2024春新教材高中數(shù)學5.3.2誘導公式第2課時教學設(shè)計新人教A版必修第一冊

5．3．1誘導公式二、三、四一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1．內(nèi)容“誘導公式”包括5組公式，即誘導公式二至六，本單元的知學問結(jié)構(gòu)如下圖所示：本單元分為兩課時完成，本節(jié)課為第一課時，主要探究誘導公式二、三、四，并圍繞圓的對稱性提出要探討的相關(guān)問題，形成探討的思路．2．內(nèi)容解析我們知道，隨意角的三角函數(shù)的定義是借助于單位圓得出的，之后又借助于圓的幾何性質(zhì)得出了三角函數(shù)的部分性質(zhì)，即同角三角函數(shù)的基本關(guān)系．圓有豐富的性質(zhì)，對稱性是圓的重要性質(zhì)，假如用三角函數(shù)表示單位圓上點的坐標，就可將這些對稱性表示為三角函數(shù)之間的關(guān)系，從而得到三角函數(shù)的誘導公式．角的基本構(gòu)成元素就是頂點、始邊、終邊，在三角函數(shù)這一章的探討中，為了便利，使角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，因此變更的只有角的終邊．首先從形的角度，探討圓的對稱性，假設(shè)隨意角的終邊與單位圓的交點為，點關(guān)于圓心或特別直線的對稱點為，依據(jù)單位圓上這兩個點的對稱性，可以寫出以為終邊的角與角的關(guān)系．接下來從數(shù)的角度，利用三角函數(shù)的定義，建立對稱點坐標之間的關(guān)系，得到三角函數(shù)之間的關(guān)系即誘導公式．由此可見誘導公式的本質(zhì)就是圓的對稱性的代數(shù)表示．對于，還可以從旋轉(zhuǎn)對稱的角度認知它們，與從軸對稱認知的本質(zhì)一樣，而這樣認知與誘導公式一，及后續(xù)的兩角差的余弦公式的探討就一樣了．因此這種變式為后續(xù)利用旋轉(zhuǎn)對稱性探究兩角差的余弦作了鋪墊．可見，本單元是培育學生發(fā)覺和提出問題、分析和解決問題，發(fā)展學生直觀想象核心素養(yǎng)的很好的載體．在數(shù)學史上，求三角函數(shù)值曾經(jīng)是一個重要而困難的問題．數(shù)學家制作了銳角三角函數(shù)值表，并通過公式，將隨意角轉(zhuǎn)化為銳角進行計算．現(xiàn)在，我們可以利用計算工具便利地求隨意角的三角函數(shù)值，所以利用這些公式的“求值”已不是重點，但是探討這些公式時運用的數(shù)學思想方法，在解決三角函數(shù)的各種問題中卻照舊有重要作用．在本單元中，利用誘導公式解決問題，重要的是視察計算對象的特征，選擇合適的誘導公式，確定恰當?shù)那蠼饴吠荆嵤┯嬎闱蠼鈫栴}．因此本單元是培育學生數(shù)學運算核心素養(yǎng)的很好的載體．因此本單元的教學重點是：利用圓的對稱性探究誘導公式，運用誘導公式進行簡潔三角函數(shù)式的求值、化簡與恒等式的證明．此外，為了使學生盡快熟悉并形成運用弧度制的習慣，在誘導公式中全部接受了弧度制．二、目標和目標解析1．目標（1）閱歷誘導公式的探究過程，積累應(yīng)用類比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等方法探討三角函數(shù)性質(zhì)的閱歷，提升直觀想象核心素養(yǎng)．（2）初步應(yīng)用誘導公式解決問題，積累解題閱歷，提升數(shù)學運算核心素養(yǎng)．2．目標解析達成上述目標的標記是：（1）在平面直角坐標系中，給出隨意角的終邊與單位圓的交點，結(jié)合單位圓的特別對稱性——關(guān)于原點對稱和特別直線對稱，學生能分別畫出相應(yīng)的對稱點，并利用圓的對稱性給出坐標間的關(guān)系，利用三角函數(shù)的定義，用角表示兩個點的坐標，并能求出以為終邊的角與角的坐標之間的關(guān)系，從而建立三角函數(shù)之間的關(guān)系，即誘導公式．（2）學生能利用誘導公式進行化簡、計算和證明．特別是在遇到比較困難的問題時，能依據(jù)運算對象的特點，選擇合適的公式，確定恰當?shù)那蠼夥桨?，并能正確求解．在解題的基礎(chǔ)上，能概括出利用誘導公式求解的一般程序．