2023屆高三開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試卷（新高考Ⅱ卷）

2023屆高三開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試卷

(新高考n卷)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.設(shè)集合2={了€2||了一3|<1},。={3,2,1,0},則PIQ=()

A.{3,2,1}B.{2,1,0}C.{3}D.{2,3}

2.(l+i)(2-i)=()

A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i

3.已知S“，7”分別為等差數(shù)列{〃"},{4}的前"項和，/=米|，設(shè)點4是直線BC外

uunuiuuun

一點，點P是直線3C上一點，且AP=，_^A8+/IAC,則實數(shù)；I的值為()

4

A."B—C.AD.更

25252525

4.已知向量a=(l,m),*=(2,-3),ab=，l,則m的值為()

414

A.——B.OC.-D.-

333

5.為推動黨史學(xué)習(xí)教育各項工作扎實開展，營造“學(xué)黨史、悟思想、辦實事、開新局”的濃

厚氛圍，某校黨委計劃將中心組學(xué)習(xí)、專題報告會、黨員活動日、主題班會、主題團日這

五種活動分5個階段安排，以推動黨史學(xué)習(xí)教育工作的進行.若中心組學(xué)習(xí)必須安排在前2

個階段，且主題班會、主題團日安排的階段相鄰，則不同的安排方案共有()

A.12種B.28種C.20種D.16種

6.已知a,〃為銳角，且tana=2,cos(a+j3)=9則tan(a-￡)=()

7.在體積為呼的直三棱柱ABC-A隹G中，ZVWC為等邊三角形，且△ABC的外接圓半

徑為誓,則該三棱柱外接球的表面積為()

A.12兀B.87TC.6兀D.3兀

8.已知函數(shù)〃x)是R上的偶函數(shù)，且的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，當(dāng)xe[0,1]時,

f(x)=2-2x,則〃0)+〃1)+〃2)+...+〃2022)的值為().

A.-2B.-lC.OD.l

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.下列關(guān)于函數(shù)丫=41）（28+5）的說法正確的是（）.

A.在區(qū)間,-1上單調(diào)遞增

L1212」

B.最小正周期是兀

C.圖象關(guān)于點心0）中心對稱

D.圖象關(guān)于直線x=-型對稱

12

10.已知拋物線d=1）,的焦點為尸，仞（辦,yJ,N（馬,%）是該拋物線上兩點，則下列結(jié)論正

確的是（）

A.點尸的坐標(biāo)為仁,0）

B.若直線MN過點凡則砧=吊

C.若〃戶=/IN戶，貝1」|例"|的最小值為1

2

D.若|"/|+|加|=三，則線段MN的中點P到x軸的距離為士

28

11.如圖所示，A8cr>-AB|G.為正方體，以下四個結(jié)論中正確的有（）

A.AG>1平面CB|Z）|

B.直線BC與BD所成的角為60°

C.二面角C—8Q-G的正切值是逐

D.AC｝與底面ABCD所成角的正切值是0

12.設(shè)x>0,y>0,則下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)f(x)=3，+3T的最小值為2

B.不等式(》+>)[，+!卜4恒成立

lxy)

C.函數(shù)/(%)=—的最小值為-

x+3x+l5

D.若'+'=1,貝l]x+2y的最小值是20

x+1y+1

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)隨機變量*~汽(3,4)，若尸(乂>7)=0.16,則「(一掇哌7)=.

14.已知函數(shù)/(x)=e'+Inx,則函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程為.

15.已知圓C:x?+>2+2x+aj+a+4=0,直線/:x-y+2=0,若直線/與圓C交于A,B

兩點，且Nfi4c=60。，貝ij“=.

?v2

16.已知橢圓(7彳+\=1的左、右頂點分別為M,N,點尸(〃?,〃)在橢圓C上，點

Qkm-n),若直線MP,NQ的交點為R,O為坐標(biāo)原點，則|OR|的取值范圍為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.記S?為數(shù)列｛4｝的前n項和.已知分+〃=2%+1.

n

(1)證明：｛%｝是等差數(shù)列；

(2)若見，%,如成等比數(shù)列，求S“的最小值.

18.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,%4=生心.

tan6b

⑴求角A；

(2)若"BC的外接圓半徑r=2,b+c=2a,求△/WC的面積.

