四川省內(nèi)江市2024-2025學年高二數(shù)學上學期第一次月考試題含解析

Page242025屆高二上第一次月考試題數(shù)學一?單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.每個小題只有一個選項符合題目要求.1.下列說法正確的是（）A.三個點可以確定一個平面 B.若直線a在平面外，則a與無公共點C.用平面截正棱錐所得的棱臺是正棱臺 D.斜棱柱的側(cè)面不行能是矩形【答案】C【解析】【分析】由三點共線推斷A；由線面關(guān)系有a與可能相交或平行推斷B；由正棱錐的結(jié)構(gòu)特征及正棱臺的定義推斷C；留意兩條相鄰側(cè)棱同時垂直于底面上與它們相交的邊狀況推斷D.【詳解】A：三點共線時平面不止一個，錯誤；B：若直線a在平面外，則a與可能相交或平行，錯誤；C：平面截正棱錐所得的棱臺，必有上下底面均為正多邊形且側(cè)面是全等的等腰梯形，即為正棱臺，正確；D：斜棱柱側(cè)棱不垂直于底面，但可能存在兩條相鄰側(cè)棱同時垂直于底面上與它們相交的邊，此時這兩條側(cè)棱和上下底面的邊所成側(cè)面為矩形，錯誤.故選：C2.用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖是一個底角為45°，腰長為2，上底長為1的等腰梯形，則該平面圖形的面積等于（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知直觀圖依據(jù)斜二測化法規(guī)則畫出原平面圖形，再計算平面圖形的面積即可.【詳解】由已知用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖如下圖：則，則把直觀圖還原為平面圖形如下圖：這個平面圖形的面積為.故選：C.3.已知某圓臺的高為，上底面半徑為1，下底面半徑為2，則其側(cè)面綻開圖的面積為（）A.9π B. C. D.8π【答案】A【解析】【分析】求圓臺的側(cè)面積，干脆利用公式求解.【詳解】∵圓臺的母線長為，∴其側(cè)面綻開圖的面積.故選：A.4.空間不重合的三個平面可以把空間分成（）A.4或6或7個部分 B.4或6或7或8個部分C.4或7或8個部分 D.6或7或8個部分【答案】B【解析】【分析】將空間不重合的三個平面位置關(guān)系分為：三個平面相互平行；三個平面有兩個平面平行；三個平面交于一線；三個平面兩兩相交且三條交線平行；三個平面兩兩相交且三條交線交于一點，分狀況分析求解即可.【詳解】空間不重合的三個平面，若三個平面相互平行，則可將空間分為4部分；若三個平面有兩個平面平行，則第三個平面與其它兩個平面相交，可將空間分為6部分；若三個平面交于一線，則可將空間分為6部分；若三個平面兩兩相交且三條交線平行（聯(lián)想三棱柱三個側(cè)面的關(guān)系），則可將空間分為7部分；若三個平面兩兩相交且三條交線交于一點（聯(lián)想墻角三個墻面的關(guān)系），則可將空間分為8部分.所以空間不重合的三個平面可以把空間分成4或6或7或8個部分.故選：B.5.已知某圓臺的高為，上底面半徑為1，下底面半徑為2，則其側(cè)面綻開圖的面積為（）A.9π B. C. D.8π【答案】A【解析】【分析】求圓臺的側(cè)面積，干脆利用公式求解.【詳解】∵圓臺的母線長為，∴其側(cè)面綻開圖的面積.故選：A.6.在中，，將繞直線旋轉(zhuǎn)一周，得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先推斷旋轉(zhuǎn)后的幾何體為兩個圓錐，再利用圓錐的側(cè)面積公式即可得解.【詳解】取中點，如下圖所示（左圖為軸截面，右圖為旋轉(zhuǎn)體上半部分），將旋轉(zhuǎn)后的圖形分為上下兩個相同的圓錐，且底面重合，得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積為兩個圓錐的側(cè)面積，因為，所以是正三角形，所以其中一個圓錐的母線為，半徑為，則一個圓錐的側(cè)面面積為，所以旋轉(zhuǎn)體的表面積為.故選：B7.三棱臺中，兩底面和分別是邊長為2和1的等邊三角形，平面ABC.若，則異面直線AC與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以為鄰邊作平行四邊形，則且，從而可得即為異面直線AC與所成角或其補角，再解即可.【詳解】如圖，以為鄰邊作平行四邊形，則且，故即為異面直線AC與所成角或其補角，因為平面ABC，平面ABC，所以，則，在中，，即異面直線AC與所成角的余弦值為.故選：C.8.正八面體是每個面都是正三角形的八面體．如圖所示，若此正八面體的棱長為2，則它的內(nèi)切球的表面積為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由正八面體的定義知，其內(nèi)切球的球心在正八面體的中心，以內(nèi)切球的球心為頂點、可將正八面體分為8個全等的正三棱錐，利用等體積法可得其內(nèi)切球的半徑，從而得到其內(nèi)切球的表面積.