學透難點浙教版七年級下冊期末備考各章節(jié)難點突破題集

學透難點2024年浙教版七年級下冊期末備考各章節(jié)難點突破題集1．如圖1，，，，求的度數(shù)．小明的思路是：過P作，通過平行線性質(zhì)來求．

(1)按小明的思路，易求得的度數(shù)為______；(2)問題遷移：如圖2，，點P在直線BD上運動，記，，①當點P在線段上運動時，問與、之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；②如果點P在射線或射線上運動時（點P與點B、D兩點不重合），請直接寫出與、之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)①；②點P在射線上時，；點P在射線上，．【分析要點】（1）過P點作，而，可得，再利用平行線的性質(zhì)可得答案；（2）①過P點作，則，而，則．可得，從而可得答案；②如圖，點P在射線上時，過P點作，可得，而，可得．，從而可得答案；點P在射線上，如圖，過P點作，可得，而，可得．可得，從而可得答案．【解題過程】（1）過P點作，而，∴．

∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴；（2）①過P點作，∴，

而，∴．∴，∴；②如圖，點P在射線上時，

過P點作，∴，而，∴．∴，∴；點P在射線上，如圖，

過P點作，∴，而，∴．∴，∴．【點睛】本題考查的是平行公理的應用，利用平行線的性質(zhì)探究角之間的關(guān)系，作出合適的平行線是解本題的關(guān)鍵．2．問題情境：（1）如圖①，已知，，，求的度數(shù)．佩佩同學的思路：過點作，進而，由平行線的性質(zhì)來求，求得______；

問題遷移：（2）圖②，圖③均是由一塊三角尺和一把直尺拼成的圖形，三角尺的兩直角邊與直尺的兩邊重合，，，與相交于點，有一動點在邊上運動，連接，，記，．

①如圖②，當點在，兩點之間運動時，請直接寫出與，之間的數(shù)量關(guān)系；②如圖③，當點在，兩點之間運動時，與，之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．拓展延伸：（3）當點在，兩點之間運動時，若，的平分線，相交于點，請直接寫出與，之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）；（2）①，②，理由見解析；（3）【分析要點】（1）過點P作，則，由平行線的性質(zhì)可得，進而可得的度數(shù)；（2）①過點P作，依據(jù)平行線的性質(zhì)可得，進而可得與，之間的數(shù)量關(guān)系；②過P作，依據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，即可得到；（3）過P和N分別作的平行線，依據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可得到與∠α，∠β之間的數(shù)量關(guān)系為．【解題過程】（1）如圖1，過點P作，

