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文檔簡(jiǎn)介

2021屆高三高考文科數(shù)學(xué)必刷題

考點(diǎn)52幾何概型

1.在區(qū)間「I』上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)L則直線丁=奴%-2)與圓尤2+y2=i有兩個(gè)不同公共點(diǎn)的概率為()

2^/31^/3

A.9B.6C.3D.3

【答案】D

【解析】圓爐+y==1的圓心為(0Q),圓心到直線J=k(x-2)的距離為舞,要使直線y=k(x-2書圓

爐+尸=1相交,則舞<L解得-4<k<嚀..?.在區(qū)間[-L1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)匕使直線),=k(x+2當(dāng)

圓F+尸=1有公共點(diǎn)的概率為P=之二=今,故選D.

1-1.-?

2

x+y<-

2.在區(qū)間[0#上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x,y,記P為事件“3”的概率,則尸=()

2142

A.3B.2c.9D.9

【答案】D

【解析】如圖所示,。4》41,04'41表示的平面區(qū)域?yàn)?8(7。,

x+y<-P偉)Q(0,4)

平面區(qū)域內(nèi)滿足3的部分為陰影部分的區(qū)域4PQ,其中[3),,3),

122

-X-X-

_233_2

.結(jié)合幾何.概型計(jì)算公式可得滿足題意的概率值為0——1^1一—9.

本題選擇D選項(xiàng).

【點(diǎn)睛】

數(shù)形結(jié)合為幾何概型問題的解決提供了簡(jiǎn)捷直觀的解法.用圖解題的關(guān)鍵:用圖形準(zhǔn)確表示出試驗(yàn)的全部

結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域,由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件4滿足的不等式,在圖形中畫出事件A發(fā)生的區(qū)域,據(jù)

此求解幾何概型即可.

3.在PH上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,

使得OVtanxVl成立的概率是()

1112

A.8B.3C.2D.冗

【答案】C

【解析】

n

4_1

7Tn2

由0<tanxVl,得0<x<4,故所求概率為2,選c.

4.甲乙兩艘輪船都要在某個(gè)泊位停靠6小時(shí),假定他們?cè)谝粫円沟臅r(shí)間段中隨機(jī)地到達(dá),試求這兩艘船中

至少有一艘在停泊位時(shí)必須等待的概率()

1137

A.4B.3c.4D.16

【答案】D

【解析】設(shè)甲船到達(dá)的時(shí)間為X,乙船到達(dá)的時(shí)間為

則所有基本事件構(gòu)成的區(qū)域淵足,124

這兩艘船中至少有一艘在停泊位時(shí)必須等待包含的基本事件構(gòu)成的區(qū)域A滿足

0<x<24

o<y<24,作出對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示

|x-yl<6

這兩艘船中至少有一艘在停泊位時(shí)必須等待的概率為PG4)=L=彩=W故選D

x4-y-4<0

x>0

5.在平面區(qū)域Iy>o內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)3,b),貝U函數(shù)兀0=以2—4版+1在區(qū)間[1,+8)上是增函數(shù)的

概率為()

1112

A.4B.3C.2D.3

【答案】B

【解析】不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的的內(nèi)部及邊界AB(不包括邊界04,OB),則

5uos=,4x4=8,函數(shù)/'(x)=ax:-4bx+1在區(qū)間[L+s)上是增函數(shù),則應(yīng)滿足a>。且x=§41,

即{:;1可得對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分(包括邊界?!?,B3不包括邊界。B),由1+。。?=。,解

得a=:,b=;,所以為COB=:x4W,根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式,可知所求的概率P=|=|,

故選B.

7

6.在區(qū)間[-3,5]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)X,若x滿足|x|Wm(m>0)的概率為我則m的值等于

7

A.2B.3C.4D.,-2

【答案】C

【解析】

區(qū)間[-3,5]的區(qū)間長(zhǎng)度為5-(-3)=8,

當(dāng)0Vmg3時(shí),

滿足|x|gm(m>0)的解集的區(qū)間長(zhǎng)度為2m,

7

又在區(qū)間[-3,5]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x,若x滿足|x|gm(m>0)的概率為E

:?*,得m=f(舍力

當(dāng)3<比5時(shí),滿足國(guó)—(m>0)的解集的區(qū)間長(zhǎng)度為m+3,

又在區(qū)間[-3,5]±隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x,若x滿足|xsm(m>0)的概率為%

.?."=%得m=4.

