天津市蘆臺一中2025屆高三寒假模擬(二)數(shù)學(xué)試題試卷_第1頁
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文檔簡介

天津市蘆臺一中2025屆高三寒假模擬(二)數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn),以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)及點(diǎn),則雙曲線的方程為()A. B. C. D.2.已知數(shù)列為等差數(shù)列,為其前項(xiàng)和,,則()A.7 B.14 C.28 D.843.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為M,若.則該雙曲線的離心率為A.2 B.3 C. D.4.若,則,,,的大小關(guān)系為()A. B.C. D.5.已知x,y滿足不等式組,則點(diǎn)所在區(qū)域的面積是()A.1 B.2 C. D.6.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A. B.C. D.7.“且”是“”的()A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.如圖是2017年第一季度五省GDP情況圖,則下列陳述中不正確的是()A.2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江?。瓸.與去年同期相比,2017年第一季度的GDP總量實(shí)現(xiàn)了增長.C.2017年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個(gè)D.去年同期河南省的GDP總量不超過4000億元.9.已知復(fù)數(shù)滿足,則=()A. B.C. D.10.網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1單位長度,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則此幾何體的體積為()A.1 B. C.3 D.411.設(shè)是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)()A. B. C. D.12.已知的值域?yàn)?,?dāng)正數(shù)a,b滿足時(shí),則的最小值為()A. B.5 C. D.9二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.“石頭、剪子、布”是大家熟悉的二人游戲,其規(guī)則是:在石頭、剪子和布中,二人各隨機(jī)選出一種,若相同則平局;若不同,則石頭克剪子,剪子克布,布克石頭.甲、乙兩人玩一次該游戲,則甲不輸?shù)母怕适莀_____.14.函數(shù)的最大值與最小正周期相同,則在上的單調(diào)遞增區(qū)間為______.15.已知函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.16.已知平面向量與的夾角為,,,則________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖在四邊形中,,,為中點(diǎn),.(1)求;(2)若,求面積的最大值.18.(12分)已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,證明:.19.(12分)已知函數(shù),其中.(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)設(shè),求證:;(Ⅲ)若對于恒成立,求的最大值.20.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)若在上恒成立,求的取值范圍.21.(12分)已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),為其前n項(xiàng)和,對于任意的滿足關(guān)系式.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是,前n項(xiàng)和為,求證:對于任意的正數(shù)n,總有.22.(10分)甲、乙兩班各派三名同學(xué)參加知識競賽,每人回答一個(gè)問題,答對得10分,答錯(cuò)得0分,假設(shè)甲班三名同學(xué)答對的概率都是,乙班三名同學(xué)答對的概率分別是,,,且這六名同學(xué)答題正確與否相互之間沒有影響.(1)記“甲、乙兩班總得分之和是60分”為事件,求事件發(fā)生的概率;(2)用表示甲班總得分,求隨機(jī)變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】

根據(jù)雙曲線方程求出漸近線方程:,再將點(diǎn)代入可得,連接,根據(jù)圓的性質(zhì)可得,從而可求出,再由即可求解.【詳解】由雙曲線,則漸近線方程:,,連接,則,解得,所以,解得.故雙曲線方程為.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì),需掌握雙曲線的漸近線求法,屬于中檔題.2.D【解析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,可求解得到,利用求和公式和等差中項(xiàng)的性質(zhì),即得解【詳解】,解得..故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式和等差中項(xiàng),考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.3.D【解析】

本題首先可以通過題意畫出圖像并過點(diǎn)作垂線交于點(diǎn),然后通過圓與雙曲線的相關(guān)性質(zhì)判斷出三角形的形狀并求出高的長度,的長度即點(diǎn)縱坐標(biāo),然后將點(diǎn)縱坐標(biāo)帶入圓的方程即可得出點(diǎn)坐標(biāo),最后將點(diǎn)坐標(biāo)帶入雙曲線方程即可得出結(jié)果。【詳解】根據(jù)題意可畫出以上圖像,過點(diǎn)作垂線并交于點(diǎn),因?yàn)椋陔p曲線上,所以根據(jù)雙曲線性質(zhì)可知,,即,,因?yàn)閳A的半徑為,是圓的半徑,所以,因?yàn)?,,,,所以,三角形是直角三角形,因?yàn)?,所以,,即點(diǎn)縱坐標(biāo)為,將點(diǎn)縱坐標(biāo)帶入圓的方程中可得,解得,,將點(diǎn)坐標(biāo)帶入雙曲線中可得,化簡得,,,,故選D。【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì),主要考察了圓與雙曲線的相關(guān)性質(zhì),考查了圓與雙曲線的綜合應(yīng)用,考查了數(shù)形結(jié)合思想,體現(xiàn)了綜合性,提高了學(xué)生的邏輯思維能力,是難題。4.D【解析】因?yàn)?,所以,因?yàn)?,,所?.綜上;故選D.5.C【解析】

