專題02 軸對稱圖形（知識串講+熱考題型+真題訓(xùn)練）-蘇科版八年級《數(shù)學(xué)》上冊重難點(diǎn)專題提優(yōu)訓(xùn)練學(xué)霸滿分

第第頁專題02軸對稱圖形【考點(diǎn)1】軸對稱圖形【考點(diǎn)2】鏡面對稱【考點(diǎn)3】軸對稱的性質(zhì)【考點(diǎn)4】剪紙問題【考點(diǎn)5】翻折變換（折疊問題）．【考點(diǎn)6】利用軸對稱設(shè)計(jì)圖案．【考點(diǎn)7】角平分線的性質(zhì)．【考點(diǎn)8】線段垂直平分線的性質(zhì)．【考點(diǎn)9】等腰三角形的性質(zhì)【考點(diǎn)10】等腰三角形的判定．【考點(diǎn)11】等腰三角形的判定與性質(zhì)【考點(diǎn)12】等邊三角形的性質(zhì)【考點(diǎn)13】等邊三角形的判定．【考點(diǎn)14】等邊三角形的判定與性質(zhì)；【考點(diǎn)15】含30度角的直角三角形【考點(diǎn)16】直角三角形斜邊上的中線．【考點(diǎn)17】作圖﹣軸對稱變換．知識點(diǎn)1軸對稱圖形⑴軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形.這條直線稱為它的對稱軸.注意：1.軸對稱圖形的對稱軸是一條直線，2.軸對稱圖形是1個圖形，3.有些對稱圖形的對稱軸有無數(shù)條。⑵兩個圖形成軸對稱：把一個圖形沿某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱.這條直線稱為這兩個圖形的對稱軸.⑶線段的垂直平分線：經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.知識點(diǎn)2軸對稱性質(zhì)對稱的性質(zhì)：①兩個圖形關(guān)于某一條直線對稱，對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)連線段的垂直平分線.②關(guān)于某直線對稱的兩個圖形是全等形.知識點(diǎn)3畫軸對稱圖形（1）過已知點(diǎn)A作對稱軸l的垂線，垂足為O，在垂線上截取OA'，使OA'=OA，則點(diǎn)A'是點(diǎn)A的對稱點(diǎn)；（2）同理分別作出其它關(guān)鍵點(diǎn)的對稱點(diǎn)；（3）將所作的對稱點(diǎn)依次相連，得到軸對稱圖形.知識點(diǎn)4軸對稱之最短路徑問題基本圖模1.已知：如圖，定點(diǎn)A、B分布在定直線l兩側(cè)；要求：在直線l上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小解：連接AB交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求,PA+PB的最小值即為線段AB的長度理由：在l上任取異于點(diǎn)P的一點(diǎn)P′，連接AP′、BP′，在△ABP’中，AP′+BP′>AB，即AP′+BP′>AP+BP∴P為直線AB與直線l的交點(diǎn)時，PA+PB最小.已知：如圖，定點(diǎn)A和定點(diǎn)B在定直線l的同側(cè)要求：在直線l上找一點(diǎn)P，使得PA+PB值最?。ɑ颉鰽BP的周長最?。┙猓鹤鼽c(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交l于P，點(diǎn)P即為所求；理由：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)知直線l為線段AA′的中垂線，由中垂線的性質(zhì)得：PA=PA′，要使PA+PB最小，則需PA′+PB值最小，從而轉(zhuǎn)化為模型1.方法總結(jié)：1.兩點(diǎn)之間，線段最短；2.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；3.中垂線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等；4.垂線段最短.知識點(diǎn)5：線段垂直平分線1.定義經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線。2.線段垂直平分線的作圖1.分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C、D兩點(diǎn)；2.作直線CD，CD為所求直線知識點(diǎn)6：線段垂直平分線性質(zhì)線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等.知識點(diǎn)7：線段的垂直平分線逆定理到一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上知識點(diǎn)8角的平分線的性質(zhì)（一）作已知角的平分線（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分線）1、以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N。2、分別以M,N為圓心，大于123、畫射線OC，射線OC即為所求。（二）角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。幾何表示：∵OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E?！郟D=PE。知識點(diǎn)9角的平分線的判定角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。幾何表示：∵點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，且PD=PE，∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線OC上。重要拓展：1、三角形的三條角平分線相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，且該點(diǎn)到三角形三邊的距離相等。反之，三角形內(nèi)部到三邊距離相等的點(diǎn)是該三角形三條角平分線的交點(diǎn)。2、三角形的角平分線與三角形一邊交于一點(diǎn)，這條角平分線把三角形分成兩個小三角形，它們的面積比等于另外兩邊的長度的比。∵AD是∠BAC的角平分線；∴DF=DE；∵S△ADB=1∴S△ADBS△ADC知識點(diǎn)10等腰三角形的概念與性質(zhì)等腰三角形概念有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的邊叫做腰，另一邊叫做底，兩條腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角．2.等腰三角形的性質(zhì)如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等，簡稱“在同一個三角形中，等邊對等角”．性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上中線和高線互相重合.簡稱“等腰三角形三線合一”．知識點(diǎn)2等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形.可以簡單的說成：在一個三角形中，等角對等邊.要點(diǎn)詮釋：(1)要弄清判定定理的條件和結(jié)論，不要與性質(zhì)定理混淆．判定定理得到的結(jié)論是等腰三角形，性質(zhì)定理是已知三角形是等腰三角形，得到邊和角關(guān)系.（2）不能說“一個三角形兩底角相等，那么兩腰邊相等”，因?yàn)檫€未判定它是一個等腰三角形．知識點(diǎn)11等邊三角形的概念與性質(zhì)1.等邊三角形概念三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.也稱為正三角形.注意：等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.（2）等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等邊三角形.2.等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形是一類特殊的等腰三角形，有三條對稱軸，每個角的平分線(底邊上的高線或中線)所在的直線就是它的對稱軸.（2）三個角都是60°知識點(diǎn)12等邊三角形的判定（1）三個角相等的三角形是等邊三角形.（2）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.知識點(diǎn)13含有30°角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.知識點(diǎn)14：直角三角形斜邊上的中線直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半【考點(diǎn)1】軸對稱圖形1．（2022秋?泗陽縣期末）下列冬奧會會徽中，屬于軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】軸對稱圖形．【答案】D【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．【解答】解：A，B，C選項(xiàng)中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；D選項(xiàng)中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；故選：D．2．（2023春?綏棱縣期末）下列四邊形中，對稱軸條數(shù)最多的是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形【考點(diǎn)】軸對稱圖形．【答案】C【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念及對稱軸的概念進(jìn)行分析解答即可，矩形有兩條對稱軸，為對邊中垂線所在的直線；菱形由兩條對稱軸，為其兩條對角線所在的直線；正方形有四條對稱軸，為其兩條對角線所在的直線，還有其對邊中垂線所在的直線；等腰梯形有一條對稱軸，為其兩底的中垂線所在的直線．【解答】解：A、矩形是兩條對稱軸；B、菱形是兩條對稱軸；C、正方形是四條對稱軸；D、等腰梯形是一條對稱軸．所以對稱軸條數(shù)最多的是正方形．故選：C．【考點(diǎn)2】鏡面對稱3．（2023春?章丘區(qū)期末）小明在鏡中看到對面電子時鐘的示數(shù)如圖所示，這現(xiàn)在的實(shí)際時間為（）?A．12：01 B．10：21 C．15：10 D．10：51【考點(diǎn)】鏡面對稱．