8B7'J

.'.m的值等于4.

故選:C.

2

7.如圖,邊長(zhǎng)為2的正方形中有一陰影區(qū)域,在正方形中隨機(jī)撒一粒豆子,它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為

則陰影區(qū)域的面積約為()

A.3B.3c.3D.無法計(jì)算

【答案】C

s_2_8

【解析】設(shè)陰影區(qū)域的面積為s,4-3,所以5一§.

故選C.

8.一只螞蟻在邊長(zhǎng)為4的正三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)爬行,則它在離三個(gè)頂點(diǎn)距離都大于2的區(qū)域內(nèi)的概率為

()

83邪1

1-----71-----71-

A.6B.4c.6D.4

【答案】A

【解析】

滿足條件的正三角形如圖所示

BC

其中正三角形丹BC的面積S三坨形=—x16=4vz3

滿足到正三角形ABC的頂點(diǎn)4BC的距離都大于2的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示

則S陰=2w

則使取到的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)ABC的距離都大于2的概率為:

2n用

P=1-----=1——n

4G6

故選A

9.某景區(qū)在開放時(shí)間內(nèi),每個(gè)整點(diǎn)時(shí)會(huì)有一趟觀光車從景區(qū)入口發(fā)車,某人上午到達(dá)景區(qū)入口,準(zhǔn)備乘坐

觀光車,則他等待時(shí)間不多于10分鐘的概率為()

1115

A.10B.6c.5D.6

【答案】B

【解析】

由題意,此人在50分到整點(diǎn)之間的10分鐘內(nèi)到達(dá),等待時(shí)間不多于10分鐘,所以概率60&故選民

10.已知實(shí)數(shù)xG[2,30],執(zhí)行如.圖所示的程序框圖,則輸出的x不小于103的概率為()

/輸出z/

(結(jié)束)

5954

A.14B.14C.9D.9

【答案】B

【解析】

設(shè)實(shí)數(shù)xe[2,30],

經(jīng)過第一次循環(huán)得到x=2x+L"=2:

經(jīng)過第二次循環(huán)得到x=2(2x+l)+l,n=3j

經(jīng)過第三次循環(huán)得到x=2[2(2.r+1)+1]+l,n=4,此時(shí)輸出x,

輸出的值為8x+7,

令8X+7N103得x212,

由幾何概型概率得到愉出的x不小于103的概率為P=年=§,故選B.

sD-—14

1

f(x)—minx-2x2+—

11.已知實(shí)數(shù)mW[0,4],則函數(shù)%在定義域內(nèi)單調(diào)遞減的概率為

1135

A.4B.2c.4D.8

【答案】C

【解析】

1.m11

9f(%)=4%--<4x2+-

f(x)—minx-2/+-xm

函數(shù)》在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,則/恒成立,即%恒成立,設(shè)

g(x)=4犬+=8x-烹=注三函數(shù)g(xyt(0=)\(:,-8)乙故函數(shù)g(x)li泌取得最小

值,代人得到mW3.

則函數(shù)f(x)=mlnx-2x:+/定義域內(nèi)單調(diào)遞減的概率為親

故答案為:C.

12.中央電視臺(tái)第一套節(jié)目午間新聞的播出時(shí)間是每天中午12:00到12:30,在某星期天中午的午間新聞中

將隨機(jī)安排播出時(shí)長(zhǎng)5分鐘的有關(guān)電信詐騙的新聞報(bào)道.若小張于當(dāng)天12:20打開電視,則他能收看到這條新

聞的完整報(bào)道的概率是()

2111

A.5B.3c.5D.6

【答案】D

【解析】新聞報(bào)道中午時(shí)間段可能開始的時(shí)間為12:00-12:30,時(shí)長(zhǎng)30分鐘,小張可能看到新聞報(bào)道的開

5_1

始時(shí)間為12:20-12:25,共5分鐘,所以概率為.一%.

