初中數(shù)學競方程部分強化練習

初中數(shù)學競方程部分強化練習

學校:___________.姓名：___________班級:_______—考號：_____

一、單選題

1.方程4/-40㈤+51=0的實數(shù)解的個數(shù)是（）.

A.1B.2C.3D.4

2.方程/_6/_》+6=0的所有根的積是（）.

A.3B.-3C.4D.-6

3.八年級二班的同學參加社區(qū)公益活動——收集廢舊電池，其中，甲組同學平均每人

收集17個，乙組同學平均每人收集20個，丙組同學平均每人收集21個.若這三個小

組共收集了233個廢舊電池，則這三個小組共有學生（）人.

A.12B.13C.14D.15

4.已知a,0,Gd都是實數(shù)，則下列命題中，錯誤的是（）.

A.ci1+b2+c2=ab+bc+ca，貝!|a=b=c

B.若0s+方+c，=3abc,則a=b=c

C.若a'+ZZ+c'+d4=2方戶+c2d2）,則。二人;。：]

D.若a"++c，+d，=4abcd,則a=0=c=（/

2

5.關于工的方程上7=。僅有兩個不同實根，則實數(shù)。的取值范圍是（）.

x-1

A.a>0B.a>4C.2<。<4D.0<a<4

yjx1-7

6.要使分式2-根-3|有意義,則x的取值范圍是（）

■^4

A.x>4B.冗2近且xw5C.x>4且xw5D.4<x<5

7.若實數(shù)〃，人滿足人"2,（1_"_（1+憶4,則〃5—戶=（）

ba

A.46B.64C.82D.128

[xy+xz=255,

8.滿足方程組”的正整數(shù)組（x,y,z）的組數(shù)是（）

[xy+yz=3i

A.3B.2C.1D.0

9.含有絕對值的方程|2X-1-N=2的不同實數(shù)解共有（）.

A.1個B.2個C.3個D.4個

10.下列方程是一元高次方程的是()

A.x+3=0B.x2-3x-1=0C.^+^+―=0D./+1=0

x

二、填空題

11.設[可表示不超過尤的最大整數(shù)(如此.2]=5,[-5.2]=-6,則方程

[5x+2]=2尤+萬解為.

12.整數(shù)”，力滿足6?〃=9a—106+303,則a+b=.

13.若x為整數(shù)，3Vx<200,且V+(x+l)2是一個完全平方數(shù)，則整數(shù)x的值等于

14.方程3-x=0在實數(shù)范圍內的解是

15.a,b,c都是正整數(shù)，且滿足成+bc=3984,ac+bc=1993,則北?的最大值是

16.一項工程，甲、乙兩隊合作，3^天可以完成；乙、丙兩隊合作，5；天可以完

成；甲、丙兩隊合作，4天可以完成.若由這三個隊各自單獨完成，需要最少的天數(shù)

為天.

三、解答題

17.今有濃度為5%,8%,9%的甲、乙、丙三種鹽水分別為60g,60g,47g,現(xiàn)要配制成濃

度為7%的鹽水100g.間甲鹽水最多可用多少克?最少可用多少克？

18.某商場經營甲、乙兩種商品，甲種商品每件進價100元，售價比進價多40%,乙

種商品每件售價160元，售價比進價多!.

(1)求每件甲種商品的售價和每件乙種商品的進價；

(2)若該商場同時購進甲、乙兩種商品共100件，花去11120元，求該商場購進乙種商

品多少件？

(3)春節(jié)期間，該商場對甲、乙兩種商品進行如下優(yōu)惠活動：

①不超過2000元，不優(yōu)惠；

②超過2000元且不超過2500元，九折優(yōu)惠；

③超過2500元，八折優(yōu)惠.