∵，∴，∴，∴，又∵，，∴，故答案為：；（2）①，理由：如圖②，作過點P作，

∵，∴，∴，∴；②，理由：如圖，過點作，

則，∵，∴，∴，∴．（3），理由：如圖，

理由：由（2）①可得，，∵，的平分線，相交于點，，∴．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是過拐點作平行線，利用平行線的性質(zhì)得出結(jié)論．3．幾何模型在解題中有著重要作用，例如美味的“豬蹄模型”．(1)導入：如圖1，已知，如果，，則；(2)發(fā)現(xiàn)：如圖2，直線，請判斷與，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)運用：如圖3，已知，P在射線上運動（點P與點A、B、O三點不重合），，，請用含、的代數(shù)式表示，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)或或【分析要點】（1）首先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，，然后求和即可；（2）過點P作，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，即可得到與，之間的數(shù)量關(guān)系；（3）根據(jù)題意分點P在線段上，點P在線段上和點P在射線上三種情況討論，求出，，然后根據(jù)角的和差求解即可．【解題過程】（1）解：∵，∴，，∴，故答案為：；（2）解：如圖所示，過點P作，∵，∴，，∴；（3）解：如圖所示，當點P在線段上時，作交于點Q，∵∴，，∴；如圖所示，當點P在線段上時，作交于點Q，∵，∴，，∴；如圖所示，當點P在射線上時，作交于點Q，∵，∴，，∴；綜上所述，或或．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，添加輔助線，靈活運用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．對于平面內(nèi)的∠M和∠N，若存在一個常數(shù)k＞0，使得∠M+k∠N=360°，則稱∠N為∠M的k系補周角．如若∠M=90°，∠N=45°，則∠N為∠M的6系補周角．(1)若∠H=120°，則∠H的4系補周角的度數(shù)為°；(2)在平面內(nèi)AB∥CD，點E是平面內(nèi)一點，連接BE，DE；①如圖1，∠D=60°，若∠B是∠E的3系補周角，求∠B的度數(shù)；②如圖2，∠ABE和∠CDE均為鈍角，點F在點E的右側(cè)，且滿足∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE（其中n為常數(shù)且n＞1），點P是∠ABE角平分線BG上的一個動點，在P點運動過程中，請你確定一個點P的位置，使得∠BPD是∠F的k系補周角，并直接寫出此時的k值（用含n的式子表示）．【答案】(1)60(2)①∠B=75°，②當BG上的動點P為∠CDE的角平分線與BG的交點時，滿足∠BPD是∠F的k系補周角，此時k=2n．【分析要點】（1）設(shè)∠H的4系補周角的度數(shù)為x°，根據(jù)新定義列出方程求解便可；（2）①過E作EF∥AB，得∠B+∠D=∠BED，再由已知∠D=60°，∠B是∠E的3系補周角，列出∠B的方程，求得∠B便可；②根據(jù)k系補周角的定義先確定P點的位置，再結(jié)合∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE求解k與n的關(guān)系即可求解．【解題過程】（1）解：設(shè)∠H的4系補周角的度數(shù)為x°，根據(jù)新定義得，120+4x=360，解得，x=60，∠H的4系補周角的度數(shù)為60°，故答案為：60；（2）解：①過E作EF∥AB，如圖1，∴∠B=∠BEF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∠D=60°，∴∠D=∠DEF=60°，∵∠B+60°=∠BEF+∠DEF，即∠B+60°=∠BED，∵∠B是∠BED的3系補周角，∴∠BED=360°3∠B，∴∠B+60°=360°3∠B，∴∠B=75°；②當BG上的動點P為∠CDE的角平分線與BG的交點時，滿足∠BPD是∠F的k系補周角，此時k=2n．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，理解題意是解題的關(guān)鍵．5．（1）引入：在解決有關(guān)平行線的問題時，如果無法直接得到角的關(guān)系，就需要借助輔助線來幫助解答，如圖是一個“美味”的模型—“豬蹄模型”．如圖所示，ABCD，點E在直線AB與CD之間，連接AE、CE，求證：∠AEC＝∠BAE+∠DCE．嘉琪想到了下面的思路，請根據(jù)思路繼續(xù)完成求證：證明：如圖，過點E作EFAB．（2）思考：當點E在如圖所示的位置時，其他條件不變，寫出∠BAE，∠AEC，∠DCE三者之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．（3）應用：如圖，延長線段AE交直線CD于點M，已知∠BAE＝132°，∠DCE＝118°，求∠MEC的度數(shù)．（4）提升：點E、F、G在直線AB與CD之間，連接AE、EF、FG和CG，其他條件不變，如圖．若∠EFG＝m°，直接寫出∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG的總度數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2），理由見解析；（3）；（4）．【分析要點】（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)可得，然后根據(jù)角的和差、等量代換即可得證；（2）過點作，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)可得，然后根據(jù)角的和差、等量代換即可得出結(jié)論；（3）先根據(jù)（2）的結(jié)論求出的度數(shù)，再根據(jù)鄰補角的定義即可得；（4）過點作，從而可得，先根據(jù)（2）的結(jié)論可得，再根據(jù)角的和差可得，由此即可得出答案．【解題過程】證明：（1）如圖，過點作，，，，，；（2），理由如下：如圖，過點作，，，，，，即；（3）由（2）已得：，，，；（4）如圖，過點作，則，由（2）的結(jié)論得：，，，，，，．