2021年人教A版（2019）復(fù)習《一元二次方程、函數(shù)和不等式》

2021年人教A版（2019）專題復(fù)習《一元二次方程、函數(shù)和不

等式》

一.選擇題（共15小題）

1.（2021?海淀區(qū)校級三模）若人則下列不等式正確的是（）

A..1>AB.ab<c^C.|?|>|/?|D.包二〉2

abab

2.（2021?青島三模）已知1<工<工，M=aa,N=ab,P=ba,則例，N,P的大小關(guān)系正

ab

確的為（）

A.N<M<PB.P<M<NC.M<P<ND.P<N<M

3.（2021?臨川區(qū)校級模擬）2021年是中國共產(chǎn)黨成立100周年，為了慶祝建黨100周年，

學校計劃購買一些氣球來布置會場，已知購買的氣球一共有紅、黃、藍、綠四種顏色，

紅色多于藍色，藍色多于綠色，綠色多于黃色，黃色的兩倍多于紅色，則購買的氣球最

少有（）個

A.20B.22C.24D.26

4.（2021春?河南月考?）已知a,旎R+,且a+b=l,則下列不等式不正確的是（）

A-工4〉4B-a2+b2>V2

ab

C.D?a2+b2^^"

5.（2021?沙坪壩區(qū)校級模擬）已知正實數(shù)〃z,〃滿足〃z（〃-1）=4%則m+4〃的最小值是

（）

A.25B.18C.16D.8

6.（2021?浙江模擬）已知實數(shù)％y滿足7+4/=4,則肛的最小值是（）

A.~2B.^3C.-^2D?_1

22

7.（2021?長壽區(qū)校級模擬）絲也一爐工的最大值為（）

2,2

x+y

A.V13B.13C.至D.

22

8.（2021春?瑤海區(qū)月考）已知x>0,y>0,若x+y=l,則工的最小值為（）

xy

A.4B.AC.2D.A

42

9.（2021春?河南月考）關(guān)于x的不等式（or-6）（x+3）<0的解集為（-8,-3）U（1,

+8）,則關(guān)于x的不等式辦+40的解集為（）

A.（-8,-1）B.（-1,+°°）C.（-8,1）D.（1,+8）

10.（2021?漳州模擬）己知實數(shù)x,y滿足/+3）2=3,則x+y的最大值為（）

A.1B.V3C.2D.4

11.（2020秋?威海期末）若關(guān)于x的不等式W-（/w+3）x+3w<0的解集中恰有3個正整數(shù),

則實數(shù)〃?的取值范圍為（）

A.[-2,-1）B.（3,4）C.（5,6]D.（6,7]

12.（2021?浙江模擬）已知/（X）=7-2021x,若/（，”）=/（n）,m^n,則等

于（）

A.2021B.-2021C.0D.10021

13.（2020秋?福州期末）某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車投入營運，據(jù)市場分析每

輛客車營運的總利潤y（單位：10萬元）與營運年數(shù)X（X6N*）為二次函數(shù)關(guān)系（如圖

所示），則每輛客車營運（）年時，其營運的年平均利潤X最大.

X

14.（2021?山東二模）實數(shù)x、y滿足37+2/=6x,貝U*2+/的最大值為（）

A.工B.4C.9D.5

22

15.（2021?湖南模擬）數(shù)學里有一種證明方法叫做Procj/hvif/zoWwon/s,也稱之為無字證明，

一般是指僅用圖象語言而無需文字解釋就能不證自明的數(shù)學命題，由于這種證明方法的

特殊性，無字證明被認為比嚴格的數(shù)學證明更為優(yōu)雅.現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰宜角

三角形aABC中，點O為斜邊AB的中點，點。為斜邊AB上異于頂點的一個動點，設(shè)

AD=a,BD=b,則該圖形可以完成的無字證明為（）

B.絕《?。╝>0,b>0）

a+b

I22

C.巨絲wja+b（a>0,b>0）

2V2

D.a2+Z?2>2>/^b（a>0，b>0）

填空題（共8小題）

16.（2021春?上高縣校級月考）比較大小：3-2。屈-力（填或“=

17.（2021?貴溪市校級模擬）設(shè)a=7+2,b=2x,則。>江（判斷對錯）

18.（2021?北侖區(qū)校級模擬）已知正實數(shù)x,y滿足（x+3y-1）（2x+y-1）=1,則x+y的

最小值是.