教學問題診斷分析本單元就單個學問點而言，比較好理解．但是公式比較多，當學生應(yīng)用和記憶時會出現(xiàn)困難或者混淆．因此本節(jié)課的教學難點之一是：誘導公式的有效識記和應(yīng)用．為破解這一難點，本節(jié)課的教學過程中要充分發(fā)揮單位圓的直觀作用，提高學生的直觀想象核心素養(yǎng)，理解誘導公式的本質(zhì)：圓的對稱性的代數(shù)化，三角函數(shù)的性質(zhì)．學生能主動地依托單位圓，想象著它的對稱性，就可以精確的記憶誘導公式．對于公式的應(yīng)用，要提高學生分析問題的實力，即要形成確定的求解程序，提升學生的數(shù)學運算素養(yǎng)．學生在理解誘導公式時，總是有思維定勢，以為是銳角，于是導致解題時，通過角所在象限推斷誘導公式的符號出錯．所以本單元的其次個難點是：誘導公式中角可以是隨意角的理解．為破解這一難點，在推導誘導公式時要充分地應(yīng)用變式．比如在推導公式二時，點的位置一般選在第一象限，獲得公式后，可以變更點的位置，讓學生視察：點的位置變更時，點與點的坐標之間的關(guān)系．并抽象概括出這兩點的坐標之間的關(guān)系與點的位置無關(guān)．因此公式中的角可以是隨意角．在此基礎(chǔ)上，配以具體題目，讓學生感受這種概括的正確性．四、教學支持條件分析本單位可利用作圖軟件，畫圖呈現(xiàn)如上所述的對稱性，并動態(tài)演示當點的位置變更時對稱點的坐標與它的坐標之間的關(guān)系不變．教學過程設(shè)計第一課時（一）創(chuàng)設(shè)情境，引出問題導入語：前面我們學習了三角函數(shù)，是借助于單位圓給出的，并依據(jù)定義得出了公式一，刻畫“周而復始”這種変化規(guī)律及其幾何意義．之后借助于單位圓的幾何特征，獲得了同一個角的三個三角函數(shù)之間的關(guān)系．我們知道，對稱性是圓的重要性質(zhì)，而對稱性（如奇偶性）也是函數(shù)的重要性質(zhì)．由此想到，我們可以利用圓的對稱性，探討三角函數(shù)的性質(zhì)．問題1：如圖5.3-1，在直角坐標系內(nèi)，設(shè)隨意角的終邊與單位圓交于點，作關(guān)于原點的對稱點．（1）以為終邊的角與角有什么關(guān)系？（2）角，的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系？師生活動：先由學生獨立完成問題1，然后展示，師生幫助一起完善和梳理思路．如圖5.3-2，以為終邊的角都是與角終邊相同的角，即．因此，只要探究角與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系即可．設(shè)，．因為是點關(guān)于原點的對稱點，所以．依據(jù)三角函數(shù)的定義，得；．，，，，．設(shè)計意圖：初步感受如何將圓的一個特別的對稱性：在坐標系中關(guān)于原點對稱，代數(shù)化，并得到誘導公式二．并以此問題作為探討方法的示范，為進一步提出、分析、解決問題做好奠基工作．追問1：假如點在其次象限，那么點的坐標與點的坐標之間有什么關(guān)系？假如點在軸負半軸上呢？在其他位置呢？據(jù)此，公式二中的角的終邊可以在什么位置？師生活動：學生思索后給出解答：不論點在哪里，點的坐標與點的坐標之間的關(guān)系都不変，即公式二對隨意角都成立．追問2：探究公式二的過程，可以概括為哪些步驟？每一步蘊含的數(shù)學思想是什么？師生活動：學生思索后給出回答，老師進行歸納：第一步，依據(jù)圓的對稱性，建立角之間的聯(lián)系，從形的角度入手探討．其次步，建立坐標之間的關(guān)系．將形的關(guān)系代數(shù)化，并從不同的角度進行表示，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法．第三步，依據(jù)等量代換，得到三角函數(shù)之間的關(guān)系，即公式二，體現(xiàn)了聯(lián)系性．追問3：角還可以看作是角的終邊經(jīng)過怎樣的變換得到的？師生活動：學生思索后給出回答：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到的．設(shè)計意圖：追問1旨在幫助學生理解角的隨意性，追問2旨在提煉方法，追問3則滲透圓的旋轉(zhuǎn)對稱性，為后面幾個公式的探究在方法上做好鋪墊．