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、角的和差、鄰補角等知識點，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．某商場準備進一批兩種不同型號的衣服，已知購進種型號衣服9件，種型號衣服10件，則共需1810元；若購進種型號衣服12件，種型號衣服8件，共需1880元；已知銷售一件型號衣服可獲利18元，銷售一件型號衣服可獲利30元．要使在這次銷售中獲利不少于699元，且型號衣服不多于28件．（1）求型號衣服進價各是多少元？（2）若已知購進型號衣服是型號衣服的2倍還多4件，則商店在這次進貨中可有幾種方案？并簡述購貨方案．【答案】（1）型號衣服每件90元，型號衣服每件100元；（2）有三種進貨方案：①型號衣服購買10件，型號衣服購進24件；②型號衣服購買11件，型號衣服購進26件；③型號衣服購買12件，型號衣服購進28件．【分析要點】（1）等量關(guān)系為：A種型號衣服9件×進價+B種型號衣服10件×進價=1810，A種型號衣服12件×進價+B種型號衣服8件×進價=1880；（2）關(guān)鍵描述語是：獲利不少于699元，且A型號衣服不多于28件．關(guān)系式為：18×A型件數(shù)+30×B型件數(shù)≥699，A型號衣服件數(shù)≤28．【解題過程】（1）設(shè)型號衣服每件元，型號衣服每件元，則：解得答：型號衣服每件90元，型號衣服每件100元（2）設(shè)型號衣服購進件，則型號衣服購進件，則：解得為正整數(shù)，、11、12，24、26、28．答：有三種進貨方案：①型號衣服購買10件，型號衣服購進24件；②型號衣服購買11件，型號衣服購進26件；③型號衣服購買12件，型號衣服購進28件．【點睛】解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到符合題意的不等關(guān)系式組，及方程組．7．青山化工廠與A、B兩地有公路、鐵路相連，這家工廠從A地購買一批每噸1000元的原料經(jīng)鐵路120km和公路10km運回工廠，制成每噸8000元的產(chǎn)品經(jīng)鐵路110km和公路20km銷售到B地．已知鐵路的運價為1.2元/（噸·千米)，公路的運價為1.5元/(噸·千米)，且這兩次運輸共支出鐵路運費124800元，公路運費19500元．（1）設(shè)原料重x噸，產(chǎn)品重y噸，根據(jù)題中數(shù)量關(guān)系填寫下表原料x噸產(chǎn)品y噸合計（元）鐵路運費124800公路運費19500根據(jù)上表列方程組求原料和產(chǎn)品的重量．（2）這批產(chǎn)品的銷售款比原料費與運輸費的和多多少元?【答案】（1）填表：72000，52800，7500，12000；購買了原料噸，制成產(chǎn)品噸；（2）2555700元【分析要點】（1）設(shè)該工廠從A地購買了噸原料，制成運往B地的產(chǎn)品噸，由這兩次運輸共支出公路運輸費19500元、鐵路運輸費124800元，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）由總價=單價×數(shù)量結(jié)合多的費用=銷售總額（原料費+運輸費），即可求出結(jié)論．【解題過程】（1）設(shè)該工廠從A地購買了噸原料，制成運往B地的產(chǎn)品噸，依題意，得：，解得：．填表如下：原料x噸產(chǎn)品y噸合計（元）鐵路運費7200052800124800公路運費75001200019500答：該工廠從A地購買了噸原料，制成運往B地的產(chǎn)品噸；（2）8000×400（1000×500+19500+124800）=2555700（元）．答：這批產(chǎn)品的銷售款比原料費與運輸費的和多2555700元【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．8．小明為班級購買信息學編程競賽的獎品后，回學校向班主任李老師匯報說：“我買了兩種書，共30本，單價分別為20元和24元，買書前我領(lǐng)了700元，現(xiàn)在還余38元．”李老師算了一下，說：“你肯定搞錯了．”（1）李老師為什么說他搞錯了？試用方程的知識給予解釋；（2）小明連忙拿出購物發(fā)票，發(fā)現(xiàn)的確弄錯了，因為他還買了一個筆記本．但筆記本的單價已模糊不清，只能辨認出應為小于10元的整數(shù)，如果單價為20元的書多于24元的書，請問：筆記本的單價為多少元？【答案】（1）見解析；（2）6元【分析要點】（1）設(shè)單價為20元的書買了x本，單價為24元的書買了y本，根據(jù)總價＝單價×數(shù)量，結(jié)合購買兩種書30本共花費（700?38）元，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出x，y的值，結(jié)合x，y的值為整數(shù)，即可得出小明搞錯了；（2）設(shè)單價為20元的書買了a本，則單價為24元的書買了（30?a）本，筆記本的單價為b元，根據(jù)總價＝單價×數(shù)量，即可得出關(guān)于a，b的二元一次方程，化簡后可得出a＝14＋，結(jié)合0＜b＜10，且a，b均為整數(shù)，可得出b＝2或6，將b值代入a＝14＋中可求出a值，再結(jié)合單價為20元的書多于24元的書，即可確定b值．【解題過程】解：（1）設(shè)20元的書買了本，24元的書買了本，由題意，得，解得，∵，的值為整數(shù)，故，的值不符合題意（只需求出一個即可）∴小明搞錯了；（2）設(shè)20元的書買了本，則24元的書買了本，筆記本的單價為元，由題意，得：，化簡得：∵，∴或6．當，，即20元的書買了15本，24元的書買了15本，不合題意舍去當，，即20元的書買了16本，則24元的書買了14本∴．答：筆記本的價格為6元．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用以及二元一次方程的應用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程．9．我們把關(guān)于、的兩個二元一次方程與（）叫作互為共軛二元一次方程；二元一次方程組，叫做共軛二元一次方程組．（1）若關(guān)于、的方程組，為共軛方程組，則_____，_____；（2）若二元一次方程中、的值滿足下列表格：1002則這個方程的共軛二元一次方程是____________；（3）解下列方程組（直接寫出方程組的解即可）；的解為______；的解為_____；的解為______．