高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型講解+專題訓(xùn)練(新高考專用)專題03等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)、基本不等式(原卷版+解析)

2023高考一輪復(fù)習(xí)講與練03等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)、基本不等式練高考明方向【2022年新高考I卷第18題】【2022年全國(guó)高考甲卷理科第20題】3．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷理科)已知，，，則 ()A．B．C． D．4．【2019年高考天津卷理數(shù)】設(shè)，則的最小值為__________．5．【2019年高考浙江卷】若，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6、【2019年高考天津卷理數(shù)】設(shè)，則“”是“”的A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件7．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷（理）)設(shè)，，則 ()A． B．C． D．8、(2023年高考山東卷理數(shù)）若，且，則下列不等式成立的是A． B．C． D．講典例備高考等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)、基本不等式等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)、基本不等式比較實(shí)數(shù)大小基本方法基本不等式不等式性質(zhì)不等式性質(zhì)類型一、比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小基礎(chǔ)知識(shí)：1.比較大小的基本方法關(guān)系方法作差法作商法a>ba－b>0eq\f(a,b)>1(a，b>0)或eq\f(a,b)<1(a，b<0)a＝ba－b＝0eq\f(a,b)＝1(b≠0)a<ba－b<0eq\f(a,b)<1(a，b>0)或eq\f(a,b)>1(a，b<0)基本題型：1．若，則下列不等式一定正確的是（）A． B． C． D．2、設(shè)，則A． B．C． D．3．已知，，且，則下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．4、（多選題）設(shè)，，則下列不等式中恒成立的是（）A． B． C． D．【基本方法】比較大小的常用方法(1)作差法，其步驟：作差?變形?判斷差與0的大小?得出結(jié)論．(2)作商法，其步驟：作商?變形?判斷商與1的大小?得出結(jié)論．(3)構(gòu)造函數(shù)法：構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較大?。?4)賦值法和排除法：可以多次取特殊值，根據(jù)特殊值比較大小，從而得出結(jié)論．類型二、不等式的性質(zhì)基礎(chǔ)知識(shí)：性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容注意對(duì)稱性a>b?b<a；a<b?b>a可逆?zhèn)鬟f性a>b，b>c?a>c；a<b，b<c?a<c同向可加性a>b?a＋c>b＋c可逆可乘性a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bcc的符號(hào)同向可加性a>b，c>d?a＋c>b＋d同向同向同正可乘性a>b>0，c>d>0?ac>bd同向，同正可乘方性a>b>0，n∈N*?an>bn同正可開方性a>b>0，n∈N，n≥2?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)同正注意：(1)倒數(shù)性質(zhì)①a＞b，ab＞0?eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；②a＜0＜b?eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；③a＞b＞0,0＜c＜d?eq\f(a,c)＞eq\f(b,d)；④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0?eq\f(1,b)＜eq\f(1,x)＜eq\f(1,a).(2)兩個(gè)重要不等式若a＞b＞0，m＞0，則：①eq\f(b,a)＜eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)＞eq\f(b－m,a－m)(b－m＞0)；②eq\f(a,b)＞eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)＜eq\f(a－m,b－m)(b－m＞0)．基本題型：1．若α，β滿足－eq\f(π,2)＜α＜β＜eq\f(π,2)，則α－β的取值范圍是()A．－π＜α－β＜π B．－π＜α－β＜0C．－eq\f(π,2)＜α－β＜eq\f(π,2) D．－eq\f(π,2)＜α－β＜02．已知函數(shù)滿足，則的取值范圍是_________.【基本方法】利用不等式性質(zhì)可以求某些代數(shù)式的取值范圍，但應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是必須嚴(yán)格運(yùn)用不等式的性質(zhì)；二是在多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大了變量的取值范圍，解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，最后通過“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求解范圍．3、（多選題）已知均為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（）A．若，則B．若，則C．若則D．若則