22

19.（2021春?鼓樓區(qū)校級期末）已知a,b>0,a（1-a）+（tz-^）則_?J_+空1

a+3b3a+b

的最小值為.

20.（2021?衡陽二模）請根據(jù)如下矩形圖表信息，補齊不等式：

21.（2021?貴溪市校級三模）已知函數(shù)/（x）=cu?+bx+c,關(guān)于x的不等式/（x）<0的解

集為（-1,3）,則f（4）>f（0）>/（1）.（判斷對錯）

22.（2021?懷化一模）已知關(guān)于x的不等式〃/+法+。>0（mb,cGR）的解集為*|3VXV

2遼

4},則的取值范圍為.

a+b

23.（2019秋?濰坊期中）在平面直角坐標系xOy中，對于點A（〃，b）,若函數(shù)y=/（x）

滿足：VxGk-1,〃+l],都有）Wg-l,0+1],則稱這個函數(shù)是點A的“界函數(shù)”.已知

點BGn,n）在函數(shù)了=3乂2的圖象上，若函數(shù)產(chǎn)蔣乂？是點8的“界函數(shù)”，則加的

取值范圍是.

三.解答題（共7小題）

22,22

24.（2020秋?南京月考）已知h>\,M=^—J一，ba

N;-----+--

a-1b-1a-1b-1

（1）試比較M與N的大小，并證明；

（2）分別求M,N的最小值.

25.（2019秋?海淀區(qū)校級期中）已知a、b為正實數(shù)，試比較.a.b

26.（2021?內(nèi)江模擬）已知a>0,b>0,4a+b=2ab.

（1）求a+b的最小值；

（2）若。+〃2|2x-l|+|3x+2|對滿足題中條件的①b恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.

27.（2021春?如皋市月考）已知實數(shù)x>0,y>0.

（1）若x+y+xy=3,求的最大值與x+y的最小值；

（2）若x>y,求生一+盯+二■的最小值.

x-yy2

28.（2021春?南山區(qū)校級期中）已知函數(shù)/（X）=/+2（Z-1）X+F+2.

（1）若不等式/CO<0的解集為{x|lVx<3},求實數(shù)人的值；

（2）若函數(shù)/（x）在區(qū)間[2,4]上不單調(diào)，求實數(shù)上的取值范圍.

29.（2020秋?湖北期末）在①{1,4}￡{〃2-2〃+2,a-1,0},②關(guān)于x的不等式l<ax+b

W3的解集為{x|3VxW4},③一次函數(shù)）=6+6的圖象過A（-1,1）,B（2,7）兩點，

這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中并解答.

問題：已知,求關(guān)于尤的不等式/-Sx+dX）的解集.

30.（2021?碑林區(qū)校級模擬）已知函數(shù)f（x）={2Ix-6I-IxI-d的定義域為R

（1）求實數(shù)”的取值范圍；

（2）設(shè)實數(shù)機為d的最大值，若正數(shù)a,b,c滿足。+匕+。=m2,求」_」_」_的

a+1b+2c+3

最小值.

元二次方程、函數(shù)和不等式

參考答案與試題解析

選擇題（共15小題）

1.（2021?海淀區(qū)校級三模）若K0,則下列不等式正確的是（）

A-XB.ab<a2C.|。|>步|D7V>2

【考點】不等關(guān)系與不等式；不等式的基本性質(zhì).

【專題】綜合題；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學運算.

【分析】可舉例，令6=-2、。=-1,可判斷ABC；利用基本不等式可判斷￡>.

【解答】解：根據(jù)題意可令6=-2、a=-1,

則工<工外>/,刈<步|,，48。錯；

ab

故選：D.

