，又可表示成，則_______．類型四、集合的運(yùn)算(1)集合的運(yùn)算語(yǔ)言表示圖形表示符號(hào)語(yǔ)言并集所有屬于集合A或者屬于集合B的元素組成的集合A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}交集所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}補(bǔ)集若全集為U，則集合A的補(bǔ)集為?UA?UA＝{x|x∈U，且x?A}(2)集合的基本運(yùn)算問(wèn)題的解題策略①看元素組成．集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決運(yùn)算問(wèn)題的前提．②對(duì)集合化簡(jiǎn)．有些集合是可以化簡(jiǎn)的，如果先化簡(jiǎn)再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了，易于解決．③數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．集合運(yùn)算常用的數(shù)形結(jié)合形式有：數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖．1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．2．若集合，，則（）A． B． C． D．3．（多選題）已知集合，集合，集合，則（

）A． B．C． D．4．（多選題）已知，集合B∩(?UA)=?，則A． B． C．0 D．15．（多選題）已知全集U的兩個(gè)非空真子集A，B滿足?UA． B．C． D．?U6．已知全集，集合，，則下列說(shuō)法正確的是____．（填序號(hào)）① ②④?UA∩B=?1類型五、集合的新定義問(wèn)題1．已知全集，集合，，則如圖中陰影部分所表示的集合為（）A． B． C． D．2．（多選題）若集合具有以下性質(zhì)：（1），；（2）若、y∈A，則，且時(shí)，.則稱集合是“完美集”.下列說(shuō)法正確的是（）A．集合是“完美集”B．有理數(shù)集是“完美集”C．設(shè)集合是“完美集”，、y∈A，則D．設(shè)集合是“完美集”，若、y∈A且，則3．（多選題）給定數(shù)集M，若對(duì)于任意a，，有，且，則稱集合M為閉集合，則下列說(shuō)法中不正確的是（

）A．集合為閉集合B．正整數(shù)集是閉集合C．集合為閉集合D．若集合為閉集合，則為閉集合4．規(guī)定與是兩個(gè)運(yùn)算符號(hào)，其運(yùn)算法則如下，對(duì)任意實(shí)數(shù)有:,.若且,則用列舉法表示集合__________．類型六、由集合關(guān)系求參數(shù)范圍根據(jù)集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)的值或取值范圍的的四個(gè)注意點(diǎn)：(1)注意兩個(gè)轉(zhuǎn)化：A∩B＝A?A?B；A∪B＝A?B?A.(2)注意空集的特殊性①若B?A，則分B＝?和B≠?兩類進(jìn)行討論．②若A∩B＝?，則集合A，B可能的情況有：A，B均為空集；A與B中只有一個(gè)空集；A，B雖然均為非空集合但無(wú)公共元素．(3)注意結(jié)合數(shù)軸分析端點(diǎn)值的大?。?4)注意對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，以避免集合中元素重復(fù)．1．（多選題）已知集合，，則下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則或 D．若，則2．已知集合，若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.3．已知全集，集合，.（1）求；（2）若集合，滿足，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4．已知全集，集合，，.（1）求?UA∩B；（2）若，求類型七、集合的中的分類討論在涉及集合之間的關(guān)系時(shí)，若未指明集合非空，則要考慮空集的可能性，如若A?B，則要考慮A＝?和A≠?兩種可能．1．已知集合，集合，若，則（）A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或32．（多選題）設(shè)，，若，則實(shí)數(shù)a的值可以為（）A． B．0 C．3 D．3．已知全集，集合，B=x?5≤?x≤2，（1）求，B∪?（2）已知集合，若B∪?UM4．已知集合，．（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．5．設(shè)集合A={x∣?3x+2=0}，B={x∣+2(a+1)x+?5=0}（1）若A∩B={2}，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若U=R，A∩(?UB)=A.求實(shí)數(shù)a類型八、集合的中的數(shù)形結(jié)合1．下圖中矩形表示集合U，A，B是U的兩個(gè)子集，則不能表示陰影部分的是（）A．?UA∩BC． D．2．已知集合，則（）A．或 B．或C．或， D．或，3．（多選題）已知集合A，，全集為，下列結(jié)論正確的有（）A．若，則，且；B．若，則；C．D．