4．（多選題）下列說法中，正確的的是（）A．若，，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則5．已知三個(gè)不等式：ab>0，bc－ad>0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0(其中a，b，c，d均為實(shí)數(shù))，用其中兩個(gè)不等式作為條件，余下的一個(gè)不等式作為結(jié)論組成一個(gè)命題，可組成正確命題的個(gè)數(shù)是________．【基本方法】運(yùn)用不等式的性質(zhì)判斷命題真假的策略(1)要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不能憑想當(dāng)然隨意捏造性質(zhì)．(2)也可采用特殊值法進(jìn)行排除，注意取值一定要遵循如下原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡(jiǎn)單，便于驗(yàn)證計(jì)算．類型三、基本不等式基礎(chǔ)知識(shí)：1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．2．幾個(gè)重要的不等式eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(1a2＋b2≥2ab，a，b∈R；,2\f(b,a)＋\f(a,b)≥2，ab>0；,3ab≤\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R；,4\f(a2＋b2,2)≥\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R))eq\a\vs4\al(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí),等號(hào)成立.)3．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為eq\f(a＋b,2)，幾何平均數(shù)為eq\r(ab)，基本不等式表明：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．4．利用基本不等式求最值問題已知x>0，y>0，則：(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值是2eq\r(p).(簡(jiǎn)記：積定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值是eq\f(p2,4).(簡(jiǎn)記：和定積最大)基本題型：1．下列函數(shù)中，最小值為4的是（）A．B．C．D．2．（基本不等式與傳統(tǒng)文化）《幾何原本》中的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問題)成為了后世數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù).通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明.如圖所示的圖形，在上取一點(diǎn)，使得，，過點(diǎn)作交圓周于，連接.作交于.則下列不等式可以表示的是()A． B．C． D．3.（與基本不等式有關(guān)的一元問題）函數(shù)的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．64．（與基本不等式有關(guān)的一元問題）（多選題）下列命題中正確的是（）A．函數(shù)的最小值為2B．函數(shù)的最大值為-2C．函數(shù)的最小值為D．函數(shù)的最小值為3【基本方法】1．拼湊法求最值拼湊法就是將相關(guān)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，通過添項(xiàng)、拆項(xiàng)等方法湊成和為定值或積為定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵．2．拼湊法求解最值應(yīng)注意的問題(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形；(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)；(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的條件．5．（與基本不等式有關(guān)的雙元問題）已知，均為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）A．20 B．24 C．28 D．326．（與基本不等式有關(guān)的雙元問題）（多選題）已知，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．a(chǎn)b的最小值為16C．的最小值為8D．的最小值為2A．AB B．ABC C．ABD D．BCD【基本方法】1．常數(shù)代換法的運(yùn)用技巧常數(shù)代換的實(shí)質(zhì)是x×1＝x，所以關(guān)鍵是找到常數(shù)，從而找到結(jié)果為1的式子，然后通過乘積的運(yùn)算利用基本不等式解題．2．用常數(shù)代換法求最值時(shí)應(yīng)注意的兩個(gè)方面(1)注意目標(biāo)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，看是否需要整體乘以“1”的替身；(2)注意常數(shù)的獲得方式，要根據(jù)已知代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征靈活處理，7.（基本不等式與數(shù)列）已知遞增等差數(shù)列中，，則的（）A．最大值為 B．最小值為4 C．最小值為 D．最大值為4或8．（基本不等式與三角）的最小值為（）A．2 B．16 C．8 D．129．（基本不等式與方程的根）若方程有兩個(gè)不等的實(shí)根和，則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．