按照上述優(yōu)惠條件，憂憂第一天只購買乙種商品一次性付款1760元，第二天只購買甲

種商品一次性付款2016元，那么這兩天憂憂在該商場購買甲、乙兩種商品一共多少

件？

19.如果一個四位自然數(shù)M的千位數(shù)字和百位數(shù)字相等，十位數(shù)字和個位數(shù)字之和為

8,我們稱這樣的數(shù)為“等合數(shù)”,例如：對于四位數(shù)5562,；5=5且6+2=8,二5562為

“等合數(shù)”，又如：對于四位數(shù)4432,???4=4但3+2彳8,所以4432不是“等合數(shù)”

⑴判斷6627、1135是否是“等合數(shù)”，并說明理由;

(2)已知M為一個“等合數(shù)”，且M能被9整除.將M的各個數(shù)位數(shù)字之和記為尸

(M),將M的個位數(shù)字與十位數(shù)字的差的絕對值記為Q(M),并令G(M)=P

(")xQ(M),當G(M)是完全平方數(shù)(0除外)時，求出所有滿足條件的

20.已知"?，〃為整數(shù)，〃為整數(shù)，且滿足2>+/?+3帆+〃-1=0，求小，〃的值.

21.2022年中國航天在諸多領域實現(xiàn)重大突破，在全國掀起航天知識學習的浪潮.某

校40名同學要去參觀航天展覽館，已知展覽館分A、B、C三個場館，且購買2張A

場館門票和I張B場館門票共需要140元，購買3張A場館門票和2張B場館門票共

需要230元.由于場地和疫情原因，要求到A場館參觀的人數(shù)要少于到B場館參觀的

人數(shù)，且每一位同學只能選擇一個場館參觀.

(1)求A場館和8場館門票的單價.

(2)已知C場館門票每張售價15元，且參觀當天有優(yōu)惠活動；每購買1張A場館門票就

贈送1張C場館門票.

①若購買A場館門票贈送的C場館門票剛好夠參觀C場館的同學使用，求此次購買門

票所需總金額的最小值.

②若參觀C場館的同學除了使用掉贈送的門票外，還需另外購買部分門票，且最終購

買三種門票共花費了1200元，求所有滿足條件的購買方案.

22.甲、乙兩人分別從A、8兩地同時相向勻速前進，第一次相遇在距A點4km處，

然后繼續(xù)前進，甲到B地，乙到A地后都立即返回，第二次相遇在距B點2km處，求

4、B兩地間的距離.

23.已知X4_5/+8X2_5X+1=0,求x+4的值.

x

24.一列火車長x米，勻速通過300米的隧道，用時25秒，隧道頂部一盞固定的燈在

火車上照了10秒，求火車的長度.

X2-9y2=0

25.解方程組:

x2-2xy+y2=16

參考答案:

1.D

【解析】

【分析】

【詳解】

令[%]=加，則x=/%+a,OWa<l,

代入原方程得4(m+a)2-40/n+51=0,

即4a*+Sma+(4m2—40/n+51)=0.

解出a得：&=衛(wèi)士匹亙.

2

注意到OWctcl,及40加一5120,有

0<-(~2m+V40//7-51)<1,?①

2

由①，0<—2m+V40/W—51<2,SP2m<V40/??-51<2+2m.

JI)7

因〃z>—,4m<40m-51<4+8〃z+4m,

40

3]7

故得4加2-40〃？+5140n—<膽<一,(3)

22

4m2-32m+55>0=>m<—^,m>—.④

22

綜合③④，或?■</?<?.

2222

注意到用為整數(shù),知加=2,6,7,8.

、曬公V189>/229。^69

代入可得相應的四個a值,a=-2+---,-6+-----,-7+-----，-8+------

2222

71897229^269

可得原方程有四個實數(shù)解:曬

,2222

2.D

【解析】

【分析】

【詳解】

解原方程化為（丁-6/）-（》-6）=0,

答案第1頁，共15頁

即X2(X-6)-(X-6)=0,

即*-6)卜2-1)=0,

BP(x-6)(x-l)(x+l)=0,

r.x,=6,%=1,%=7,從而玉々彳3=-6.故選。.

3.A

【解析】

【分析】

【詳解】

解選A.理由：設甲、乙、丙三個小組的學生人數(shù)分別為x,y,z.由題意得

17x+20y+21z=233.