集合的真子集有6個(gè).4．集合，，，則圖中陰影部分所表示的集合是_________．5．已知集合或，（1）若，求，?RA∩（2）若，求m值范圍.類型九、集合與充要條件交匯1．（多選題）已知集合，集合，則的一個(gè)充分不必要條件是（）A． B． C． D．2．（多選題）已知P=x?2≤x≤10，集合．若是的必要條件，則實(shí)數(shù)mA． B．1 C．3 D．53．已知集合，集合．（1）當(dāng)時(shí)，求和；（2）若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．4．已知命題“關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”是假命題.（1）求實(shí)數(shù)m的取值集合；（2）設(shè)集合，若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.新預(yù)測(cè)破高考1．（多選題）已知全集，集合，則關(guān)于的表達(dá)方式正確的有（

）A． B．C． D．2．設(shè)集合，，，則（）A． B． C． D．3．集合，，則（）A． B． C． D．4．下列說(shuō)法正確的是（）A．方程的解集為B．集合與是相等的C．若，則D．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，第一、三象限的點(diǎn)的集合為5．已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．－2 B．2C．4 D．2或46．已知P={x|a-4<x<a+4}，Q={x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．-1≤a≤5 B．-1<a≤5C．-2≤a≤3 D．-2≤a<37．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的范圍是（）A． B． C． D．8．（設(shè)集合，則（）A．2 B．3 C．5 D．69．若集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．10．集合，則集合的子集個(gè)數(shù)為（）A．4個(gè) B．8個(gè) C．15個(gè) D．16個(gè)11．已知全集,集合和關(guān)系的韋恩圖如圖所示，則陰影部分所表示集合中的元素共有A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．無(wú)數(shù)個(gè)12．設(shè)集合，若，，?UA∩?UBA．且B．且 C．且 D．且13．集合，，.如果，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．14．已知集合,,若,則與的關(guān)系是（）A．或 B． C． D．不能確定15．如圖所示，A，B是非空集合，定義集合A#B為陰影部分表示的集合.若x，y∈R，A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝3x,x>0}，則A#B為（）A．{x|0<x<2} B．{x|1<x≤2}C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|x=0或x>2}已知集合S＝{0,1,2,3,4,5}，A是S的一個(gè)子集，當(dāng)x∈A時(shí)，若有x－1?A，且x＋1?A，則稱x為A的一個(gè)“孤立元素”，那么S中無(wú)“孤立元素”的4個(gè)元素的子集共有________個(gè)。17．已知，，且，則____，_____.18．設(shè)集合，集合，則=______.19．定義且，若，，則的子集個(gè)數(shù)為_______________，非空真子集個(gè)數(shù)為_______________.20．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若集合，集合，則______．21．已知關(guān)于的不等式的解集為.若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．22．已知集合，，則?UA∩B23．已知集合，，若，則的取值范圍為____．24．已知，，若，求的取值范圍.25．已知集合或，（1）若，求，?RA∩?RB；（2）若26．已知集合，集合．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．27．已知，.（1）當(dāng)時(shí)，求集合；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使“”是“”必要不充分條件，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.2023高考一輪復(fù)習(xí)講與練01集合練高考明方向1、【2022年新高考I卷】若集合，，則 A. B. C. D.2、【2022年新高考II卷】3、【2022年全國(guó)甲卷理科】4、【2022年全國(guó)甲卷文科】設(shè)集合，則（）A. B. C. D.答案：A【詳解】因?yàn)椋?，所以?、【2022年全國(guó)乙卷文科】6.集合，則（）A. B. C. D.答案：A【詳解】因?yàn)椋?，所以?．(2023年高考全國(guó)乙卷理科)已知集合，，則 ()A． B． C． D．