新疆烏魯木齊市第四中學(xué)2025屆九年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

新疆烏魯木齊市第四中學(xué)2025屆九年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，在中，，，，則的值是（）A． B． C． D．2．己知⊙的半徑是一元二次方程的一個根，圓心到直線的距離.則直線與⊙的位置關(guān)系是A．相離 B．相切 C．相交 D．無法判斷3．如圖所示，線段與交于點，下列條件中能判定的是（）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，4．如圖，△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面內(nèi)，將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)到△AED的位置，使得DC∥AB，則∠BAE等于（）A．30° B．40° C．50° D．60°5．如圖，把正三角形繞著它的中心順時針旋轉(zhuǎn)60°后，是（）A． B． C． D．6．已知圓錐的底面半徑為3cm，母線為5cm，則圓錐的側(cè)面積是()A．30πcm2 B．15πcm2 C．cm2 D．10πcm27．如圖，點A、B、C是⊙O上的點，∠AOB=70°，則∠ACB的度數(shù)是（）A．30° B．35° C．45° D．70°8．用配方法解方程,下列配方正確的是（）A． B．C． D．9．一艘在南北航線上的測量船，于A點處測得海島B在點A的南偏東30°方向，繼續(xù)向南航行30海里到達C點時，測得海島B在C點的北偏東15°方向，那么海島B離此航線的最近距離是（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．4.64海里 B．5.49海里 C．6.12海里 D．6.21海里10．如圖，點從菱形的頂點出發(fā)，沿以的速度勻速運動到點，下圖是點運動時，的面積隨時間變化的關(guān)系圖象是（）A． B．C． D．11．如圖，一只花貓發(fā)現(xiàn)一只老鼠溜進了一個內(nèi)部連通的鼠洞，鼠洞只有三個出口，要想同時顧及這三個出口以防老鼠出洞，這只花貓最好蹲守在（）A．的三邊高線的交點處B．的三角平分線的交點處C．的三邊中線的交點處D．的三邊中垂線線的交點處12．一名射擊愛好者5次射擊的中靶環(huán)數(shù)如下：6，7，1，8，1．這5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A．6 B．7 C．8 D．1二、填空題（每題4分，共24分）13．已知為銳角，且，那么等于_____________．14．二次函數(shù)y＝x2－2x＋2圖像的頂點坐標(biāo)是______．15．若二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點，則的值為______．16．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，，則AC的長為_______.17．已知兩個二次函數(shù)的圖像如圖所示，那么a1________a2（填“＞”、“＝”或“＜”）．18．為了估計蝦塘里海蝦的數(shù)目，第一次捕撈了500只蝦，將這些蝦一一做上標(biāo)記后放回蝦塘．幾天后，第二次捕撈了2000只蝦，發(fā)現(xiàn)其中有20只蝦身上有標(biāo)記，則可估計該蝦塘里約有_____只蝦．三、解答題（共78分）19．（8分）端午節(jié)是我國的傳統(tǒng)節(jié)日，人們素有吃粽子的習(xí)俗．某商場在端午節(jié)來臨之際用4800元購進A、B兩種粽子共1100個，購買A種粽子與購買B種粽子的費用相同．已知A種粽子的單價是B種粽子單價的1.2倍．（1）求A，B兩種粽子的單價；（2）若計劃用不超過8000元的資金再次購進A，B兩種粽子共1800個，已知A、B兩種粽子的進價不變．求A種粽子最多能購進多少個？20．（8分）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為x=1，且拋物線經(jīng)過A（﹣1，0）、C（0，﹣3）兩點，與x軸交于另一點B．（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）在拋物線的對稱軸x=1上求一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，并求出此時點M的坐標(biāo)；（3）設(shè)點P為拋物線的對稱軸x=1上的一動點，求使∠PCB=90°的點P的坐標(biāo)．21．（8分）如圖，天星山山腳下西端A處與東端B處相距800(1＋)米，小軍和小明同時分別從A處和B處向山頂C勻速行走．已知山的西端的坡角是45°，東端的坡角是30°，小軍的行走速度為米/秒．若小明與小軍同時到達山頂C處，則小明的行走速度是多少？22．（10分）如圖，在△ABC和△ADE中，，點B、D、E在一條直線上，求證：△ABD∽△ACE．23．（10分）如圖，在菱形中，點是上的點，，若，，是邊上的一個動點，則線段最小時，長為___________．24．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)分別是，．（1）將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點，對應(yīng)點分別是，，請在圖中畫出，并寫出，的坐標(biāo)；（2）以點為位似中心，將作位似變換且縮小為原來的，在網(wǎng)格內(nèi)畫出一個符合條件的．25．（12分）如圖，已知正方形，點在延長線上，點在延長線上，連接、、交于點，若，求證：．26．如圖，正方形OABC繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)40°得到正方形ODEF，連接AF，求∠OFA的度數(shù)