【答案】D【分析】關(guān)于鏡子的像，實(shí)際數(shù)字與原來的數(shù)字關(guān)于豎直的線對稱，根據(jù)相應(yīng)數(shù)字的對稱性可得實(shí)際時間．【解答】解：∵是從鏡子中看，∴對稱軸為豎直方向的直線，∵2的對稱數(shù)字是5，鏡子中數(shù)字的順序與實(shí)際數(shù)字順序相反，∴這時的時刻應(yīng)是10：51．故選：D．5．（2023春?分宜縣期末）在平面鏡中看到一輛汽車的車牌號：，則該汽車的車牌號是M645379．【考點(diǎn)】鏡面對稱．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好順序顛倒，且關(guān)于鏡面對稱．【解答】解：根據(jù)鏡面對稱性質(zhì)得出：實(shí)際車牌號是：M645379，故答案為：M645379．【考點(diǎn)3】軸對稱的性質(zhì)6．（2023春?蘭州期末）如圖，△ABC與△A'B'C'關(guān)于直線l對稱，∠A＝54°，∠C'＝26°，則∠B等于（）A．36° B．154° C．80° D．100°【考點(diǎn)】軸對稱的性質(zhì)．【答案】D【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得∠C＝∠C′，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列式計(jì)算即可得解．【解答】解：∵△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線l對稱，∴∠C＝∠C′＝26°，在△ABC中，∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣54°﹣26°＝100°．故選：D．7．（2023春?高碑店市校級月考）如圖，△ABC與△A'B'C'關(guān)于直線MN對稱，BB'交MN于點(diǎn)O，下列結(jié)論：①AB＝A'B'；②OB＝OB′；③AA'∥BB'中，正確的有（）A．3個 B．2個 C．1個 D．0個【考點(diǎn)】軸對稱的性質(zhì)；平行線的判定．【答案】A【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)對各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：∵△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線MN對稱，∴OB＝OB′，△ABC≌△A′B′C′，AA′∥BB′，故②③正確，∴AB＝A′B′，故①正確，所以正確的一共有3個，故選：A．8．（2022秋?明水縣校級期末）如圖，把長方形ABCD沿EF對折后使AB與A'B'重合，若∠AEF＝110°，則∠1的度數(shù)是（）A．30° B．35° C．40° D．50°【考點(diǎn)】軸對稱的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．【答案】C【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠BFE的度數(shù)，再由圖形翻折變換的性質(zhì)求出∠EFG的度數(shù)，根據(jù)平角的定義即可得出∠1的度數(shù)．【解答】解：∵AD∥BC，∠AEF＝110°，∴∠BFE＝180°﹣∠AEF＝180°﹣110°＝70°，∵長方形ABCD沿EF對折后使兩部分重合，∴∠EFG＝∠BFE＝70°，∴∠1＝180°﹣∠BFE﹣∠EFG＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故選：C．【考點(diǎn)4】剪紙問題9．（2023春?朝陽區(qū)期末）如圖所示把一個長方形紙片對折兩次，然后剪下一個角，如果得到的四邊形是正方形，那么剪口與折痕所夾的角α的度數(shù)為?（）A．90° B．45° C．30° D．22.5°【考點(diǎn)】剪紙問題；平行線的性質(zhì)；多邊形內(nèi)角與外角．【答案】B【分析】如圖，折痕為AC與BD，∠ABC＝90°，根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得∠ABD＝45°，∠BAC＝45°，所以剪口與折痕所夾的角α的度數(shù)為45°．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，如圖，∴，，∠ABC＝∠BAD＝90°，∴∠ABD＝45°，∠BAC＝45°，∴剪口與折痕所成的角α的度數(shù)應(yīng)為45°，故選：B．10．（2023春?魯山縣期末）如圖，小明拿一張正方形紙片（如圖①），沿虛線向下對折一次得到圖②，再沿圖②中的虛線向下對折一次得到圖③，然后用剪刀沿圖③中的虛線剪去一個角，將剩下的紙片打開后得到的圖形的形狀是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】剪紙問題．【答案】A【分析】利用圖形的翻折，由翻折前后的圖形是全等形，通過動手操作得出答案．【解答】解：如圖所示：故選：A．11．（2023春?淅川縣期末）一張正方形紙片經(jīng)過兩次對折，并在如圖所示的位置上剪去一個小正方形，打開后的圖形是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】剪紙問題．【答案】D【分析】由平面圖形的折疊及圖形的對稱性展開圖解題．【解答】解：動手操作或由圖形的對稱性，因剪去的小正方形緊靠對折線，可得打開后是D．故選：D【考點(diǎn)5】翻折變換（折疊問題）．12．（2023春?德州期中）如圖，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，將△ABC折疊，使A點(diǎn)與BC的中點(diǎn)D重合，折痕為MN，則線段DN的長為（）A． B． C．4 D．5【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）．【答案】D【分析】設(shè)BN＝x，由折疊的性質(zhì)可得DN＝AN＝9﹣x，利用勾股定理得到x2+32＝（9﹣x）2，計(jì)算即可．【解答】解：∵D是BC的中點(diǎn)，BC＝6，∴BD＝3，設(shè)BN＝x，由折疊的性質(zhì)可得DN＝AN＝9﹣x，在Rt△BDN中，BN2+BD2＝DN2，即x2+32＝（9﹣x）2，解得x＝4．故線段DN的長為9﹣4＝5．故選：D．13．（2023春?宜城市期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，則重疊部分△AFC的面積為（）A．12 B．10 C．8 D．6【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）．【答案】B【分析】由矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出∠FCA＝∠FAC，證出AF＝CF，設(shè)AF＝CF＝x，DF＝8﹣x，在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理得出方程，解方程求出AF，△AFC的面積＝CF×AD，即可得出結(jié)果．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝8，AD＝BC＝4，∠D＝90°，AB∥DC，∴∠BAC＝∠FCA，由折疊的性質(zhì)得：∠FAC＝∠BAC，∴∠FCA＝∠FAC，∴AF＝CF，設(shè)AF＝CF＝x，DF＝8﹣x，在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理得：AD2+DF2＝AF2，即42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5，∴△AFC的面積＝CF×AD＝×5×4＝10；故選：B．【考點(diǎn)6】利用軸對稱設(shè)計(jì)圖案．14．（2023春?三明期末）如圖是4×4正方形網(wǎng)格，其中已有3個小正方形涂成了黑色，現(xiàn)在要從其余13個白色小方格中選出一個也涂成黑色的圖形稱為軸對稱圖形，這樣的白色小方格有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【考點(diǎn)】利用軸對稱設(shè)計(jì)圖案．【答案】C【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．【解答】解：如圖所示，有4個位置使之成為軸對稱圖形．故選：C．15．（2022秋?南昌期末）在3×3的正方形網(wǎng)格中，將三個小正方形涂色如圖所示，若移動其中一個涂色小正方形到空白方格中，與其余兩個涂色小正方形重新組合，使得新構(gòu)成的整個圖案是一個軸對稱圖形，則這樣的移法共有（）A．5種 B．7種 C．9種 D．10種【考點(diǎn)】利用軸對稱設(shè)計(jì)圖案．【答案】C【分析】利用軸對稱的性質(zhì)，以及軸對稱的作圖方法來作圖，通過變換對稱軸來得到不同的圖案即可．【解答】解：如圖所示：一共有9種軸對稱圖形．故選：C．【考點(diǎn)7】角平分線的性質(zhì)．16．（2023春?印江縣月考）如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON于點(diǎn)A，點(diǎn)Q是射線OM上的一個動點(diǎn)，若PA＝3，則PQ的最小值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；垂線段最短．【答案】B【分析】作PE⊥OM于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出PE的長即可．【解答】解：作PE⊥OM于E，∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PE⊥OM，∴PE＝PA＝3，又∵Q為OM上動點(diǎn)，∴PQ≥PE，∴PQ≥3，最小值為3，故選：B．17．（2023春?倉山區(qū)校級期末）如圖，∠C＝90°，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，DM平分∠ADC，且CB＝8，則點(diǎn)M到線段AD的最小距離為（）A．2 B．3 C．4 D．5【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)．【答案】C【分析】如圖所示，過點(diǎn)M作ME⊥AD于E，證明△MDE≌△MDC，得到ME＝MC，再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到，根據(jù)垂線段最短可知點(diǎn)M到線段AD的最小距離為4．