貴州省六盤水市2024屆高三下學(xué)期三診 數(shù)學(xué)試卷

2024年貴州省六盤水市高考數(shù)學(xué)三診試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）已知全集U＝R，?UA＝{x|x＜1}，B＝{x|x≤3}，則A∩B＝（）A．{x|x≥1} B．{x|x＞3} C．{x|1＜x≤3} D．{x|1≤x≤3}2．（5分）拋物線x2＝﹣4y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（1，0） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（0，﹣1）3．（5分）已知曲線y＝x2﹣3lnx的一條切線方程為y＝﹣x+m，則實(shí)數(shù)m＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．24．（5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，（）A． B． C． D．5．（5分）已知點(diǎn)O為△ABC的重心，，則λ+μ＝（）A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．66．（5分）已知直線ax﹣y+2＝0與圓（x﹣1）2+y2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，若，則a＝（）A． B．1 C． D．﹣27．（5分）定義在R上的奇函數(shù)f（x），滿足f（x+3）＝f（1﹣x），2]時，f（x）＝mex﹣1，則f（31）＝（）A．c+1 B．e﹣1 C．1﹣e D．﹣e8．（5分）已知aea＝π，blnb＝π，，則（）A．a(chǎn)＜c＜b B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a(chǎn)＜b＜c二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）已知函數(shù)，若函數(shù)f（x）圖象的相鄰兩個對稱中心之間的距離為為函數(shù)y＝f（x）圖象的一條對稱軸，則（）A．ω＝2 B． C．點(diǎn)是函數(shù)f（x）圖象的對稱中心 D．將函數(shù)f（x）的圖象向左平移個單位長度后所得函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱（多選）10．（6分）如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)P是線段A1D上的動點(diǎn)，則（）A．△PBC1的面積為 B．三棱錐B1﹣PBC1的體積為 C．存在點(diǎn)P，使得BP⊥PC1 D．存在點(diǎn)P，使得A1D⊥平面PBC1（多選）11．（6分）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，離心率為2，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，則（）A．若|PF1|＝3，則|PF2|＝1 B．若△POF2的面積為，則∠F1PF2＝60° C．若線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，則|PF2|＝3 D．△F1PF2內(nèi)切圓的圓心到y(tǒng)軸的距離為1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）若復(fù)數(shù)z是方程x2+2x+2＝0的根，則復(fù)數(shù)z的模為．13．（5分）詩詞是中國的傳統(tǒng)文化遺產(chǎn)之一，是中華文化的重要組成部分．某校為了弘揚(yáng)我國優(yōu)秀的詩詞文化，舉辦了校園詩詞大賽，且甲、乙兩隊搶到該題的可能性相等，則該題被答對的概率為．14．（5分）已知正四面體的棱長為，以其中一個頂點(diǎn)為球心作半徑為3的球，則所得球面與該正四面體表面的交線長之和為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知{an}為等差數(shù)列，且a5＝3a1，a1+a5+a14＝a10+24．（1）求{an}的通項公式；（2）若2n?λ≥a1+a2+?+an恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．16．（15分）某公司有5臺舊儀器，其中有2臺儀器存在故障，（1）現(xiàn)有一位工人從這5臺儀器中隨機(jī)選擇3臺進(jìn)行檢測，記ξ為這3臺儀器中存在故障的臺數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）為了提高生產(chǎn)，該公司擬引進(jìn)20臺此種新儀器，若每臺儀器的運(yùn)行相互獨(dú)立，記X為這20臺新儀器在運(yùn)行過程中發(fā)生故障的臺數(shù)，借助泊松分布（ξ＝k）＝，k＝0，1，2，…，則稱隨機(jī)變量ξ服從泊松分布．②設(shè)n～B（n，p），當(dāng)p≤0.05且n≥20時，二項分布可近似看成泊松分布．即P（η＝k）＝pk（1﹣p）n﹣k≈，其中λ＝E（n）．③泊松分布表（局部）表中列出了P（ξ＝k）＝的值（如：λ＝0.5時，P（ξ＝5）＝0.000158）λk…0.50.60.7…0…0.0.0.…1…0.0.0.…2…0.0758160.0987860.