初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽函數(shù)強(qiáng)化練習(xí)1

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽函數(shù)強(qiáng)化練習(xí)1

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.設(shè)〃水為正整數(shù)，A=，5+3）（〃-1）+4,4=Js+5）A+4,$=J（=+7）&+4,

A=J5+9)A+4,.?.，4=J(〃+2Z+1)4T+4,??.,已知AOO=2OO5,則〃的值為

().

A.1806B.2005C.3612D.4100

2.已知4+j2x+y=0,則x-y的值為（）.

A.2B.6C.2或—2D.6或-6

3.設(shè)的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C均在拋物線y=/上,并且斜邊平行于x

軸，若斜邊上的高為人則（）

A.h<\B.h=lC.l<h<2D.h>2

4.已知實(shí)數(shù)小6滿足（。一3乂匕—3）20,則+^的最小值為（）

A.0B.1C.2D.3

5.已知二次函數(shù)尸加+bx+l（aw0）的圖象的頂點(diǎn)在第二象限，且過(guò)點(diǎn)（1,0）.當(dāng)

。―力為整數(shù)時(shí)，ab=（）

A.0B.-C.—D.-2

44

6.y=|x-l|+|x-2|+|x-3|的最小值為()

A.5B.4C.3D.2

7.若x>0,）,>o,且五（五+77）=34（?+577）,則代數(shù)式、的值

為（）

A.1B.2C.3D.4

1988

1)+J(〃-2)(1Td)+5Q+1

8.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，設(shè)工=I+_L1,則X的個(gè)位數(shù)

_\-a_

字是（）.

A.1B.2C.4D.6

二、填空題

9.函數(shù)y=|x+l|+|x+2|+|x+3|,當(dāng)工=時(shí)，y有最小值，最小值等于

10.邊長(zhǎng)為整數(shù)的等腰三角形一腰上的中線將其周長(zhǎng)分為1:2的兩部分，那么所有這些

等腰三角形中，面積最小的三角形的面積是.

11.函數(shù)y=/-3|x|+7的圖象與函數(shù)y=W—3犬+,2-3乂+6的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是

12.若x>o,則>=他運(yùn)士Zr/EZ的最大值是.

X

13.如圖所示，8船在A船的西偏北45。處，兩船相距10近km.若A船向西航行，B

船同時(shí)向南航行，且B船的速度是A船速度的2倍，那么A,8兩船的最近距離為

14.已知a,b,c,d為實(shí)數(shù)，且|a-q=2,也一。|=3,卜一《=4,則〉的最大值

為,最小值為.

3x2+6x+5

15.當(dāng)x變化時(shí)，分式；的最小值是_____.

—x+x+l

2

16.已知五邊形AOBCD,其中0(0,0),A(l,0),B(3,2),C(2,5),￡>(0,3),過(guò)點(diǎn)

C的直線>=丘+/>把五邊形分成面積相等的兩部分，則左=

三、解答題

2x+2

17.求函數(shù)y=的最大值和最小值.

x2+3x+3

18.已知a,4c都是正整數(shù)，且拋物線y=ar2+bx+c與x軸有2個(gè)不同的交點(diǎn)4和

B,若AB到原點(diǎn)的距離都小于1,求a+b+c的最小值.

19.對(duì)于i=l,2,3,…有|看|<1且有|百|(zhì)+|占|+…+|斗|=

2009+1占+*2+…+%求正整數(shù)n的最小值.

20.已知二次函數(shù)y=a(x—D(x—1—a)(a為常數(shù)，且4/0).

(1)求證：該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn);

(2)若點(diǎn)(0,y),(3,必)在函數(shù)圖像上，比較％與%的大??；

⑶當(dāng)0<x<3時(shí)，y<2,直接寫出。的取值范圍.

149

21.已知x,y,z是正數(shù)且x+y+z=l,比較A=—+—+—與8=36的大小，并問(wèn)A能

'xyz

否等于8?

22.已知X,y,Z為實(shí)數(shù)，且滿足1+求V+y2+z2的最小值.

[x-y+2z=3

23.如圖，D、E、F分別是的三邊BC、CA.上任意一點(diǎn)，證明：

AAEF,/\BFD,^CDE中至少有一個(gè)三角形的面積不大于AMC的面積的四分之一.