（4）發(fā)現(xiàn)：若共軛方程組的解是則、之間的數(shù)量關(guān)系是______．【答案】（1），1；（2）；（3），，；（4）【分析要點】（1）根據(jù)共軛二元一次方程組定義可得解答1a=2，b+2=3，解方程即可得到答案；（2）將x與y的對應值代入x+ky=b中，得到二元一次方程組，求出k與b的值，即可得到此方程的共軛二元一次方程；（3）分別根據(jù)代入法或是加減法解方程組；（4）觀察（3）中x與y的關(guān)系即可得到答案.【解題過程】（1）由題意得1a=2，b+2=3，解得a=1，b=1，；（2）由題意得，解得，∴原方程為：，∴這個方程的共軛二元一次方程是；（3）解方程組，由①得x=32y③，將③代入②得，2（32y）+y=3，解得y=1，將y=1代入③得x=32=1，∴原方程組的解為；解方程組，①②得xy=0，∴x=y，將x=y代入①得x=2，∴y=2，∴原方程組的解是；解方程組，由①得y=2x4③，將③代入②得x+2（2x4）=4，解得x=4，將x=4代入③得y=4，∴原方程組的解是；（4）由（3）可知，解方程組的解是中與的數(shù)量關(guān)系是m=n.【點睛】此題考查解二元一次方程組，新定義方程及方程組，正確理解題中新定義的特點，根據(jù)新定義確定共軛方程及方程組是解題的關(guān)鍵.10．閱讀理解：材料一：對于一個兩位數(shù)，交換它的個位和十位數(shù)字得到的新數(shù)叫這個兩位數(shù)的“倒序數(shù)”.如：23的倒序數(shù)是32，50的倒序數(shù)是05.材料二：對于一個兩位數(shù)，若它的個位數(shù)字與十位數(shù)字的和小于等于9，則把個位數(shù)字與十位數(shù)字的和插入這個兩位數(shù)中間得到的新數(shù)叫這個兩位數(shù)的“凸數(shù)”.如23的凸數(shù)是253.（1）請求出42的“倒序數(shù)”與“凸數(shù)”；38有“凸數(shù)”嗎？為什么？（2）若一個兩位數(shù)與它的“倒序數(shù)”的和的4倍比這個兩位數(shù)的“凸數(shù)”小132，請求出這個兩位數(shù).【答案】（1）42的“倒序數(shù)”是24，“凸數(shù)”是462；38沒有“凸數(shù)”；（2）32和44【分析要點】（1）利用“倒序數(shù)”與“凸數(shù)”的概念進行求解即可；（2）設(shè)這個兩位數(shù)的個位數(shù)字為x，十位上的數(shù)字為y，根據(jù)題意列出方程，整理后求解即可．【解題過程】（1）42的“倒序數(shù)”是24，“凸數(shù)”是462；∵3+8=11＞9，∴38沒有“凸數(shù)”；（2）設(shè)這個兩位數(shù)的個位數(shù)字為x，十位上的數(shù)字為y，根據(jù)題意得，整理得，∵x、y均為自然數(shù)，且x+y＜9，∴x=2，y=3，或x=4，y=4,因此，這個兩位數(shù)為：32和44．【點睛】此題考查了數(shù)的表示方法，理解“倒序數(shù)”與“凸數(shù)”的概念以及一個兩位數(shù)的表示方法是正確解答的關(guān)鍵．11．如圖，六邊形是一個軸對稱圖形，請將該圖形沿對稱軸剪開，將得到的兩個全等圖形拼成一個新的軸對稱圖形（兩個全等圖形不重疊）．(1)請畫出新的軸對稱圖形；(2)設(shè)六邊形的面積為，新的軸對稱圖形面積為，判斷，的大小關(guān)系，并直接用含的式子表示出來；(3)計算：．【答案】(1)見解析(2)，，(3)【分析要點】此題主要考查了平方差公式，畫軸對稱圖形，解題關(guān)鍵是熟記平方差公式：即兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差．對于有圖形的題需要注意利用數(shù)形結(jié)合求解更形象直觀．（1）將邊長為的兩邊分別結(jié)合即可；（2六邊形的面積為等于正方形面積減小正方形面積，由（1）可知為梯形，由梯形面積公式計算即可，最后由平方差公式即可求解；（3）運用平方差公式求解即可．【解題過程】（1）解：新的軸對稱圖形如圖所示．（答案不唯一）（2）由題意可知：．，，（3）12．若x滿足，求的值．解：設(shè)，則，∴．請仿照上面的方法求解下面問題：（1）若x滿足，求的值；（2）已知正方形的邊長為x，E，F(xiàn)分別是上的點，且，長方形的面積是48，分別作正方形和正方形，求陰影部分的面積．【答案】（1）11；（2）28．【分析要點】（1）設(shè)x2004=a，x2007=b，根據(jù)已知等式確定出所求即可；（2）設(shè)正方形ABCD邊長為x，進而表示出MF與DF，求出陰影部分面積即可．【解題過程】解：（1）設(shè)x2004=a，x2007=b，∴a2+b2=31，ab=3，∴2（x2004）（x2007）=2ab=（ab）2（a2+b2）=931=22，∴（x2004）（x2007）=11；（2）∵正方形ABCD的邊長為x，AE=1，CF=3，∴FM=DE=x1，DF=x3，∴（x1）?（x3）=48，∴（x1）（x3）=2，∴陰影部分的面積=FM2DF2=（x1）2（x3）2．設(shè)（x1）=a，（x3）=b，則（x1）（x3）=ab=48，ab=（x1）（x3）=2，∴（a+b）2=（ab）2+4ab=4+192=196，∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0，∴a+b=14，∴（x1）2（x3）2=a2b2=（a+b）（ab）=14×2=28．即陰影部分的面積是28．【點睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景．應從整體和部分兩方面來理解完全平方公式的幾何意義，主要圍繞圖形面積展開分析要點．13．對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)學等式，例如圖1可以得到，請解答下列問題（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學等式（2）根據(jù)整式乘法的運算法則，通過計算驗證上述等式；（3）利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問題：若，則（4）小明同學用圖3中張邊長為的正方形，張邊長為的正方形張邊長分別為的長方形紙片拼出一個面積為長方形，則【答案】（1）；