（基本不等式與立體幾何）如圖，三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)恰是長(zhǎng)、寬、高分別是m，2，n的長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，此三棱錐的體積為2，則該三棱錐外接球體積的最小值為（）A． B．C． D．11.（基本不等式與解三角形）在中，內(nèi)角的對(duì)邊另別是，已知，則的最大值為（）A． B． C． D．12．（基本不等式與不等式恒成立）已知，若不等式恒成立，則的最大值為_________．13.（基本不等式與直線）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上.設(shè)直線與直線及軸圍成的三角形面積為，則的最小值為____________.14．（基本不等式與平面向量）如圖所示,已知點(diǎn)是的重心,過點(diǎn)作直線分別交，兩邊于，兩點(diǎn)，且，，則的最小值為______.【基本方法】(1)在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件．(2)注意基本不等式成立的條件是a>0，b>0，若a<0，b<0，應(yīng)先轉(zhuǎn)化為－a>0，－b>0，再運(yùn)用基本不等式求解．(3)“當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立”的含義是“a＝b”是等號(hào)成立的充要條件，這一點(diǎn)至關(guān)重要，忽略它往往會(huì)導(dǎo)致解題錯(cuò)誤．(4)要多次運(yùn)用基本不等式才能求出最后結(jié)果的題目切記等號(hào)成立的條件要一致．新預(yù)測(cè)破高考1．(多選)對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，，，下列四個(gè)命題中，其中真命題的是（）A．若，，則； B．若，則；C．若，則； D．若，，則.2．（多選題）若，則下列不等式恒成立的是（）A． B．C． D．3．(多選)下列說法中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若且，則 D．若且，則4．若，且，則的最小值是（）A．10 B．4 C．8 D．65．設(shè)且，“不等式”成立的一個(gè)必要不充分條件是（）A． B．且 C． D．6、若正數(shù)滿足，則的最小值為A． B． C． D．37、（多選題）若，則下列不等式中正確的是（）A． B． C． D．8、（多選題）下列結(jié)論正確的是（）A．， B．若，則C．若，則 D．若，，，則9．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是（）A．B． C． D．10．已知QUOTElog2???2+log2???1??1log2a?2+log2b?1e1，則QUOTE2??+??2a+bA．QUOTE33 B．QUOTE44 C．QUOTE66 D．QUOTE9911、設(shè)，若，，，則下列關(guān)系式中正確的是A． B．C． D．12．設(shè)，，且，，則的最小值是（）A． B． C． D．13．已知函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線上，其中，則的最小值是（）A．9 B．4 C． D．814、已知a，b∈R，且a–3b+6=0，則2a+的最小值為__________．15、已設(shè)都是正數(shù)，則“”是“”的條件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）16、已知x<eq\f(5,4)，則f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值為__________．17．已知三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c滿足a-2b+c=0，a+2b+c<0，則下列結(jié)論正確的是________①b>0；②b<0；③；④.18、已知，，且，則最小值為__________．19．已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是．20．如圖，在三棱錐中兩兩垂直，且，設(shè)是底面三角形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，定義：，其中分別是三棱錐、三棱錐、三棱錐的體積。若，且恒成立，則正實(shí)數(shù)的最小值是_____2023高考一輪復(fù)習(xí)講與練03等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)、基本不等式練高考明方向【2022年新高考I卷第18題】【解析】（1）略，（2）【2022年全國(guó)高考甲卷理科第20題】【解析】（1）略，（2）3．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷理科)已知，，，則 ()A．B．C． D．答案：B【解析】，，，故．4．【2019年高考天津卷理數(shù)】設(shè)，則的最小值為__________．答案：【解析】方法一：.因?yàn)?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)成立.又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，結(jié)合可知，可以取到3，故的最小值為.方法二：.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.5．【2019年高考浙江卷】若，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件答案：A【解析】當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則當(dāng)時(shí)，有，解得，充分性成立；當(dāng)時(shí)，滿足，但此時(shí)，必要性不成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.