24.(1)證明：若x取任意整數(shù)時(shí)，二次函數(shù)y=a?+"+c總?cè)≌麛?shù)值，那么

2a,a-。,c都是整數(shù)；

(2)寫出上述命題的逆命題，并判斷真假，且證明你的結(jié)論.

參考答案：

1.A

【解析】

【分析】

【詳解】

22

A=，[(〃+1)+2][(〃+1)-2]+4=7(?+1)-2+4=J(〃+l)2=n+\,

&=J[(〃+3)+2][(〃+3)-2]+4=7(?+3)2-22+4=+=n+3,

A=J[(w+5)+25(〃+5)-2]+4=J(〃+5)2-2?+4=>/(n+5)2=n+5>

同理A,=〃+7,4=〃+9,…，4他=”+2x100-1="+199=2005=>"=2005-199=1806.

故選：A.

2.D

【解析】

【分析】

【詳解】

解：因?yàn)镴x?-4NO,12x+y20，且-4+J2x+y=0,所以&-4=0，(2x+y=0,

g|Jx=±2,y=-2x,于是工_,=工_(_2力=3%=6或-6.

故選：D.

3.B

【解析】

【分析】

【詳解】

解設(shè)A的坐標(biāo)為(“,/),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(c,c2)(|c|<|a|),則8點(diǎn)的坐標(biāo)為(-〃,/).由勾

股定理可得4:2=(a-c)2+(a2-c2)2,

BC~=(c+a)2+(a2-c2)2,

貝ijAC2+BC2=AB2=(2a)2=4/,

于是2,2+,)+2(/-02y=4/,

答案第1頁(yè)，共13頁(yè)

即｛a1-c1）'=cr-c2.

由于/>c2,所以/-c2=l,即斜邊上的高/?=（A的縱坐標(biāo)）一（C的縱坐標(biāo)）

=<72-C2=1?

注：（1）如圖僅畫出了0<c<a的情形，在其他情形下，計(jì)算是完全相同的.

（2）設(shè)4國(guó),乂）,8仇,必），利用勾股定理可得計(jì)算A與B的距離的公式為

【解析】

【分析】

【詳解】

因?yàn)槿?420,b-3>0,所以心3,yJa-2>\,所以令。=3,6=8,得到最小值為1.

5.B

【解析】

【分析】

【詳解】

依題意知。<0,—<0,a+h+l=0,故〃<0,且b=-a-l,

2a

a-b=a-（-a-i）=2a+l,于是-l<a<0,-l<2a+l<l,

又為整數(shù)，；.2<2+1=0,故a=-J=b,=：,故選B

6.D

【解析】

【分析】

【詳解】

在x=2取得最小值，正確答案為D

答案第2頁(yè)，共13頁(yè)

7.B

【解析】

【分析】

【詳解】

己知等式可化為x—2向一15y=0,即(4+34)(?—5j7)=。，所以x=25y,于是

2x+y/xy+3y_50y+J25y?+3y_58y_,

x+-Jxy~y25y+y]25y2-y29y'

8.D

【解析】

【分析】

【詳解】

解：要使x有意義，必須且只需

5-2)(同-1)20,

(?-2)(1-|(/|)>0,[(4-2)刎-1)=0,

X=(JL+5x(7)+勺988=(-2)38=(-2)4*497=^497

所以1+j1-(-1)

2

故x的個(gè)位數(shù)字為6,

故選：D.

9.-22

【解析】

【分析】

【詳解】

解當(dāng)x4-3時(shí)，

y——(x+1)—(x+2)—(x+3)=-3(x+2)；

當(dāng)一3<x4—2時(shí)，

y——(x+1)—(x+2)+(x+3)=-x；

當(dāng)-2<%<-1時(shí)，

y=-(x+1)+(x+2)+(x+3)=x+4；

答案第3頁(yè)，共13頁(yè)

當(dāng)X>-1時(shí)，

y=(x+l)+(x+2)+(x+3)=3(x+2).

故y=|x+l|+|x+2|+|x+3|在上遞減，在［-2,內(nèi))上遞增，當(dāng)x=-2時(shí)，y取最小

值2.故應(yīng)填-2,2(如圖).

