高考數(shù)學(xué)（理）高分計(jì)劃一輪狂刷練第10章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布105a

[基礎(chǔ)送分提速狂刷練]一、選擇題1．先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和是12,11,10的概率依次是P1，P2，P3，則()A．P1＝P2＜P3 B．P1＜P2＜P3C．P1＜P2＝P3 D．P3＝P2＜P1答案B解析先后拋擲兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和共有36種可能，而點(diǎn)數(shù)之和為12,11,10的概率分別為P1＝eq\f(1,36)，P2＝eq\f(1,18)，P3＝eq\f(1,12).故選B.2．(2018·鄭州質(zhì)檢)現(xiàn)有四所大學(xué)進(jìn)行自主招生，同時(shí)向一所高中的已獲省級(jí)競(jìng)賽一等獎(jiǎng)的甲、乙、丙、丁四位學(xué)生發(fā)錄取通知書(shū)，若這四名學(xué)生都愿意進(jìn)入這四所大學(xué)的任意一所就讀，則僅有兩名學(xué)生被錄取到同一所大學(xué)的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(9,16)C.eq\f(11,16)D.eq\f(7,24)答案B解析所求概率P＝eq\f(C\o\al(2,4)·A\o\al(3,4),44)＝eq\f(9,16).故選B.3．從1,2,3,4中任取2個(gè)不同的數(shù)，則取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的概率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,6)答案B解析從1,2,3,4中任取2個(gè)不同的數(shù)有Ceq\o\al(2,4)＝6種情況：滿足取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的(1,3)，(2,4)，故所求概率是eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).故選B.4．(2018·山西朔州模擬)某校食堂使用大小、手感完全一樣的餐票，小明口袋里有一元餐票2張，兩元餐票2張，五元餐票1張，若他從口袋中隨機(jī)地摸出2張，則其面值之和不少于四元的概率為()A.eq\f(3,10)B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,5)答案C解析小明口袋里共有5張餐票，隨機(jī)地摸出2張，基本事件總數(shù)n＝10，其面值之和不少于四元包含的基本事件數(shù)m＝5，故其面值之和不少于四元的概率為eq\f(m,n)＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).故選C.5．(2018·保定模擬)甲、乙二人玩猜數(shù)字游戲，先由甲任想一數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才想的數(shù)字，把乙猜出的數(shù)字記為b，且a，b∈{1,2,3}，若|a－b|≤1，則稱甲、乙“心有靈犀”，現(xiàn)任意找兩個(gè)人玩這個(gè)游戲，則他們“心有靈犀”的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(5,9)C.eq\f(2,3)D.eq\f(7,9)答案D解析甲任想一數(shù)字有3種結(jié)果，乙猜數(shù)字有3種結(jié)果，基本條件總數(shù)為3×3＝9.設(shè)“甲、乙心有靈犀”為事件A，則A的對(duì)立事件B為“|a－b|＞1”，即|a－b|＝2，包含2個(gè)基本事件，∴P(B)＝eq\f(2,9).∴P(A)＝1－eq\f(2,9)＝eq\f(7,9).故選D.6．(2018·浙江金麗衢十二校聯(lián)考)若在正方體上任選3個(gè)頂點(diǎn)連成三角形，則所得的三角形是直角非等腰三角形的概率為()A.eq\f(1,7)B.eq\f(2,7)C.eq\f(3,7)D.eq\f(4,7)答案C解析因?yàn)槿稳?個(gè)頂點(diǎn)連成三角形共有Ceq\o\al(3,8)＝eq\f(8×7×6,3×2)＝56個(gè)，又每個(gè)頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的非等腰三角形有3個(gè)，即正方體的一邊與過(guò)此點(diǎn)的一條面對(duì)角線，所以共有24個(gè)三角形符合條件．所以所求概率為eq\f(24,56)＝eq\f(3,7).故選C.7．(2017·甘肅質(zhì)檢)將5本不同的書(shū)全發(fā)給4名同學(xué)，每名同學(xué)至少有一本書(shū)的概率是()A.eq\f(15,64)B.eq\f(15,128)C.eq\f(24,125)D.eq\f(48,125)答案A解析由計(jì)數(shù)原理得基本事件的個(gè)數(shù)，再利用古典概型的概率公式求解．將5本不同的書(shū)分給4名同學(xué)，共有45＝1024種分法，其中每名同學(xué)至少一本的分法有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4)＝240種，故所求概率是eq\f(240,1024)＝eq\f(15,64)，故選A.8．拋擲兩枚均勻的骰子，得到的點(diǎn)數(shù)分別為a，b，那么直線eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1的斜率k≥－eq\f(1,2)的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(3,4)D.eq\f(1,4)答案D解析記a，b的取值為數(shù)對(duì)(a，b)，由題意知(a，b)的所有可能取值有36種．