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【分析】利用勾股定理求得AB的長，然后利用三角函數(shù)定義求解．【詳解】解：在直角△ABC中，AB===5，則sinA==．故選C．【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．2、A【分析】在判斷直線與圓的位置關(guān)系時，通常要得到圓心到直線的距離，然后再利用d與r的大小關(guān)系進行判斷；在直線與圓的問題中,充分利用構(gòu)造的直角三角形來解決問題，直線與圓的位置關(guān)系：①當(dāng)d＞r時，直線與圓相離；②當(dāng)d=r時，直線與圓相切；③當(dāng)d＜r時，直線與圓相交.【詳解】∵的解為x=4或x=-1，∴r=4，∵4＜6，即r＜d，∴直線和⊙O的位置關(guān)系是相離.故選A.【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，一元二次方程的定義及一般形式，掌握直線與圓的位置關(guān)系，一元二次方程的定義及一般形式是解題的關(guān)鍵.3、C【解析】根據(jù)平行線分線段成比例的推論：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊，逐項判斷即可得答案.【詳解】A.∵∴不能判定，故本選項不符合題意；B.無法判斷，則不能判定，故本選項不符合題意；C.∵，，，∴∴故本選項符合題意；D.∵∴不能判定，故本選項不符合題意；故選C.【點睛】本題考查平行線分線段成比例的推論，熟練掌握此推論判定平行是解題的關(guān)鍵.4、C【解析】試題分析：∵DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB=65°.∵△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)到△AED的位置，∴∠BAE=∠CAD，AC=AD.∴∠ADC=∠DCA="65°."∴∠CAD=180°﹣∠ADC﹣∠DCA="50°."∴∠BAE=50°．故選C．考點：1.面動旋轉(zhuǎn)問題；2.平行線的性質(zhì)；3.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；4.等腰三角形的性質(zhì)．5、A【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】解:∵把正三角形繞著它的中心順時針旋轉(zhuǎn)60°，∴圖形A符合題意，故選：A．【點睛】本題考查的是圖形的旋轉(zhuǎn)，和學(xué)生的空間想象能力，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.6、B【解析】試題解析：∵底面半徑為3cm，∴底面周長6πcm∴圓錐的側(cè)面積是×6π×5=15π（cm2），故選B．7、B【解析】∵∠AOB=70°，∴∠ACB=∠AOB=35°，故選B．8、C【分析】配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)的絕對值一半的平方．【詳解】解：等式兩邊同時加上一次項系數(shù)的絕對值一半的平方22，，∴；故選：C．【點睛】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準(zhǔn)確應(yīng)用．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．9、B【解析】根據(jù)題意畫出圖如圖所示：作BD⊥AC，取BE=CE，根據(jù)三角形內(nèi)角和和等腰三角形的性質(zhì)得出BA=BE，AD=DE，設(shè)BD=x，Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得AD=DE=

x，AB=BE=CE=2x，由AC=AD+DE+EC=2

x+2x=30，解之即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意畫出圖如圖所示：作BD⊥AC，取BE=CE，

∵AC=30，∠CAB=30°∠ACB=15°，

∴∠ABC=135°，

又∵BE=CE，

∴∠ACB=∠EBC=15°，

∴∠ABE=120°，

又∵∠CAB=30°

∴BA=BE，AD=DE，

設(shè)BD=x，

在Rt△ABD中，

∴AD=DE=

x，AB=BE=CE=2x，

∴AC=AD+DE+EC=2

x+2x=30，

∴x=

=

≈5.49，

故答案選：B.【點睛】考查了三角形內(nèi)角和定理與等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握三角形內(nèi)角和定理與等腰直角三角形的性質(zhì).10、A【分析】運用動點函數(shù)進行分段分析，當(dāng)點P在AD上和在BD上時，結(jié)合圖象得出符合要求的解析式．【詳解】①當(dāng)點P在AD上時，此時BC是定值，BC邊的高是定值，則△PBC的面積y是定值；