故選D.

13.已知函數(shù)/⑺=%函數(shù)9(%)=2-%,執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入的尤6[-3,3],則輸出m的值為9(幻

【答案】C

【解析】

令Rx)<g(x)即X<2-X,所以xj因?yàn)?3<x<3,所以當(dāng)-3<x<附愉出電)的函數(shù)值.

所以當(dāng)1<x<3時(shí)輸出g(x)的函數(shù)值,

所以輸出值m的函數(shù)旗X)=mm,

由幾何概型得輸出的值為。(幻的函數(shù)值的概率為-=

d—I-s

故答案為:C.

14.把[0用內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)十分別轉(zhuǎn)化為[。,4]和[-4,1]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)力,力,需實(shí)施的變換分別為

A%=-4x,y2=5%-4y1==4x-4,y2=4x+3

Qyt=4x,y2=5x-4Dy1-4x,y2=4x4-3

【答案】C

【解析】由隨機(jī)數(shù)的變換公式可得力=以,

y2=-4+[1-(-4)]x=5x-4

故選C.

15.關(guān)于圓周率叫數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過。許多有創(chuàng)意的求,法,如著名的普豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受其啟發(fā),

我們也可以通過設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來估計(jì)"的值:先請(qǐng)120名同學(xué)每人隨機(jī)寫下一個(gè)蒼了都小于1的正實(shí)數(shù)對(duì)

(町0,再統(tǒng)計(jì)其中%y能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)(即0的個(gè)數(shù)m,最后根據(jù)統(tǒng)計(jì)個(gè)數(shù)m估計(jì)W的值.如

果統(tǒng)計(jì)結(jié)果是m=34,那么可以估計(jì)萬的值為

22475153

A.~7B.15C.16D.17

【答案】B

【解析】由題意,120對(duì)都小于1的正實(shí)數(shù)(x,y),滿足面積為1,

兩個(gè)數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形的三邊的數(shù)對(duì)(X.y),滿足產(chǎn)+尸<I且[;<J<i,

面積為W-:,

因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)(XJ)的個(gè)數(shù)為"I=34,

則言=4-P所以713故選B.

16.漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”(如下圖),四個(gè)全等的直角三角形(朱實(shí)),

可以圍成一個(gè)大的正方形,中空部分為一個(gè)小正方形(黃實(shí)).若直角三角形中一條較長(zhǎng)的直角邊為8,直

角三角形的面積為24,若在上面扔一顆玻璃小球,則小球落在“黃實(shí)”區(qū)域的概率為()

A.4B.3c.25D.73

【答案】C

【解析】因?yàn)橹苯侨切沃幸粭l校長(zhǎng)的直角邊為8,直角三角形的面積為24,

所以可得另外一條直角邊長(zhǎng)為6,

所以小正方形的邊長(zhǎng)為8-6=2,

實(shí)”區(qū)域的面積為2二=4,

大正方形的面積是8:+6==100,

所以小球落在'黃實(shí)”區(qū)域的概率是全==,故選C.

17.《世界數(shù)學(xué)史簡(jiǎn)編.》的封面有一圖案(如圖),該圖案的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓,圓內(nèi)有一內(nèi)接正三角形,

在此圖案內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為()

n3#n3/n3^/3n3j

A.2-11?B.4"UC.4-^-D.2--8

【答案】B

【解析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a,則正方形內(nèi)切圓的半徑為。,圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)為v3a

S網(wǎng)變=s網(wǎng)一S歪三弟港="(1二一:?(、疔a):?sni60s="小-手旌

所求的概率為

P=L-U

故選:B.