答案：C解析：任取，則，其中，所以，，故，因此，．故選：C．8．(2023年高考全國(guó)甲卷理科)設(shè)集合，則 ()A． B． C． D．答案：B解析：因?yàn)?，所?故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題，在高考中要求不高，掌握集合的交并補(bǔ)的基本概念即可求解．9．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)設(shè)集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，則a= ()A．–4 B．–2 C．2 D．4答案：B【解析】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：．由于，故：，解得：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查交集的運(yùn)算，不等式的解法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力．10．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)已知集合U={?2，?1，0，1，2，3}，A={?1，0，1}，B={1，2}，則 ()A．{?2，3} B．{?2，2，3} C．{?2，?1，0，3} D．{?2，?1，0，2，3}答案：A解析：由題意可得：，則．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查并集、補(bǔ)集的定義與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．11．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為 ()A．2 B．3 C．4 D．6答案：C解析：由題意，中的元素滿足，且，由，得，所以滿足的有，故中元素的個(gè)數(shù)為4．故選：C．【點(diǎn)晴】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，考查學(xué)生對(duì)交集定義的理解，是一道容易題．集合集合含義集合集合含義集合之間的關(guān)系集合的運(yùn)算集合的新定義問(wèn)題由集合關(guān)系求參數(shù)范圍件集合中的分類討論集合中的數(shù)形結(jié)合集合的表示集合集合的表示集合與充要條件交匯類型一、集合的含義(1)元素的特性:確定性、互異性、無(wú)序性(2)注意集合元素的互異性，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性．(3)解決集合含義問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)：確定構(gòu)成集合的元素；確定元素的限制條件．1．現(xiàn)有以下說(shuō)法，其中正確的是（）①接近于0的數(shù)的全體構(gòu)成一個(gè)集合；②正方體的全體構(gòu)成一個(gè)集合；③未來(lái)世界的高科技產(chǎn)品構(gòu)成一個(gè)集合；④不大于3的所有自然數(shù)構(gòu)成一個(gè)集合．A．①② B．②③ C．③④ D．②④答案：D【解析】在①中，接近于0的標(biāo)準(zhǔn)不明確，不滿足集合中元素的確定性，不能構(gòu)成一個(gè)集合，故①錯(cuò)誤；在②中，正方體的全體能構(gòu)成一個(gè)集合，故②正確；在③中，未來(lái)世界的高科技產(chǎn)品不能構(gòu)成一個(gè)集合，高科技的標(biāo)準(zhǔn)不明確，不滿足集合中元素的確定性，故③錯(cuò)誤；在④中，不大于3的所有自然數(shù)能構(gòu)成一個(gè)集合，故④正確．故選D．2．以方程x2﹣5x+6＝0和方程x2﹣x﹣2＝0的解為元素的集合為（）A．{2，3，1} B．{2，3，﹣1} C．{2，3，﹣2，1} D．{﹣2，﹣3，1}答案：B【解析】解方程x2﹣5x+6＝0，得x＝2，或x＝3，解方程x2﹣x﹣2＝0，得x＝﹣1或x＝2，∴以方程x2﹣5x+6＝0和方程x2﹣x﹣2＝0的解為元素的集合為{2，3，﹣1}．故選：B3．（多選題）已知集合，且，則實(shí)數(shù)的可能值為（）A． B． C． D．答案：ABD【詳解】已知集合且，則或，解得或或.若，則，合乎題意；若，則，合乎題意；若，則，合乎題意.綜上所述，或或.4．已知a，b，c均為非零實(shí)數(shù)，集合，則集合A的元素的個(gè)數(shù)有_______個(gè).答案：2【解析】當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，，當(dāng)，時(shí)，，，當(dāng)，時(shí)，，，故的所有值構(gòu)成的集合為，集合A的元素的個(gè)數(shù)有2個(gè)。類型二、集合的表示(1)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法．(2)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類型，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他類型集合．