（二）類比探究，整體認知問題2：借助于平面直角坐標系，類比問題1你能說出單位圓上點的哪些特別對稱點？并依據(jù)如上問題1總結(jié)得到的求解步驟，嘗試求出相應(yīng)的關(guān)系式．師生活動：首先由學生獨立思索，盡量多地寫出點的對稱點，然后展示溝通，之后再將之代數(shù)化，最終得到相應(yīng)的誘導公式．學生的回答可能會超越教科書中的探討內(nèi)容，假如是學生自己想到的，可以順其自然保留，但是不作進一步的要求．假如學生沒有想到，老師不須要增加．學生首先想到的應(yīng)當是點關(guān)于坐標軸的對稱點；之后關(guān)于特別直線的對稱點，比如；老師啟發(fā)之后會想到經(jīng)過兩次對稱得到的對稱點．學生可能的答案有單位圓上點的特別對稱點：第一類，點關(guān)于軸、軸的對稱點；其次類，點關(guān)于特別直線的對稱點，如，；第三類，點關(guān)于軸的對稱點，再關(guān)于特別直線的對稱點，或者點軸關(guān)于特別直線的對稱點，再關(guān)于坐標軸的對稱點等等．接下來，針對如上結(jié)論，從第一類到第三類依次解決，本課時可以先解決第一類．如圖5.3-3，作關(guān)于軸的對稱點，以為終邊的角都是與角終邊相同的角，即．因此，只要探究角與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系即可．設(shè)，因為是點關(guān)于軸的對稱點，所以．依據(jù)三角函數(shù)的定義，得；．，，，，．如圖5.3-4，作關(guān)于軸的對稱點，以為終邊的角都是與角終邊相同的角，即．因此，只要探究角與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系即可．設(shè)，因為是點關(guān)于軸的對稱點，所以．依據(jù)三角函數(shù)的定義，得；．，，，，．追問4：公式三和公式四中的角的終邊可以在什么位置？預設(shè)答案：角是隨意角．設(shè)計意圖：類比問題1，進一步探究發(fā)覺．這是個開放式的問題設(shè)計，給了學生自主的時空，激勵他們多角度視察思索，提出問題，并類比問題1進行分析，解決問題．強化將單位圓的對稱性代數(shù)化這種探討思路．（三）初步應(yīng)用，建立程序例1利用公式求下列三角函數(shù)值：（1）°；（2）；（3）；（4）．追問5：題目中的角與哪個特別角接近？拆分之后應(yīng)當選擇哪個誘導公式？師生活動：學生獨立完成之后展示溝通，留意展示其思索過程，老師幫助規(guī)范求解過程．設(shè)計意圖：引導學生有序地思索問題，有理地解決問題．問題3：由例1，你對公式一～四的作用有什么進一步的相識？你能自己歸納一下把隨意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟嗎？師生活動：學生獨立思索總結(jié)，之后展示溝通．利用公式一～公式四，可以把隨意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，一般可按如下圖步驟進行：設(shè)計意圖：引導學生梳理求解過程，提煉解題閱歷，明確從負角轉(zhuǎn)化為銳角的程序，提高自覺地、理性地選擇運算公式的實力，提升數(shù)學運算素養(yǎng)．例2化簡：．追問6：本題與例1的異同是什么？由例1總結(jié)出的求解程序在此如何應(yīng)用？師生活動：學生獨立完成，之后展示溝通，留意展示其思索過程，老師幫助規(guī)范求解過程．設(shè)計意圖：鞏固習題的學問和方法，提高學生分析實力和轉(zhuǎn)化實力．梳理小結(jié)，深化理解問題4：誘導公式與三角函數(shù)和圓之間有怎樣的關(guān)系？你學到了哪些基本學問，獲得了怎樣的探討問題的閱歷？師生活動：學生自主總結(jié)，展示溝通．（1）誘導公式是圓的對稱性的代數(shù)化，是三角函數(shù)的性質(zhì)．（2）學到了三組誘導公式，探討方法是數(shù)形結(jié)合，留意聯(lián)系．設(shè)計意圖：幫助學生梳理基本學問，總結(jié)探討方法，為進一步的硏究鋪路奠基．（五）布置作業(yè)，深化探討（1）類比第一類問題的解決，即誘導公式二、