18.七巧板是我國(guó)古代勞動(dòng)人民的發(fā)明之一,被譽(yù)為“東方模板”,它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形

和一塊平行四邊形共七塊板組成的.如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任取一點(diǎn),則此

點(diǎn)取自黑色部分的概率為()

9537

A.32B.16C.8D.16

【答案】C

【解析】設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,可得黑色平行四邊形的底為隹,高為2;黑色等腰直角三角形的直角邊

為2,斜邊為2道,大正方形的邊長(zhǎng)為2&,

L嘉1

J2x—+~x2x2

“223

P------------------二—

所以2V2x2、/28,

故選Co

19.三國(guó)時(shí)代吳國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽所注《周髀算經(jīng)》中給出了勾股.定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文,

弦圖是一個(gè)以勾股形之弦為邊的正方形,其面積稱為弦實(shí).圖中包含四個(gè)全等的勾股形及一個(gè)小正方形,分

別涂成紅(朱)色及黃色,其面積稱為朱實(shí)、黃實(shí),利用2x勾x股+(股-勾)2=4x朱實(shí)+黃實(shí)=弦實(shí),

化簡(jiǎn),得勾2+股2=弦2設(shè)勾股形中勾股比為1:/,若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲1000顆圖釘(大小忽略不計(jì)),則

落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為()

A.134B.866C.300D.500

【答案】A

【解析】設(shè)三角形的直角邊分別為bv,3,則弦為2,故而大正方形的面積為4,小正方形的面積為

(^3—1)=4—2、包

???圖釘落在黃色圖形內(nèi)的概率為三=乎.

二落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為1000X三=134.

故選:A.

20.在長(zhǎng)度為10的線段AB上任取一點(diǎn)C(異于A,B),則以AC,BC為半徑的兩圓面積之和小于587t的概

率是.

2

【答案】5

【解析】設(shè)4C=x,則BC=10—x,0<x<10,由題意知也2+世io-幻2<58",即1()工+21<0,解得

7-3_22

3<%<7,故所求的概率為可一弓,故答案為£

21.已知P,E,G,尸都在球面C上,且P在AEFG所在平面外,PELEF,PELEG,PE=2GF=2EG=4,

ZEGF=120°,在球C內(nèi)任取一點(diǎn),則該點(diǎn)落在三棱錐P-EFG內(nèi)的概率為.

【答案】而

【解析】如圖,

在三角形EGF中,由已知可得EG=GF=2,ZEGF=120°,

可得EF=2、5,設(shè)三角形EFG的外接圓的半徑為r,由巨工二2r,可得r-2.

再設(shè)AEGF的外心為Gi,過Gi作底面EGF的垂線GiO,且使G_0=*=2.

連接OE,貝iJOE=2V2為三棱錐P-EFG的外接球的半徑.

則%="*(2記尸=學(xué)斤,M-EGF;X2x2xsml20°x4

由測(cè)度比為體積比,可得在球C內(nèi)任取一點(diǎn),則該點(diǎn)落在三棱錐P-EFG內(nèi)的概率為3

3271

故答案為:W

5

22.在區(qū)間[。,2]內(nèi)隨機(jī)地取出兩個(gè)實(shí)數(shù),則這兩個(gè)實(shí)數(shù)之和小于5的概率是

23

【答案】32

【解析】取xe[0Z,yeO2],

(x.y)所在區(qū)域是邊長(zhǎng)為2的正方形區(qū)域,面積為4,

直線x+y=:直線上正方形區(qū)域面積為:x:x%

直線犬+y=:直線下正方形區(qū)域面積4-5x?x:=q

由幾何概型概率公式可得,

這兩個(gè)實(shí)數(shù)之和小于翔概率是£+4=*

故答案為差

23.已知圓。的半徑為6,°1°2,°3°4是圓。的兩條相互垂直的直徑,分別以°1,°2,°3,°4為圓心,4為半徑作圓,

圓。與各圓的交點(diǎn)與點(diǎn)0連線得到的三角形如圖中陰影部分所示,則往圓0內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn),該點(diǎn)落在陰影部

分內(nèi)的概率為

112^2

【答案]817r

【解析】

36+36-1674衣565/2

ccosa=----------------=-,sina=----->,sin2a=-------

設(shè)等腰三角形的頂角為2

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