…3…0.0126360.0197570.028388…4…0.0015800.0029640.004968…5…0.0001580.0003560.000696…6…0.0000130.0000360.000081…7…0.0000010.0000030.000008…17．（15分）已知四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，平面ADD1A1⊥平面ABCD，AA1＝3，，，點(diǎn)P為DD1的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在棱BC上，且BQ＝3QC．（1）證明：PQ∥平面ABB1A1；（2）求二面角Q﹣A1P﹣D1的正弦值．18．（17分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B分別是x軸和y軸上的動點(diǎn)，且，記P的軌跡為C．（1）求C的方程；（2）設(shè)曲線C與x軸的交點(diǎn)為A1，A2（A1在A2的左邊），過點(diǎn)Q（1，0）且不與x軸平行的直線l與C相交于M，記直線A1M，A2N的斜率分別為k1和k2，求的值．19．（17分）若函數(shù)f（x）在[a，b]上有定義1，x2∈[a，b]，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜k|x1﹣x2|，則稱f（x）為[a（1）若f（x）＝x2，判斷f（x）是否為[1，2]上的“4類函數(shù)”；（2）若為[1，e]上的“2類函數(shù)”；（3）若f（x）為[1，2]上的“2類函數(shù)”（1）＝f（2），證明：?x1，x2∈[1，2]，|f（x1）﹣f（x2）|＜1．2024年貴州省六盤水市高考數(shù)學(xué)三診試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）已知全集U＝R，?UA＝{x|x＜1}，B＝{x|x≤3}，則A∩B＝（）A．{x|x≥1} B．{x|x＞3} C．{x|1＜x≤3} D．{x|1≤x≤3}【分析】求出集合A，利用交集定義、不等式性質(zhì)能求出A∩B．【解答】解：全集U＝R，?UA＝{x|x＜1}，B＝{x|x≤3}，∴A＝{x|x≥4}，則A∩B＝{x|1≤x≤3}．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．（5分）拋物線x2＝﹣4y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（1，0） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（0，﹣1）【分析】直接利用拋物線的簡單性質(zhì)求解即可．【解答】解：拋物線x2＝﹣4y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（8，﹣1）．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．3．（5分）已知曲線y＝x2﹣3lnx的一條切線方程為y＝﹣x+m，則實(shí)數(shù)m＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到﹣1+m＝1，由此得解．【解答】解：，令，解得x＝5（負(fù)值舍去），則切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），可得﹣6+m＝1，解得m＝2．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，（）A． B． C． D．【分析】由余弦定理可得BC的值，再由正弦定理可得△ABC外接圓的半徑．【解答】解：因為AB＝2，AC＝3，，由余弦定理可得：BC＝＝＝，設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，由正弦定理可得：2R＝＝，所以R＝．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）已知點(diǎn)O為△ABC的重心，，則λ+μ＝（）A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．6【分析】作出圖形，根據(jù)點(diǎn)O為△ABC的重心，結(jié)合三角形的中線的性質(zhì)算出+＝3+3，然后將用、、表示，將等式整理得到＝2+，進(jìn)而推導(dǎo)出＝﹣2﹣，結(jié)合平面向量基本定理算出λ、μ的值，進(jìn)而算出答案．【解答】解：設(shè)D、E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，因為O為△ABC的重心，所以點(diǎn)O在△ABC的邊AB的中線CD上，且＝，由＝（+），得＝（+），即+＝3，由OD是△ABO的中線，得＝（+）＝，所以（+）＝（+）+＝3，因為＝+＝+﹣，所以+（+﹣+3，即7+﹣＝3，整理得+，因此，＝﹣2﹣，結(jié)合，可得λ＝﹣4，所以λ+μ＝﹣3．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查三角形中線的性質(zhì)、平面向量的線性運(yùn)算法則、平面向量基本定理及其應(yīng)用，屬于中檔題．6．（5分）已知直線ax﹣y+2＝0與圓（x﹣1）2+y2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，若，則a＝（）A． B．1 C． D．﹣2【分析】首先求出圓心到直線的距離，進(jìn)一步利用垂徑定理建立等量關(guān)系式，最后求出a的值．【解答】解：圓（x﹣1）2+y5＝4與直線ax﹣y+2＝3與相交于A，B兩點(diǎn)．