【名師點(diǎn)睛】易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有，一是基本不等式掌握不熟，導(dǎo)致判斷失誤；二是不能靈活的應(yīng)用“賦值法”，通過特取的值，從假設(shè)情況下推出合理結(jié)果或矛盾結(jié)果.6、【2019年高考天津卷理數(shù)】設(shè)，則“”是“”的A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案：B【解析】化簡(jiǎn)不等式，可知推不出，由能推出，故“”是“”的必要不充分條件，故選B.7．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷（理）)設(shè)，，則 ()A． B．C． D．答案：B【解析】一方面，，所以，，，所以，所以，即，而，所以，所以，綜上可知，故選B8、(2023年高考山東卷理數(shù)）若，且，則下列不等式成立的是A． B．C． D．答案：B【解析】因?yàn)?，且，所以，所以選B.講典例備高考等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)、基本不等式等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)、基本不等式比較實(shí)數(shù)大小基本方法基本不等式不等式性質(zhì)不等式性質(zhì)類型一、比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小基礎(chǔ)知識(shí)：1.比較大小的基本方法關(guān)系方法作差法作商法a>ba－b>0eq\f(a,b)>1(a，b>0)或eq\f(a,b)<1(a，b<0)a＝ba－b＝0eq\f(a,b)＝1(b≠0)a<ba－b<0eq\f(a,b)<1(a，b>0)或eq\f(a,b)>1(a，b<0)基本題型：1．若，則下列不等式一定正確的是（）A． B． C． D．答案：D【解析】因?yàn)椋簩?duì)于A：當(dāng),所以,故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?所以,故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?所以,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?所以,又因?yàn)?則,故不取等,即,故D正確；2、設(shè)，則A． B．C． D．答案：A【解析】，,即，故.又，所以.故，所以選A.【名師點(diǎn)睛】本題考查利用作差法、作商法比較大小，考查對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)與計(jì)算，考查分析計(jì)算，化簡(jiǎn)求值的能力，屬中檔題.3．已知，，且，則下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．答案：C【解析】對(duì)于，令，，，滿足，但不滿足，故排除對(duì)于，令，，故排除，對(duì)于，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故恒成立，對(duì)于，令，，故排除故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡(jiǎn)單的函數(shù)恒成立問題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性，通過特值排除，屬于基礎(chǔ)題。4、（多選題）設(shè)，，則下列不等式中恒成立的是（）A． B． C． D．答案：CD【解析】當(dāng)，滿足條件．但不成立，故A錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤，

，，則，故C正確，，，故D正確.【基本方法】比較大小的常用方法(1)作差法，其步驟：作差?變形?判斷差與0的大小?得出結(jié)論．(2)作商法，其步驟：作商?變形?判斷商與1的大小?得出結(jié)論．(3)構(gòu)造函數(shù)法：構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較大?。?4)賦值法和排除法：可以多次取特殊值，根據(jù)特殊值比較大小，從而得出結(jié)論．類型二、不等式的性質(zhì)基礎(chǔ)知識(shí)：性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容注意對(duì)稱性a>b?b<a；a<b?b>a可逆?zhèn)鬟f性a>b，b>c?a>c；a<b，b<c?a<c同向可加性a>b?a＋c>b＋c可逆可乘性a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bcc的符號(hào)同向可加性a>b，c>d?a＋c>b＋d同向同向同正可乘性a>b>0，c>d>0?ac>bd同向，同正可乘方性a>b>0，n∈N*?an>bn同正可開方性a>b>0，n∈N，n≥2?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)同正注意：(1)倒數(shù)性質(zhì)①a＞b，ab＞0?eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；②a＜0＜b?eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；③a＞b＞0,0＜c＜d?eq\f(a,c)＞eq\f(b,d)；④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0?eq\f(1,b)＜eq\f(1,x)＜eq\f(1,a).(2)兩個(gè)重要不等式若a＞b＞0，m＞0，則：①eq\f(b,a)＜eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)＞eq\f(b－m,a－m)(b－m＞0)；②eq\f(a,b)＞eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)＜eq\f(a－m,b－m)(b－m＞0)．基本題型：1．若α，β滿足－eq\f(π,2)＜α＜β＜eq\f(π,2)，則α－β的取值范圍是()A．－π＜α－β＜π B．－π＜α－β＜0C．－eq\f(π,2)＜α－β＜eq\f(π,2) D．