因233=17x+20y+21z>17x+17y+17z,貝lj

1717

又233=17x+20y+21z<21x+21y+21z,則

233一2

x+y+z>-----=11—

2121

212

于是，11—<x+y+z<l3—.

2117

由于x,y,z均為正整數(shù)，則

x+y+z=12或x+y+z=13.

(i)當x+y+z=13時，由方程組

x+y+z=13,

,“；”。消去X，得3y+4z=12,此方程無正整數(shù)解.

1lx+20y+21z=233

(ii)當x+y+z=12時，由方程組

1vZ；：；￡'1Z=233消去Z'得4f=9此方程有正整數(shù)解.

故x+y+z=12,即三個小組共有學生12人.

x+y+z=12,」

實際上，由于x,?z均為正整數(shù)，并結合方程組可解得

4x+y=19,

(x,y,z)=(3,7,2),(4,3,5).

4.C

答案第2頁，共15頁

【解析】

【分析】

【詳解】

對A,因2(/+b2+c2)-2(ab+bc+ca)=0,

即(a-。)？+(/>-c)2+(c-a)2=0,所以a-8=b-c=c—a=0,即a=b=c,故A成立.

對B,因<?+/?+<?-3aZ?c=(a+6+c)(a2+b2+c2+ab+bc+ca)

=—{a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]=0,

所以a+8+c=0,或a=6=c,不一定有a=/?=c,故B不成立.

對C,H+/j4+c4+J4-2a2b2-2c2d2=0,BP(a2-b2)2+(c2-d2)2=0,

所以/=6,c2=d2,即a=±"c=±d,不一定有q=b=c=d,故C不成立.

對D,因(a,-2a2b2+b4)+(c4-2c2d2+d4)+2a2b2+2c2d?-4abcd=0,

即(“2一萬)2+d-d2)2+2(〃-cd)2=。^a2=b2,c2=d2,ab=cd,

由此可推出a=6=c="或a=-6=c=-4,不一定有a=b=c=4成立，故D不成立，所

以本題應選B、C、D.

(注：若限定4c,d都為正數(shù)，則B和D成立，答案應選C.)

5.D

【解析】

【分析】

【詳解】

2

當。<0時，無解；當。=0時，x=0,不合題意；當。>0時，原方程化為工=±a,整理

x-1

得

f-ov+a=0①或f+cix-a=0@.

因為②的判別式與=+4a>0,方程②必有兩個不同實根.

而原方程只有兩個不同實根，故方程①無實根，所以它的判別式A=a2-4a>0,解得

0<a<4.

故應選D.

答案第3頁，共15頁

6.C

【解析】

【分析】

【詳解】

X2-7>0[x<-V7WU>V7

依題意得，|x-3|x2=,xxl且xw5,nx>4且x*5.故選C.

x>4x>4

7.C

【解析】

【分析】

【詳解】

由條件一￡±<=4得a—b-2/-?2-446+/—b3=o，

ba

即(〃一人)一+4"]+(。-/?)[(〃―/?)2+3〃/?]=0,

y^a-b=2,所以2—2[4+4〃司+2[4+3?？?0,解得"=1.所以/+"二①一勿？+2"=6,

cP-/?=①-力[(〃-與2+3”人]=14,a5-h5=(a2+fe2)(a3a2b2(a-A)=82.

8.B

【解析】

【分析】

【詳解】

理由：由原方程組可得匕y+z：=q：??

[y(x+z)=3L?②

因為x,y,z都是正整數(shù)，且31是質數(shù)，所以由②，可得「'=1'③

由③得，l<x,z<30.

由①得，x(l+z)=3x5xl7,④

則x可取1,3,5,15,17,此時z分別為254,84,50,16,14.

結合③，只有》=15*=16;》=17*=14兩組解滿足.

9.B

【解析】

答案第4頁，共15頁

【分析】

【詳解】

解若則原方程化為2x-l-x=2,解出x=3；若則原方程化為

22

-（2JC-1）-X=2,

解出x=-g這與0<x<g矛盾，方程無解；當x40時，原方程化為-（2x-l）+x=2,解出

x=-l.