畫出不等式表示的平面區(qū)域,計(jì)算面積即可.【詳解】不等式表示的平面區(qū)域如圖:直線的斜率為,直線的斜率為,所以兩直線垂直,故為直角三角形,易得,,,,所以陰影部分面積.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查不等式組表示的平面區(qū)域面積的求法,考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算能力,屬于??碱}.6.B【解析】

由題意首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征,然后結(jié)合空間結(jié)構(gòu)特征即可求得其表面積.【詳解】由三視圖可知,該幾何體為邊長為正方體挖去一個(gè)以為球心以為半徑球體的,如圖,故其表面積為,故選:B.【點(diǎn)睛】(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積,關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?,從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和;組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.(3)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面,計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算,而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和.7.A【解析】

畫出“,,,所表示的平面區(qū)域,即可進(jìn)行判斷.【詳解】如圖,“且”表示的區(qū)域是如圖所示的正方形,記為集合P,“”表示的區(qū)域是單位圓及其內(nèi)部,記為集合Q,顯然是的真子集,所以答案是充分非必要條件,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式表示的平面區(qū)域問題,考查命題的充分條件和必要條件的判斷,難度較易.8.C【解析】

利用圖表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析即可求解.【詳解】對于A選項(xiàng):2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分別是:江蘇、遼寧、山東、河南、浙江,故A正確;對于B選項(xiàng):與去年同期相比,2017年第一季度5省的GDP均有不同的增長,所以其總量也實(shí)現(xiàn)了增長,故B正確;對于C選項(xiàng):2017年第一季度GDP總量由高到低排位分別是:江蘇、山東、浙江、河南、遼寧,2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分別是:江蘇、遼寧、山東、河南、浙江,均居同一位的省有2個(gè),故C錯(cuò)誤;對于D選項(xiàng):去年同期河南省的GDP總量,故D正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了圖表分析,學(xué)生的分析能力,推理能力,屬于基礎(chǔ)題.9.B【解析】

利用復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算法則化簡即可得到結(jié)論.【詳解】由,得,所以,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的基本概念,屬于基礎(chǔ)題.10.A【解析】

采用數(shù)形結(jié)合,根據(jù)三視圖可知該幾何體為三棱錐,然后根據(jù)錐體體積公式,可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)三視圖可知:該幾何體為三棱錐如圖該幾何體為三棱錐,長度如上圖所以所以所以故選:A【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三視圖求直觀圖的體積,熟悉常見圖形的三視圖:比如圓柱,圓錐,球,三棱錐等;對本題可以利用長方體,根據(jù)三視圖刪掉沒有的點(diǎn)與線,屬中檔題.11.D【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,化簡復(fù)數(shù),即可求解,得到答案.【詳解】由題意,復(fù)數(shù),故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,其中解答中熟記復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.12.A【解析】

利用的值域?yàn)?求出m,再變形,利用1的代換,即可求出的最小值.【詳解】解:∵的值域?yàn)?∴,∴,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,∴的最小值為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了對數(shù)復(fù)合函數(shù)的值域運(yùn)用,同時(shí)也考查了基本不等式中“1的運(yùn)用”,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

用樹狀圖法列舉出所有情況,得出甲不輸?shù)慕Y(jié)果數(shù),再計(jì)算即得.【詳解】由題得,甲、乙兩人玩一次該游戲,共有9種情況,其中甲不輸有6種可能,故概率為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)事件的概率,是基礎(chǔ)題.14.【解析】

利用三角函數(shù)的輔助角公式進(jìn)行化簡,求出函數(shù)的解析式,結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】∵,則函數(shù)的最大值為2,周期,的最大值與最小正周期相同,,得,則,當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),得,即函數(shù)在,上的單調(diào)遞增區(qū)間為,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)、單調(diào)區(qū)間,利用輔助角公式求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵,同時(shí)要注意單調(diào)區(qū)間為定義域的一個(gè)子區(qū)間.15.【解析】