－eq\f(π,2)＜α－β＜0答案：B【解析】從題中－eq\f(π,2)＜α＜β＜eq\f(π,2)可分離出三個(gè)不等式－eq\f(π,2)＜α＜eq\f(π,2)①，－eq\f(π,2)＜β＜eq\f(π,2)②，α＜β③.根據(jù)不等式的性質(zhì)，②式同乘以－1得－eq\f(π,2)＜－β＜eq\f(π,2)④，根據(jù)同向不等式的可加性，可得－π＜α－β＜π.由③式得α－β＜0，所以－π＜α－β＜0，故選B.2．已知函數(shù)滿足，則的取值范圍是_________.答案：【解析】由題意得解得所以,因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以．兩式相加得，故的取值范圍?【基本方法】利用不等式性質(zhì)可以求某些代數(shù)式的取值范圍，但應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是必須嚴(yán)格運(yùn)用不等式的性質(zhì)；二是在多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大了變量的取值范圍，解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，最后通過“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求解范圍．3、（多選題）已知均為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（）A．若，則B．若，則C．若則D．若則答案：BC【解析】若，，則，故A錯(cuò)；若，，則，化簡(jiǎn)得，故B對(duì)；若，則，又，則，故C對(duì)；若，，，，則，，，故D錯(cuò)；故選：BC．

4．下列說法中，正確的的是（）A．若，，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則答案：ABD【解析】A選項(xiàng)，若，，則，故A正確；B選項(xiàng)，若，根據(jù)不等式的可乘性，可得，故B正確；C選項(xiàng)，若，，則滿足，，但，故C錯(cuò)；D選項(xiàng)，若，，則，所以，故D正確.5．已知三個(gè)不等式：ab>0，bc－ad>0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0(其中a，b，c，d均為實(shí)數(shù))，用其中兩個(gè)不等式作為條件，余下的一個(gè)不等式作為結(jié)論組成一個(gè)命題，可組成正確命題的個(gè)數(shù)是________．答案：3【解析】若ab>0，bc－ad>0成立，不等式bc－ad>0兩邊同除以ab可得eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，即ab>0，bc－ad>0?eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0；若ab>0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0成立，不等式eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0兩邊同乘ab，可得bc－ad>0，即ab>0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0?bc－ad>0；若eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，bc－ad>0成立，則eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＝eq\f(bc－ad,ab)>0，又bc－ad>0，則ab>0，即eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，bc－ad>0?ab>0.綜上可知，以三個(gè)不等式中任意兩個(gè)為條件都可推出第三個(gè)不等式成立，故可組成的正確命題有3個(gè)．【基本方法】運(yùn)用不等式的性質(zhì)判斷命題真假的策略(1)要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不能憑想當(dāng)然隨意捏造性質(zhì)．(2)也可采用特殊值法進(jìn)行排除，注意取值一定要遵循如下原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡(jiǎn)單，便于驗(yàn)證計(jì)算．類型三、基本不等式基礎(chǔ)知識(shí)：1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．2．幾個(gè)重要的不等式eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(1a2＋b2≥2ab，a，b∈R；,2\f(b,a)＋\f(a,b)≥2，ab>0；,3ab≤\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R；,4\f(a2＋b2,2)≥\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R))eq\a\vs4\al(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí),等號(hào)成立.)3．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為eq\f(a＋b,2)，幾何平均數(shù)為eq\r(ab)，基本不等式表明：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．4．利用基本不等式求最值問題已知x>0，y>0，則：(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值是2eq\r(p).(簡(jiǎn)記：積定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值是eq\f(p2,4).(簡(jiǎn)記：和定積最大)基本題型：1．下列函數(shù)中，最小值為4的是（）A．B．C．D．