注：①一般說(shuō)來(lái)，對(duì)于含絕對(duì)值的一次函數(shù)，應(yīng)分區(qū)間將絕對(duì)值符號(hào)去掉變成折線函數(shù),

再根據(jù)函數(shù)的增減性(一次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí)遞增，為負(fù)時(shí)遞減)就不難得出所求函數(shù)的最大

(或最小)值.如果作出其圖象，那么其結(jié)果是一目了然的.

②本題的一種簡(jiǎn)單解法是利用差的絕對(duì)值的幾何意義來(lái)求解：因?yàn)楸硎緮?shù)軸上坐標(biāo)

為x的點(diǎn)P到坐標(biāo)為"的點(diǎn)A的距離，故y=|x+l|+|x+2|+|x+3|表示數(shù)軸上坐標(biāo)為x的

點(diǎn)P到坐標(biāo)分別為T,-2,-3的點(diǎn)A,B,C的距離之和.顯然當(dāng)P與8重合時(shí)，即x=-2時(shí)，

這個(gè)距離之和為最小，其最小值為線段AC的長(zhǎng)度I(-1)-(-3)1=2.

又如，若要求y=|x-9|+|x-8|+|x-3|+|x+l|+|x+5|+|x+6|的最小值，則它等價(jià)于求

數(shù)軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)P,分別到坐標(biāo)為9,8,3,-1,-5,-6的各點(diǎn)C,D,E,尸的距離之和的

最小值.

顯然當(dāng)P在線段8上，即當(dāng)-14x43時(shí)，這個(gè)距離之和取最小值，并且最小值

=AF+8E+CO=|9-(-6)|+|8-(-5)|+|3-(-l)|=32.

CBA

__I__AAA.

-3-2-10

FEDCBA

-6-5-4-3-2-10123456789x

10.—

4

【解析】

【分析】

【詳解】

答案第4頁(yè)，共13頁(yè)

x

X+—=〃

2

設(shè)等腰三角形的腰為X,底為以周長(zhǎng)被分為的兩部分的長(zhǎng)分別為〃和2〃，則

y+2=2〃

2

或2，解得(達(dá)丫)=俘，當(dāng)或佟，乩因?yàn)?x?丹(此時(shí)不能夠成三角

卜+廠"

形，舍去)，所以(x,y)=(g),其中〃是3的倍數(shù).則三角形面積

5=lx^lf±lY_^Y當(dāng)〃20時(shí)，S隨著”的增大而增大.所以〃=3時(shí).S取

最小值，最小值為邁.

4

II.4

【解析】

【分析】

【詳解】

第一個(gè)函數(shù)化為曠,=,+3。X+7二(X<二0)'第二個(gè)函數(shù)化為y=(60(024X,43),必或g

d-3x+7(x20),[2.x-6x+6(x(0Ww)3).

分別作它們的圖象知，它們共有4個(gè)交點(diǎn).

y=、2f+7，(》<0),尸-3萬(wàn)+7,

或者分別解方程組(0W0)及

y=2x-6x+6[y=6

y=x2-3x+7,

(x>3),可得4個(gè)交點(diǎn)為

y=2x2-6x+6

?3(9_病),僅2-8隔),8(；(3_石),6)43(3+病,6],力(；(3+行),8

故答案為:4.

12.yfi—5/2.

【解析】

【分析】

【詳解】

因x>0,

答案第5頁(yè)，共13頁(yè)

22。/+1+\2\與爐=6+壺,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)-V=/(x>0),即

x=\,所以%>0時(shí)，1的最小值為>/5+應(yīng)，從而y的最大值為方上萬(wàn)=6-四.

故答案為：x>0時(shí)，；的最小值為0+0,從而y的最大值為&=6一應(yīng).

13.26km

【解析】

【分析】

【詳解】

設(shè)1小時(shí)后,A8兩船分別航行到4和4處.設(shè)44,=x,則明=2x,于是

A4=7(10-2X)2+(10-X)2=V5x2-60x+200=j5(x-6)2+20N曬=2舊.

即當(dāng)x=6時(shí)，4萬(wàn)，取最小值2石km.

故答案為：2&km.

14.最大值為9；最小值為1

【解析】

【分析】

【詳解】

注意至ijc-d=(c-b)+g-a)+(a-d)(*)

:\c-d\^c-b\+\b-a\+\a-d\=9

a=4b=6c=9"=0可取等號(hào).