19.交通指數(shù)是指交通擁堵指數(shù)的簡稱，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念性指數(shù)值，記

交通指數(shù)為T,其范圍為[0,10],分別有五個級別：Te[0,2),暢通；Te[2,4),基本暢

通；Te[4,6),輕度擁堵；Te[6,8),中度擁堵：Te[8[0],嚴(yán)重?fù)矶?在晚高峰時段

(T>2),從某市交通指揮中心選取了市區(qū)20個交通路段，依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的頻

率分布直方圖如圖所示.

頻率

組距

25

0,20

0.J5

o.

O.J0

SQ5

°2345678910交通指數(shù)

(1)求出輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重?fù)矶碌穆范蔚膫€數(shù).

(2)用分層抽樣的方法從輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重?fù)矶碌穆范沃泄渤槿?個路段，求依次

抽取的三個級別路段的個數(shù).

(3)從(2)中抽取的6個路段中任取2個，求至少有1個路段為輕度擁堵的概率.

20.如圖，五面體MCDEF中，四邊形ABC。為等腰梯形，AB//CD,且

(1)求證:￡)￡//平面Ab;

(2)若平面平面A8CD,且平面49莊:J_平面A88,求二面角A-C尸-8的余弦

值.

21.已知雙曲線C的一條漸近線方程為y=M(-2,0),N(2,0)分別為雙曲線的左、右

焦點,

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)P為雙曲線C上任意一點，連接直線PM,PN分別交C于點A,B,且向=

PN=,求證：4+〃為定值，并求出該定值.

22.已知函數(shù)/(x)=mx\nx-x1-x(meR).

⑴若m=1,討論，(x)的單調(diào)性;

(2)若方程/(x)+x=O有兩個不同的實數(shù)根%,乙.

⑴求m的取值范圍；

3

(ii)若2X2>3%，求證：nu}x2>e.

(參考數(shù)據(jù)：In1.5?0.405)

答案以及解析

1.答案：C

解析：解不等式|x-3|<l,SP-1<X-3<1,解得2cx<4,則PIQ={3},故選C.

2.答案：D

解析：(l+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i.i^jtD.

3.答案：B

解析：因為P,B,C三點共線，所以亥土幺+4=1,所以％+2=1,

4瓦

%+%”5

%_一『X，_邑_3x5+2_17所以%+7=型+/1=1,A=-—,故選B.

-^-4x5+5-2542525

4.答案：D

4

解析：由夕〃=一2,可得lx2+，”x（—3）=—2,解得〃?=—,故選D.

5.答案：C

解析：若中心組學(xué)習(xí)安排在第1階段，則其余四種活動的安排方法有A：A；=12（種）；

若中心組學(xué)習(xí)安排在第2階段，則主題班會、主題團日可安排在第3,4階段或者第4,5

階段，專題報告會、黨員活動日分別安排在剩下的2個階段，不同的安排方法有

2A；A；=8（種）.故共有12+8=20種不同的安排方案.

故選：C.

6.答案：A

解析：因為a,7?為銳角，所以a+〃e(0,兀).

由cos(a+/)=一'；，得sin(a+，)=Jl-cos2(a+/?)=,

則tan(a+(3)=--.又tan2a=?、'血？=-—,

31-tan2a3

故tan(a-/7)=tan[2a一(a+0]=須加一+」)=_?,故選、

1+tan2atan(a+4)13

7.答案：A

解析：設(shè)△ABC的邊長為m由AABC的外接圓半徑為里可得，一=2x叵

故

3.兀3

a=4,則^ABC的面積S=正/=拽.由三棱柱的體積為逑可得

442

鼠例=乎-44,=呼，故例=羋.設(shè)三棱柱外接球的半徑為R,則

故該三棱柱外接球的表面積為4K/?2=127t.