由直線eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1的斜率k＝－eq\f(b,a)≥－eq\f(1,2)，知eq\f(b,a)≤eq\f(1,2)，那么滿足題意的(a，b)可能的取值為(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，共有9種，所以所求概率為eq\f(9,36)＝eq\f(1,4).故選D.9．某酒廠制作了3種不同的精美卡片，每瓶酒盒隨機(jī)裝入一張卡片，集齊3種卡片可獲獎(jiǎng)，現(xiàn)購(gòu)買(mǎi)該種酒5瓶，能獲獎(jiǎng)的概率為()A.eq\f(31,81)B.eq\f(33,81)C.eq\f(48,81)D.eq\f(50,81)答案D解析假設(shè)5個(gè)酒盒各不相同，5個(gè)酒盒裝入卡片的方法一共有35＝243種，其中包含了3種不同卡片有兩種情況：即一樣的卡片3張，另外兩種不同的卡片各1張，有Ceq\o\al(3,5)×2×3＝60種方法，兩種不同的卡片各2張，另外一種卡片1張，有Ceq\o\al(1,5)×3×Ceq\o\al(2,4)＝15×6＝90種，故所求的概率為eq\f(90＋60,243)＝eq\f(50,81).故選D.10．(2018·淄博模擬)將一顆骰子投擲兩次，第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為a，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為b，設(shè)任意投擲兩次使兩條不重合直線l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的概率為P1，相交的概率為P2，若點(diǎn)(P1，P2)在圓(x－m)2＋y2＝eq\f(137,144)的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,18)，＋∞)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,18)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,18)，\f(5,18))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,18)，\f(7,18)))答案D解析對(duì)于a與b各有6種情形，故總數(shù)為36種．兩條直線l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的情形有a＝2，b＝4或a＝3，b＝6，故概率為P1＝eq\f(2,36)＝eq\f(1,18).兩條直線l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2相交的情形除平行與重合(a＝1，b＝2)即可，∴P2＝eq\f(33,36)＝eq\f(11,12).∵點(diǎn)(P1，P2)在圓(x－m)2＋y2＝eq\f(137,144)的內(nèi)部，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,18)－m))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,12)))2<eq\f(137,144)，解得－eq\f(5,18)<m<eq\f(7,18)，故選D.二、填空題11．現(xiàn)有某類病毒記作XmYn，其中正整數(shù)m，n(m≤7，n≤9)可以任意選取，則m，n都取到奇數(shù)的概率為_(kāi)_______．答案eq\f(20,63)解析從正整數(shù)m，n(m≤7，n≤9)中任取兩數(shù)的所有可能結(jié)果有Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(1,9)＝63個(gè)，其中m，n都取奇數(shù)的結(jié)果有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,5)＝20個(gè)，故所求概率為eq\f(20,63).12．(2018·武漢調(diào)研)某同學(xué)同時(shí)擲兩顆骰子，得到點(diǎn)數(shù)分別為a，b，則雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的離心率e>eq\r(5)的概率是________．答案eq\f(1,6)解析由e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))>eq\r(5)，得b>2a.當(dāng)a＝1時(shí)，b＝3,4,5,6四種情況；當(dāng)a＝2時(shí)，b＝5,6兩種情況，總共有6種情況．又同時(shí)擲兩顆骰子，得到的點(diǎn)數(shù)(a，b)共有36種結(jié)果．∴所求事件的概率P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).13．(2018·湖南長(zhǎng)沙模擬)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，得到的點(diǎn)數(shù)分別為a，b，則使得直線bx＋ay＝1與圓x2＋y2＝1相交且所得弦長(zhǎng)不超過(guò)eq\f(4\r(2),3)的概率為_(kāi)_______．答案eq\f(1,9)解析根據(jù)題意，得到的點(diǎn)數(shù)所形成的數(shù)組(a，b)共有6×6＝36種，其中滿足直線bx＋ay＝1與圓x2＋y2＝1相交且所得弦長(zhǎng)不超過(guò)eq\f(4\r(2),3)，則圓心到直線的距離不小于eq\f(1,3)，即1＞eq\f(1,\r(a2＋b2))≥eq\f(1,3)，即1＜a2＋b2≤9的有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)四種，故直線bx＋ay＝1與圓x2＋y2＝1相交且所得弦長(zhǎng)不超過(guò)eq\f(4\r(2),3)的概率為eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).14．