（2）見解析；（3）30；

（4）156．【分析要點】（1）利用整體法求解正方形的面積為，利用分割法求解正方形的面積為：，從而可得答案；（2）利用多項式乘以多項式的法則把左邊通過計算展開，合并同類項后可得結(jié)論；（3）利用變形公式：，再整體代入即可得到答案；（4）由題意可得，所拼圖形的面積為:，再利用整式的乘法運算法則計算：，由面積相等可得的值，從而可得答案．【解題過程】解：（1）正方形的面積;正方形的面積故答案為:（2）證明：（3）故答案為:（4）由題可知，所拼圖形的面積為:故答案為：【點睛】本題考查的是乘法公式的幾何意義，整式的乘法運算，公式的應用能力，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．14．閱讀下列材料并解答后面的問題:利用完全平方公式,通過配方可對進行適當?shù)淖冃?，如：或從而使某些問題得到解決．例:已知,求的值．解:通過對例題的理解解決下列問題:(1)已知,分別求(2)若求的值(3)若滿足，求式子的值．【答案】（1）10；（2）34；（3）0【分析要點】（1）原式利用完全平方公式變形，將已知等式代入計算即可求出值；（2）把已知等式左右兩邊平方，計算即可求出所求；（3）根據(jù)（n?2019）+（2018?n）=1，利用完全平方公式計算即可求出值．【解題過程】（1）∵a?b＝2，ab＝3，∴原式＝（a?b）2＋2ab＝4＋6＝10；故答案為：10；（2）把兩邊平方得：（）2＝a2＋＋2＝36，則＝34；（3）∵（n?2019）+（2018?n）=n?2019+2018?n=1∴[（n?2019）＋（2018?n）]2＝（n?2019）2＋（2018?n）2＋2（n?2019）（2018?n）=1∵（n?2019）2＋（2018?n）2＝1，∴1＋2（n?2019）（2018?n）=1，則（n?2019）（2018?n）＝0．【點睛】此題考查了完全平方公式的應用，熟練掌握完全平方公式的變形運用是解本題的關(guān)鍵．15．分別計算下列各式的值：（1）填空：；；；…由此可得；（2）求的值；（3）根據(jù)以上結(jié)論，計算：．【答案】（1），，，；（2）；（3）【分析要點】（1）利用多項式乘以多項式的法則分別進行計算，利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律得到答案，（2）利用（1）的規(guī)律把乘以，可得答案，（3）利用（1）的規(guī)律把乘以，可得答案，【解題過程】解：（1），，，根據(jù)以上計算得：，故答案為：，，，；（2）（3）【點睛】本題考查的是多項式乘法中的規(guī)律題，根據(jù)已有的計算方法與結(jié)果得出規(guī)律是解題關(guān)鍵．16．數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學問題的重要思想方法，借助圖形可以對很多數(shù)學問題進行直觀推導和解釋．如圖1，有足夠多的邊長為的小正方形，長為、寬為的長方形以及邊長為的大正方形．利用圖①中的三種材料各若干可以拼出一些長方形來解釋某些等式，例如圖2可以解釋整式乘法：，也可以解釋因式分解：．(1)若用4個類材料圍成圖3的形狀，設(shè)外圍大正方形的邊長為，內(nèi)部小正方形的邊長為，觀察圖案，指出下列關(guān)系式中正確的是（寫出所有正確結(jié)論的序號）______．①；②；③；④；⑤．(2)若取其中的若干個（三種圖形都要取到）拼成一個長方形，使其面積為，在虛框中畫出圖形，并根據(jù)所畫圖形，將多項式分解因式為______．(3)若取其中的若干個（三種圖形都要取到）拼成一個長方形，使其面積為則的值為______．（直接寫出結(jié)果）【答案】(1)①③④⑤(2)畫圖見解析，(3)9或21或12【分析要點】本題考查整式乘法與圖形面積的關(guān)系，掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖形表示出兩個正方形邊長與a、b的關(guān)系、，結(jié)合面積加減計算逐個判斷即可；（2）根據(jù)整式得到兩個大正方形、兩個小正方形、五個長方形，然后畫出圖形即可解答；（3）根據(jù)因式分解平方項湊長寬展開求解即可解答．【解題過程】（1）解：由圖形可得，、，故①正確，∴，即②錯誤；由圖形可得，，即，即③正確；∵、，∴，即，即④正確；∵，，即故⑤正確．故答案為：①③④⑤．（2）解：由題意可得，圖形如圖所示，∴．故答案為：．（3）解：由題意可得，①當，，②當，，③當，．故答案為：9或21或12．17．閱讀以下材料：目前我們掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法．對于，它不是完全平方式，所以無法用公式法進行因式分解．現(xiàn)在介紹一種“湊數(shù)法”對此類代數(shù)式在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解：第一步，因式分解是整式乘法的逆過程，最高含有的二次項，所以看作由得到；第二步，去括號，和對比發(fā)現(xiàn)，二次項系數(shù)為1，二次項由和相乘得出，所以（為了計算簡便，往往取整數(shù)）；第三步，繼續(xù)把和對比，發(fā)現(xiàn)，兩數(shù)之積為2，和為3，就不難湊出，，檢驗一下：，換個方向?qū)懢褪且蚴椒纸饬耍埵褂蒙鲜龇椒ɑ卮鹣铝袉栴}：(1)因式分解：①；②；(2)對關(guān)于的多項式因式分解：．【答案】(1)①②(2)【分析要點】本題考查了新定義“湊數(shù)法”因式分解，正確理解閱讀材料中的思維方法是解答本題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)閱讀材料中的待定系數(shù)法，通過比較待定系數(shù)，可湊得，進一步推理后又可湊得，，即得答案；②根據(jù)閱讀材料中的待定系數(shù)法，通過比較待定系數(shù)，可湊得，，進一步推理后又可湊得，，即得答案；（2）設(shè)，則，同樣可先湊答案，，代入關(guān)系式得，比較系數(shù)可得，，針對b，d，可進行討論，并逐一驗證，可得，符合題意，即得答案．【解題過程】（1）①由題意得，，，，所以可湊數(shù)，，故；②由題意得，，，，所以可湊數(shù)，，則，，又可湊數(shù)，，故；（2）設(shè)，則，湊數(shù)，，，，，分四種情況討論：當，時，代入，不成立，舍去；當，時，代入，不成立，舍去；當，時，代入，成立，符合題意；當，時，代入，不成立，舍去；所以只有，，故．18．我們可以用以下方法求代數(shù)式的最小值．∵∴，∴當時，有最小值4．請根據(jù)上述方法，解答下列問題（1）求代數(shù)式的最小值；（2）求證：無論、取任何實數(shù)，代數(shù)式的值都是正數(shù)；（3）已知為實數(shù)，求代數(shù)式的最小值．【答案】（1）有最小值；（2）證明見解析；（3）有最小值．【分析要點】（1）通過配方可得：，再利用非負數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合不等式的性質(zhì)可得答案；（2）把原式通過配方化為：，再利用非負數(shù)的性質(zhì)可得：從而可得結(jié)論；（3）利用配方法把原式化為：再利用非負數(shù)的性質(zhì)可得代數(shù)式的最小值．【解題過程】解：（1）當時，有最小值．（2）無論、取任何實數(shù)，代數(shù)式的值都是正數(shù)；（3）當時，有最小值．【點睛】本題考查的是配方法的應用，非負數(shù)的性質(zhì)，利用配方法求代數(shù)式的最值，因式分解的應用，掌握利用完全平方式的特點進行配方是解題的關(guān)鍵．19．【類比學習】小明同學類比除法2401615的豎式計算，想到對二次三項式x23x2進行因式分解的方法：