【點評】本題考查不等式基本性質(zhì)，考查數(shù)學運算能力及推理能力.

2.（2021?青島三模）己知1<小<1，M=aa,N=ab,P=ba,則M,N,P的大小關(guān)系正

ab

確的為（）

A.N<M<PB.P<M<NC.M<P<ND.P<N<M

【考點】不等式比較大小.

【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學運算.

【分析】令。=上，可解決此題.

24

【解答】解：根據(jù)題意，令。=2、％=工，貝ij尸=（A）~2,M—（A）~2,N—（A）T.

24422

根據(jù)基函數(shù)y=x5在（0,+8）上是增函數(shù)，可得P<M；

根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=.在R上是減函數(shù)，可得MVN.

故選：B.

【點評】本題考查不等式大小比較、指數(shù)函數(shù)及幕函數(shù)單調(diào)性，考查數(shù)學運算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

3.（2021?臨川區(qū)校級模擬）2021年是中國共產(chǎn)黨成立100周年，為了慶祝建黨100周年，

學校計劃購買一些氣球來布置會場，已知購買的氣球一共有紅、黃、藍、綠四種顏色，

紅色多于藍色，藍色多于綠色，綠色多于黃色，黃色的兩倍多于紅色，則購買的氣球最

少有（）個

A.20B.22C.24D.26

【考點】不等關(guān)系與不等式.

【專題】整體思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用；邏輯推理.

【分析】根據(jù)不等式的關(guān)系，利用不等式的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化求解即可.

【解答】解：分別設(shè)紅、黃、藍、綠各有“，h,c,d個，且a,h,c,d為正整數(shù)，

則由題意得c^d+l,,2b^a+l,

即2〃2c+l+l24+l+226+l+3,

可得b24,

所以a27,c36,d25,即至少有4+5+6+7=22個.

故選:B.

【點評】本題主要考查不等式的應(yīng)用，利用不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

4.（2021春?河南月考）已知必慶R+,且”+匕=1,則下列不等式不正確的是（）

A.b-a2+b2>V2

22

C.ab《［D.a+b^y

【考點】不等關(guān)系與不等式.

【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；定義法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學運算.

［分析］利用基本不等式對每一選項進行分析可得答案.

【解答】解：已知a,Z?GR+?且。+%=1,

工」=（J_J）（a+b）=2Be>4，當且僅當“。=6”時等號成立，故A正確；

ababab

（a2+b2）2=a+b+2Vab=l+2Vab<l+（a+b）=2,B|Ja2+b2<V2,當且僅當“〃=

b”時等號成立，故8錯誤；

a+b=l>2V^b，即ab41，當且僅當“。=6”時等號成立，故C正確；

2

a2+b2＞（a+b）J,（當且僅當“。時等號成立，故。正確.

故選：B.

【點評】本題考查基本不等式及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.（2021?沙坪壩區(qū)校級模擬）已知正實數(shù)機，〃滿足加（〃-1）=4及，則機+4〃的最小值是

（）

A.25B.18C.16D.8

【考點】基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學運算.

【分析】利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出.

【解答】解：因為〃=4〃，可得碗整理可得1='+工，

mn

所以加+4〃=（相+4〃）（A+1）=8+見+應(yīng)28+2但二位=16,

mnnmVnm

當且僅當，即衛(wèi)二1皿時，即相=8,〃=2時等號成立，

nm

所以〃?+4”的最小值為16.

故選：C.

【點評】本題主要考查了利用基本不等式求解最值，解題的關(guān)鍵是應(yīng)用條件的配湊，屬

于基礎(chǔ)題.

6.（2021?浙江模擬）已知實數(shù)x,y滿足/+4/=4,則犯的最小值是（）

A.-2B.-C.-D.-1

【考點】基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學運算.

【分析】由（x+2y）2=x2+4y2+4xy,得解.

【解答】A?：'."x2+4y2=4,

（x+2y）2=/+4）2+4孫=4+4沖20,當且僅當x=-2y時，等號成立，

-1,即沖的最小值是-1.