【解答】解：如圖所示，過點(diǎn)M作ME⊥AD于E，∴∠MED＝∠C＝90°，∵DM平分∠ADC，∴∠MDE＝∠MDC，又∵M(jìn)D＝MD，∴△MDE≌△MDC（AAS），∴ME＝MC，∵點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，CB＝8，∴，∴點(diǎn)M到線段AD的最小距離為4，故選：C．18．（2023春?秀峰區(qū)校級期中）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB．若DE＝3，BD＝6，則BC的長度為（）A．7 B．8 C．9 D．10【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)．【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和線段的和差求解即可．【解答】解：∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，∠C＝90°，∴ED＝DC，∵DE＝3，BD＝6，∴BC＝BD+CD＝BD+DE＝9．故選：C．19．（2022秋?南陽期末）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E．若△ABC的面積為26，AB＝8，BC＝5，則DE的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)．【答案】D【分析】作DF⊥BC于F，如圖，根據(jù)角平分線的定義得到DE＝DC，再利用三角形面積公式得到×6×DF+×8×DE＝26，然后求出DE的長．【解答】解：作DF⊥BC于F，如圖，∵BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，∵S△ABC＝S△ABD+S△CBD，∴×5×DF+×8×DE＝26，∴DE＝26，∴DE＝4．故選：D．20．（2023春?招遠(yuǎn)市期末）如圖，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分線CP、AP交于點(diǎn)P，延長BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF．則下列結(jié)論中正確的個數(shù)（）①BP平分∠ABC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠CAB＝2∠CPB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)．【答案】D【分析】過P作PQ⊥AC于Q，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PQ＝PN，PQ＝PM，求出PQ＝PM＝PN，求出∠PMA＝∠PNC＝∠PQA＝∠PQC＝90°，根據(jù)全等三角形的判定得出Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC，再逐個判斷即可．【解答】解：過P作PQ⊥AC于Q，∵∠ACF、∠EAC的角平分線CP、AP交于點(diǎn)P，PM⊥BE，PN⊥BF，∴PM＝PQ，PQ＝PN，∴PM＝PN，∴P在∠ABC的角平分線上，即BP平分∠ABC，故①正確；∵PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，∴∠PMA＝∠PQA＝90°，∠PQC＝∠PNC＝90°，在Rt△PMA和Rt△PQA中，，∴Rt△PMA≌Rt△PQA（HL），∴∠MPA＝∠QPA，同理Rt△PQC≌Rt△PNC，∴∠QPC＝∠NPC，∵∠PMA＝∠PNC＝90°，∴∠ABC+∠MPN＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠ABC+2∠APC＝180°，故②正確；∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC，∴∠FCA＝∠ABC+∠CAB＝2∠PCN，又∵∠PCN＝∠ABC+∠CPB，∴∠ABC+∠CAB＝2（∠ABC+∠CPB），∴∠CAB＝2∠CPB，故③正確；∵Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC，∴S△PAC＝S△MAP+S△NCP，故④正確；即正確的個數(shù)是4，故選：D．21．（2022秋?新華區(qū)校級期末）如圖，AI、BI、CI分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，ID⊥BC，△ABC的周長為18，ID＝4，則△ABC的面積為（）A．18 B．30 C．36 D．72【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)．【答案】C【分析】過I點(diǎn)作IE⊥AB于E，IF⊥AC于F，如圖，利用角平分線的性質(zhì)得到IE＝IF＝ID＝4，然后根據(jù)三角形面積公式得到S△ABC＝S△ABI+S△IBC+S△IAC＝2（AB+BC+AC）．【解答】解：過I點(diǎn)作IE⊥AB于E，IF⊥AC于F，如圖，∵AI，BI，CI分別平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，∴IE＝IF＝ID＝4，∴S△ABC＝S△ABI+S△IBC+S△IAC＝×AB×4+×BC×4+×AC×4＝2（AB+BC+AC）＝2×18＝36．故選：C．【考點(diǎn)8】線段垂直平分線的性質(zhì)．22．（2023?沙坪壩區(qū)校級開學(xué)）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D，E，連接AE．若AD＝4，△ABC的周長為24，則△ACE的周長為（）A．12 B．16 C．18 D．20【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)．【答案】B【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EB，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算即可．【解答】解：∵DE是線段AB的垂直平分線，∴EA＝EB，∵AD＝4，∴AB＝2AD＝8，∵△ABC的周長＝AB+BC+AC＝24，∴BC+AC＝24﹣8＝16，∴△ACE的周長＝AC+CE+AE＝BE+CE+AC＝BC+AC＝16，故選：B．23．（2022秋?裕華區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)F，連接AE，AF，若△AEF的周長為7，則BC的長是（）A．7 B．8 C．9 D．無法確定【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)．【答案】A【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EB，F(xiàn)A＝FC，根據(jù)三角形的周長公式即可求出BC．【解答】解：∵AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，∴EA＝EB，∵AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)F．∴FA＝FC，∴BC＝BE+EF+FC＝AE+EF+AF＝△AEF的周長＝7．故選：A．24．（2023春?振興區(qū)校級期中）到三角形各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是（）A．三條邊垂直平分線交點(diǎn) B．三個內(nèi)角平分線交點(diǎn) C．三條中線交點(diǎn) D．三條高交點(diǎn)【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)．【答案】A【分析】根據(jù)線段垂直平分線的判定定理判斷即可．【解答】解：∵到線段的兩個端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，∴到三角形各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，故選：A．25．（2022秋?梁子湖區(qū)期末）如圖：DE是△ABC中AC邊的垂直平分線，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，則△EBC的周長為（）厘米．A．16 B．18 C．26 D．28【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)．【答案】B【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)得AE＝CE，再等量代換即可求得三角形的周長．【解答】解：∵DE是△ABC中AC邊的垂直平分線，∴AE＝CE，∴△EBC的周長＝BC+BE+CE＝BC+BE+CE＝BC+AB＝10+8＝18（厘米），故選：B．26．（2023春?建平縣期末）如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線OM與邊AC的垂直平分線ON交于點(diǎn)O，這兩條垂直平分線分別交BC于點(diǎn)D、E．（1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度數(shù)；（2）已知△ADE的周長7cm，分別連接OA、OB、OC，若△OBC的周長為15cm，求OA的長．【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形；線段垂直平分線的性質(zhì)．【答案】（1）40°；（2）4cm．【分析】（1）求出∠BAC＝110°，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB，EA＝EC，可求出答案；（2）連接OA，OB，OC，根據(jù)三角形的周長公式求出OB+OC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OB＝OC，計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣40°＝110°，∵DM是線段AB的垂直平分線，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠ABC＝30°，同理，EA＝EC，∴∠EAC＝∠ACB＝40°，∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝110°﹣30°﹣40°＝40°；（2）連接OA，OB，OC，∵△ADE的周長7cm∴AD+DE+EA＝7（cm），∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝7（cm）；∵△OBC的周長為15，∴OB+OC+BC＝15，∵BC＝7，∴OB+OC＝8，∵OM垂直平分AB，∴OA＝OB，同理，OA＝OC，∴OA＝OB＝OC＝4（cm）．