則圓心（1，8）到直線ax﹣y+2＝0的距離d＝，利用垂徑定理得：d3+（）2＝2，解得：a＝﹣．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，垂徑定理的應(yīng)用，點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．7．（5分）定義在R上的奇函數(shù)f（x），滿足f（x+3）＝f（1﹣x），2]時，f（x）＝mex﹣1，則f（31）＝（）A．c+1 B．e﹣1 C．1﹣e D．﹣e【分析】由已知結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)可求m，然后結(jié)合奇偶性及周期性即可求解．【解答】解：定義在R上的奇函數(shù)f（x），滿足f（x+3）＝f（1﹣x），所以f（﹣x）＝﹣f（x），f（2﹣x）＝f（x），所以f（4﹣x）＝f（﹣x），即f（4+x）＝f（x），當(dāng)x∈[6，2]時x﹣1，則f（0）＝m﹣3＝0，所以x∈[0，4]時x﹣1，f（1）＝e﹣1，所以f（31）＝f（﹣2）＝﹣f（1）＝1﹣e．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性及周期性在函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8．（5分）已知aea＝π，blnb＝π，，則（）A．a(chǎn)＜c＜b B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a(chǎn)＜b＜c【分析】將已知轉(zhuǎn)化為，，，作出函數(shù)y＝ex，y＝lnx，y＝x，y＝的圖象，數(shù)形結(jié)合即可得大小關(guān)系．【解答】解：已知aea＝π，blnb＝π，，則，，，且a，b，作出函數(shù)y＝ex，y＝lnx，y＝x的圖象，由圖可知a＜c＜b．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，數(shù)的大小的比較，屬于基礎(chǔ)題．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）已知函數(shù)，若函數(shù)f（x）圖象的相鄰兩個對稱中心之間的距離為為函數(shù)y＝f（x）圖象的一條對稱軸，則（）A．ω＝2 B． C．點(diǎn)是函數(shù)f（x）圖象的對稱中心 D．將函數(shù)f（x）的圖象向左平移個單位長度后所得函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱【分析】由已知結(jié)合周期求出ω，由對稱性求出φ，檢驗選項A，B，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)檢驗選項C，D即可．【解答】解：因為函數(shù)f（x）圖象的相鄰兩個對稱中心之間的距離為，所以T＝π，ω＝2，因為直線為函數(shù)y＝f（x）圖象的一條對稱軸，所以＝，k∈Z，則，k∈Z，因為|φ|，所以φ＝，A，B正確；所以f（x）＝sin（2x﹣），因為f（）＝sin，C錯誤；將函數(shù)f（x）的圖象向左平移個單位長度后所得函數(shù)為y＝sin（2x﹣+，圖象關(guān)于y軸對稱．故選：ABD．【點(diǎn)評】本題主要考查了由部分函數(shù)性質(zhì)求y＝Asin（ωx+φ）的解析式，還考查了正弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．（多選）10．（6分）如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)P是線段A1D上的動點(diǎn)，則（）A．△PBC1的面積為 B．三棱錐B1﹣PBC1的體積為 C．存在點(diǎn)P，使得BP⊥PC1 D．存在點(diǎn)P，使得A1D⊥平面PBC1【分析】選項A：當(dāng)點(diǎn)P與A1重合時，△PBC1為邊長是的等邊三角形，即可判斷；選項B：利用等體積轉(zhuǎn)化法求解即可；選項B：以BC1為直徑的球面與直線沒有公共點(diǎn)，即可判斷；選項D：當(dāng)P為A1D的中點(diǎn)時，根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證．【解答】解：對A選項，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B3C1D1中，點(diǎn)P是線段A8D上的動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P與A1重合時，△PBC1的面積為，故A錯誤；對B選項，因為＝P表示點(diǎn)P到平面B1BC1的距離）所以三棱錐B6﹣PBC1的體積為，故B正確；對C選項：在正方體ABCD﹣A1B4C1D1中，以BC6為直徑的球面，半徑，則直線A1D與該球面沒有公共點(diǎn)，故不存在點(diǎn)P1，故C錯誤；對D選項：取BC3的中點(diǎn)M，連接PM，當(dāng)P為A1D的中點(diǎn)時，易知PM⊥平面ADD1A6，因為A1D?平面ADD1A7，所以A1D⊥PM，又因為在正方體中，A1D⊥BC3，而PM∩BC1＝M，所以A1D⊥平面PBC5，故D正確．故選：BD．【點(diǎn)評】本題考查空間線面位置關(guān)系以及體積的計算，屬于中檔題．（多選）11．（6分）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，離心率為2，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，則（）A．