答案：C【解析】試題分析：當(dāng)時(shí)，,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).2．（基本不等式與傳統(tǒng)文化）《幾何原本》中的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問題)成為了后世數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù).通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明.如圖所示的圖形，在上取一點(diǎn)，使得，，過點(diǎn)作交圓周于，連接.作交于.則下列不等式可以表示的是()A． B．C． D．答案：A【解析】連接DB，因?yàn)锳B是圓O的直徑，所以，所以在中，中線，由射影定理可得，所以.在中，由射影定理可得，即，由得，故選：A.3.（與基本不等式有關(guān)的一元問題）函數(shù)的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6答案：D分析：將函數(shù)化成的形式，然后用均值不等式可求出答案.【詳解】.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故的最小值為6.故選：D4．（與基本不等式有關(guān)的一元問題）（多選題）下列命題中正確的是（）A．函數(shù)的最小值為2B．函數(shù)的最大值為-2C．函數(shù)的最小值為D．函數(shù)的最小值為3答案：ABD分析：利用均值不等式及其成立的條件可判斷ABC，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可判斷D【詳解】對(duì)于A中，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以A正確；對(duì)于B中，函數(shù)，當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以B成立；對(duì)于C中，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無最小值，所以C不正確；對(duì)于D中，函數(shù)．令，所以，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，在單調(diào)遞增，可得其最小值為3，D正確．【基本方法】1．拼湊法求最值拼湊法就是將相關(guān)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，通過添項(xiàng)、拆項(xiàng)等方法湊成和為定值或積為定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵．2．拼湊法求解最值應(yīng)注意的問題(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形；(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)；(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的條件．5．（與基本不等式有關(guān)的雙元問題）已知，均為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）A．20 B．24 C．28 D．32答案：A【解析】均為正實(shí)數(shù)，且，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).的最小值為20.故選A.6．（與基本不等式有關(guān)的雙元問題）（多選題）已知，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．a(chǎn)b的最小值為16C．的最小值為8D．的最小值為2A．AB B．ABC C．ABD D．BCD答案：C分析：對(duì)于A，由，，可得，從而可求得結(jié)果，對(duì)于B，由，得，然后利用基本不等式可得答案，對(duì)于C，由于，化簡(jiǎn)后利用基本不等式可判斷，對(duì)于D，利用基本不等式判斷【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，且，所以，解得，所以A正確，對(duì)于B，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，解得，所以的最小值為16，所以B正確，對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為9，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，由，得，因?yàn)?，，所以，，所以，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為2，所以D正確，【基本方法】1．常數(shù)代換法的運(yùn)用技巧常數(shù)代換的實(shí)質(zhì)是x×1＝x，所以關(guān)鍵是找到常數(shù)，從而找到結(jié)果為1的式子，然后通過乘積的運(yùn)算利用基本不等式解題．2．用常數(shù)代換法求最值時(shí)應(yīng)注意的兩個(gè)方面(1)注意目標(biāo)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，看是否需要整體乘以“1”的替身；(2)注意常數(shù)的獲得方式，要根據(jù)已知代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征靈活處理，7.（基本不等式與數(shù)列）已知遞增等差數(shù)列中，，則的（）A．最大值為 B．最小值為4 C．最小值為 D．最大值為4或答案：B分析：根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可用表示出.由數(shù)列單調(diào)遞增可得.用表示出,結(jié)合基本不等式即可求得最值.