河南省信陽市名校2024屆高三下學期全真模擬考試 數學試題【含答案】

河南省2024年普通高考模擬測試數學注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．復數滿足，則（

）A． B． C． D．2．若非空集合，，，滿足：，，則（

）A． B． C． D．3．已知命題“”，則為（

）A．B．C．D．4．已知，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．5．拋物線上的點到焦點的距離為（

）A． B．2 C． D．16．若，則（

）A．1 B． C．2 D．7．已知某4個數據的平均值為6，方差為3，現加入數據8和10，則這6個數據的方差為（

）A．2 B． C． D．8．若，則（

）A．180 B． C． D．90二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．設橢圓：的左、右焦點分別為、，是上的動點，則下列結論正確的是（

）A．橢圓的離心率B．C．面積的最大值為12D．的最小值為10．已知各項均為正數且單調遞減的等比數列滿足，，成等差數列，其前項和為，且，則（

）A． B．C． D．11．下列命題正確的是（

）A．數據4，5，6，7，8，8的第50百分位數為6B．已知隨機變量，若，則C．對于隨機事件A，B，若，，，則A與B相互獨立D．已知采用分層隨機抽樣得到的高三年級男生、女生各100名學生的身高情況為：男生樣本平均數為172，方差為120，女生樣本平均數為165，方差為120，則總體樣本方差為120三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．某生產線正常生產下生產的產品的一項質量指標近似服從正態(tài)分布，若，則實數的值為.13．已知圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為5，側面積為，則圓臺的高為.14．已知4件產品中有2件次品，現逐個不放回檢測，直至能確定所有次品為止，記檢測次數為，則.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．在中，內角，，的對邊分別為，，，已知．（1）求角；（2）若，是的中點，，求邊．16．某手機App公司對一小區(qū)居民開展5個月的調查活動，使用這款人數的滿意度統計數據如下：月份12345不滿意的人數1201051009580(1)求不滿意人數與月份之間的回歸直線方程，并預測該小區(qū)10月份對這款App不滿意人數；(2)工作人員從這5個月內的調查表中隨機抽查100人，調查是否使用這款App與性別的關系，得到下表：根據小概率值的獨立性檢驗，能否認為是否使用這款App與性別有關？使用App不使用App女性4812男性2218附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，，，0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82817．如圖，在三棱柱中，，為的中點，平面.