若|PF1|＝3，則|PF2|＝1 B．若△POF2的面積為，則∠F1PF2＝60° C．若線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，則|PF2|＝3 D．△F1PF2內(nèi)切圓的圓心到y(tǒng)軸的距離為1【分析】由離心率公式和點(diǎn)到直線的距離公式，可得a，b，c，由雙曲線的定義可判斷A；由焦點(diǎn)三角形的面積公式可判斷B；由PF2⊥x軸，計算可判斷C；由雙曲線的定義和內(nèi)切圓的性質(zhì)，可判斷D．【解答】解：由題意可得e＝＝2，，c2＝a4+b2，解得a＝1，c＝2，則雙曲線的方程為，||PF1|﹣|PF7||＝|3﹣|PF2||＝3，所以|PF2|＝1或|PF8|＝5，選項A錯；記∠F1PF6＝θ，則，由，可得＝30°，所以θ＝60°，選項B對：因為PF4的中點(diǎn)在y軸上，所以PF2⊥x軸，故，選項C對；取點(diǎn)P在雙曲線的右支上，如圖所示，|PF1|﹣|PF6|＝|F1C|﹣|BF2|＝|F3A|﹣|AF2|＝2，又因為|F4A|+|AF2|＝4，解得|F2A|＝3，|AF2|＝3，所以切點(diǎn)A是雙曲線的右頂點(diǎn)，從而內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為1．故選：BCD．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，以及三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）若復(fù)數(shù)z是方程x2+2x+2＝0的根，則復(fù)數(shù)z的模為．【分析】根據(jù)已知條件，推得復(fù)數(shù)是方程x2+2x+2＝0的根，再結(jié)合韋達(dá)定理，以及復(fù)數(shù)模公式，即可求解．【解答】解：復(fù)數(shù)z是方程x2+2x+8＝0的根，則復(fù)數(shù)是方程x2+6x+2＝0的根，故，解得．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．13．（5分）詩詞是中國的傳統(tǒng)文化遺產(chǎn)之一，是中華文化的重要組成部分．某校為了弘揚(yáng)我國優(yōu)秀的詩詞文化，舉辦了校園詩詞大賽，且甲、乙兩隊搶到該題的可能性相等，則該題被答對的概率為．【分析】分甲搶到題且答對和乙搶到題且答對兩種情況計算即可．【解答】解：由題意，甲、乙兩隊搶到該題的概率均為，該題被答對的概率為×+×＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查獨(dú)立事件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）已知正四面體的棱長為，以其中一個頂點(diǎn)為球心作半徑為3的球，則所得球面與該正四面體表面的交線長之和為5π．【分析】將球面與正四面體的四個面所得交線分成兩類，一類與側(cè)面的交線，一類與底面的交線，結(jié)合球的截面性質(zhì)能求出結(jié)果．【解答】解：球面與正四面體的四個面都相交，所得交線分成兩類：一類與三個側(cè)面ABD，ABC，設(shè)與側(cè)面ABC交線為，則在過球心的大圓上，∵正四面體ABCD中每個面都是等邊三角形，且，∵AM＝4，∠BAC＝60°，∴，根據(jù)對稱性可知：與側(cè)面ABD，ACD的交線與，另一類交線是與底面BCD的交線，過A作AO⊥平面BCD，則，，，∴與底面BCD剛好相交于底面BCD各邊中點(diǎn)處，形成的交線此時是底面BCD的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓半徑為，∴弧長為2π×5＝2π，∴該球球面與正四面體ABCD的表面相交所得到的曲線長度之和為3π+4π＝5π．故答案為：5π．【點(diǎn)評】本題考查正四面體的結(jié)構(gòu)特征、球的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知{an}為等差數(shù)列，且a5＝3a1，a1+a5+a14＝a10+24．（1）求{an}的通項公式；（2）若2n?λ≥a1+a2+?+an恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)題意建立方程求出等差數(shù)列的首項與公差，從而可求解；（2）先求出等差數(shù)列的前n項和，再將恒成立問題參變分離，接著利用數(shù)列的單調(diào)性求出變量的最值，從而得解．【解答】解：（1）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則根據(jù)題意可得，解得，∴an＝2n+2；（2）由（1）可知，又4n?λ≥a1+a2+?+an恒成立，∴恒成立，設(shè)，則，當(dāng)n＝1時，，即f（2）＞f（1），當(dāng)n≥2時，﹣n2﹣n+4＜2，∴f（n+1）﹣f（n）＜0，∴f（n）＞f（n+6），∴，故實(shí)數(shù)λ的取值范圍為[，+∞）．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的通項公式的求解，恒成立問題的求解，屬中檔題．16．