【詳解】以內(nèi)切球的球心為頂點、正八面體的八個面為底面，可將正八面體分為8個全等的正三棱錐，設內(nèi)切球的半徑為，則，且正四棱錐的高為圖中，易得，即：解得：，所以，內(nèi)切球的表面積為.故選：C．二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.在下列四棱雉中，底面為平行四邊形，，，，，是四棱雉的頂點或棱的中點，則平面的有（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】依據(jù)線面平行的判定定理可推斷A，B；假設平面，利用線面平行的性質(zhì)定理結(jié)合平面內(nèi)過一點有且僅有一條直線和已知直線平行可推斷C，D.【詳解】對于A，設P為AB的中點，底面為平行四邊形，連接，則，而,故，即四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，故平面，A正確；對于B，設P為AB的中點，底面為平行四邊形，連接，則，而,故，即四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，故平面，B正確；對于C，設P為AE的中點，底面為平行四邊形，連接，設交于H，連接，則，而,故，即四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，平面平面，假設平面，則，即在平面內(nèi)過點B有兩條直線和MN都平行，這是不行能的，故此時平面不成立，C錯誤；對于D，設底面為平行四邊形，連接交于點H，交于G，則H為FN的中點，連接，由于B為MF的中點，故；又平面，平面，平面平面，假設平面，則，即在平面內(nèi)過點B有兩條直線和MN都平行，這是不行能的，故此時平面不成立，D錯誤；故選：AB10.已知是三條不同的直線，是三個不同的平面，下列命題正確的有（）A.若，則B.若，則C.若，則D若，則【答案】BD【解析】【分析】依據(jù)線線、面面位置關(guān)系等學問確定正確答案.【詳解】A選項，若，則可能異面，A選項錯誤.B選項，若，則，B選項正確.C選項，若，則可能相交，C選項正確.D選項，若，則，D選項正確.故選：BD11.已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點C在底面圓周上，且二面角為45°，則（）．A.該圓錐的體積為 B.該圓錐的側(cè)面積為C. D.的面積為【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)圓錐的體積、側(cè)面積推斷A、B選項的正確性，利用二面角的學問推斷C、D選項的正確性.【詳解】依題意，，，所以，A選項，圓錐的體積為，A選項正確；B選項，圓錐的側(cè)面積為，B選項錯誤；C選項，設是的中點，連接，則，所以是二面角的平面角，則，所以，故，則，C選項正確；D選項，，所以，D選項錯誤.故選：AC.12.如圖，在棱長為1正方體中，點P，Q分別是線段，上的動點，點E是棱的中點，下列命題正確的有（）A.異面直線與所成的角為定值B.的最小值為C.三棱錐的體積隨P點的變更而變更D.過點E作平面，當//平面時，平面與正方體表面的交線構(gòu)成平面多邊形的周長為【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)線面垂直即可求解A，依據(jù)平面中兩點間距離最小即可求解B,依據(jù)等體積法即可求解C,依據(jù)線面平行的性質(zhì)可得截面多邊形,即可求解D.【詳解】由于平面平面,平面,所以平面，平面，所以，則異面直線與所成的角為90°，故A正確；把平面沿直線翻折到平面，使得與共面且不重合，點翻折到點M的位置，過A作交于點R，由于與為全等的直角三角形，且,所以，故,故,則的最小值為線段的長，故B正確；因為,由于為定值,且原委面的距離為定值，故體積為定值，故C錯誤.分別取的中點為，連接構(gòu)成六邊形,則平面平面,故平面即為六邊形所在的平面，由于六邊形為正六邊形，且邊長為,故其周長為，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.將答案干脆填在答題卷相應的橫線上.13.圓錐的底面半徑，側(cè)面的平面綻開圖的面積為．則此圓錐的體積為______．【答案】##【解析】【分析】依據(jù)圓錐側(cè)面綻開圖面積求出圓錐母線長，繼而求得圓錐的高，即可求得圓錐的體積.【詳解】設圓錐母線長為l，由側(cè)面的平面綻開圖的面積為，可得，故圓錐的高為，故圓錐的體積為，故答案為：14.如圖所示，正方體棱長為3，、分別是下底面的棱，的中點，是上底面的棱上的一點，，過，、的平面交上底面于，在上，則________.【答案】【解析】【分析】利用面面平行的性質(zhì)定理可得，從而可得，再由相像比即可求解.【詳解】因為平面平面，平面∩平面，平面∩平面，所以，又因為，所以．又因為，所以，所以.故答案為：15.