故選：D.

【點評】本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

22

7.（2021?長壽區(qū)校級模擬）鋁+9匕72空的最大值為（）

2,2

x+y

A.A/13B.13C.至D..§.V2.

22

【考點】基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學運算.

22

【分析】利用（3x-2y）220,得到⑵:尺9/+4F從而將他+.9工^2注中的1與

x2+y2

進行代換，再求出最值.

【解答】解：因為（3x-2y）2?0,所以9/-12%），+4V20,

所以12孫W9/+4）2,

所以4x2+9y2+12xy24x2+9y2+9*2+4y213（x2+y2）

2上2%2工2-2」2-iJ，

x+yx+yx+y

當且僅當3x=2y時取等號，

22

所以念的最大值為13.

22

x+y

故選：B.

【點評】本題考查了代數(shù)式最值的求解，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造12xyW97+4）2,考查了轉(zhuǎn)化

與化歸思想，屬于中檔題.

8.（2021春?瑤海區(qū)月考）已知x>0,y>0,若x+y=l,則工的最小值為（）

xy

A.4B.AC.2D.A

42

【考點】基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】整體思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學運算.

【分析】由xyW（交工）2可求孫的范圍，進而可求.

2

【解答】解：因為x>0,y>0,x+y=l,

所以川W（也）2=1,當且僅當x=y=工時取等號，

242

則上24,即最小值為4.

xy

故選：A.

【點評】本題主要考查了利用基本不等式求解最值，屬于基礎(chǔ)題.

9.（2021春?河南月考）關(guān)于x的不等式（依-6）（x+3）<0的解集為（-8,-3）U（1,

+8）,則關(guān)于x的不等式or+b>0的解集為（)

A.(-8,-I)B.(-1,+8)C.(-8,1)D.(1,+8)

【考點】一元二次不等式及其應(yīng)用；其他不等式的解法.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學運算.

【分析】根據(jù)不等式的解集可得〃<0,且1,-3是方程(6-b)(x+3)=0的兩根，

得到。=人即可求解.

【解答】解：由題意可得。<0,且1,-3是方程(ax-b)(x+3)=0的兩根，

/?%—1為方程以-匕=0的根，:?a=b,

則不等式ar+b>0可化為x+l<0,即x<-l,

不等式ax+b>0的解集為(-8,-]).

故選：A.

【點評】本題主要考查了一元二次不等式的應(yīng)用，以及根與系數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

10.(2021?漳州模擬)己知實數(shù)x,y滿足/+3)2=3,則x+y的最大值為()

A.1B.73C.2D.4

【考點】一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系.

【專題】計算題；方程思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學運算.

【分析】設(shè)/=/丫，則、=「心則可得到4/-6戊+(3?-3)=0,此方程有解，根據(jù)

判別式的意義得到△》()，解得?的范圍，于是可求出x+y的最大值.

【解答】解：設(shè)尸x+y,則)，=一加

：7+3y2=3,

；./+3(f-x)2=3,整理得47-6"+(3』-3)—0,

??”為實數(shù)，

；.△=(-6r)2-4X4(3?-3)對，

二-2WW2,

.?.x+y的最大值為2.

故選：C.

【點評】本題考查了一元二次方程o?+法+c=0(a￥0)的根的判別式△=廬-4"：當

△>0,方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=(),方程有兩個相等的實數(shù)根；當△<(),方

程沒有實數(shù)根，本題屬于基礎(chǔ)題.

11.(2020秋?威海期末)若關(guān)于x的不等式/-(機+3)x+3,"<0的解集中恰有3個正整數(shù),

則實數(shù)，”的取值范圍為()

A.[-2,-1)B.(3,4)C.(5,6JD.(6,7]

【考點】一元二次不等式及其應(yīng)用.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學運算.

【分析】利用一元二次不等式的解法，按照，”與3的大小進行分類討論，分別研究即可

得到答案.