【考點(diǎn)9】等腰三角形的性質(zhì)27．（2023春?棗莊期末）若等腰三角形的兩邊長分別為2和5，則它的周長為（）A．9 B．7 C．12 D．9或12【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系．【答案】C【分析】求等腰三角形的周長，即是確定等腰三角形的腰與底的長求周長；題目給出等腰三角形有兩條邊長為2和5，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形．【解答】解：（1）若2為腰長，5為底邊長，由于2+2＜5，則三角形不存在；（2）若5為腰長，則符合三角形的兩邊之和大于第三邊．所以這個三角形的周長為5+5+2＝12．故選：C．28．（2022秋?南宮市期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為∠BAC的平分線，若BC＝8，則CD的長為（）A．2 B．3 C．4 D．5【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)．【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD⊥BC，BD＝BC＝4，得到答案．【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，∴AD⊥BC，BD＝BC＝4，故選：C．29．（2023春?富平縣期中）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，CD是AB邊上的高，若∠A＝42°，則∠DCB的度數(shù)為（）A．21° B．31° C．42° D．48°【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)．【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求出∠B＝69°，由垂直的定義，即得∠DCB的度數(shù)．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝42°，∴∠B＝∠ACB＝×（180°﹣42°）＝69°，又∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，∴∠DCB＝90°﹣69°＝21°．故選：A．30．（2023春?蓮池區(qū)校級期中）若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為32°，則它的頂角的度數(shù)是（）A．32° B．58° C．122° D．58°或122°【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．【答案】D【分析】根據(jù)題意分類討論，當(dāng)頂角為鈍角時，當(dāng)頂角為銳角時，分別畫出圖形，根據(jù)等腰三角形的定義，以及直角三角形的兩銳角互余即可求解．【解答】解：如圖1，等腰三角形為銳角三角形，∵BD⊥AC，∠ABD＝32°，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝58°，此時頂角的度數(shù)為58°．如圖2，等腰三角形為鈍角三角形，∵BD⊥AC，∠ABD＝32°，∴∠BAC＝90°+∠ABD＝122°．此時頂角的度數(shù)為122°，故選：D．31．（2022秋?新?lián)釁^(qū)期末）如圖，AB＝AE，AB∥DE，∠DAB＝70°，∠E＝40°．（1）求∠DAE的度數(shù)；（2）若∠B＝30°，求證：AD＝BC．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EAB，再根據(jù)角的和差關(guān)系即可求解；（2）根據(jù)ASA可證△ADE≌△BCA，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解（1）∵AB∥DE，∠E＝40°，∴∠EAB＝∠E＝40°，∵∠DAB＝70°，∴∠DAE＝30°；（2）證明：在△ADE與△BCA中，，∴△ADE≌△BCA（ASA），∴AD＝BC【考點(diǎn)10】等腰三角形的判定．32．（2023?河北一模）如圖所標(biāo)數(shù)據(jù)，下面說法正確的是（）A．①是等腰三角形 B．②是等腰三角形 C．①和②均是等腰三角形 D．①和②都不是等腰三角形【考點(diǎn)】等腰三角形的判定．【答案】B【分析】由等腰三角形的判定方法，即可判斷．【解答】解：圖①，三角形的第三邊的長不確定，故①不一定是等腰三角形；圖②，三角形的第三個角是180°﹣50°﹣80°＝50°，三角形有兩個角都是50°，故②是等腰三角形．故選：B．33．（2022秋?巴州區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，CD平分∠ACB，DE∥AC，則圖中共有等腰三角形（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【考點(diǎn)】等腰三角形的判定．【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝72°，求出∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝36°，求出∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠EDB＝∠A＝36°，∠DEB＝∠ACB＝72°，∠CDE＝∠ACD＝36°，推出∠A＝∠ACD＝∠BCD＝∠CDE＝36°，∠B＝∠ACD＝∠DEB＝∠CDB＝72°即可．【解答】解：∵∠A＝36°，∠B＝72°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠b＝72°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝36°，∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠A＝36°，∠DEB＝∠ACB＝72°，∠CDE＝∠ACD＝36°，∴∠A＝∠ACD＝∠BCD＝∠CDE＝36°，∠B＝∠ACD＝∠DEB＝∠CDB＝72°，∴△ACB、△ACD、△CDB、△CDE、△DEB都是等腰三角形，共5個，故選：D．34．（2022秋?靖西市期末）如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，在直線BC或射線AC取一點(diǎn)P，使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P有（）A．2個 B．4個 C．5個 D．6個【考點(diǎn)】等腰三角形的判定．【答案】C【分析】分為三種情況：①PA＝PB，②AB＝AP，③AB＝BP，求出即可得出答案．【解答】解：①作線段AB的垂直平分線，交AC于點(diǎn)P，交直線BC于一點(diǎn)，共2個點(diǎn)；②第2個點(diǎn)是以A為圓心，以AB長為半徑作圓，交直線BC于兩點(diǎn)（B和另一個點(diǎn)），交射線AC于一點(diǎn)，共2個點(diǎn)；③以B為圓心，以BA長為半徑作圓，交直線BC于兩點(diǎn)，交射線AC于一點(diǎn)，共3個點(diǎn)∵作線段AB的垂直平分線交直線BC的點(diǎn)，以A為圓心，AB長為半徑作圓交直線BC的點(diǎn)，以及以B為圓心，AB長為半徑作圓交直線BC與右側(cè)的點(diǎn)，這三個點(diǎn)是同一個點(diǎn)．∴答案應(yīng)該是2+2+3﹣2＝5個點(diǎn)故選：C．【考點(diǎn)11】等腰三角形的判定與性質(zhì)35．（2023?南關(guān)區(qū)校級開學(xué)）如圖，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3，則CD等于（）?A．3 B．4 C．1.5 D．2【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．【答案】A【分析】OC平分∠AOB，∠AOC＝∠BOC，CD∥OB，∠C＝∠BOC，∠C＝∠AOC，CD＝OD．【解答】解：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，又∵CD∥OB，∴∠C＝∠BOC，∴∠C＝∠AOC，∴CD＝OD＝3，故選：A．36．（2023春?昭通期末）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，∠CAD＝∠C，若AB＝5，AD＝2，則BC的長為（）A．6 B．7 C．8 D．9【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)．【答案】D【分析】延長AD交BC于點(diǎn)E，如圖，證明△ABD≌△EBD，得到BE＝BA＝5，AD＝ED＝2，可得AE＝4，由∠CAD＝∠C可得EC＝EA＝4，進(jìn)而可得答案．【解答】解：延長AD交BC于點(diǎn)E，如圖，∵BD平分∠ABC，AD⊥BD，∴∠ABD＝∠EBD，∠ADB＝∠EDB＝90°，∵BD＝BD，∴△ABD≌△EBD（ASA），∴BE＝BA＝5，AD＝ED＝2，∴AE＝4，∵∠CAD＝∠C，∴EC＝EA＝4，∴BC＝BE+EC＝9；故選：D．【考點(diǎn)12】等邊三角形的性質(zhì)37．（2023春?龍川縣校級期中）如圖，直線m∥n，等邊△ABC的頂點(diǎn)B在直線n上，∠2＝35°，則∠1的度數(shù)為（）A．40° B．25° C．30° D．35°【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．【答案】B【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ACD＝∠2＝35°，∠DCB＝∠1，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和∠2的度數(shù)求出∠1的度數(shù)即可．【解答】解：過點(diǎn)C作DE∥m，∵DE∥m，m∥n，∴DE∥n，∴∠DCB＝∠1，∵DE∥m，∴∠ACD＝∠2＝35°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝60°﹣35°＝25°，∴∠1＝∠DCB＝25°，故選：B．38．（2023春?興寧市期末）如圖，AD是等邊三角形ABC的中線，點(diǎn)E在AC上，AE＝AD，則∠EDC等于（）A．15° B．20° C．25° D．30°【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)．