(3)五個(gè)特定的集合：集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)eq\a\vs4\al(N)N*或N＋eq\a\vs4\al(Z)eq\a\vs4\al(Q)eq\a\vs4\al(R)1．下列各組中的M、P表示同一集合的是①，；②，；③，；④，.A．① B．② C．③ D．④答案：C分析：對(duì)四組集合逐一分析，可選出答案.【詳解】對(duì)于①，集合表示數(shù)集，集合表示點(diǎn)集，兩個(gè)集合研究的對(duì)象不相同，故不是同一個(gè)集合；對(duì)于②，兩個(gè)集合中元素對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)不相同，故不是同一個(gè)集合；對(duì)于③，兩個(gè)集合表示同一集合.對(duì)于④，集合研究對(duì)象是函數(shù)值，集合研究對(duì)象是點(diǎn)的坐標(biāo)，故不是同一個(gè)集合.2．用列舉法可以將集合使方程有唯一實(shí)數(shù)解表示為（）A． B． C． D．或答案：C【解析】由題意可知集合的元素表示能使方程有唯一實(shí)數(shù)解的的值，當(dāng)時(shí)，，解得，成立；當(dāng)時(shí)，方程有唯一實(shí)數(shù)解，則，解得：，.3．由大于﹣3且小于11的偶數(shù)所組成的集合是（）A．{x|﹣3＜x＜11，x∈Q}B．{x|﹣3＜x＜11}C．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈N}D．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z}答案：D【解析】因?yàn)樗蟮臄?shù)為偶數(shù)，所以可設(shè)為x=2k，k∈z，又因?yàn)榇笥讴?且小于11，所以﹣3＜x＜11．即大于﹣3且小于11的偶數(shù)所組成的集合是{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z}．4．（多選題）下列說(shuō)法中不正確的是（）A．與表示同一個(gè)集合B．集合＝與＝表示同一個(gè)集合C．方程＝的所有解的集合可表示為D．集合不能用列舉法表示答案：ABC【詳解】對(duì)于A中，是一個(gè)元素（數(shù)），而是一個(gè)集合，可得，所以A不正確；對(duì)于B中，集合＝表示數(shù)構(gòu)成的集合，集合＝表示點(diǎn)集，所以B不正確；對(duì)于C中，方程＝的所有解的集合可表示為，根據(jù)集合元素的互異性，可得方程＝的所有解的集合可表示為，所以C不正確；對(duì)于D中，集合含有無(wú)窮個(gè)元素，不能用列舉法表示，所以D正確.5．集合且，用列舉法表示集合________答案：【詳解】由題意，集合且，可得，則，解得且，當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)分母為零，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，滿足題意；綜上可得，集合.類型三、集合之間的關(guān)系(1)集合之間的基本關(guān)系表示關(guān)系文字語(yǔ)言記法集合間的基本關(guān)系子集集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素A?B或B?A真子集如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?AAB或BA相等集合A中的每一個(gè)元素都是集合B中的元素，集合B中的每一個(gè)元素也都是集合A中的元素A?B且B?A?A＝B空集空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集(2)子集個(gè)數(shù)的求解方法窮舉法：將集合的子集一一列舉出來(lái)，從而得到子集的個(gè)數(shù)，適用于集合中元素個(gè)數(shù)較少的情況．公式法：含有n個(gè)元素的集合的子集個(gè)數(shù)是2n，真子集的個(gè)數(shù)是2n－1，非空真子集的個(gè)數(shù)是2n－2.(3)判斷集合間關(guān)系的常用方法列舉法根據(jù)題中限定條件把集合元素表示出來(lái)，然后比較集合元素的異同，從而找出集合之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)法從元素的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)入手，結(jié)合通分、化簡(jiǎn)、變形等技巧，從元素結(jié)構(gòu)上找差異進(jìn)行判斷數(shù)軸法在同一個(gè)數(shù)軸上表示出兩個(gè)集合(集合為數(shù)集)，比較端點(diǎn)之間的大小關(guān)系，從而確定集合與集合之間的關(guān)系1．已知集合，、、為非零實(shí)數(shù)，則的子集個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．答案：D【詳解】因?yàn)榧?，、、為非零?shí)數(shù)，所以當(dāng)都是正數(shù)時(shí)，；當(dāng)都是負(fù)數(shù)時(shí)，；當(dāng)中有一個(gè)是正數(shù)，另兩個(gè)是負(fù)數(shù)時(shí)，，當(dāng)中有兩個(gè)是正數(shù)，另一個(gè)是負(fù)數(shù)時(shí)，，所以集合M中的元素是3個(gè)，所以的子集個(gè)數(shù)是8，2．