即x23x2x1x2，所以x23x2x1x2．【初步應用】小明看到了這樣一道被墨水污染的因式分解題：x2□x6x2x☆，（其中□、☆代表兩個被污染的系數(shù)），他列出了下列豎式：得出□=___________，☆=_________．【深入研究】小明用這種方法對多項式x22x2x2進行因式分解，進行到了：x32x2x2x2*．（*代表一個多項式），請你利用前面的方法，列出豎式，將多項式x32x2x2因式分解．【答案】[初步應用]5，3；[深入研究]x32x2x2(x2)(x1)(x1)；詳見解析；【分析要點】[初步應用]列出豎式結(jié)合已知可得：，，求出□與☆即可．[深入研究]列出豎式可得x32x2x2÷x2，即可將多項式x32x2x2因式分解．【解題過程】[初步應用]∵多項式x2□x6能被x2整除，∴，，∴☆=3，□=5，故答案為：5，3；[深入研究]∵，∴.【點睛】本題考查整式的除法；理解題意，仿照整數(shù)的除法列出豎式進行運算是解題的關(guān)鍵．20．我們定義：一個整數(shù)能表示成（a、b是整數(shù)）的形式，則稱這個數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因為，所以5是“完美數(shù)”．[解決問題](1)已知29是“完美數(shù)”，請將它寫成（a、b是整數(shù)）的形式______；(2)若可配方成（m、n為常數(shù)），則______；[探究問題](3)已知，則______；(4)已知（x、y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的一個k值，并說明理由．[拓展結(jié)論](5)已知實數(shù)x、y滿足，求的最值．【答案】(1)；(2)(3)(4)(5)最大值為：；【分析要點】（1）根據(jù)“完美數(shù)”可得答案；（2）利用完全平方公式可得，從而可得答案；（3）利用完全平方公式把左邊分組分解因式，再利用非負數(shù)的性質(zhì)可得答案；（4）利用完全平方公式可得，再利用新定義可得答案；（5）由條件可得，代入計算可得：，再結(jié)合非負數(shù)的性質(zhì)可得最大值．【解題過程】（1）解：；（2）；∴，，∴；（3）∵，∴∴，∴，，解得：，，∴；（4），當為完美數(shù)時，∴，解得：．（5）∵，∴，∴，∵，∴；∴的最大值為：．【點睛】本題考查的是新定義運算的理解，完全平方公式的應用，利用完全平方公式分解因式，熟練的掌握完全平方公式的特點與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．21．（1）探索：如果，則m=；如果則m=；（2）總結(jié)：如果（其中a，b，c為常數(shù)），則m=；（用含a，b，c的式子表示）；（3）利用上述結(jié)論解決：若代數(shù)式的值為整數(shù)，求滿足條件的整數(shù)x的值．【答案】（1）5，；（2）；（3）或．【分析要點】（1）根據(jù)分式的加法運算即可得；（2）根據(jù)分式的加法運算即可得；（3）先根據(jù)（2）的結(jié)論將代數(shù)式拆分，再根據(jù)整數(shù)的性質(zhì)求解即可得．【解題過程】（1），，，，解得；，，，，解得；故答案為：5，；（2），∵，，；（3）由（2）可得：，∵代數(shù)式的值為整數(shù)，∴的值為整數(shù)，又為整數(shù)，或，解得或．【點睛】本題考查了分式的加法等知識點，熟練掌握分式的運算法則是解題關(guān)鍵．22．完成下列各題．（1）不改變分式的值，把下列分子和分母的最高次的系數(shù)都化為正數(shù)________．（2）不改變分式的值，把下列分子和分母的中各項系數(shù)都化為整數(shù)________．（3）若分式的值是整數(shù)，求整數(shù)的值．（4）已知，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）或0或2或6；（4）【分析要點】（1）利用分式的基本性質(zhì)，分子、分母都乘以即可；（2）利用分式的基本性質(zhì)，分子、分母都乘以10即可，（3）將分式變形得，要使結(jié)果是整數(shù)，，或，進而求出的整數(shù)值即可，（4）先求出要求的代數(shù)式的倒數(shù)，利用整體代入的方法進行計算即可．【解題過程】解：（1）根據(jù)分式基本性質(zhì)，分子、分母都乘以得，；（2）根據(jù)分式基本性質(zhì)，分子、分母都乘以10得，，（3），要使分式的值為整數(shù)，，或，解得，，，，，∴整數(shù)的值為0，2，6，；（4），兩邊平方得：，，．故答案為：（1）；（2）；（3）x=4或0或2或6；（4）.【點睛】本題考查分式的基本性質(zhì)、分式的加減運算，掌握分式的基本性質(zhì)和計算法則是正確解答的前提．23．節(jié)日里，兄弟兩人在60米的跑道上進行短距離比賽，兩人從出發(fā)點同時起跑，哥哥到達終點時，弟弟離終點還差12米．(1)若哥哥的速度為10米/秒，①求弟弟的速度；②如果兩人重新開始比賽，哥哥從起點向后退10米，兄弟同時起跑，兩人能否同時到達終點？若能，請求出兩人到達終點的時間；若不能，請說明誰先到達終點．(2)若哥哥的速度為m米/秒，①弟弟的速度為________米/秒(用含m的代數(shù)式表示)；②如果兩人想同時到達終點，哥哥應向后退多少米？【答案】（1）①弟弟的速度是8米/秒；②不能同時到達，哥哥先到達終點；（2）①0.8m；②如果兩人想同時到達終點，哥哥應向后退15米【分析要點】(1)①根據(jù)時間=路程速度,及哥哥跑60米的時間=弟弟跑（6012）米的時間列出方程，求解即可；②利用時間=路程速度，可分別求出哥哥、弟弟到達終點的時間，比較后即可得出結(jié)論;(2)①根據(jù)時間=路程速度,及哥哥跑60米的時間=弟弟跑（6012）米的時間;②設(shè)哥哥后退y米，根據(jù)時間=路程速度，及哥哥跑（60+y）米的時間=弟弟跑60米的時間列出方程，即可得出關(guān)于y的分式方程,解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論.【解題過程】（1）①設(shè)弟弟的速度為x米/秒，則解得：x=8，經(jīng)檢驗，x=8是原分式方程的解，且符合題意答：弟弟的速度是8米/秒；