【答案】A【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可求解∠CAD＝30°，AD⊥BC，利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可得∠ADE的度數(shù)，進(jìn)而可求解．【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC＝∠C＝60°，∵AD是等邊三角形ABC的中線，∴∠CAD＝∠BAC＝30°，AD⊥BC，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∵∠AED+∠ADE+∠CAD＝180°，∴∠ADE＝75°，∴∠EDC＝15°，故選：A．39．（2022秋?金鄉(xiāng)縣期中）如圖，△ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，延長BC至E，使CE＝CD．（1）求證：DB＝DE；（2）過點(diǎn)D作DF⊥BE，垂足為F，若CF＝3，求△ABC的周長．【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)．【答案】（1）證明過程見解答；（2）△ABC的周長為36．【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)可得AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，再利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得AD＝CD＝AC，∠DBC＝∠ABC＝30°，然后利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)可得∠CDE＝∠E＝30°，從而可得∠DBE＝∠E，即可解答；（2）根據(jù)垂直定義可得∠DFC＝90°，然后在Rt△DFC中，求出CD的長，從而求出AC的長，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BD⊥AC，∴AD＝CD＝AC，∠DBC＝∠ABC＝30°，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E，∵∠ACB＝∠CDE+∠E，∴∠E＝30°，∴∠DBE＝∠E，∴BD＝DE；（2）解：∵DF⊥BE，∴∠DFC＝90°，∵∠ACB＝60°，CF＝3，∴∠CDF＝90°﹣∠ACB＝30°，∴CD＝2CF＝6，∵CD＝AC，∴AC＝2CD＝12，∴AB＝AC＝BC＝12，∴△ABC的周長為36．【考點(diǎn)13】等邊三角形的判定．40．（2023春?扶風(fēng)縣期中）在△ABC中，若AB＝AC＝5，∠B＝60°，則BC的值為（）A．3 B．4 C．5 D．6【考點(diǎn)】等邊三角形的判定．【答案】C【分析】先判斷△ABC為等邊三角形，然后等邊三角形的性質(zhì)得到BC＝AB．【解答】解：∵AB＝AC＝5，∴∠C＝∠B＝60°，∴△ABC為等邊三角形，∴BC＝AB＝5．故選：C．41．（2023春?文山市期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，CE是∠BCD的角平分線，且CE＝CD，那么∠D的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．70° D．80°【考點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)；等腰三角形的判定．【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證△DCE是等腰三角形，從而可得DE＝DC，進(jìn)而可得△CDE是等邊三角形，然后利用等邊三角形的性質(zhì)可得∠D＝60°，即可解答．【解答】解：∵CE是∠BCD的角平分線，∴∠DCE＝∠ECB，∵AD∥BC，∴∠DEC＝∠ECB，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC，∵CE＝CD，∴CE＝CD＝DE，∴△CDE是等邊三角形，∴∠D＝60°，故選：B．【考點(diǎn)14】等邊三角形的判定與性質(zhì)；42．（2021秋?隨縣期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足為G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其兩邊分別交邊AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求證：△ABD是等邊三角形；（2）求證：BE＝AF．【考點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)和已知條件得出∠BAD＝∠DAC＝×120°＝60°，再由AD＝AB，即可得出結(jié)論；（2）由△ABD是等邊三角形，得出BD＝AD，∠ABD＝∠ADB＝60°，證出∠BDE＝∠ADF，由ASA證明△BDE≌△ADF，得出BE＝AF．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝∠DAC＝×120°＝60°，∵AD＝AB，∴△ABD是等邊三角形；（2）證明：∵△ABD是等邊三角形，∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD∵∠EDF＝60°，∴∠ABD＝∠EDF，∴∠ABD﹣∠ADE＝∠EDF﹣∠ADE，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE與△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF．43．（2022秋?番禺區(qū)校級期末）如圖所示，△ABC和△ADE都是等邊三角形，且B、A、E在同一直線上，連接BD交AC于M，連接CE交AD于N，連接MN．求證：（1）BD＝CE；（2）BM＝CN；（3）MN∥BE．【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）由已知條件利用SAS證明△ABD≌△ACE即可．（2）由已知條件利用ASA證明△ABM≌△ACN．（3）在（2）的基礎(chǔ)上可利用內(nèi)錯角證明MN∥BE．【解答】證明：（1）∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，則在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE．（2）由（1）可知，∠DBA＝∠ACE，又∵AB＝AC，∠BAC＝∠CAD＝60°，則在△ABM和△ACN中，∴△ABM≌△ACN，∴BM＝CN．（3）由（2）得，AM＝AN，∴∠AMN＝∠ANM＝60°＝∠DAE，∴MN∥BE【考點(diǎn)15】含30度角的直角三角形44．（2022秋?嘉興期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，點(diǎn)D在BC上，AB⊥AD，AD＝2，則BC等于（）A．4 B．5 C．6 D．8【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性質(zhì)．【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠B，求出∠BAC，求出∠DAC＝∠C，求出AD＝DC＝2，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出BD，即可求出答案．【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠B＝∠C＝30°，∠BAC＝120°，∵AB⊥AD，∴∠BAD＝90°，∵AD＝2，∴BD＝2AD＝4，∵∠DAC＝120°﹣90°＝30°，∴∠DAC＝∠C，∴AD＝DC＝2，∴BC＝BD+DC＝4+2＝6，故選：C．45．（2023春?定州市期末）在Rt△ABC中，∠C＝30°，斜邊AC的長為5cm，則AB的長為（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形．【答案】B【分析】由題意可得，∠B是直角，AB＝AC，直接代入即可求得AB的長．【解答】解：∵△ABC為直角三角形，∠C＝30°，∴AB＝AC＝2.5cm．故選：B【考點(diǎn)16】直角三角形斜邊上的中線．46．（2023春?南崗區(qū)校級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AD＝CD，BD＝6cm，則AC的長為（）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線．【答案】D【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)解答即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AD＝CD，BD＝6cm，則AC＝2BD＝2×6＝12（cm），故選：D．47．（2023春?梁山縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，CD是AB邊上的中線，則CD的長是（）A．1 B．2 C．4 D．8【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線．【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CD＝AB，代入求出即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，CD是AB邊上的中線，∴CD＝AB＝2，故選：B．【考點(diǎn)17】作圖﹣軸對稱變換．48．（2023?青羊區(qū)校級開學(xué)）如圖，在由邊長為1個單位的小正方形組成的網(wǎng)格中，三角形ABC的頂點(diǎn)均為格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）．（1）作出三角形ABC關(guān)于直線MN的軸對稱圖形三角形A1B1C1；（2）求三角形A1B1C1的面積；（3）在直線MN上找一點(diǎn)P使得三角形BAC的面積等于三角形PAC的面積．【考點(diǎn)】作圖﹣軸對稱變換．【答案】（1）作圖見解析部分；（2）2；（3）作圖見解析部分．【分析】（1）利用軸對稱變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1即可；（2）把三角形的面積看成矩形的面積減去周圍的三個三角形面積即可；（3）利用等高模型畫出圖形即可．