（多選題）下面給出的幾個(gè)關(guān)系中正確的是（）A． B．C． D．答案：CD【詳解】A選項(xiàng)，中有元素，中有元素、，不包含于，A錯(cuò)，B選項(xiàng)，中有元素，中有元素、，不包含于，B錯(cuò)，C選項(xiàng)，∵，∴，正確，C正確，D選項(xiàng)，是任意集合的子集，D對(duì)，3．（多選題）已知集合，，則下列命題中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則或 D．若時(shí)，則或答案：ABC【詳解】，若，則，且，故A正確.時(shí)，，故D不正確.若，則且，解得，故B正確.當(dāng)時(shí)，，解得或，故C正確.4．滿足的集合M有______個(gè).答案：7【詳解】由,可以確定集合M必含有元素1,2,且至少舍有元素3,4,5中的一個(gè),因此依據(jù)集合M的元素個(gè)數(shù)分類如下：含有三個(gè)元素：,,；含有四個(gè)元素：,,；含有五個(gè)元素：,故滿足題意的集合M共有7個(gè).5．含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合既可表示成，又可表示成，則_______．答案：【詳解】由題意，顯然，故，即，此時(shí)，故，且，即.所以.類型四、集合的運(yùn)算(1)集合的運(yùn)算語(yǔ)言表示圖形表示符號(hào)語(yǔ)言并集所有屬于集合A或者屬于集合B的元素組成的集合A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}交集所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}補(bǔ)集若全集為U，則集合A的補(bǔ)集為?UA?UA＝{x|x∈U，且x?A}(2)集合的基本運(yùn)算問(wèn)題的解題策略①看元素組成．集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決運(yùn)算問(wèn)題的前提．②對(duì)集合化簡(jiǎn)．有些集合是可以化簡(jiǎn)的，如果先化簡(jiǎn)再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了，易于解決．③數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．集合運(yùn)算常用的數(shù)形結(jié)合形式有：數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖．1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．答案：D分析：先通過(guò)解對(duì)數(shù)不等式和二次不等式求出集合，再求交集.【詳解】由題意知，，所以．2．若集合，，則（）A． B． C． D．答案：B【詳解】∵集合，，因?yàn)椤?，所以?．（多選題）已知集合，集合，集合，則（

）A． B．C． D．答案：BCD分析：先求出集A，B，D，再逐個(gè)分析判斷即可【詳解】由，得，所以，由，得且，得或，所以或，由，得，所以，對(duì)于A，，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)榛颍?，所以，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)椋?，因?yàn)榛?，所以，所以D正確。4．（多選題）已知，集合B∩(?UA)=?，則A． B． C．0 D．1答案：BCD【詳解】因?yàn)橛諦∩(?UA)=?，所以，∴當(dāng)m=0時(shí)，B=?，成立；當(dāng)m≠0時(shí)，B={}，∵，∴或=2．解得m=1或m=，綜上，實(shí)數(shù)m的取值集合為{1，，0}．5．（多選題）已知全集U的兩個(gè)非空真子集A，B滿足?UA． B．C． D．?U答案：CD【詳解】令，，，滿足?UA∪B=B，但，A∩B≠B，故A，B均不正確；由?UA∪B=B，知?UA?B，∴U=A∪?UA?A∪6．已知全集，集合，，則下列說(shuō)法正確的是____．（填序號(hào)）① ②④?UA∩B=?1答案：①③④【詳解】，，，故①正確；，故②錯(cuò)誤；?UA=xx<?12,x∈Z，所以?UA∩B=?1，故③類型五、集合的新定義問(wèn)題1．已知全集，集合，，則如圖中陰影部分所表示的集合為（）A． B． C． D．答案：A分析：先求出集合，從而得到，圖中陰影部分表示的集合為A∩(?UB)【詳解】由Venn圖知：陰影部分對(duì)應(yīng)的集合為A∩(?UB),集合，，所以?UB=2．（多選題）若集合具有以下性質(zhì)：（1），；（2）若、y∈A，則，且時(shí)，.則稱集合是“完美集”.下列說(shuō)法正確的是（）A．集合是“完美集”B．有理數(shù)集是“完美集”C．設(shè)集合是“完美集”，、y∈A，則D．設(shè)集合是“完美集”，若、y∈A且，則答案：BCD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，取，，則，集合不是“完美集”，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，有理數(shù)集滿足性質(zhì)（1）、（2），則有理數(shù)集為“完美集”，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，若y∈A，則，，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，任取、y∈A，若、中有或時(shí)，顯然；當(dāng)、均不為、且當(dāng)，y∈A時(shí)，，則，所以，，，，所以，若、y∈A且，則，從而，D選項(xiàng)正確.3．給定數(shù)集M，若對(duì)于任意a，，有，且，則稱集合M為閉集合，則下列說(shuō)法中不正確的是（