（15分）某公司有5臺舊儀器，其中有2臺儀器存在故障，（1）現(xiàn)有一位工人從這5臺儀器中隨機(jī)選擇3臺進(jìn)行檢測，記ξ為這3臺儀器中存在故障的臺數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）為了提高生產(chǎn)，該公司擬引進(jìn)20臺此種新儀器，若每臺儀器的運(yùn)行相互獨(dú)立，記X為這20臺新儀器在運(yùn)行過程中發(fā)生故障的臺數(shù)，借助泊松分布（ξ＝k）＝，k＝0，1，2，…，則稱隨機(jī)變量ξ服從泊松分布．②設(shè)n～B（n，p），當(dāng)p≤0.05且n≥20時，二項分布可近似看成泊松分布．即P（η＝k）＝pk（1﹣p）n﹣k≈，其中λ＝E（n）．③泊松分布表（局部）表中列出了P（ξ＝k）＝的值（如：λ＝0.5時，P（ξ＝5）＝0.000158）λk…0.50.60.7…0…0.0.0.…1…0.0.0.…2…0.0758160.0987860.…3…0.0126360.0197570.028388…4…0.0015800.0029640.004968…5…0.0001580.0003560.000696…6…0.0000130.0000360.000081…7…0.0000010.0000030.000008…【分析】（1）由題意可知，ξ的所有可能取值為0，1，2，利用古典概型的概率公式求出相應(yīng)的概率，進(jìn)而得到ξ的分布列，再結(jié)合期望公式求解；（2）依題X～B（20，0.03），此時二項分布可近似看成泊松分布，再利用泊松分布的概率公式求解．【解答】解：（1）由題意可知，ξ的所有可能取值為0，1，2，則，，，所以ξ的分布列為：ξ812P所以ξ的期望為；（2）依題X～B（20，0.03），所以P（X＝3）＝，因為0.03＜4.05，20≥20，于是，所以X＝3時的概率估計值為0.019757．【點(diǎn)評】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查了二項分布的概率公式，屬于中檔題．17．（15分）已知四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，平面ADD1A1⊥平面ABCD，AA1＝3，，，點(diǎn)P為DD1的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在棱BC上，且BQ＝3QC．（1）證明：PQ∥平面ABB1A1；（2）求二面角Q﹣A1P﹣D1的正弦值．【分析】（1）取AA1的中點(diǎn)為M，連結(jié)MP，MB，先證四邊形BMPQ是平行四邊形，可得PQ∥MB，再由線面平行的判定定理，即可得證；（2）結(jié)合余弦定理與勾股定理可證AA1⊥AD，利用面面垂直的性質(zhì)定理知AA1⊥平面ABCD，再以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角，即可得解．【解答】（1）證明：取AA1的中點(diǎn)為M，連結(jié)MP，則，且MP∥AD，因為AD∥BQ，BQ＝6，所以MP∥BQ，MP＝BQ，所以四邊形BMPQ是平行四邊形，所以PQ∥MB，因為PQ∥MB，MB?平面ABB1A1，PQ?平面ABB6A1，所以PQ∥平面ABB1A2．（2）解：在ΔA1D1D中，?DD1cos∠A1D6D＝4+20﹣2×2×2×（﹣，所以A1D＝5，在ΔA4AD中，＝，即AA1⊥AD，因為平面AA1D8D⊥平面ABCD，平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，AA5?平面AA1D1D，所以AA7⊥平面ABCD，故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，A1（8，0，3），2，0），所以，，設(shè)平面A1PQ的法向量為＝（x，y，則，令z＝7，得x＝3，所以，4，2），易知平面A1PD1的一個法向量為＝（5，0，設(shè)二面角Q﹣A1P﹣D3為θ，由圖知，θ為鈍角，所以cosθ＝﹣|cos＜，＞|＝﹣＝﹣，所以sinθ＝＝，故二面角Q﹣A1P﹣D1的正弦值為．【點(diǎn)評】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面平行的判定定理，面面垂直的性質(zhì)定理，利用向量法求二面角是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．18．（17分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B分別是x軸和y軸上的動點(diǎn)，且，記P的軌跡為C．（1）求C的方程；（2）設(shè)曲線C與x軸的交點(diǎn)為A1，A2（A1在A2的左邊），過點(diǎn)Q（1，0）且不與x軸平行的直線l與C相交于M，記直線A1M，A2N的斜率分別為k1和k2，求的值．【分析】（1）由已知結(jié)合向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示即可求解；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系及直線的斜率關(guān)系即可求解．【解答】解：（1）設(shè)P（x，y）0，0），B（4，y0），因為|AB|＝，所以，由得，，將，代入得，，所以動點(diǎn)P的軌跡C的方程為；（2）由（1）知A（﹣2，0），A，3），M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立得，（4+m2）y2﹣2my﹣3＝6，由韋達(dá)定理得，，于是，從而，因為，，x1＝my+1，x3＝my+1，則，，，所以．【點(diǎn)評】本題主要考查了橢圓方程的求解，還考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題