【詳解】因?yàn)椋傻炔顢?shù)列通項(xiàng)公式,設(shè)公差為,可得，變形可得因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列,所以，即，而由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可知，由,結(jié)合基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，所以的最小值為4?！军c(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式與單調(diào)性的應(yīng)用,基本不等式在求最值中的用法,屬于中檔題.8．（基本不等式與三角）的最小值為（）A．2 B．16 C．8 D．12答案：B【解析】分析：利用將變?yōu)榉e為定值的形式后，根據(jù)基本不等式可求得最小值.【詳解】∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)“=”成立，故的最小值為16.【點(diǎn)睛】本題考查了利用基本不等式求和的最小值，解題關(guān)鍵是變形為積為定值，才能用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.9．（基本不等式與方程的根）若方程有兩個(gè)不等的實(shí)根和，則的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：C分析：由方程可得兩個(gè)實(shí)數(shù)根的關(guān)系，再利用不等式求解范圍.【詳解】因?yàn)閮蓚€(gè)不等的實(shí)根是和，不妨令，故可得，解得，則=，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，涉及均值不等式的使用，屬基礎(chǔ)題.10．（基本不等式與立體幾何）如圖，三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)恰是長(zhǎng)、寬、高分別是m，2，n的長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，此三棱錐的體積為2，則該三棱錐外接球體積的最小值為（）A． B．C． D．答案：C分析：根據(jù)三棱錐的體積關(guān)系可得,根據(jù)三棱錐與長(zhǎng)方體共外接球,長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是外接球的直徑可得,根據(jù)基本不等式可得半徑的最小值,進(jìn)一步可得體積的最小值.【詳解】根據(jù)長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可知三棱錐的高為,所以,所以,又該三棱錐的外接球就是長(zhǎng)方體的外接球,該外接球的直徑是長(zhǎng)方體的對(duì)角線,設(shè)外接球的半徑為,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,，所以,所以該三棱錐外接球體積為.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的體積公式,球的體積公式,長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)定理,基本不等式,屬于中檔題.11.（基本不等式與解三角形）在中，內(nèi)角的對(duì)邊另別是，已知，則的最大值為（）A． B． C． D．答案：A分析：由已知可得，結(jié)合余弦定理，求出用表示，用基本不等式求出的最小值，即可求解.【詳解】,由正弦定理得，由余弦定理得，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，所以的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的最值，考查正、余弦定理解三角形，應(yīng)用基本不等式求最值，屬于中檔題.12．（基本不等式與不等式恒成立）已知，若不等式恒成立，則的最大值為_________．答案：16【解析】因?yàn)?，所以恒成立等價(jià)于恒成立，因?yàn)?時(shí)等號(hào)成立)，所以，的最大值為，故答案為.13.（基本不等式與直線）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上.設(shè)直線與直線及軸圍成的三角形面積為，則的最小值為____________.答案：12分析：求出直線方程，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線的方程，進(jìn)而求出直線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，將所求三角形的面積表示成點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)特征，利用基本不等式求出最小值.【詳解】點(diǎn)，直線方程為，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，且時(shí)，直線方程為，令，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以的最小值為12.故答案為:12.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積的最小值，解題時(shí)認(rèn)真審題，注意基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.14．（基本不等式與平面向量）如圖所示,已知點(diǎn)是的重心,過點(diǎn)作直線分別交，兩邊于，兩點(diǎn)，且，，則的最小值為______.答案：．分析：根據(jù)重心的性質(zhì)有,再表達(dá)成的關(guān)系式,再根據(jù),,三點(diǎn)共線可得系數(shù)和為1,再利用基本不等式求解即可.【詳解】根據(jù)條件：,,又,.又,,三點(diǎn)線,.,,.的最小值為,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立.故答案為：.【基本方法】(1)在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件．(2)注意基本不等式成立的條件是a>0，b>0，若a<0，b<0，應(yīng)先轉(zhuǎn)化為－a>0，－b>0，再運(yùn)用基本不等式求解．