綜上知原方程有兩個實數(shù)解：x=3或x=-1.故選艮

10.D

【解析】

【分析】

根據(jù)一元高次方程的定義：只含一個未知數(shù)，未知項的最高次數(shù)大于等于3的整式方程，

即可得出答案.

【詳解】

解：這四個方程都只含一個未知數(shù)，

,:A,B中未知數(shù)的項的次數(shù)小于等于2,

.'A,B選項不是一元高次方程，不符合題意，

中分母中含有未知數(shù)，

，是分式方程，

；.C選項不符合題意，

???D符合一元高次方程定義：只含一個未知數(shù)，未知項的最高次數(shù)大于等于3的整式方

程，

.??D選項符合題意，

故選：D.

【點睛】

本題考查了一元高次方程的定義，注意幾元幾次方程都首先是整式方程.

11.--

4

【解析】

略

答案第5頁，共15頁

12.15

【解析】

【分析】

【詳解】

原方程可化為(3。+5)(26-3)=288,

即(3a+5)(26—3)=2,3?.

因為“，。均為整數(shù)，所以3a+5,2b-3亦為整數(shù).

[3

又因為3a+5不能被3整除，2〃-3不能被2整除.所以，只有,

解得“=9,6=6.

故a+Z?=9+6=15.

13.20或119

【解析】

【分析】

【詳解】

設/+*+1『=凡則(2x+l)2=2j_l.

令“=令+1,則“2—21>2=-1.

其為佩爾方程，其基本解為(%%)=(1』).

其全部正整數(shù)解可由""+匕=(旬+得到.

其中，3,“)=(7,5),3,嶺)=(41,29),(%,%)=(239,169),%>400.

故犬=20或119.

14.X/=0,X2=-l,X3=l.

【解析】

【分析】

利用因式分解法解方程即可.

【詳解】

解：x3-x=0,

x(x2-1)=0,

答案第6頁，共15頁

x(x+1)(x-1)=0,

x=0或x+l=0或x-1=0,

解得：XI—0,X2—-1,X3—1,

故答案為：Xl=o,X2=-\,X3=1.

【點睛】

本題考查了解高次方程，能把解高次方程轉化成解低次方程是解此題的關鍵.

15.3982

【解析】

【分析】

【詳解】

由條件，得

b(a+c)=3984,①

c(a+b)=1993.②

因為1993是質數(shù)，所以由②，得c=l,a+b=1993.

將6=1993—a代入①，得(1993—a)(a+l)=3984,

即/-1992〃+1991=0,

解得q=1g=1991.

從而得到a=1992也=2.

所以兩組解是：q=1,々=1992,q=1嗎=1991也=2,q=1.

因此，品的最大值是1991x2x1=3982.

16.6

【解析】

【分析】

設甲乙丙各自的工作效率為a,b,c,先求出三隊合作的工作效率，減去兩隊合作的工作效

率，即可解得a,b,c的大小，據(jù)此解題.

【詳解】

解：設甲乙丙各自的工作效率為a,b,c,則人+。=(1+1+9)+2=!1*!=整

lo36436236

Qa+b=—

18

答案第7頁，共15頁

_135_3_1

-C一五一布一石一五

???丙獨自完成需要12天

7

Q匕

=一

+C36

1371

=一=

3-6--6-

36

甲獨自完成工程需要6天，

Qa+c二:

,1311

3649

乙獨自完成工程需要9天，

最少的天數(shù)為6天，

故答案為：6.

【點睛】

本題考查工程問題，求出三隊合作的工作效率是本題的關鍵.

17.甲種鹽水最多可用49g,最少可用35g

【解析】

【分析】

【詳解】

x+y+z=100

5%x+8%y+9%z=100x7%

設3種鹽水應分別取xg，yg，zg,-0<x<60

04y460

0<z<47

y=200-4x0M200-4x460

解得所以

z=3x-1000<3x-100<47

解得354x449.