所以最大值為9.

由(*)式可知，c-d必定是一個(gè)整數(shù)，且是一個(gè)奇數(shù).

:\c-d\>\

a=0b=2c=5d=4可取等號(hào).

所以最小值為1.

15.4

【解析】

【分析】

答案第6頁(yè)，共13頁(yè)

【詳解】

_3x2+6x+5

解令'=L'+V+1，去分母整理得

2X+X

(y-6)x2+(2y-12)x+2y-10=0.

若y=6,則①化為2=0,矛盾.故》工6.

因?yàn)樽鳛閤的方程①有實(shí)根x,故

△=(2y-12)2-4(y-6)(2y-10)=-4(/-10y+24)=-4(j-4)(y-6)>0,

即(尸4)(y-6)40,解得44ys

而行6,所以44y<6.

y=4代入①可得x=-l,故當(dāng)x=-l時(shí)，y取最小值4.故應(yīng)填4.

注：例5?7中求最值的方法叫做判別式法.這是求函數(shù)最值的重要方法之一.但應(yīng)該注意

的是，化簡(jiǎn)整理為一個(gè)關(guān)于x的二次方程后（其余數(shù)是變量y的函數(shù)），對(duì)其二次項(xiàng)系數(shù)是

否為零應(yīng)進(jìn)行討論，只有在二次項(xiàng)系數(shù)不等于零的情形才能應(yīng)用判別式法（若使二次項(xiàng)系

數(shù)等于0的y的值存在，則這個(gè)值也是函數(shù)y可取到的值，在求最值時(shí)，應(yīng)將這個(gè)值考慮

在內(nèi)進(jìn)行討論）.

【解析】

【分析】

【詳解】

如圖，設(shè)所求直線為CP,過(guò)。作直線QE〃C。與x軸交于點(diǎn)E,

所以四邊形CDEP的面積，=S4CDO+S^CPO_S4CEO+S^CPO=S^CEP

同理，過(guò)8作直線3F//C4與X軸交于點(diǎn)尸，

答案第7頁(yè)，共13頁(yè)

所以四邊形CDEP的面積邑=以5,

,?S&CEP=S&CFP，即P為E尸中點(diǎn).

計(jì)算得F[")，所以p(Q)，

.「05035.,50

..CP:y=—x-------,..k=—.

131313

7

17.當(dāng)x=-2時(shí)，y取最小值-2；當(dāng)x=0時(shí)，y取最大值理由見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】

【詳解】

將原式整理為關(guān)于x的方程：+Q),_2)x+(3y-2)=0.

若y=0,則x=—l,即y=0是函數(shù)的一個(gè)值；若ywO,則因關(guān)于x的方程有實(shí)根，所以

A=(3y-2)2-4(3y-2)y=(3y-2)(3y-2-4y)>0,即(3y-2)(y+2)40,解得

2

-2<y<-.由此可看出y=。即不是最大值也不是最小值.

當(dāng)y=-2時(shí)，由—2=(2及2解得x=_2；當(dāng)y=]時(shí)，由號(hào)2：2解得x=0.

x+3x+333JC+3X+3

7

所以當(dāng)x=-2時(shí)，y取最小值—2；當(dāng)x=0時(shí)，y取最大值

18.11,見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】

【詳解】

b

X|+X-)=—<“

設(shè)A(X],O),B(X2，°)(X1<%2)，則<a=>百<0,占<0.

-x2=—>0

La

又△=Z??一4ac>0=>h>2y[ac.①

又因?yàn)镺A=|xJvl,O8=|司<1,

c

故一1"<0,-1<x<0n—=%工2=②

2a

因。>0,拋物線開(kāi)口向上，故x=—l時(shí)，y=a-b+c>0,得6<a+c.

答案第8頁(yè)，共13頁(yè)

而"a+c均為正整數(shù)，故a+cNA+l,于是由①得a+c>2瘋+1=(>>1,由②

W4a—\[c>1,即^/^'>^/^+l,于是a>(&+2(1+=4,所以a25.

又6>2疝42>/^T>4,所以此5.

取a=5,人=5,c=l時(shí)，y=5x?+5x+l滿足題目條件，故a+6+c的最小值為5+5+1=11.