當(dāng)時(shí),轉(zhuǎn)化條件得有唯一實(shí)數(shù)根,令,通過求導(dǎo)得到的單調(diào)性后數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí),,故不是函數(shù)的零點(diǎn);當(dāng)時(shí),即,令,,,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,的單調(diào)減區(qū)間為,增區(qū)間為,又,可作出的草圖,如圖:則要使有唯一實(shí)數(shù)根,則.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬于難題.16.【解析】

根據(jù)已知求出,利用向量的運(yùn)算律,求出即可.【詳解】由可得,則,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查向量的模、向量的數(shù)量積運(yùn)算,考查計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)1;(2)【解析】

(1),在和中分別運(yùn)用余弦定理可表示出,運(yùn)用算兩次的思想即可求得,進(jìn)而求出;(2)在中,根據(jù)余弦定理和基本不等式,可求得,再由三角形的面積公式以及正弦函數(shù)的有界性,求出的面積的最大值.【詳解】(1)由題設(shè),則在和中由余弦定理得:,即解得,∴(2)在中由余弦定理得,即,∴所以面積的最大值為,此時(shí).【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,以及三角形面積公式的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于中檔題.18.(1);(2)見解析.【解析】

(1)令,,利用可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式,由此可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求得,利用裂項(xiàng)相消法求得,進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】(1)令,,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,則,故;(2),.【點(diǎn)睛】本題考查利用求通項(xiàng),同時(shí)也考查了裂項(xiàng)相消法求和,考查計(jì)算能力與推理能力,屬于基礎(chǔ)題.19.(Ⅰ)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為;(Ⅱ)證明見解析;(Ⅲ).【解析】

(Ⅰ)利用二次求導(dǎo)可得,所以在上為增函數(shù),進(jìn)而可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為;(Ⅱ)利用導(dǎo)數(shù)可得在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn),所以函數(shù)在遞減,在,遞增,則,進(jìn)而可證;(Ⅲ)條件等價(jià)于對于恒成立,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)性,即可得到的最小值為,再次構(gòu)造函數(shù)(a),,利用導(dǎo)數(shù)得其單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而求得最大值.【詳解】(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,則,所以,又因?yàn)?,所以在上為增函?shù),因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),,為增函數(shù),當(dāng)時(shí),,為減函數(shù),即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為;(Ⅱ),則令,則(1),,所以在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn),設(shè)零點(diǎn)為,則,且,當(dāng)時(shí),,當(dāng),,,所以函數(shù)在遞減,在,遞增,,由,得,所以,由于,,從而;(Ⅲ)因?yàn)閷τ诤愠闪?,即對于恒成立,不妨令,因?yàn)椋?,所以的解為,則當(dāng)時(shí),,為增函數(shù),當(dāng)時(shí),,為減函數(shù),所以的最小值為,則,不妨令(a),,則(a),解得,所以當(dāng)時(shí),(a),(a)為增函數(shù),當(dāng)時(shí),(a),(a)為減函數(shù),所以(a)的最大值為,則的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值,以及函數(shù)不等式恒成立問題的解法,意在考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于較難題.20.(1);(2)【解析】

(1),對函數(shù)求導(dǎo),分別求出和,即可求出在點(diǎn)處的切線方程;(2)對求導(dǎo),分、和三種情況討論的單調(diào)性,再結(jié)合在上恒成立,可求得的取值范圍.【詳解】(1)因?yàn)?所以,所以,則,故曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(2)因?yàn)?所以,①當(dāng)時(shí),在上恒成立,則在上單調(diào)遞增,從而成立,故符合題意;②當(dāng)時(shí),令,解得,即在上單調(diào)遞減,則,故不符合題意;③當(dāng)時(shí),在上恒成立,即在上單調(diào)遞減,則,故不符合題意.綜上,的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了曲線的切線方程的求法,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了不等式恒成立問題,利用分類討論是解決本題的較好方法,屬于中檔題.21.(1)(2)證明見解析【解析】

(1)根據(jù)公式得到,計(jì)算得到答案.(2),根據(jù)裂項(xiàng)求和法計(jì)算得到,得到證明.【詳解】(1)由已知得時(shí),,故.故數(shù)列為等比數(shù)列,且公比.又當(dāng)時(shí),,..(2)..【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列通項(xiàng)公式和證明數(shù)列不等式,

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