）A．集合為閉集合B．正整數(shù)集是閉集合C．集合為閉集合D．若集合為閉集合，則為閉集合答案：ABD分析：根據(jù)集合M為閉集合的定義，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷，可得出答案．【詳解】選項(xiàng)A：當(dāng)集合時(shí)，，而，所以集合M不為閉集合，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：設(shè)是任意的兩個(gè)正整數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，是負(fù)數(shù)，不屬于正整數(shù)集，所以正整數(shù)集不為閉集合，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，所以集合M是閉集合，C選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D：設(shè)，由C可知，集合為閉集合，，而，故不為閉集合，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．4．規(guī)定與是兩個(gè)運(yùn)算符號(hào)，其運(yùn)算法則如下，對(duì)任意實(shí)數(shù)有:,.若且,則用列舉法表示集合__________．答案：【解析】由題意得：，且當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，集合。類型六、由集合關(guān)系求參數(shù)范圍根據(jù)集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)的值或取值范圍的的四個(gè)注意點(diǎn)：(1)注意兩個(gè)轉(zhuǎn)化：A∩B＝A?A?B；A∪B＝A?B?A.(2)注意空集的特殊性①若B?A，則分B＝?和B≠?兩類進(jìn)行討論．②若A∩B＝?，則集合A，B可能的情況有：A，B均為空集；A與B中只有一個(gè)空集；A，B雖然均為非空集合但無(wú)公共元素．(3)注意結(jié)合數(shù)軸分析端點(diǎn)值的大小．(4)注意對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，以避免集合中元素重復(fù)．1．（多選題）已知集合，，則下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則或 D．若，則答案：ABC分析：解一元二次不等式求集合A，根據(jù)各選項(xiàng)中集合的關(guān)系，列不等式或方程求參數(shù)值或范圍，判斷A、B、C的正誤，已知參數(shù)，解一元二次不等式求集合B，應(yīng)用交運(yùn)算求判斷正誤即可.【詳解】由己知得：，令A(yù)：若，即是方程的兩個(gè)根，則，得，正確；B：若，則，解得，正確；C：當(dāng)時(shí)，，解得或，正確；D：當(dāng)時(shí)，有，所以，錯(cuò)誤。2．已知集合，若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.答案：分析：由交集運(yùn)算得出，討論，的情況，結(jié)合包含關(guān)系得出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】，，，或當(dāng)時(shí)，，滿足當(dāng)時(shí)，要使得，則或，解得或綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是。3．已知全集，集合，.（1）求；（2）若集合，滿足，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.答案：（1）或.；（2）.【詳解】（1）由題，或，或.（2）由得，則，解得，由得，則，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．4．已知全集，集合，，.（1）求?UA∩B；（2）若，求答案：（1）；（2）.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所?UA=?∞,0因?yàn)椋?UA（2）當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，則解得，即.綜上，的取值范圍為.類型七、集合的中的分類討論在涉及集合之間的關(guān)系時(shí)，若未指明集合非空，則要考慮空集的可能性，如若A?B，則要考慮A＝?和A≠?兩種可能．1．