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；（2）△A1B1C1的面積＝2×3﹣×1×3﹣×1×1﹣×2×2＝2；（3）如圖，點(diǎn)P，點(diǎn)P′即為所求．49．（2022秋?克什克騰旗期末）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，1）B（4，2）C（2，3）．（1）在圖中畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的圖形△A1B1C1；（2）在圖中，若B2（﹣4，2）與點(diǎn)B關(guān)于一條直線成軸對稱，則這條對稱軸是y軸，此時C點(diǎn)關(guān)于這條直線的對稱點(diǎn)C2的坐標(biāo)為（﹣2，3）；（3）求△A1B1C1的面積．【考點(diǎn)】作圖﹣軸對稱變換．【答案】（1）見解答；（2）y軸，（﹣2，3）；（3）2.5．【分析】（1）利用關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到A1、B1、C1的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可；（2）作BB2的垂直平分線得到軸對稱為y軸，然后利用關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到C2的坐標(biāo)；（3）用一個矩形的面積分別減去三個直角三角形的面積去計(jì)算△A1B1C1的面積．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1為所作；（2）這條對稱軸是y軸，C點(diǎn)的對稱點(diǎn)C2的坐標(biāo)為（﹣2，3）；故答案為：y軸，（﹣2，3）；（3）△A1B1C1的面積＝2×3﹣×2×1﹣×2×1﹣×1×3＝2.5一．選擇題（共12小題）1．（2022秋?海陵區(qū)校級期末）下面四個圖形分別是節(jié)能、節(jié)水、低碳和綠色食品標(biāo)志，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)錯誤；B、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)錯誤；C、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)錯誤；D、是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)正確．故選：D．2．（2023春?渠縣校級期末）從平面鏡里看到背后墻上電子鐘的示數(shù)如圖所示，這時的正確時間是（）A．21：05 B．21：15 C．20：15 D．20：12【答案】A【分析】根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好順序顛倒，且關(guān)于鏡面對稱．【解答】解：由圖分析可得題中所給的“20：15”與“21：05”成軸對稱，這時的時間應(yīng)是21：05．故選：A．3．（2022秋?益陽期末）如圖，在△ABC中，AC＝4cm，線段AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)N，△BCN的周長是7cm，則BC的長為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】C【分析】首先根據(jù)MN是線段AB的垂直平分線，可得AN＝BN，然后根據(jù)△BCN的周長是7cm，以及AN+NC＝AC，求出BC的長為多少即可．【解答】解：∵M(jìn)N是線段AB的垂直平分線，∴AN＝BN，∵△BCN的周長是7cm，∴BN+NC+BC＝7（cm），∴AN+NC+BC＝7（cm），∵AN+NC＝AC，∴AC+BC＝7（cm），又∵AC＝4cm，∴BC＝7﹣4＝3（cm）．故選：C．4．（2023春?碭山縣校級期末）如圖，AB∥CD，BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB，AD過點(diǎn)P，且與AB垂直．若AD＝8，則點(diǎn)P到BC的距離是（）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【分析】過點(diǎn)P作PE⊥BC于E，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得PA＝PE，PD＝PE，那么PE＝PA＝PD，又AD＝8，進(jìn)而求出PE＝4．【解答】解：過點(diǎn)P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，PA⊥AB，∴PD⊥CD，∵BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB，∴PA＝PE，PD＝PE，∴PE＝PA＝PD，∵PA+PD＝AD＝8，∴PA＝PD＝4，∴PE＝4．故選：C．5．（2023春?桃城區(qū)校級期末）如圖，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，則△BDC的周長是（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】由ED是AB的垂直平分線，可得AD＝BD，又由△BDC的周長＝DB+BC+CD，即可得△BDC的周長＝AD+BC+CD＝AC+BC．【解答】解：設(shè)AB的中垂線與AB交于點(diǎn)E，∵ED是AB的垂直平分線，∴AD＝BD，∵△BDC的周長＝DB+BC+CD，∴△BDC的周長＝AD+BC+CD＝AC+BC＝6+4＝10．故選：C．6．（2022秋?安岳縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點(diǎn)M，N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交邊BC于點(diǎn)D，若CD＝4，AB＝15，則△ABD的面積是（）A．15 B．30 C．45 D．60【答案】B【分析】判斷出AP是∠BAC的平分線，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE＝CD，然后根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解．【解答】解：由題意得AP是∠BAC的平分線，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，又∵∠C＝90°，∴DE＝CD，∴△ABD的面積＝AB?DE＝×15×4＝30．故選：B．7．（2022秋?和平區(qū)校級期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，連接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC邊上一動點(diǎn)，則DP長的最小值為（）A．1 B．6 C．3 D．12【答案】C【分析】由三角形的內(nèi)角和定理和角的和差求出∠ABD＝∠CBD，角平分線的性質(zhì)定理得AD＝DH，垂線段定義證明DH最短，求出DP長的最小值為3．【解答】解：過點(diǎn)D作DH⊥BC交BC于點(diǎn)H，如圖所示：∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，又∵∠C+∠BDC+∠DBC＝180°，∠ADB+∠A+∠ABD＝180°∠ADB＝∠C，∠A＝90°，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD是∠ABC的角平分線，又∵AD⊥AB，DH⊥BC，∴AD＝DH，又∵AD＝3，∴DH＝3，又∴點(diǎn)D是直線BC外一點(diǎn)，∴當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動時，點(diǎn)P運(yùn)動到與點(diǎn)H重合時DP最短，其長度為DH長等于3，即DP長的最小值為3．故選：C．8．（2022秋?濟(jì)寧期末）如圖所示，△ABC是等邊三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，則∠2的度數(shù)為（）A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】D【分析】易證△ABD≌△BCE，可得∠1＝∠CBE，根據(jù)∠2＝∠1+∠ABE可以求得∠2的度數(shù)，即可解題．【解答】解：在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE，∴∠1＝∠CBE，∵∠2＝∠1+∠ABE，∴∠2＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC＝60°．故選：D．9．（2023春?甘州區(qū)校級期中）已知，如圖，在△ABC中，OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB，過O作DE∥BC，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，若BD+CE＝5，則線段DE的長為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】根據(jù)OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB，和DE∥BC，利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等和等量代換，求證出DB＝DO，OE＝EC．然后即可得出答案．【解答】解：∵在△ABC中，OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠OCB，∵DE∥BC，∴∠DOB＝∠OBC＝∠DBO，∠EOC＝∠OCB＝∠ECO，∴DB＝DO，OE＝EC，∵DE＝DO+OE，∴DE＝BD+CE＝5．故選：A．10．（2023春?山丹縣校級期中）如圖，直線l1∥l2，以直線l1上的點(diǎn)A為圓心、適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交直線l1、l2于點(diǎn)B、C，連接AC、BC．若∠ABC＝67°，則∠1＝（）A．23° B．46° C．67° D．78°【答案】B【分析】首先由題意可得：AB＝AC，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)，即可求得∠ACB的度數(shù)，又由直線l1∥l2，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可求得∠2的度數(shù)，然后根據(jù)平角的定義，即可求得∠1的度數(shù)．