8.答案：C

解析：因為f(x)是R上的偶函數(shù)，所以f(-x)=f(x)，又f(x)的圖象關(guān)于點(1，0)對

稱，則/(x)=-f(2—x),所以f(_x)=-,f(2-x),則f(x)=-/(2+x),得

/-(4+x)=-/(2+x)=/(x),即/(x+4)=/(x),所以“X)是周期函數(shù)，且周期T=4,當(dāng)

xe[0,l]時，/(x)=2-2\則f(0)=lJ⑴=0,

/(2)=-/(O)=-l,/(3)=/(-3)=/(1)=0,則/(0)+/(1)+/(2)+/(3)=0,則

/(0)+/(1)+/(2)+L+/(2022)=/(0)+/(1)+/(2)+505x0=/(0)+/(1)+/(2)=0.

9.答案：ABD

解析：^--+2kn.<2x+-<-+2kji,ZeZ,

232

得一變++keZ,又「一至二]在此區(qū)間上，故A正確；

1212L1212J

T=—=—=71,故B正確；

co2

因為y=sinx的圖象關(guān)于點(E,0),&eZ中心對稱，所以令2x+；=E,keZ,得

X=y-^,keZ,所以尸sin(2x+1)的圖象關(guān)于點右吟0),々eZ中心對稱，故

C錯誤；

由y=sinx的圖象關(guān)于直線x=]+E,ZwZ對稱可知，y=sin(2x+1)的圖象關(guān)于直線

x=—+—,々eZ對稱，當(dāng)人=—1時，x=—變，故D正確.故選ABD.

12212

10.答案：BCD

解析：本題考查拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線的焦點弦性質(zhì).

對于選項A：易知點尸的坐標(biāo)為故A錯誤；

對于選項B：由題意知直線的斜率必然存在，所以若直線過焦點F,則可設(shè)直線

1）'=區(qū)+1卜1公+11

2

MN的方程為丁=依+-，由《*得％——x-----=0,則4=-------->O,XjX2=-----，

812164,216

X2=-V

2-

故B正確；

對于選項C：若用"=4N尸，則直線MN過焦點R貝的最小值即為拋物線的通徑

長，最小值為2夕=；,故C正確；

對于選項D：拋物線/=_1>的焦點為（0」），準(zhǔn)線方程為y=-J,過點M,N,尸分別作

準(zhǔn)線的垂線尸P,垂足分別為AT,N；P'（圖略），所以

|MW'|=|AfF|,|W|=|/VF|,所以+用+|府|=］，所以

MMNN

\PP\J'\^'\=1,所以線段MN的中點尸到x軸的距離為|PP|_g=m，故

D正確.

故選BCD.

11.答案：AB

解析：如圖，連接4cl.???8Q_LAG,±A4,,ACIAM=A>平面AAG-

???ACJU平面AAG，.??4〃LAG?同理，-LACt.vB{DtQBtC=B,,.?.AG，平面

CBQ,故A正確.?：BDHBD，異面直線B〔C與BD所成的角是NQB|C或其補角.

是等邊三角形，」.NQ81c=60。，故B正確.設(shè)AGn4￡）1=O,連接0C,則

NCOG是二面角C-BQ1-G的平面角，tanNCOG=四=&，故C不正確.連接AC,

OCy

?.?CC|_L平面ABC。，.?.NGAC是AG與底面ABCZ）所成的角，tanZC,/IC=,

AC2

故D不正確.

12.答案：BD

解析：函數(shù)f(x)=3*+3T22,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號，又x>0,所以表達(dá)式?jīng)]有最小

值，所以A不正確;不等式歷?也=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時取等號，所

lxy)xy

以B正確;函數(shù)=—=―\—<-,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時，函數(shù)取得最大值

x+3x+l,l.55

XvH----rJ

X

所以C不正確;若——+—!—=1,則x+2y=(x+l+2y+2)f」一+——|-3

x+1y+\(x+1y+lj

生電+土里22a,當(dāng)且僅當(dāng)>=立,x=&時，表達(dá)式取得最小值20,所以D正

x+1y+12

確.故選BD.

13.答案：0.68

解析：由正態(tài)分布的性質(zhì)可知P(X<-l)=P(X>7)=0.16,所以

尸(-啜N7)=1-P(X<-1)-P(X>7)=0.68.

14.答案：(e+l)x-y-l=0

解析：因為((x)=e*+L/W=e,所以切點坐標(biāo)為(l,e),函數(shù)/(x)在x=l處的切線斜率

X

攵=/'(D=e+l，所以所求的切線方程為y-e=(e+l)(x-l),BP(e+l)x-^-l=0.