【解答】解：不等式--(m+3)x+3"?<0可變形為(x-3)(x-m)<0,

①當〃?>3時，不等式的解集為{x[3<x<〃?},因為解集中恰有3個正整數(shù)，

故為4,5,6,所以6<，wW7；

②當機<3時，不等式的解集為{x[w<x<3},因為解集中恰有3個正整數(shù)，

所以只能有1,2兩個整數(shù)，故不符合題意；

③當〃?=3時，不等式無解，不符合題意.

綜上所述，實數(shù)，〃的取值范圍為(6,7].

故選：D.

【點評】本題考查了不等式的解法，主要考查了一元二次不等式的解法，解題的關(guān)鍵是

對m與3大小的比較，屬于基礎(chǔ)題.

12.(2021?浙江模擬)已知/(x)-2021%,若/(=/("),m^n,則/(，”+〃)等

于()

A.2021B.-2021C.0D.10021

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象.

【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學運算.

【分析】先求出函數(shù)的對稱軸方程，利用二次函數(shù)的對稱性求解即可.

【解答】解：函數(shù)/G)=?-202lx的對稱軸為直線l=空紅，

2

,.*/(/??)=/(/2),'.m,〃關(guān)于函數(shù)/(x)=7-2021x圖象的對稱軸對稱，

.,.ffl+n=2X202k=2021,：.f(w+n)=f(2021)=0.

故選：C.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的對稱性，利用數(shù)形結(jié)合的思想是求解的關(guān)鍵.

13.(2020秋?福州期末)某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車投入營運，據(jù)市場分析每

輛客車營運的總利潤y(單位：10萬元)與營運年數(shù)x(xeN*)為二次函數(shù)關(guān)系(如圖

所示），則每輛客車營運（）年時，其營運的年平均利潤x最大.

A.3B.4C.5D.6

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象；根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型.

【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學運算.

【分析】根據(jù)圖象上點坐標可求得總利潤y的二次函數(shù)解析式，然后可求?最大時x值.

x

【解答】解：由圖可知，拋物線頂點為（6,11）且過點（4,7）,設(shè)二次函數(shù)解析式為y=

a（x-6）2+11,

把點（4,7）代入得：7=a?（4-6）2+11,解得：a=-1,.?.二次函數(shù)解析式為y=-（x

-6）2+ll,

即y=-/+12r-25,，X=-（x+至）+12W-21Y.至+12=2,當且僅當x=5時,工取得

xxVxxx

最大值2,.

故選：C.

【點評】本題考查二次函數(shù)圖象性質(zhì)及應(yīng)用，考查數(shù)學運算能力，屬于中檔題.

14.（2021?山東二模）實數(shù)x、y滿足37+2y2=6x,則小+尸的最大值為（）

A.工B.4C.9D.5

22

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象.

【專題】計算題.

【分析】把37+2y2=6x化為b=3x-m2,求出了的取值范圍，并代入中消去

2

然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出它的最值即可.

【解答】解：???實數(shù)x、y滿足37+2f=6x,

因此0Wx<2,

2

+v?=3x-工田=（x-3）20WxW2,

222

...當x=2時，/+尸的最大值為4.

故選：B.

【點評】本題主要考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的知識點，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌

握二次函數(shù)的性質(zhì)，此題難度不大.屬中檔題.

15.(2021?湖南模擬)數(shù)學里有一種證明方法叫做Ps/kw泌OVAIQI心，也稱之為無字證明，

一般是指僅用圖象語言而無需文字解釋就能不證自明的數(shù)學命題，由于這種證明方法的

特殊性，無字證明被認為比嚴格的數(shù)學證明更為優(yōu)雅.現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角

三角形aABC中，點O為斜邊A8的中點，點。為斜邊A3上異于頂點的一個動點，設(shè)

AD=a,BD=b,則該圖形可以完成的無字證明為()

A.^.^VabZ?＞0）

2

B.（a＞。，。＞。）

a+b

C.+b(fl>0,b>o)

D.aW>2Vab(?>0,b>0)

【考點】基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；分割補形法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學運算.

【分析】由已知圖形先求出。C,CD,然后結(jié)合OCWCO即可判斷.