如圖，從正四面體的4個頂點處截去4個相同的正四面體，得到一個由正三角形與正六邊形構(gòu)成的多面體.若該多面體的表面積是，則該多面體外接球的表面積是______.【答案】【解析】【分析】求出原正四面體外接球的半徑，從而可求出多面體外接球的球心原委面的距離，求出多面面體的棱長，即可求出其外接球的半徑，從而可求出外接球的表面積.【詳解】由題意可得多面體的棱長為原正四面體棱長的，設原正四面體的棱長為，則其表面積為，由圖易知該多面體與原正四面體相比較，表面積少了8個邊長為的正三角形的面積，所以該多面體的表面積為，所以.如圖，是下底面正六邊形的中心，是上底面正三角形的中心，由正四面體的對稱性可知截角四面體的外接球的球心在原正四面體的高上，，.設球的半徑為，在中，，所以，在中，，所以，所以，解得，所以，所以該多面體外接球的表面積.故答案為：.16.如圖，正三棱錐P-ABC的底面邊長為a，高為h，正三棱柱A1B1C1-A0B0C0的頂點A1，B1，C1分別在三條棱上，A0，B0，C0在底面△ABC上，則三棱柱A1B1C1-A0B0C0的側(cè)面積取到最大值為______.【答案】【解析】【分析】取底面三角形ABC中心為O，連接PO，OB.設，利用相像學問可表示出三棱柱A1B1C1-A0B0C0高，即可得答案.【詳解】取底面三角形ABC中心為O，連接PO，OB.則，設，因，則.又，則.則三棱柱A1B1C1-A0B0C0的側(cè)面積為:，當且僅當，即分別為三條側(cè)棱中點時取等號.故答案為：四?解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.如圖，某幾何體下部分是長?寬均為8，高為3的長方體，上部分是側(cè)棱長都相等且高為3的四棱錐，求：（1）該幾何體的體積；（2）該幾何體的表面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)公式求出長方體和四棱錐的體積，求和即可；（2）先找到四棱錐側(cè)面的高，然后可求出四棱錐的側(cè)面積，繼而求長方體的表面積，求和即可.【詳解】連接，交于點，取的中點，連接，，（1）∴（2）∵，∴【點睛】易錯點睛：求棱錐的表面積時要留意高為面的高，而不是棱錐的高.18.如圖，在正方體中，為的中點，為的中點．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）連接交于點，利用中位線的性質(zhì)得出，利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）證明出平面，利用面面平行的判定定理可證得結(jié)論成立．【小問1詳解】連接交于點，則為的中點，因為為的中點，則，平面，平面，因此，平面．【小問2詳解】因為且，為的中點，為的中點，所以，，所以，四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，又平面，，因此，平面平面．19.如圖，已知直四棱柱的底面是邊長為2的正方形，，分別為，的中點．（1）求證：直線、、交于一點；（2）若，求多面體的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)題意可得四邊形為梯形，再依據(jù)平面的性質(zhì)證明三線交于一點；（2）依據(jù)題意利用割補法求體積.【小問1詳解】連接、，因為、分別為、的中點，所以且．因為是直四棱柱，且底面是正方形，所以，且，即四邊形是平行四邊形，所以且，所以，且，所以四邊形為梯形，所以與交于一點，記為，即，且平面，平面，所以平面，平面，又因為平面平面，則直線，所以直線、、交于一點.【小問2詳解】連接，由題意可得：.20.如圖，四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，平面，，點分別在線段，上，且滿意，．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正切值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）證明，結(jié)合線面平行的判定定理即得；（2）作，則直線與平面所成角為，依據(jù)題中線段長度，求即可.【小問1詳解】如圖，連接，因，，所以，因為平面，平面，所以平面；【小問2詳解】如圖，在線段上取點，使，連接,,因，則，且，因平面，所以平面，故即直線與平面所成角，因是邊長為2的正方形，所以，，，所以，故直線與平面所成角的正切值為.21.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，交于點，是上一點且平面（1）證明：為的中點；（2）在線段上是否存在點，使得平面平面，若存在，請給出點的位置，并證明，若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在，為中點【解析】【分析】（1）依據(jù)線面平行的性質(zhì)定理證得為的中點.（2）通過證明面面平行的方法來確定點的位置.【小問1詳解】連接，設，連接，因為平面，平面，平面平面，所以，又底面為平行四邊形，所