答：甲種鹽水最多可用40g,最少可用35g.

18.(1)每件甲種商品的售價是140元，乙種商品的進價是128元

(2)該商場購進乙種商品40件

(3)這兩天憂憂在該商場購買甲乙兩種商品一共27或29件

【解析】

答案第8頁，共15頁

【分析】

（1）由甲的售價比進價多40%,乙的售價比進價多!，分別計算甲的售價，乙的進價即

可解題；

（2）設乙種商品x件，根據(jù)購進甲、乙兩種商品共100件，花去11120元，列方程、解方

程即可解題；

（3）分兩種情況討論.

（1）

解：甲售價：100x（1+40%）=140（元）

乙進價：160+（1+；）=128（元）

答：每件甲種商品的售價是140元，乙種商品的進價是128元.

（2）

設乙種商品x件，

100x（100-x）+128x=11120

x=4O

答：該商場購進乙種商品40件.

（3）

第一天：17604-160=11（件）

第二天：2016+90%+140=16（件）或2016+80%+140=18（件）

11+16=27（件）或11+18=29（件）

答：這兩天憂憂在該商場購買甲乙兩種商品一共27或29件.

【點睛】

本題考查一元一次方程的實際應用，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵.

19.（1）6627不是“等合數(shù)”，1135是“等合數(shù)”，理由見解析

⑵5580,5508,5535,5553

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)“等合數(shù)”的定義判斷，即可求解；

（2）設M的千位和百位數(shù)為m十位數(shù)為4則個位數(shù)為8北，其中。為0〈把9的整數(shù)，

答案第9頁，共15頁

匕為叱后8的整數(shù)，可得P(M)=2〃+8,。(M)=|8-明，從而得到G(M)=

(2〃+8岡8-羽，0<|8-2*|<8,再由“能被9整除.可得2a+8能被9整除,從而得到

。=5,再由G(M)是完全平方數(shù)(0除外)可得到|8-力|=8或2,即可求解.

(1)

解：6627不是“等合數(shù)”，1135是“等合數(shù)”，理由如下：

V6=6,但2+7拜，

.?.6627不是“等合數(shù)”,

V1=1且3+5=8,

?*.1135是“等合數(shù)”；

(2)

解：為一個“等合數(shù)”，

???可設M的千位和百位數(shù)為“，十位數(shù)為b,則個位數(shù)為8?,其中“為0<好9的整數(shù)，b

為g后8的整數(shù)，

：.P(M)=a+a+Z>+8-b=2“+8,Q(M)=|8-b-b|=|8-?|,

：.G(A7)=PCM)xQ(M)=(2a+8)x|8-羽，0<|8-2Z?|<8,

能被9整除.

，2〃+8能被9整除，

當2a+8=9時，a=—,

2

當2。+8=18時，a=5,

19

當2〃+8=27時，a=一,

2

當2〃+8二36時，々=14(不合題意，舍去)，

/.a=5,

VG(M)是完全平方數(shù)(。除外)，

.?.1耶一明是完全平方數(shù)(0除外),

V0<|8-2/?|<8,

.?.|8-第=8或2,

答案第10頁，共15頁

解得：6=8或0或3或5,

...符合條件的M為5580,5508,5535,5553.

【點睛】

本題主要考查了新定義的應用，含絕對值的方程，不等式組的應用，理解新定義是解題的

關鍵.

20.加=-1,〃=1或加=-1,〃=—2

【解析】

【分析】

【詳解】

以機為主元，得關于機的一元二次方程2加？+3加+/2+”_1=0.

因為加有整數(shù)解，所以△=9-8（〃2+"-1）=一8〃2-8〃+1720,

解得屈+屈

44

又〃為整數(shù)，所以-

又方程有整數(shù)解，則△=-8〃2一8〃+17必為完全平方數(shù)，從而〃=-2,1.

當〃=-2或”=1時，代入原方程均有2相2+3m+1=0,

解得叫=-1,色=一；（舍去）.

故帆=—1,〃=1或帆=—1,〃=—2.