【解答】解：根據(jù)題意得：AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝67°，∵直線l1∥l2，∴∠2＝∠ABC＝67°，∵∠1+∠ACB+∠2＝180°，∴∠1＝180°﹣∠2﹣∠ACB＝180°﹣67°﹣67°＝46°．故選：B．11．（2022秋?武昌區(qū)校級期末）如圖，已知△ABC的面積為12，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于點(diǎn)P，則△BPC的面積是（）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】C【分析】延長AP交BC于E，根據(jù)已知條件證得△ABP≌△EBP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出S△PBC＝S△ABC；【解答】解：延長AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠EPB＝90°，在△ABP和△EBP中，，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝PE，∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，∴S△PBC＝S△ABC＝×12＝6，故選：C．12．（2022秋?番禺區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列結(jié)論：①CD＝ED；②AC+BE＝AB；③∠BDE＝∠BAC；④AD平分∠CDE；其中正確的是（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得CD＝DE，再利用“HL”證明Rt△ACD和Rt△AED全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AC＝AE，∠ADC＝∠ADE，然后對各小題分析判斷即可得解．【解答】解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD＝DE，故①正確；在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，∠ADC＝∠ADE，∴AC+BE＝AE+BE＝AB，故②正確；AD平分∠CDE，故④正確；∵∠B+∠BAC＝90°，∠B+∠BDE＝90°，∴∠BDE＝∠BAC，故③正確；綜上所述，結(jié)論正確的是①②③④共4個．故選：D．二．填空題（共8小題）13．（2023春?富錦市校級期中）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE，把∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處．當(dāng)△CEB′為直角三角形時，BE的長為或3．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】當(dāng)△CEB′為直角三角形時，有兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)B′落在矩形內(nèi)部時，如答圖1所示．連接AC，先利用勾股定理計(jì)算出AC＝5，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠AB′E＝∠B＝90°，而當(dāng)△CEB′為直角三角形時，只能得到∠EB′C＝90°，所以點(diǎn)A、B′、C共線，即∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在對角線AC上的點(diǎn)B′處，則EB＝EB′，AB＝AB′＝3，可計(jì)算出CB′＝2，設(shè)BE＝x，則EB′＝x，CE＝4﹣x，然后在Rt△CEB′中運(yùn)用勾股定理可計(jì)算出x．②當(dāng)點(diǎn)B′落在AD邊上時，如答圖2所示．此時ABEB′為正方形．【解答】解：當(dāng)△CEB′為直角三角形時，有兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)B′落在矩形內(nèi)部時，如答圖1所示．連接AC，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，∵∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，∴∠AB′E＝∠B＝90°，當(dāng)△CEB′為直角三角形時，只能得到∠EB′C＝90°，∴點(diǎn)A、B′、C共線，即∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在對角線AC上的點(diǎn)B′處，∴EB＝EB′，AB＝AB′＝3，∴CB′＝5﹣3＝2，設(shè)BE＝x，則EB′＝x，CE＝4﹣x，在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2＝CE2，∴x2+22＝（4﹣x）2，解得x＝，∴BE＝；②當(dāng)點(diǎn)B′落在AD邊上時，如答圖2所示．此時ABEB′為正方形，∴BE＝AB＝3．綜上所述，BE的長為或3．故答案為：或3．14．（2022秋?盤山縣期末）如圖所示，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，分別作出P點(diǎn)關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)P1，P2，連接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2＝15，則△PMN的周長為15．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】P點(diǎn)關(guān)于OA的對稱是點(diǎn)P1，P點(diǎn)關(guān)于OB的對稱點(diǎn)P2，故有PM＝P1M，PN＝P2N．【解答】解：∵P點(diǎn)關(guān)于OA的對稱是點(diǎn)P1，P點(diǎn)關(guān)于OB的對稱點(diǎn)P2，∴PM＝P1M，PN＝P2N．∴△PMN的周長為PM+PN+MN＝MN+P1M+P2N＝P1P2＝15．故答案為：1515．（2022秋?廣饒縣校級期末）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D、E在同一直線上，且CG＝CD，DF＝DE，則∠E＝15度．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)等邊三角形三個角相等，可知∠ACB＝60°，根據(jù)等腰三角形底角相等即可得出∠E的度數(shù)．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∠ACD＝120°，∵CG＝CD，∴∠CDG＝30°，∠FDE＝150°，∵DF＝DE，∴∠E＝15°．故答案為：15．16．（2022秋?聊城期末）如圖．有一個三角形紙片ABC，∠A＝65°，∠B＝75°，將紙片一角折疊，使點(diǎn)C落在△ABC外，若∠2＝20°，則∠1的大小為100°．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可出∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣65°﹣75°＝40°；再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠C′＝∠C＝40°，再利用三角形的內(nèi)角和定理以及外角性質(zhì)得∠3+∠2+∠5+∠C′＝180°，∠5＝∠4+∠C＝∠4+40°，即可得到∠3+∠4＝80°，然后利用平角的定義即可求出∠1．【解答】解：如圖，∵∠A＝65°，∠B＝75°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣65°﹣75°＝40°；又∵將三角形紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在△ABC外，∴∠C′＝∠C＝40°，而∠3+∠2+∠5+∠C′＝180°，∠5＝∠4+∠C＝∠4+40°，∠2＝20°，∴∠3+20°+∠4+40°+40°＝180°，∴∠3+∠4＝80°，∴∠1＝180°﹣80°＝100°．故答案為100°．17．（2022秋?鞍山期末）如圖，等邊三角形ABC中，在BC邊所在的直線上分別截取BA＝BD，CA＝CE，連接AD，AE，則∠DAE的度數(shù)是120°．【答案】120°．【分析】先利用等邊三角形的性質(zhì)求出三個內(nèi)角都是60°，再由等邊對等角求解．【解答】解：在等邊三角形ABC中，有∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∵BA＝BD，CA＝CE，∴∠D＝∠DAB＝∠E＝∠CAE＝30°，∴∠DAE＝∠DAB+∠BAC+∠CAE＝120°，故答案為：120°．18．（2022秋?雨花區(qū)期末）如圖所示，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，CE⊥AD于點(diǎn)E，AD＝10cm，AB＝7cm，那么DE的長度為1.5cm．【答案】1.5．【分析】過C作CF⊥AB，交AB的延長線于F，根據(jù)全等三角形的判定推出△BFC≌△DEC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BF＝DE，根據(jù)全等三角形的判定得出Rt△FAC≌Rt△EAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AF＝AE，求出AD﹣AB＝2DE，再代入求出答案即可．【解答】解：過C作CF⊥AB，交AB的延長線于F，∵CF⊥AB，CE⊥AD，AC平分∠BAD，∴CE＝CF，∠F＝∠CED＝90°，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠CBF＝180°，∴∠FBC＝∠D，在△BFC和△DEC中，，∴△BFC≌△DEC（AAS），∴BF＝DE，在Rt△FAC和Rt△EAC中，，∴Rt△FAC≌Rt△EAC（HL），∴AF＝AE，∵AD＝10cm，AB＝7cm，∴AD﹣AB＝（AE+DE）﹣（AF﹣BF）＝AE+DE﹣AF+BF＝2DE＝10﹣7＝3（cm），解得：DE＝1.5cm，故答案為：1.5．19．（2023春?振興區(qū)校級期中）如圖，∠BAC＝100°，若MP和NQ分別垂直平分AB和AC，則∠PAQ＝20°．