②哥哥跑完全程所需要的時間為(60+10)÷10=7(秒)，弟弟跑完全程所需要的時間為(秒)>7秒，∴哥哥先到達終點；(2)①設(shè)弟弟的速度為x米/秒，則解得：故答案為：；

②設(shè)哥哥后退y米，由題意得：∴∴∴y=15答：如果兩人想同時到達終點，哥哥應向后退15米．【點睛】本題考查了分式方程的應用，解題的關(guān)鍵是:根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，列式計算，找準等量關(guān)系，正確列出分式方程.24．閱讀材料：對于非零實數(shù)m，n，若關(guān)于x的分式的值為零，則x＝m或x＝n．又因為＝＝x+﹣（m+n），所以關(guān)于x的方程x+＝m+n的解為x1＝m，x2＝n．（1）理解應用：方程x+＝2+的解為：x1＝，x2＝；（2）拓展提升：若關(guān)于x的方程x+＝k﹣1的解滿足x1＝x2，求k的值．【答案】（1）2，；（2）k=5或k=3【分析要點】（1）根據(jù)題目所給的閱讀材料，即可的得出答案；（2）設(shè)x1=x2=t，可得x1?x2=4，即t2=4，解得t=±2，根據(jù)題意可得k1=x1?x2=4或k1=x1?x2=4，求出k的值即可得出答案．【解題過程】解：（1）根據(jù)題意可得，方程x+＝2+，解為：x1=2，x2=，故答案為：2，；（2）由題意得，設(shè)x1=x2=t，∴x1?x2=4，即t2=4，解得t=±2，∵k1=x1+x2=4或k1=x1+x2=4，解得k=5或k=3．【點睛】本題主要考查了解分式方程及分式方程的解，正確理解題目所給材料的意義進行計算是解決本題的關(guān)鍵．25．已知，關(guān)于x的分式方程．(1)當，時，求分式方程的解；(2)當時，求b為何值時分式方程無解；(3)若，且a、b為正整數(shù)，當分式方程的解為整數(shù)時，求b的值．【答案】(1)(2)(3)3、29、55、185【分析要點】（1）將a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化為整式方程，分類討論b的值，使分式方程無解即可；（3）將a=3b代入方程，分式方程去分母化為整式方程，表示出整式方程的解，由解為整數(shù)和b為正整數(shù)確定b的取值．【解題過程】（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中，得：，方程兩邊同時乘以，得：，解得：，檢驗：把代入，∴原分式方程的解為：．（2）解：把a=1代入原分式方程中，得：，方程兩邊同時乘以，得：，去括號，得：，移項、合并同類項，得：，①當時，即，原分式方程無解；②當時，得，Ⅰ.時，原分式方程無解，即時，此時b不存在；Ⅱ.x=5時，原分式方程無解，即時，此時b=5；綜上所述，時，分式方程無解．（3）解：把a=3b代入分式方程中，得：，方程兩邊同時乘以，得：，，解得：，∵b為正整數(shù)，x為整數(shù)，∴10+b必為195的因數(shù)，10+b≥11，∵195=3×5×13，∴195的因數(shù)有1、3、5、13、15、39、65、195，∵1、3、5都小于11，∴10十b可以取13、15、39、65、195這五個數(shù)，對應地，方程的解x=3、5、13、15、17，又x=5為分式方程的增根，故應舍去，對應地，b只可以取3、29、55、185，∴滿足條件的b可取3、29、55、185這四個數(shù)．【點睛】本題主要考查分式方程的計算，難度較大，涉及知識點較多．熟練掌握解分式方程的步驟是解決這三道小題的前提條件；其次，分式方程無解的兩種情況要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程無解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．總之，解分式方程的步驟要重點掌握．26．某校八年級數(shù)學老師們在全年級開展教學創(chuàng)新對比試驗，所有班級都被設(shè)為實驗班或?qū)Ρ劝?，一學期后對全年級同學進行了數(shù)學水平測試，觀察實驗效果．從實驗班和對比班中各隨機抽取20名學生的測試成績（滿分100）進行整理和分析要點（成績共分成五組：A．50≤x＜60，B．60≤x＜70，C．70≤x＜80，D．80≤x＜90，E．90≤x≤100），繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖表：一、收集、整理數(shù)據(jù)：實驗班20名學生的數(shù)學成績分別為：50，65，68，76，77，78，87，88，88，88，89，89，89，89，93，95，97，97，98，99，對比班學生數(shù)學成績在C組和D組的分別為：73，74，74，74，74，76，83，88，89．二、分析要點數(shù)據(jù)：兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)如表所示：成績平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)實驗班8588.5b對比班81.8a74三、描述數(shù)據(jù)：請根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）①補全頻數(shù)分布直方圖；②填空：a＝，b＝；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為實驗班的數(shù)學成績更好還是對比班的數(shù)學成績更好？