21.（1）A場館門票的單價為50元，B場館門票的單價為40元

（2）①1210元；②所有滿足條件的購買方案為：方案一，購買A場館門票5張，購買8場館

門票20張，購買C場館門票10張；方案二，購買A場館門票10張，購買8場館門票16

張，購買C場館門票4張

【解析】

【分析】

（1）設A場館和B場館門票的單價分別為x元、）元，根據(jù)題意得：①2張A場館門票的

費用+1張8場館門票的費用=140元，②3張A場館門票的費用+2張8場館門票的費用

=230元，根據(jù)等量關系列出方程組，再解方程組即可；

（2）①若購買A場館門票贈送的C場館門］票剛好夠參觀C場館的同學使用，設購買A場

館門票。張，此次門票所需總金額為卬元，則參觀A場館的同學有。名，參觀C場館的同

答案第II頁，共15頁

學有。名，參觀8場館的同學有（40-2"）名，w=50a+40（40-2a）=-30a+1600,又根據(jù)

題意要求到A場館參觀的人數(shù)要少于到B場館參觀的人數(shù)，且每一位同學只能選擇一個場

館參觀，所以a<40-2a,再結合。是正整數(shù)，利用一次函數(shù)的性質可求解；

②若參觀C場館的同學除了使用掉贈送的門］票外，還需另外購買部分門票，且總共三種門

票共花費了1200元，設購買A場館門票〃張，購買C場館門］票c張，則參觀A場館的同學

有"名，參觀C場館的同學有（〃+c）名，參觀B場館的同學有（40-2〃-c）名，由題意得：

50n+40（40-2n-c）+15c=1200,整理得：c=16-1?,再結合〃、c都是正整數(shù)，可求

解.

（1）

解：設A場館和3場館門票的單價分別為X元、y元，根據(jù)題意，得：

f2x+y=140

13x+2y=230'

fx=50

解方程組，得：..

［y=40

答：A場館門票的單價為50元，B場館門］票的單價為40元.

（2）

已知C場館門票每張售價15元，且參觀當天有優(yōu)惠活動：每購買1張A場館門票贈送1張

C場館門票，

①若購買A場館門票贈送的C場館門票剛好夠參觀C場館的同學使用，設購買A場館門票

。張，此次門票所需總金額為w元，則參觀A場館的同學有。名，參觀C場館的同學有。

名，參觀8場館的同學有（40-%）名，

w=50a+40（40—2a）=-30a+1600,

V-30<0,

w隨”的增大而減小，

而要求到A場館參觀的人數(shù)要少于到B場館參觀的人數(shù)，且每一位同學只能選擇一個場館

參觀，

a<40-2a，

答案第12頁，共15頁

是正整數(shù)，

/.a<13,

；.當a=13時，w取得最小值，

最小值為：^=-30x13+1600=1210,

即此次門票所需總金額的最小值為1210元；

②若參觀C場館的同學除了使用掉贈送的門票外，還需另外購買部分門票，且總共三種門

票共花費了1200元，

設購買A場館門票〃張，購買C場館門票c張，則參觀A場館的同學有"名，參觀C場館的

同學有（〃+c）名，參觀B場館的同學有（40-2〃-c）名，由題意得：

50〃+40（40-2"-c）+15c=1200,

整理得：

6

c=16——n,

5

?；”、。都是正整數(shù)，

二”是5的倍數(shù)，

fn=5[7?=10

滿足條件的〃、C有〃、、，，

[c=10[c=4

若及=5、c=10,則〃+c=15,40-2n-c=20；

若“=10、c-4,則〃+c=14,40-2n-c-16,.

所有滿足條件的購買方案為：方案一，購買A場館門票5張，購買B場館門票20張，購買

C場館門票10張；方案二，.購買A場館門票10張，購買5場館門票16張，購買C場館

門票4張.

【點睛】

本題主要考查二元一次方程（組）的應用，不定方程等知識，涉及一元一次不等式的應

用，一次函數(shù)的性質等知識.第（2）問中②小題