15.答案：22

解析：由題可得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x++[y+=*一：-12>0,圓心4

半徑,二°-4々-12,由。2一4。-12>0,得々>6或av-2.

-1+-+2

圓心C到直線/的距離”=——----因為直線/與圓C交于A,8兩點，且

—141-2I—I—

ZBAC=60°,所以d=----—二旦=蟲74-4”12,_2o?-44=O,解得

衣222

。=22或。=-2,又。>6或a<-2,故a=22.

16.答案：(2,內(nèi))

解析：本題考查橢圓的方程、直線的方程.依題意，得機/0,則0＜?。?,易知

M(-2,0),N(2,0),則直線MP的斜率匕=」一，直線MP的方程為y=/一(x+2),直

機+2777+2

__y=—^—(x+2),

線NQ的斜率太=二-,直線NQ的方程為丫=」-。-2),聯(lián)立m+2解得

tn-2tn-2-n/…

0＜加2＜4,得|0R|的取值范圍為(2,物).

17.答案：(1)證明見解析

(2)-78

29

解析：(1)由一-+n=2an+lf得2s“+/=2〃“〃+〃①,

n

2

所以2s向+(〃+1)=2an+l(7?+1)+(〃+1)②,

②-①，得2〃“+]+2〃+1=2a/l+l(〃+1)—2a/+1，

化簡得c*一々〃=1,

所以數(shù)列｛勺｝是公差為1的等差數(shù)列.

(2)由(1)知數(shù)列｛%｝的公差為1.

由巧=a4a()，得(4+6)=(q+3)(4+8)，

解得q=-12.

n（n-l）n2-25n25|2625

所以S“=-12〃+n--I一_r

222

所以當(dāng)”=12或13時，S“取得最小值，最小值為-78.

18.答案：（1）A=烏.

3

⑵。=3技

解析：（1）因為㈣4蟲，所以由正弦定理，得吧^=2sinJsin',

tanBbtan8sinB

rr-risinAcosB2sinC-sinB

所以---------=------------，

cosAsinBsin3

所以sinAcosB=（2sinC-sinB）cosA=2sinCcosA-sinBcosA,

所以sinAcosB+cosAsinB=2sinCeosA,

即sinC=2sinCeosA,又sinCwO,

所以cosA=—.

2

jr

又OVAVTI,故4=—.

3

（2）由題意知a=2rsinA=4sin工=268+。=24=4百.

3

由余弦定理a2=h2+c2-2Z?ccosA,得/=g+c）2-3bc,

所以（26）2=（4行）2-3征，則從=12,

故=—fecsinA=—xl2x—=3\/3.

zi/ioc-222,

19.答案：（1）輕度擁堵的路段有6個；中度擁堵的路段有9個；嚴(yán)重?fù)矶碌穆范斡?個

（2）分別抽取的個數(shù)為2,3,1

（3）概率為|

解析：（1）由頻率分布直方圖得，這20個交通路段中，

輕度擁堵的路段有（0.1+0.2）x1x20=6（個），

中度擁堵的路段有（0.25+0.2）x1x20=9（個），

嚴(yán)重?fù)矶碌穆范斡校?.1+0.05）x1x20=3（個）.

⑵由⑴知，擁堵路段共有6+9+3=18（個），

按分層抽樣，從18個路段抽取6個，則抽取的三個級別路段的個數(shù)分別為

—x6=2,—x9=3,—x3=l,

181818

即從交通指數(shù)在[4,6）,[6,8）,[8,10]的路段中分別抽取的個數(shù)為2,3,1.

（3）記抽取的2個輕度擁堵路段為&4,抽取的3個中度擁堵路段為牛層,房，

抽取的1個嚴(yán)重?fù)矶侣范螢镃「

從這6個路段中抽取2個路段，試驗的樣本空間為

C=｛（A，4），（A，BJ,（A，BJ（A，8J（A，G）,（4,BJ,（4，B2）,

（4,四）,（4,Cj,（耳,4）,（B],生）,（,G）,（）,（B?,Cj,（生,G）｝，

共15個樣本點，其中至少有1個路段為輕度擁堵的包含的樣本點有：

（A，4MA，片）,（A，8J,（A，員），（A，G），（&，8J,（4,82）,（A，B,）,（4C）,共9個.