已知集合，集合，若，則（）A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或3答案：B【詳解】，或，當(dāng)時(shí)，，，成立當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，，，成立當(dāng)時(shí)，，，不滿足互異性，所以不成立，綜上可知或.2．（多選題）設(shè)，，若，則實(shí)數(shù)a的值可以為（）A． B．0 C．3 D．答案：ABD【詳解】，，，當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，要使，則或，解得或．綜上，或或．3．已知全集，集合，B=x?5≤?x≤2，（1）求，B∪?（2）已知集合，若B∪?UM答案：（1）；B∪?U【詳解】（1），B=x?5≤?x≤2∴又，∴?UA=(?∞,2]（2），B∪當(dāng)時(shí)，?UM=R，滿足B∪?U當(dāng)時(shí)，?UM=(?∞,a)∪(2?a,+∞)由數(shù)軸可知，，解得：綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范是：4．已知集合，．（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．答案：（1）4；（2）或.【詳解】，（1）因?yàn)?，所以，所以和是的兩個(gè)實(shí)根，所以，即.（2）因?yàn)?，所以，所以或或或，?dāng)時(shí)，無(wú)解，所以，即，當(dāng)時(shí)，有且只有一個(gè)實(shí)根，所以無(wú)解，當(dāng)時(shí)，有且只有一個(gè)實(shí)根，所以無(wú)解，當(dāng)時(shí)，有2個(gè)實(shí)根和，所以，即.綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是或.5．設(shè)集合A={x∣?3x+2=0}，B={x∣+2(a+1)x+?5=0}（1）若A∩B={2}，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若U=R，A∩(?UB)=A.求實(shí)數(shù)a答案：（1）或；（2）且且【詳解】（1），由可知，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，滿足，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，滿足.所以實(shí)數(shù)的值是或；（2）U=R，A∩(?UB)=A，，則①當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)，滿足條件；②當(dāng)時(shí)，，即，，不滿足條件；③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)只需，，將2代入方程得或，將1代入方程得，得，綜上可知，的取值范圍是且且類型八、集合的中的數(shù)形結(jié)合1．下圖中矩形表示集合U，A，B是U的兩個(gè)子集，則不能表示陰影部分的是（）A．?UA∩BC． D．答案：C【詳解】由圖知：當(dāng)U為全集時(shí)，陰影部分表示集合A的補(bǔ)集與集合B的交集，當(dāng)B為全集時(shí)，陰影部分表示的補(bǔ)集，當(dāng)為全集時(shí)，陰影部分表示A的補(bǔ)集，2．已知集合，則（）A．或 B．或C．或， D．或，答案：A分析：解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算可得答案.【詳解】或，又，利用數(shù)軸表示集合：所以或.3．（多選題）已知集合A，，全集為，下列結(jié)論正確的有（）A．若，則，且；B．若，則；C．D．集合的真子集有6個(gè).答案：ABC【詳解】如圖，，則，且，故A正確；如圖，當(dāng)，則有，故B正確；成立，故C正確；集合的真子集有：個(gè).故D錯(cuò)誤。4．集合，，，則圖中陰影部分所表示的集合是_________．答案：.【詳解】由題意，集合，，可得?UB=x|x≥15．已知集合或，（1）若，求，?RA∩（2）若，求m值范圍.答案：（1）或，?RA∩?RB={x|?2≤x<4}【詳解】（1）時(shí)，，或，或，?RA={x|?2≤x≤6}，?RB=所以?（2），則，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，利用數(shù)軸表示集合由數(shù)軸可知，或，解得：或，綜上可知，m值范圍為：或.類型九、集合與充要條件交匯1．（多選題）已知集合，集合，則的一個(gè)充分不必要條件是（）A． B． C． D．答案：BD【解析】因?yàn)榧?，集合，所以等價(jià)于，即，對(duì)比選項(xiàng)，、均為的充分不必要條件.2．（多選題）已知P=x?2≤x≤10，集合．若是的必要條件，則實(shí)數(shù)mA． B．1 C．3 D．5答案：ABC【詳解】因?yàn)槭堑谋匾獥l件，所以，當(dāng)，即時(shí)，滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，∴，解得，∴的取值范圍是，實(shí)數(shù)m的取值可以是，3．已知集合，集合．（1）當(dāng)時(shí)，求和；（2）若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．答案：（1）或，；（2）或.