【解答】解：由題意得AB=AO+8￡>=a+6,(a+b),OD=OB-DB=1.(a+b)

22

-h=—Ca-b),

2

RtAOCD中，C02=/+3=0拉)2Qb)2=a2+b2,

442

因為OCWCD,

所以a(a+b)wja+b.當且僅當時取等號,

故選：C.

【點評】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

二.填空題（共8小題）

16.（2021春?上高縣校級月考）比較大?。?-2后<方（填或"=

【考點】不等式比較大小.

【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法；不等式；數(shù)學運算.

【分析】只需作差比較（3-2\歷）2和（/誣-、「）2的大小即可.

【解答］解：（3-2-72）2-（V10-V7）2=17-12^2-17+2770=2^70-2V72<0,

A（3-2V2）2<（V10-V7）2,且3-2加>0,

3-2V2<V10-V7.

故答案為：<.

【點評】本題考查了無理數(shù)比較大小的方法：比較平方的大小，考查了計算能力，屬于

基礎(chǔ)題.

17.（2021?貴溪市校級模擬）設(shè)〃=，+2,%=2x,則”>從正確（判斷對錯）

【考點】不等式比較大小.

【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法：不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學運算.

【分析】利用作差法得到=/+2-2%,再通過配方法即可求解.

【解答】解：'：a-h=jr+2-2x=（x-1）2+l>0,：.a>h.

故答案為：正確.

【點評】本題考查了作差法比較不等式的大小，屬于基礎(chǔ)題.

18.（2021?北侖區(qū)校級模擬）已知正實數(shù)x,y滿足（x+3y-1）（2x+y-1）=1,貝Ix+y的

最小值是_空返_.

5

【考點】基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學運算.

【分析】將所求解的式子轉(zhuǎn)化為工（x+3y-l）3（2x+y-l）+^，然后利用基本不等式求

555

解最值即可.

【解答】解：因為x>0,y>0,則x+3y-l>-l,2x+y-1>-1,

因為（x+3y-1）C2x+y-1）=1,

所以x+3y-1>0,2x+y-1>0,

因此^+y—y(x+3y-l)+1-(2x+y-l)一可蚩(x+3y-l)(2x+y-l)+1-——

\+3y-l=V2

當且僅當■^?(x+3y-l)=|*(2x+y-l)，即，血，

b52x+y-l=-y

ri3V2

v=-+---

y5in

所以I°"時取等號，

2V2

所以x+y的最小值為空返.

5

故答案為：空返.

5

【點評】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，在使用基本不等式求解最值時要滿足三個條件：

一正、二定、三相等，屬于中檔題.

22

19.(2021春?鼓樓區(qū)校級期末)已知a,b>0,a(l-?)+(?-^)2=aW,則為_+ZL_

a+3b3a+b

的最小值為1.

一2一

【考點】基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學運算.

【分析】由。和b的位置是等價的，所以當4=6時取得最值，求解即可.

【解答】解：將。和b交換位置，發(fā)現(xiàn)已知的等式和要求解的式子是相同的，

則當a=b時，25_+空_取得最小值，

a+3b3a+b

當a—b時，由〃(1-a)+(4-b)2=白3+/,可得a=/?=A,

2

22

所以當時，.2生一+生一取得最小值

2a+3b3a+b2

故答案為：1.

2

【點評】本題考查了基本不等式的應(yīng)用、轉(zhuǎn)化方法，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)。和b的等價關(guān)

系，將問題簡單化處理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

20.(2021?衡陽二模)請根據(jù)如下矩形圖表信息，補齊不等式：J(a+b)2+(c+d)%

{a2+c2±個b2+d2(或a+b+c+d)——.

【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學運算?

【分析】由勾股定理知，V(a+b)2+(c+d)2=AB,再根據(jù)三角形“兩邊之和大于第三

邊”的性質(zhì)，得解.