(3)“當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立”的含義是“a＝b”是等號(hào)成立的充要條件，這一點(diǎn)至關(guān)重要，忽略它往往會(huì)導(dǎo)致解題錯(cuò)誤．(4)要多次運(yùn)用基本不等式才能求出最后結(jié)果的題目切記等號(hào)成立的條件要一致．新預(yù)測(cè)破高考1．(多選)對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，，，下列四個(gè)命題中，其中真命題的是（）A．若，，則； B．若，則；C．若，則； D．若，，則.答案：CD【解析】對(duì)于A，若，當(dāng)時(shí)，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，可得，所以，故C正確；對(duì)于D，若，，則，故D正確.2．若，則下列不等式恒成立的是（）A． B．C． D．答案：AC【解析】由，得，即，所以，A正確；若，滿足，但，B錯(cuò)誤；，則，所以，C正確；由得，，所以，D錯(cuò)．3．(多選)下列說法中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若且，則 D．若且，則答案：BC【解析】對(duì)于A中，若，當(dāng)時(shí)，則，所以A不正確；對(duì)于B中，若，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得，所以B正確；對(duì)于C中，由，可得，又由，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得，所以C正確；對(duì)于D中，若，可得，由，可得，所以D不正確。4．若，且，則的最小值是（）A．10 B．4 C．8 D．6答案：C分析：利用的代換，將寫成，然后根據(jù)基本不等式求解最小值.【詳解】因?yàn)椋慈〉忍?hào)），所以最小值為.【點(diǎn)睛】已知，求解（）的最小值的處理方法：利用，得到，展開后利用基本不等式求解，注意取等號(hào)的條件.5．設(shè)且，“不等式”成立的一個(gè)必要不充分條件是（）A． B．且 C． D．答案：A分析：求解不等式，根據(jù)不等式的解集，即可求得必要條件.【詳解】不等式，可整理得，解得且.故當(dāng)是且的必要不充分條件；而其它選項(xiàng)都不滿足必要性.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查分式不等式的求解，以及命題的必要條件的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.6、若正數(shù)滿足，則的最小值為A． B． C． D．3答案：A【解析】由題意，因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，故選A.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了利用基本不等式求最小值問題，其中解答中合理構(gòu)造，利用基本不等式準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、（多選題）若，則下列不等式中正確的是（）A． B． C． D．答案：AD【解析】對(duì)A，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)，有，故A正確；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，成立，從而有成立，故D正確；8、（多選題）下列結(jié)論正確的是（）A．， B．若，則C．若，則 D．若，，，則答案：BD【解析】當(dāng)時(shí)，為負(fù)數(shù)，所以A不正確；若，則，考慮函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以，即，所以B正確；若，則，，所以C不正確；若，，，根據(jù)基本不等式有，所以D正確.9．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是（）A．B． C． D．答案：D分析：將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為最值問題，利用均值不等式求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，等價(jià)于在時(shí)恒成立即等價(jià)于；而因?yàn)?，?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值.故：。【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)在區(qū)間上的恒成立問題，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問題，是一般思路；本題中還涉及利用均值不等式求最值.屬綜合題.10．已知QUOTElog2???2+log2???1??1log2a?2+log2b?1e1，則QUOTE2??+??2a+bA．QUOTE33 B．QUOTE44 C．QUOTE66 D．QUOTE99答案：D【解析】由QUOTElog2???2+log2???1??1log2a?2+log2b?1e1，可得QUOTE???2>0a?2>0，QUOTE???1>0b?1>0且QUOTE???2???1??2a?2b?1e2.所以QUOTE2??+??=2???2+???1+5≥22???2???1+5≥22×2+5=92a+b=2a?2+b?1+5≥22a?2b?1+5≥22×2+5=9，當(dāng)QUOTE2???2=???12a?2=b?1且QUOTE???2???1=2a?2b?1=2時(shí)等號(hào)成立，解得QUOTE??=??=3【名師點(diǎn)睛】本題考查基本不等式取得最值的條件，多次用不等式求最值時(shí)要注意不等式取等的條件要同時(shí)滿足.11、設(shè)，若，，，則下列關(guān)系式中正確的是A． B．C． D．答案：C【解析】，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以?/p>