(2018·唐山模擬)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)a1a2a3a4a5，當(dāng)a1<a2，a2>a3，a3<a4，a4>a5時(shí)稱為波形數(shù)，則由1,2,3,4,5任意組成的一個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)是波形數(shù)的概率是________．答案eq\f(2,15)解析∵a2>a1，a3；a4>a3，a5，∴a2只能是3,4,5.(1)若a2＝3，則a4＝5，a5＝4，a1與a3是1或2，這時(shí)共有Aeq\o\al(2,2)＝2(個(gè))符合條件的五位數(shù)．(2)若a2＝4，則a4＝5，a1，a3，a5可以是1,2,3，共有Aeq\o\al(3,3)＝6(個(gè))符合條件的五位數(shù)．(3)若a2＝5，則a4＝3或4，此時(shí)分別與(1)(2)情況相同．∴滿足條件的五位數(shù)有2(Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(3,3))＝16(個(gè))．又由1,2,3,4,5任意組成的一個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)有Aeq\o\al(5,5)＝120(個(gè))，故所求概率為eq\f(16,120)＝eq\f(2,15).三、解答題15．為了解收購(gòu)的每只小龍蝦的重量，某批發(fā)商在剛從甲、乙兩個(gè)水產(chǎn)養(yǎng)殖場(chǎng)收購(gòu)的小龍蝦中分別隨機(jī)抽取了40只，得到小龍蝦的重量的頻數(shù)分布表如下．從甲水產(chǎn)養(yǎng)殖場(chǎng)中抽取的40只小龍蝦的重量的頻數(shù)分布表重量/克[5,15)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55]頻數(shù)2816104從乙水產(chǎn)養(yǎng)殖場(chǎng)中抽取的40只小龍蝦的重量的頻數(shù)分布表重量/克[5,15)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55]頻數(shù)2618104(1)試根據(jù)上述表格中的數(shù)據(jù)，完成從甲水產(chǎn)養(yǎng)殖場(chǎng)中抽取的40只小龍蝦的重量的頻率分布直方圖；(2)依據(jù)小龍蝦的重量，將小龍蝦劃分為三個(gè)等級(jí)：重量/克[5,25)[25,45)[45,55]等級(jí)三級(jí)二級(jí)一級(jí)若規(guī)定二級(jí)以上(包括二級(jí))的小龍蝦為優(yōu)質(zhì)小龍蝦，估計(jì)甲、乙兩個(gè)水產(chǎn)養(yǎng)殖場(chǎng)的小龍蝦哪個(gè)的“優(yōu)質(zhì)率”高？并說(shuō)明理由；(3)從乙水產(chǎn)養(yǎng)殖場(chǎng)抽取的重量在[5,15)，[15,25)，[45,55]內(nèi)的小龍蝦中利用分層抽樣的方法抽取6只，再?gòu)倪@6只中隨機(jī)抽取2只，求至少有1只的重量在[15,25)內(nèi)的概率．解(1)(2)若把頻率看作相應(yīng)的概率，則“甲水產(chǎn)養(yǎng)殖場(chǎng)的小龍蝦為優(yōu)質(zhì)小龍蝦”的概率為eq\f(16＋10＋4,40)＝0.75，“乙水產(chǎn)養(yǎng)殖場(chǎng)的小龍蝦為優(yōu)質(zhì)小龍蝦”的概率為eq\f(18＋10＋4,40)＝0.8，所以乙水產(chǎn)養(yǎng)殖場(chǎng)的小龍蝦“優(yōu)質(zhì)率”高．(3)解法一：用分層抽樣的方法從乙水產(chǎn)養(yǎng)殖場(chǎng)重量在[5,15)，[15,25)，[45,55]內(nèi)的小龍蝦中抽取6只，則重量在[5,15)內(nèi)的有1只，在[15,25)內(nèi)的有3只，在[45,55]內(nèi)的有2只，記重量在[5,15)內(nèi)的1只為x，在[15,25)內(nèi)的3只分別為y1，y2，y3，在[45,55]內(nèi)的2只分別為z1，z2，從中任取2只，可能的情況有(x，y1)，(x，y2)，(x，y3)，(x，z1)，(x，z2)，(y1，y2)，(y1，y3)，(y1，z1)，(y1，z2)，(y2，y3)，(y2，z1)，(y2，z2)，(y3，z1)，(y3，z2)，(z1，z2)，共15種；記“任取2只，至少有1只的重量在[15,25)內(nèi)”為事件A，則事件A包含的情況有(x，y1)，(x，y2)，(x，y3)，(y1，y2)，(y1，y3)，(y1，z1)，(y1，z2)，(y2，y3)，(y2，z1)，(y2，z2)，(y3，z1)，(y3，z2)，共12種．所以P(A)＝eq\f(12,15)＝eq\f(4,5).解法二：由解法一可知：重量在[15,25)內(nèi)有3只，由題意可得P＝1－eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,6))＝eq\f(4,5).16．(2017·石景山區(qū)一模)“累積凈化量(CCM)”是空氣凈化器質(zhì)量的一個(gè)重要衡量指標(biāo)，它是指空氣凈化器從開(kāi)始使用到凈化效率為50%時(shí)對(duì)顆粒物的累積凈化量，以克表示．根據(jù)GB/T18801－2015《空氣凈化器》國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)空氣凈化器的累積凈化量(CCM)有如下等級(jí)劃分：累積凈化量(克)(3,5](5,8](8,12]12以上等級(jí)P1P2P3P4為了了解一批空氣凈化器(共2000臺(tái))的質(zhì)量，隨機(jī)抽取n臺(tái)機(jī)器作為樣本進(jìn)