判斷并說明理由（兩條理由即可）；（3）如果我校八年級實驗班共有學生900名，對比班共有學生600名，請估計全年級本次數(shù)學成績不低于80分的學生人數(shù)．【答案】（1）①見解析；②，；（2）實驗班的數(shù)學成績更好，理由：實驗班成績的平均數(shù)、中位數(shù)均比對比班的高；（3）大約有人【分析要點】（1）①求出實驗班20名學生的測試成績（滿分為的人數(shù)，即可補全頻數(shù)分布直方圖；②根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解可得；（2）根據(jù)實驗班和對比班樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)判定即可；（3）分別用實驗班和對比班的總?cè)藬?shù)乘以各自樣本中成績不低于80分的學生人數(shù)所占比例，相加可得．【解題過程】解：（1）①實驗班20名學生的測試成績（滿分為的人數(shù)：（人，補全頻數(shù)分布直方圖如圖：；②，，故答案為：79.5，89；（2）實驗班的數(shù)學成績更好，理由：①實驗班樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于對比班樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，②實驗班樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)大于對比班樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)；（3）對比班20名學生本次數(shù)學成績不低于80分的學生人數(shù)：（人，估計全年級本次數(shù)學成績不低于80分的學生人數(shù)：（人，答：估計全年級本次數(shù)學成績不低于80分的學生人數(shù)有930人．【點睛】本題主要考查了頻數(shù)分布直方圖，用樣本估計總體，讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計圖獲取信息時，解題的關(guān)鍵是必須認真觀察、分析要點、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題．27．為了了解某學校八年級學生每周平均課外閱讀時間的情況，隨機抽取了該學校八年級m名同學，對其每周平均課外閱讀時間進行統(tǒng)計，繪制了如圖所示的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．

（1）根據(jù)以上信息，回答下列問題．①求m的值；②求扇形統(tǒng)計圖中閱讀時間為5小時的扇形圓心角的度數(shù)；③補全條形統(tǒng)計圖．（2）直接寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)，求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)．【答案】（1）①m=60；②；③補全條形統(tǒng)計圖見解析；（2）眾數(shù)：3中位數(shù)：3平均數(shù)：．【分析要點】（1）①根據(jù)2小時所占扇形的圓心角的度數(shù)確定其所占的百分比，然后根據(jù)條形統(tǒng)計圖中2小時的人數(shù)求得m的值；②結(jié)合周角是360度進行計算；③求得總?cè)藬?shù)后減去其他小組的人數(shù)即可求得第三小組的人數(shù)；（2）利用眾數(shù)、中位數(shù)的定義及平均數(shù)的計算公式確定即可．【解題過程】解：（1）①∵課外閱讀時間為2小時的所在扇形的圓心角的度數(shù)為90°，∴其所占的百分比為，∵課外閱讀時間為2小時的有15人，∴m=15÷=60；②依題意得：；③第三小組的頻數(shù)為：601015105=20，補全條形統(tǒng)計圖為：

（2）∵課外閱讀時間為3小時的20人，最多，∴眾數(shù)為3小時；∵共60人，中位數(shù)應該是第30和第31人的平均數(shù)，且第30和第31人閱讀時間均為3小時，∴中位數(shù)為3小時；平均數(shù)：；【點睛】本題考查了眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)及扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖的知識，解題的關(guān)鍵是能夠結(jié)合兩個統(tǒng)計圖并找到進一步解題的有關(guān)信息，難度不大．28．為了增強學生的安全意識，某校組織了全校3000名學生都參加的“安全知識”考試，學校團委隨機抽取了100份考卷進行分析要點統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)