②當(dāng)點P在BD上時，此時BC是定值，BC邊的高與運動時間x成正比例的關(guān)系，則△PBC的面積y與運動時間x是一次函數(shù)，并且△PBC的面積y與運動時間x之間是減函數(shù)，y≥1．

所以只有A符合要求．

故選：A．【點睛】此題主要考查了動點函數(shù)的應(yīng)用，注意將函數(shù)分段分析得出解析式是解決問題的關(guān)鍵，有一定難度．11、D【分析】根據(jù)題意知，貓應(yīng)該蹲守在到三個洞口的距離相等的位置上，則此點就是三角形三邊垂直平分線的交點．【詳解】解：根據(jù)三角形三邊垂直平分線的交點到三個頂點的距離相等，可知貓應(yīng)該蹲守在△ABC三邊的中垂線的交點上．

故選：D．【點睛】考查了三角形的外心的概念和性質(zhì)．要熟知三角形三邊垂直平分線的交點到三個頂點的距離相等．12、C【分析】中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻?，最中間的那個數(shù)（最中間兩個數(shù)的平均數(shù)），據(jù)此求解即可.【詳解】將這組數(shù)據(jù)重新排序為6，7，8，1，1，∴中位數(shù)是按從小到大排列后第3個數(shù)為：8.故選C.二、填空題（每題4分，共24分）13、【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求出答案．【詳解】故答案為：．【點睛】本題主要考查特殊角的三角函數(shù)值，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．14、（1，1）【解析】分析：把二次函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化成頂點式形式，然后寫出頂點坐標(biāo)即可．詳解：∵∴頂點坐標(biāo)為(1,1).故答案為：(1,1).點睛：考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵.15、﹣4【解析】與x軸的交點的家橫坐標(biāo)就是求y=0時根，再根據(jù)求根公式或根與系數(shù)的關(guān)系，求出兩根之和與兩根之積。把要求的式子通分代入即可?！驹斀狻吭O(shè)y=0，則，∴一元二次方程的解分別是點A和點B的橫坐標(biāo)，即，，∴，∴，故答案為：．【點睛】根據(jù)求根公式可得，若，是方程的兩個實數(shù)根，則16、8【解析】在Rt△ABC中，cosB=，AB=10，可求得BC，再利用勾股定理即可求AC的長.【詳解】∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10∴cosB=，得BC=6由勾股定理得BC=故答案為8.【點睛】此題主要考查銳角三角函數(shù)在直角三形中的應(yīng)用及勾股定理．17、【分析】直接利用二次函數(shù)的圖象開口大小與a的關(guān)系進而得出答案．【詳解】解：如圖所示：的開口小于的開口，則a1＞a2，故答案為：＞.【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象，正確記憶開口大小與a的關(guān)系是解題關(guān)鍵．18、1．【分析】設(shè)該蝦塘里約有x只蝦，根據(jù)題意列出方程，解之可得答案．【詳解】解：設(shè)此魚塘內(nèi)約有魚x條，根據(jù)題意，得：＝，解得：x＝1，經(jīng)檢驗：x＝1是原分式方程的解，∴該蝦塘里約有1只蝦，故答案為：1．【點睛】本題考查了用樣本的數(shù)據(jù)特征來估計總體的數(shù)據(jù)特征，利用樣本中的數(shù)據(jù)對整體進行估算是統(tǒng)計學(xué)中最常用的估算方法．三、解答題（共78分）19、（1）A種粽子單價為4元/個，B種粽子單價為4.1元/個；（2）A種粽子最多能購進100個【分析】（1）設(shè)B種粽子單價為x元/個，則A種粽子單價為1.2x元/個，根據(jù)數(shù)量＝總價÷單價結(jié)合用4100元購進A、B兩種粽子1100個，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購進A種粽子m個，則購進B種粽子（1100﹣m）個，根據(jù)總價＝單價×數(shù)量結(jié)合總價不超過1000元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)B種粽子單價為x元/個，則A種粽子單價為1.2x元/個，根據(jù)題意，得：＝1100，解得：x＝4，經(jīng)檢驗，x＝4是原方程的解，且符合題意，∴1.2x＝4.1．答：A種粽子單價為4元/個，B種粽子單價為4.1元/個．（2）設(shè)購進A種粽子m個，則購進B種粽子（1100﹣m）個，依題意，得：4m+4.1（1100﹣m）≤1000，解得：m≤100．答：A種粽子最多能購進100個．