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由MP和NQ分別垂直平分AB和AC，可得PA＝PB，AQ＝CQ，即可證得∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ，又由∠BAC＝120°，可求得∠B+∠C的度數(shù)，即可得∠BAP+∠CAQ的度數(shù)，繼而求得答案．【解答】解：∵PM垂直平分AB，∴PA＝PB，∴∠B＝∠BAP，同理：QC＝QA，∴∠C＝∠CAQ，∵∠BAC＝100°，∴∠B+∠C＝80°，∴∠BAP+∠CAQ＝80°，∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝20°．故答案為：20°．20．（2023春?高新區(qū)校級期末）如圖，AC，BD在AB的同側(cè)，AC＝2，BD＝8，AB＝8，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，若∠CMD＝120°，則CD的最大值是14．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于CM的對稱點(diǎn)A′，點(diǎn)B關(guān)于DM的對稱點(diǎn)B′，連接CA'、MA'、MB'、A'B'、B'D，證明△A′MB′為等邊三角形，即可解決問題．【解答】解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于CM的對稱點(diǎn)A′，點(diǎn)B關(guān)于DM的對稱點(diǎn)B′，連接CA'、MA'、MB'、A'B'、B'D，∵∠CMD＝120°，∴∠AMC+∠DMB＝60°，∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，∴∠A′MB′＝60°，∵M(jìn)A′＝MB′，∴△A′MB′為等邊三角形∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝2+4+8＝14，∴CD的最大值為14，故答案為14．三．解答題（共11小題）21．（2023春?銀川校級期末）作圖題：（不寫作法，但必須保留作圖痕跡）如圖：某地有兩所大學(xué)和兩條相交叉的公路，（點(diǎn)M，N表示大學(xué)，AO，BO表示公路）．現(xiàn)計(jì)劃修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學(xué)的距離相等，到兩條公路的距離也相等．你能確定倉庫P應(yīng)該建在什么位置嗎？在所給的圖形中畫出你的設(shè)計(jì)方案．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】先連接MN，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)作出線段MN的垂直平分線DE，再作出∠AOB的平分線OF，DE與OF相交于P點(diǎn)，則點(diǎn)P即為所求．【解答】解：如圖所示：（1）連接MN，分別以M、N為圓心，以大于MN為半徑畫圓，兩圓相交于DE，連接DE，則DE即為線段MN的垂直平分線；（2）以O(shè)為圓心，以任意長為半徑畫圓，分別交OA、OB于G、H，再分別以G、H為圓心，以大于GH為半徑畫圓，兩圓相交于F，連接OF，則OF即為∠AOB的平分線（或∠AOB的外角平分線）；（3）DE與OF相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．22．（2023春?連平縣期中）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．求證：△ABC是等腰三角形．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由條件可得出DE＝DF，可證明△BDE≌△CDF，可得出∠B＝∠C，再由等腰三角形的判定可得出結(jié)論．【解答】證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，∴DE＝DF，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴∠B＝∠C，∴△ABC為等腰三角形．23．（2022秋?廣陵區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，AB、AC邊的垂直平分線相交于點(diǎn)O，分別交BC邊于點(diǎn)M、N，連接AM，AN．（1）若△AMN的周長為6，求BC的長；（2）若∠MON＝30°，求∠MAN的度數(shù)；（3）若∠MON＝45°，BM＝3，BC＝12，求MN的長度．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到MA＝MB，NA＝NC，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算，得到答案；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算；（3）根據(jù)（2）的解法得到∠MAN＝90°，根據(jù)勾股定理列式計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵直線OM是AB的垂直平分線，∴MA＝MB，同理，NA＝NC，∵△AMN的周長為6，∴MA+MN+NA＝6，即MB+MN+NC＝BC＝6；（2）∵∠MON＝30°，∴∠OMN+∠ONM＝150°，∴∠BME+∠CNF＝150°，∵M(jìn)A＝MB，ME⊥AB，∴∠BMA＝2∠BME，同理，∠ANC＝2∠CNF，∴∠BMA+∠ANC＝300°，∴∠AMN+∠ANM＝360°﹣300°＝60°，∴∠MAN＝180°﹣60°＝120°；（3）由（2）的作法可知，∠MAN＝90°，由（1）可知，MA＝MB＝3，NA＝NC設(shè)MN＝x，∴NA＝NC＝12﹣3﹣x＝9﹣x，由勾股定理得，MN2＝AM2+AN2，即x2＝32+（9﹣x）2，解得，x＝5，即MN＝5．24．（2023春?南明區(qū)校級期中）如圖：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD＝DF，證明：（1）CF＝EB．（2）AB＝AF+2EB．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)“角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”，可得點(diǎn)D到AB的距離＝點(diǎn)D到AC的距離即CD＝DE．再根據(jù)Rt△CDF≌Rt△EDB，得CF＝EB；（2）利用角平分線性質(zhì)證明Rt△ADC≌Rt△ADE，AC＝AE，再將線段AB進(jìn)行轉(zhuǎn)化．【解答】證明：（1）∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC，在Rt△CDF和Rt△EDB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）．∴CF＝EB；（2）∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE．在Rt△ADC與Rt△ADE中，，∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），∴AC＝AE，∴AB＝AE+BE＝AC+EB＝AF+CF+EB＝AF+2EB．25．（2023春?阜新期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BE，BE⊥AE，延長AE交BC的延長線于點(diǎn)F．求證：（1）FC＝AD；（2）AB＝BC+AD．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根據(jù)E是CD的中點(diǎn)可求出△ADE≌△FCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答．（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)判斷出AB＝BF即可．【解答】證明：（1）∵AD∥BC（已知），∴∠ADC＝∠ECF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∵E是CD的中點(diǎn)（已知），∴DE＝EC（中點(diǎn)的定義）．∵在△ADE與△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴FC＝AD（全等三角形的性質(zhì)）．（2）∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF（全等三角形的對應(yīng)邊相等），又∵BE⊥AF，∴BE是線段AF的垂直平分線，∴AB＝BF＝BC+CF，∵AD＝CF（已證），∴AB＝BC+AD（等量代換）．26．（2023春?畢節(jié)市期末）已知：如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM，△CBN都是等邊三角形，AN交MC于點(diǎn)E，BM交CN于點(diǎn)F．（1）求證：AN＝BM；（2）求證：△CEF為等邊三角形．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）由等邊三角形可得其對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，進(jìn)而可由SAS得到△ACN≌△MCB，結(jié)論得證；（2）由（1）中的全等可得∠CAN＝∠CMB，進(jìn)而得出∠MCF＝∠ACE，由ASA得出△CAE≌△CMF，即CE＝CF，又ECF＝60°，所以△CEF為等邊三角形．【解答】證明：（1）∵△ACM，△CBN是等邊三角形，∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°，∴∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB，在△ACN和△MCB中，∵，∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN＝BM．（2）∵△CAN≌△CMB，∴∠CAN＝∠CMB，又∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠MCF＝∠ACE，在△CAE和△CMF中，∵，∴△CAE≌△CMF（ASA），∴CE＝CF，∴△CEF為等腰三角形，又∵∠ECF＝60°，∴△CEF為等邊三角形．27．（2023春?通川區(qū)校級期末）如圖，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動，已