19.正整數(shù)〃的最小值為2010.

【解析】

【分析】

【詳解】

作整體估計(jì)如下：

2009=1%1+1々I+怎I—1%+W"--<-xn|<|%||+1x21-t---所以“22010.當(dāng)

20092009

“=2010時(shí)，取"=%=3=%《05=礪°，%006=占007=…=々3()=一礪°,則1%|<1

hx

?=1,2,…,2010)且%|+用I2oioI=2009+\xt+x2-\----+-A^OIO|,滿足題目條件，故所

求〃的最小值為2010.

20.⑴證明見(jiàn)解析

(2)當(dāng)avO或a>l時(shí),%>必；當(dāng)”=1時(shí)，％=%；當(dāng)0<。<1時(shí)，*<必

(3)-2<iZ<l,且axO

【解析】

【分析】

(1)令y=o,可得出x的兩個(gè)解，且兩個(gè)解不相等即可得出結(jié)論；

(2)先求出%-%=3"(4-1)，然后分三種情況討論即可；

(3)先求出拋物線與x軸的交點(diǎn)，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在0<x<3范圍內(nèi)分a>0和

。<0兩種情況確定函數(shù)的最大值，從而得出結(jié)論.

(1)

證明：令y=o,

即=0,

**?x—1=0或x—1—a=0,

答案第9頁(yè)，共13頁(yè)

即％=1,x2=1+a,

??ZHO,

，1wl+〃，

?,?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

?,?該函數(shù)的圖像與X軸總有兩個(gè)公共點(diǎn).

(2)

解：?.?點(diǎn)(O，yJ，(3,%)在函數(shù)圖像上，

.??當(dāng)x=0時(shí)，y=+。，

當(dāng)x=3時(shí),，y2--2〃+,

222

yi-y2=a+a-^-2a+4a^=3a-3a=3a^a-1),

???當(dāng)avO或時(shí)，y>%，

當(dāng)a=l時(shí)，%=%，

當(dāng)Ovavl時(shí),X<%.

(3)

;二次函數(shù)y=a(x—l)(x—l—a),

整理可得：y=ar2一。(a+2)x+a(a+l),

由(1)可知：當(dāng)y=O時(shí)，解得：％=1,電=1+〃，

???二次函數(shù)的圖像交工軸于(1。)和(l+a，O)兩點(diǎn)，

-〃（。+2）_a+2

a+2a

~2~~4

a+2a

???二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為2’4）

2

由(2)可知：當(dāng)x=0時(shí)，yl=a+af

答案第10頁(yè)，共13頁(yè)

當(dāng)x=3時(shí)，y2=-2〃2+4。,

當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖像開(kāi)口向上，

V0<x<3,

.\a2+a<2

**[-2a2+4tz<2，

解得：-2<67<1,

0<<1,

當(dāng)avO時(shí)，二次函數(shù)圖像開(kāi)口向下，

..?對(duì)稱軸*二等，

當(dāng)?！瓷?lt;3,即-2<"0時(shí)，

2

.?.二次函數(shù)圖像在頂點(diǎn)處取得最大值，

?/0

??------<2,

4

解得：a>-2,

—2<6?<0,

當(dāng)出40,即。4一2,

a

由題意可知，/+“42,解得：-2<a<l,GPa--2;

綜上所述，當(dāng)0cx<3時(shí)，y<2,。的取值范圍是：-2WaWl,且a#0.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，

二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，作差法比較函數(shù)值的大小，解一元二次方程，解不等式

(組)等知識(shí)，采用了分情況討論的解題方法.解題的關(guān)鍵是x在某一范圍內(nèi)的函數(shù)最大

值的確定.

21.A=B>見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

【詳解】

149

解A=(-+-+-)(x+y+z)

xyZ

答案第II頁(yè)，共13頁(yè)

=1+4+9+(，+竺)+(三+區(qū))+("+處)

xyxzyz

=14+2x2+2x3+2x2x3=36=8.

v4xz9x4z9v

故等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)一=——，一=——,——二—,即y=2x,z=3x,2x=3y.

xyxzyz

將y=2x,z=3x代入元+y+z=l,得6x=l,所以x=!，y=，,z=，時(shí)，A=B.

632

總、之ANB,當(dāng)且僅當(dāng)/=7y=7