【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．20、（1）y＝x2－2x－1．（2）M（1，－2）．（1P（1，－4）．【解析】分析：（1）根據(jù)拋物線的對稱軸可求出B點的坐標(biāo)，進而可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）由于A、B關(guān)于拋物線的對稱軸直線對稱，若連接BC，那么BC與直線x=1的交點即為所求的點M；可先求出直線BC的解析式，聯(lián)立拋物線對稱軸方程即可求得M點的坐標(biāo)；（1）若∠PCB=90°，根據(jù)△BCO為等腰直角三角形，可推出△CDP為等腰直角三角形，根據(jù)線段長度求P點坐標(biāo)．詳解：（1）∵拋物線的對稱軸為x=1，且A（﹣1，0），∴B（1，0）；可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣1），由于拋物線經(jīng)過C（0，﹣1），則有：a（0+1）（0﹣1）=﹣1，a=1，∴y=（x+1）（x﹣1）=x2﹣2x﹣1；（2）由于A、B關(guān)于拋物線的對稱軸直線x=1對稱，那么M點為直線BC與x=1的交點；由于直線BC經(jīng)過C（0，﹣1），可設(shè)其解析式為y=kx﹣1，則有：1k﹣1=0，k=1；∴直線BC的解析式為y=x﹣1；當(dāng)x=1時，y=x﹣1=﹣2，即M（1，﹣2）；（1）設(shè)經(jīng)過C點且與直線BC垂直的直線為直線l，作PD⊥y軸，垂足為D；∵OB=OC=1，∴CD=DP=1，OD=OC+CD=4，∴P（1，﹣4）．點睛：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、軸對稱的性質(zhì)以及特殊三角形的性質(zhì)等知識，難度適中．21、1米/秒【解析】分析：過點C作CD⊥AB于點D，設(shè)AD=x米，小明的行走速度是a米/秒，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)用x表示出AC與BC的長，再根據(jù)小明與小軍同時到達山頂C處即可得出結(jié)論．本題解析：解：過點C作CD⊥AB于點D.設(shè)AD＝x米，小明的行走速度是a米/秒．∵∠A＝45°，CD⊥AB，∴AD＝CD＝x米，∴AC＝x(米)．在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，∴BC＝＝2x(米)．∵小軍的行走速度為米/秒，若小明與小軍同時到達山頂C處，∴＝，解得a＝1.答：小明的行走速度是1米/秒．22、證明見解析；【分析】根據(jù)三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似可判定△ABC∽△ADE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得∠BAC=∠DAE，即可得∠BAD=∠CAE，再由可得，根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似即可判定△ABD∽△ACE．【詳解】∵在△ABC和△ADE中，,∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∵，∴，∴△ABD∽△ACE．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形的判定方法是解決本題的關(guān)鍵．23、【分析】設(shè)菱形ABCD的邊長為x，則AB＝BC＝x，又EC＝3，所以BE＝x?3，解直角△ABE即可求得x的值，即可求得BE、AE的值，根據(jù)AB、PE的值和△ABE的面積，即可求得PE的最小值，再根據(jù)勾股定理可得的長．【詳解】解：設(shè)菱形ABCD的邊長為x，則AB＝BC＝x，又EC＝3，所以BE＝x?3，因為AE⊥BC于E，所以在Rt△ABE中，，∵，AE⊥BC設(shè)AE=3a，AB=5a，則BE=4a，∴cosB=∴于是5x?1＝4x，解得x＝1，即AB＝1．所以易求BE＝12，AE＝9，當(dāng)EP⊥AB時，PE取得最小值．故由三角形面積公式有：AB?PE＝BE?AE，求得PE的最小值為．在Rt△BPE中，BP=故答案為:．【點睛】本題考查了余弦函數(shù)在直角三角形中的運用、三角形面積的計算和最小值的求值問題，求PE的值是解題的關(guān)鍵．24、（1）見解析，，；（2）見解析【分析】（1）利用網(wǎng)格特點和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，畫出點O，B對應(yīng)點E，F(xiàn)，從而得到△AEF，然后寫出E、F的坐標(biāo)；

（2）分別連接OE、OF，然后分別去OA、OE、OF的三等份點得到A1、E1、F1，從而得到△A