(1)求證：；(2)若，求二面角的余弦值.18．設橢圓的左焦點為，上頂點為.已知橢圓的短軸長為4，離心率為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設點在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點，點為直線與軸的交點，點在軸的負半軸上.若（為原點），且，求直線的斜率.19．已知函數，其中，.若點在函數的圖像上，且經過點的切線與函數圖像的另一個交點為點，則稱點為點的一個“上位點”，現有函數圖像上的點列，，…，，…，使得對任意正整數，點都是點的一個“上位點”.(1)若，請判斷原點是否存在“上位點”，并說明理由；(2)若點的坐標為，請分別求出點、的坐標；(3)若的坐標為，記點到直線的距離為.問是否存在實數和正整數，使得無窮數列、、…、…嚴格減？若存在，求出實數的所有可能值；若不存在，請說明理由.1．D【分析】首先求復數，再求模.【詳解】，所以.故選：D2．B【分析】根據交集和子集概念進行推導即可.【詳解】因為，所以依據交集概念可知，故A錯，又因為，所以且，所以，即，故B正確，所以，故C、D錯.故選：B.3．C【分析】根據存在量詞命題的否定的知識求得正確答案.【詳解】存在量詞命題：的否定是：.故選：C4．D【分析】首先根據向量數量積公式，求，再代入投影向量公式，即可求解.【詳解】，由，得，所以向量在上的投影向量為.故選：D5．A【分析】根據拋物線上的點求拋物線方程，再根據焦半徑公式，即可求解.【詳解】由條件可知，，則，所以，所以點到焦點的距離.故選：A6．B【分析】由同角的三角函數和二倍角公式結合特殊角的三角函數計算可得.【詳解】因為，所以，所以，所以，故選：B7．B【分析】根據題意，由平均數以及方差的計算公式，代入計算，即可得到結果【詳解】設原來4個數據依次為a、b、c、d，則，由方差為3，所以，即，所以，則，現加入數據8和10，則則其平均數為，則這6個數據的方差為故選：B8．A【分析】由寫出其通項公式，依題意對賦值即可求得.【詳解】因，其二項展開式的通項為：，而是的系數，故只需取，得，即.故選：A.9．AC【分析】對于A，由橢圓方程及離心率概念可得；對于B，由橢圓定義可判斷；對于C、D，由橢圓圖形的結構特征和性質可得.【詳解】對于A，由橢圓方程得，所以，所以離心率為，故A對；對于B，由橢圓定義可知，故B錯；對于C，由橢圓圖形的結構特征及性質可知當P位于橢圓上頂點或下頂點時，面積取得最大，最大值為，故C對；對于D，由橢圓性質可知，所以的最小值為2，故D錯.故選：AC.10．AC【解析】先根據，，成等差數列求出公比，結合求出首項，結合選項可得.【詳解】由，，成等差數列，得.設的公比為，則，解得或（舍去），所以，解得.所以數列的通項公式為，，故選：AC.11．BC【分析】根據百分位數定義判斷A；由二項分布方差計算公式判斷B；由條件概率公式和獨立事件的定義判斷C；由分層抽樣樣本方差的計算公式判斷D.【詳解】對于A，由于，則數據4，5，6，7，8，8的第50百分位數為，故A錯誤；對于B，由于，則，故B正確；對于C，若，根據條件概率公式則有，變形可得，則與相互獨立，故C正確；對于D，分層抽樣的平均數，按分層抽樣樣本方差的計算公式，，故D錯誤.故選：BC12．3【分析】根據正態(tài)分布的對稱性可得方程，求出.【詳解】近似服從正態(tài)分布，，故，解得.故答案為：313．3【分析】根據圓臺的側面積求圓臺的母線，再根據圓臺軸截面求出高即可.【詳解】因為圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為5，側面積為，設母線長為，高為.則，解得.如圖所示圓臺的軸截面，在中，，由勾股定理得：圓臺的高.故答案為：3.14．【分析】首先確定，分別求出各自的概率，然后期望公式可求【詳解】記檢測次數為，則當時，檢測的兩件產品均為正品或為次品，則，當時，只需前兩件產品中正品和次品各一件，第三件無論是正品還是次品，都能確定所有次品，則，所以，故答案為：15．（1）；（2）.【解析】（1）先利用正弦定理將邊轉化到角的正弦，結合進行化簡，即求得角；（2）中利用余弦定理求得，判斷是等邊三角形，即得到邊.【詳解】解：（1）因為，由正弦定理得：，因為，代入上式得，，即，即因為中，，所以，即，又因為中，，所以；（2）依題意，中，，，利用余弦定理可得，，即，解得，中，，，故是等邊三角形，故.【點睛】思路點睛：一般地，解有關三角形的題目時，通常利用正弦定理或余弦定理對邊角關系進行轉化，要有意識地已知條件判斷用哪個定理更合適.如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理.16．(1)；37(2)即認為是否使用這款APP與性別有關，此推斷的錯誤概率不大于【分析】（1）根據題給數據求解回歸方程即可得出結論；（2）根據題給數據分析列聯表求解得出結論【詳解】（1）由表中的數據可知，，，，，不滿意人數與月份之間的回歸直線方程為，當時，預測該小區(qū)10月份對這款App不滿意人數為37；（2）提出假設：是否使用這款App與性別無關，由表中的數據可得，根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為是否使用這款APP與性別有關，此推斷的錯誤概率不大于17．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據給定條件，借助余弦定理及勾股定理的逆定理證得，再利用線面垂直的判定、性質推理即得.（2）由（1）的信息以為原點建立空間直角坐標系，利用面面角的向量求法求解即可.【詳解】（1）在三棱柱中，，則，由，得，在中，，由余弦定理，得，，于是，由平面平面，得，而平面，因此平面，又平面，所以，（2）由（1）知，兩兩垂直，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，由，得，則，于是，設為平面的一個法向量，則，取，得，顯然為平面的一個法向量，因此，顯然二面角的大小為銳角，所以二面角的余弦值為.

18．（Ⅰ）（Ⅱ）或.【分析】(Ⅰ)由題意得到關于a,b,c的方程，解方程可得橢圓方程；(Ⅱ)聯立直線方程與橢圓方程確定點P的坐標，從而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表達式，最后利用直線垂直的充分必要條件得到關于斜率的方程，解方程可得直線的斜率.【詳解】(Ⅰ)設橢圓的半焦距為，依題意，，又，可得，b=2，c=1.所以，橢圓方程為.(Ⅱ)由題意，設.設直線的斜率為，又，則直線的方程為，與橢圓方程聯立，整理得，可得，代入得，進而直線的斜率，在中，令，得.由題意得，所以直線的斜率為.由，得，化簡得，從而.所以，直線的斜率為或.【點睛】本題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質?直線方程等基礎知識.考查用代數方法研究圓錐曲線的性質.考查運算求解能力，以及用方程思想解決問題的能力.19．(1)原點不存在“上位點”，理由見解析(2)點的坐標為，點的坐標為(3)存在，【分析】（1）先求得函數經過點的切線方程，再根據“上位點”的定義判斷即可；（2）設點的橫坐標為，為正整數，再根據導數的幾何意義結合“上位點”的定義化簡可得，進而可得、的坐標；（3）由（2），構造等比數列可得，由題意，再根據導數與單調性的關系分析判斷即可.【詳解】（1）已知，則，得，故函數經過點的切線方程為，其與函數圖像無其他交點，所以原點不存在“上位點”.（2）設點的橫坐標為，為正整數，則函數圖像在點處的切線方程為，代入其“上位點”，得，化簡得，即