所以所抽取的2個路段中至少有1個路段為輕度擁堵的概率為2=3.

155

20.答案：⑴見解析

⑵-迤

35

解析：（1）因為AB//C力，COu平面。平面CDE/，故■//平面CDEF.

X5??ABFEX平面CDEF=EF,所以AB〃E尸，

則EFHCD,

又CD=EF,所以四邊形C7）所為平行四邊形，

則DE//CF,

又CFu平面ACF,DE<Z平面ACF,所以DEH平面ACF.

（2）過E作即_LM于點P,因為平面⑷3莊，平面45CD,且平面MFEI平面

ABCD=AB,因此￡P(guān)_L平面ABCD,過E作EQJ.AD于點Q,又平面AD￡J_平面

ABCD,且平面ADEI平面ABCE>=">,因此EQ_L平面ABC￡）,而過平面外一點有且僅

有一條直線與已知平面垂直，因此EREQ重合于E4,即￡4,平面A8CO.

以A為坐標(biāo)原點，AB,AE所在直線分別為y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)9=1,則A(O,O,O),F(O,1,1),C￥，|,0),8(0,2,0),

uimuum(R3、minutn

則AF=(0,l,l),AC=^-,-,0,BF=(0-1,1),BC=

122J

設(shè)平面ACF的法向量為m=(x,y,z),

皿

UALFy+z=0

加

G,3八，

——x+—y=0

22

令x=G，則y=-l,z=l,

故平面ACF的一個法向量為機=(6,-1,1).

設(shè)平面灰戶的法向量為〃=(x',y',z'),

urn-y'+z'=0

n-BF=0

則uun得凡，X-o,

〃BC=a

22

令V=1,則了=-75,z，=百，

故平面BCF的一個法向量為n=(1,73,73),

e“/\m-n<3VI05

因此cos(in,n)--------=-—f==-----,

'/|"小|〃|75x7735

由圖易知二面角A—CF—8為鈍二面角，

故二面角A-CF-B的余弦值為-返.

35

21.答案：(1)=[

3

(2)見解析

，2

解析：(1)由題意可設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為與-4=l(a>0/>0),

ab

')=c

由已知得c=2,則'解得a=l,b=6,

a2+b2=4,

故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為f-工=1.

3

(2)由雙曲線的對稱性不妨設(shè)P在第一象限，

設(shè)尸(%，%)，B(x2,y2).

若直線PB的斜率存在，則kPB=kPN=

%-2

則直線PB的方程為y=-2).

%一2

y

聯(lián)立消去x整理得（3%；-12x0+12-^）/+12%（入0-2）y+9y；=0,

x2--=1,

3

將片一號=1代入上式整理得（15-12%）V+12%（%-2）y+9巾=0,15-12xo^O,

A>0,

甌__34…3%

則

%>2=——y2?一

15-12x05-4x05-4x0

故必國=工f_=2.

NByz3%3

4%-5

(根據(jù)向量的關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)間的關(guān)系)

同理可得彳二-4竺二§,故久+〃=一9

33

若直線尸8的斜率不存在，則P(2,3),此時軸，〃=1,直線PA的方程為

3

y=—(x+2)n3x-4y+6=0.

4

3x-4j+6=0,

聯(lián)立,2消去x整理得13y2-48y+27=。，

k-av

Q

解得y=

故％=——=——，此時幾+4=——.

M33

綜上所述，4+〃為定值-3.

一題多解由于尸，N,B三點共線，設(shè)8(司,力)，川與，%)，

又N(2,0),所以由西〃而，。河=(2-%,-%),N月=(%2-2,為)，得

》2(2-兩)=%(2-々)n聞乃一巧％=2(為一%)①.

2

%22

2-

超-3=1,"華=無，

由

于

2nv2V2

2為

一

巧=1卜汶-號=9

一3

將上述兩式相減可得(%%-X2%乂與乃+々％)=(為-％)(乃十:^②-

將①代入②可得與丫2+々為=”產(chǎn)③.

①+③得2與%=生二皿，解