22=22>

【解答】解：由勾股定理知，^=VAD+BDV(a+b)+(c+d)

AC=Va2+c2,fiC=Vb2+d2,

如圖中的△A8C,根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，知4BWAC+BC,當且僅當A,B,

C三點共線時，等號成立，

???V(a+b)2+(c+d)2^Va2+c2+Vb2+d2,

(或由△AB。知，AB^AD+BD,當且僅當A,B,D三點共線時，等號成立，此時

I(a+b)2+(c+d)2Wa+b+c+d).

故答案為：^^2+^2+d2(或

【點評】本題考查利用不等式表示不等關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想、邏輯推理能力和運算

能力，屬于基礎(chǔ)題.

21.(2021?貴溪市校級三模)已知函數(shù)/(x)=a>?+bx+c,關(guān)于x的不等式/(x)<0的解

集為(-1,3),則/(4)>/(0)>/(1).對(判斷對錯)

【考點】一元二次不等式及其應(yīng)用.

【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學運算.

【分析】根據(jù)題意知/(x)是二次函數(shù)，且開口向上，對稱軸為x=l,由此判斷/(4)、

/(0)和/(I)的大小.

【解答】解：由函數(shù)f(x)^a^+bx+c,且關(guān)于x的不等式/G)<0的解集為(-1,3),

所以/(x)是二次函數(shù)，且開口向上，對稱軸為x=±3=l,

2

且|4-1|,

所以/(4)>f(0)

故答案為：對.

【點評】本題考查了二次函數(shù)與一元二次不等式的應(yīng)用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想，是基

礎(chǔ)題.

22.(2021?懷化一模)已知關(guān)于x的不等式af+bx+cX)(〃，b,cGR)的解集為*|3VxV

2皿L

4),則的取值范圍為由/，+8).

a+b

【考點】一元二次不等式及其應(yīng)用.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學運算.

【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系求出b=-7”,c=12a,且a<0,再利用基本不等式求H

a+b

的取值范圍.

【解答】解：關(guān)于x的不等式oAbx+OO(a,b,cGR)的解集為{x[3<x<4},

所以a<0,且3和4是關(guān)于x的方程a?+fer+c=0的兩實數(shù)根,

由根與系數(shù)的關(guān)系知，，

3X4=—

a

解得人=一7公c=12a.

所以￡+>=144a+5=_24。-->2//),_5._=4V5'

a+ba-7a6a千24)-6a

所以U2的取值范圍是［4旄，+8).

a+b

故答案為：［4泥，4-00).

【點評】本題考查了一元二次不等式的解集應(yīng)用問題，也考查了基本不等式的應(yīng)用問題,

是中檔題.

23.（2019秋?濰坊期中）在平面直角坐標系xOy中，對于點A（a,b）,若函數(shù)y=/（x）

滿足：Vx￡[a-1,?+l],都有yeg-1,b+\],則稱這個函數(shù)是點4的“界函數(shù)”.已知

點BCm,n）在函數(shù)y=」x2的圖象上，若函數(shù)y=」x2是點B的“界函數(shù)”，則〃，的

/2

取值范圍是「二

一L2

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象.

【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學運算.

【分析】根據(jù)點B（in,n）在函數(shù)y=—'x2的圖象上，從而得出，-1,m+\],都

有）E--+從而討論機：〃7+1<0時，得出函數(shù)y=—在上"-1，

22

m+1]上的值域為[卷6_1產(chǎn),-^(m+l)]c[Am2"1,-lm+i]（從而可得出

m的范圍；同理，討論-1〈機<1和杉1時，求出函數(shù)丫=的值域，讓該值域是

2x

2

集合[1m-l,-]m2+l]的子集，從而可得出，"的范圍?

2

【解答】解：:B（利，〃）在函數(shù)丫=3*2的圖象上，，片卷!^，

2

.,.VxG[z/z-1,/M+1],都有-ym+l]，

2

①777+1WO,即mW-1時，y=^x在[〃？-1,m+1]上單調(diào)遞增，.1

y€)2>總(m+1)2]’

-yCm-l)2〉4m—I

,,，解得m>,，又機W-1,...這種情況不合題意；

蔣向+1產(chǎn)《蔣m?+l"2

m，即-1V〃?<1時，由x&lm-1,m+1]可得y￡[-工(nrl)2,0]或

②.

mT<02

y€[-y(m+1)2?