【詳解】（1）由題可知，當(dāng)時(shí)，則，或，則?RA=x|?3≤x≤4（2）由題可知，是的必要不充分條件，則，當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，或，解得：或；綜上所得：或.4．已知命題“關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”是假命題.（1）求實(shí)數(shù)m的取值集合；（2）設(shè)集合，若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.答案：（1）；（2）.【詳解】（1）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”是真命題，則，即，解得：或，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”是假命題則，所以，（2）是的充分不必要條件，則，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，，滿足，所以成立，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.新預(yù)測(cè)破高考1．（多選題）已知全集，集合，則關(guān)于的表達(dá)方式正確的有（

）A． B．C． D．答案：AB分析：根據(jù)補(bǔ)集的概念及分式不等式及其解法即可求解.【詳解】由題意得，所以。2．設(shè)集合，，，則（）A． B． C． D．答案：D【解析】因?yàn)榧?，，，所以，，所?3．集合，，則（）A． B． C． D．答案：C【解析】由題意，集合，，所以，又由，所以.4．下列說(shuō)法正確的是（）A．方程的解集為B．集合與是相等的C．若，則D．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，第一、三象限的點(diǎn)的集合為答案：D【解析】對(duì)選項(xiàng)A，方程的解集為，故B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B，集合表示直線上的點(diǎn)，集合表示函數(shù)的定義域，故集合與不相等，故C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C，，所以，對(duì)選項(xiàng)A，因?yàn)榛?，所以集合表示直角坐?biāo)平面內(nèi)第一、三象限的點(diǎn)的集合，故A正確；5．已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．－2 B．2C．4 D．2或4答案：A【解析】依題意，若，則，不滿足集合元素的互異性，所以；若，則或（舍去），此時(shí)，符合題意；若，則，而，不滿足集合元素的互異性，所以.綜上所述，的值為.6．已知P={x|a-4<x<a+4}，Q={x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．-1≤a≤5 B．-1<a≤5C．-2≤a≤3 D．-2≤a<3答案：A【詳解】因?yàn)椤皒∈P”是“x∈Q”的必要條件，所以Q?P，所以，解得.7．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的范圍是（）A． B． C． D．答案：D分析：解絕對(duì)值不等式，再由，利用數(shù)軸數(shù)形結(jié)合求的范圍.【詳解】集合，，要使，則有：.8．設(shè)集合，則（）A．2 B．3 C．5 D．6答案：C【解析】①當(dāng)時(shí),,則或，當(dāng)時(shí)，該方程組無(wú)解，當(dāng)時(shí)，解得②當(dāng)時(shí)，，則或.當(dāng)時(shí)，該方程組無(wú)解，當(dāng)時(shí)，解得③當(dāng)，即時(shí)，顯然，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，該方程組無(wú)解，當(dāng)時(shí)，該方程組無(wú)解.綜上所述，，或，，故。9．若集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．答案：A【解析】因?yàn)?，所以，所以或，所以或，?dāng)時(shí)，不成立，所以，所以滿足，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，綜上可知：.10．集合，則集合的子集個(gè)數(shù)為（）A．4個(gè) B．8個(gè) C．15個(gè) D．16個(gè)答案：D【解析】集合，，2，3，4，5，，，2，3，，故有個(gè)子集，11．已知全集,集合和關(guān)系的韋恩圖如圖所示，則陰影部分所表示集合中的元素共有A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．無(wú)數(shù)個(gè)答案：A【詳解】由題意知，集合0，1，2，3，，因?yàn)榧希杉系慕贿\(yùn)算可得，2，3，，故陰影部分所表示集合為，其中的元素共有三個(gè).故選：A12．設(shè)集合，若，，?UA∩?UBA．且B．且 C．且 D．且答案：C【解析】集合，若，，，可作出韋恩圖，如圖，所以，，，，，，，，，.13．集合，，.如果，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．答案：D.【解析