)2>0]--ym2+l]且

[蔣(m+l)2,0]￡_ym2+ll,

蔣(m-1)2>-^-m2-l

解得總《同力

19

方m+1》0

③，w-120,即m>1時，y=-lx2在阿-1,W+1]上單調(diào)遞減，：

y€[—（m+l）2，）2],

[-^-（m+1）2?-^-（m-1）21--ym2+ll,

-y（m+l）2>-4-m2-l

.1；；,解得1r<上，又機》1，.?.這種情況不合題意，

方7m2+1

綜上得，，”的取值范圍是[4，1].

故答案為：[1，1].

L22J

【點評】本題考查了對“界函數(shù)”定義的理解，二次函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求

函數(shù)值域的方法，二次函數(shù)值域的求法，子集的定義，考查了計算和推理能力，屬于難

題.

三.解答題（共7小題）

2222

24.（2020秋?南京月考）已知a>I,b>\,M=-^—上~,N“一4^—?

a-lb-la-lb-l

（1）試比較M與N的大小，并證明；

（2）分別求M,N的最小值.

【考點】不等式比較大小.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式；數(shù)學運算.

【分析】（1）作差比較法即可得出MWM

（2）可得出M=a-lT，+b-l+~L+4,然后根據(jù)基本不等式即可得出M28,當且僅

a-lb-l

當a=b=2時取等號，而根據(jù)N2M,從而可得出例，N的最小值.

【解答】解：（1）MWN,

?a2b2b2a2=(a-b)2(a+b)

證明:

~(a-l)(b-l)

Va>l,/?>1,

：.a+b>0,a-l>0,b-l>0,Qa-b）2^0,

.?.,b）2,（a+240,??.MWN；

（a-1）（b-1）

（2）M=a-l」v+b-：L>T+4>8,當“=6=2時取等號,

a-1b-1

又根據(jù)（1）N?M,

N的最小值都是8.

【點評】本題考查了作差比較法的運用，基本不等式的應(yīng)用，考查了計算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

25.（2019秋?海淀區(qū)校級期中）已知心。為正實數(shù)，試比較_a_+_b_與F+F的大小?

VbVa

【考點】不等式比較大小.

【專題】不等式的解法及應(yīng)用.

【分析】化簡（名+夕）-（4+F）為，匹一瓜『,再由八〃為正

VbVaVab

實數(shù)可得4魚延?7-血）從而得出結(jié)論.

Vab

【解答】解：由于（％+塔）一心所亳/）+*《）=*室

__VbVa

=（a-b）（Va-Vb）

Vab

二（VaWb）（Va-Vb）2

Vab

再由“、b為正實數(shù)可得V7-h/b>0,Vab>?-（心-加產(chǎn)》。，可得

（4+7^）（右-?）*河,

Vab

?*--4^+^^^\/a+Vb>當且僅當時，取等號.

VbVa

【點評】本題主要考查用比較法證明不等式，式子的變形是解題的關(guān)鍵和難點，屬于基

礎(chǔ)題.

26.（2021?內(nèi)江模擬）已知a>0,b>0,4a+h=2ab.

⑴求a+b的最小值；

（2）若“+〃冽2x-l|+|3x+2|對滿足題中條件的a,b恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.

【考點】基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學運算.

【分析】（1）由已知利用乘1法，結(jié)合基本不等式即可直接求解；

（2）結(jié)合（1）中的最值，然后結(jié)合不等式恒成立與最值的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，結(jié)合零點分

段討論即可求解.

【解答】解：（1）因為a>0,b>Q,4a+b=2ab,

所以生丁=2，

ba

所以〃+/?=▲（a+b）（—4JL）=工（5+—（5+2、但■?全■）=2

2ab2ab2"Vab2

當且僅當且上且匡J=2,即。=3,b