初中中考好題難題

2012年初中中考數(shù)學(xué)難題

—.填空題(共2小題)

1.如圖，矩形紙片ABCD中，AB=、后，BC=V10.第一次將紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕與BD交于點(diǎn)

O|：OQ的中點(diǎn)為D1,第二次將紙片折疊使點(diǎn)B與點(diǎn)Di重合，折痕與BD交于點(diǎn)。2；設(shè)O2D1的中點(diǎn)為D2,第

三次將紙片折疊使點(diǎn)B與點(diǎn)D2重合，折痕與BD交于點(diǎn)03,…按上述方法折疊，第n次折疊后的折痕與BD交

于點(diǎn)On，則BO|=,BOn=

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，A(-3,0),B(0,1),形狀相同的拋物線Cn(n=l,2,3,4,...)的頂點(diǎn)

在直線AB上，其對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為2,3,5,8,13,…，根據(jù)上述規(guī)律，拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)

為;拋物線C8的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

二.解答題(共28小題)

3.已知：關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x+2-k=0(kNl).

(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)當(dāng)k取哪些整數(shù)時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根均為整數(shù).

4.已知：關(guān)于x的方程kx?+(2k-3)x+k-3=0.

(1)求證：方程總有實(shí)數(shù)根；

(2)當(dāng)k取哪些整數(shù)時(shí)，關(guān)于x的方程kx?+(2k-3)x+k-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根均為負(fù)整數(shù)？

5.在平面直角坐標(biāo)系中，將直線1：尸-衛(wèi)x-3x軸翻折，得到一條新直線與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,

42

將拋物線C|：—x2沿X軸平移，得到一條新拋物線C2與y軸交于點(diǎn)D,與直線AB交于點(diǎn)E、點(diǎn)F.

3

(1)求直線AB的解析式；

(2)若線段DF〃x軸，求拋物線C2的解析式；

(3)在(2)的條件下，若點(diǎn)F在y軸右側(cè)，過F作FH，x軸于點(diǎn)G,與直線1交于點(diǎn)H,一條直線m(m不過△AFH

的頂點(diǎn))與AF交于點(diǎn)M,與FH交于點(diǎn)N,如果直線m既平分△AFH的面積，又平分△AFH的周長(zhǎng)，求直線m

的解析式.

6.已知：關(guān)于x的一元二次方程-x?+(m+4)x-4m=0,其中0<m<4.

(1)求此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根(用含m的代數(shù)式表示)；

(2)設(shè)拋物線y=-x?+(m+4)x-4m與x軸交于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))，若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,-2),且

AD?BD=10,求拋物線的解析式；

(3)已知點(diǎn)E(a,yi),F(2a,y2)>G(3a,y3)都在(2)中的拋物線上，是否存在含有yi、y2、y3，且與a無

關(guān)的等式？如果存在，試寫出一個(gè)，并加以證明；如果不存在，說明理由.

7.點(diǎn)P為拋物線y=x2-2mx+n?(m為常數(shù)，m>0)上任一點(diǎn)，將拋物線繞頂點(diǎn)G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到的新圖

象與y軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方)，點(diǎn)Q為點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn).

(1)當(dāng)m=2,點(diǎn)P橫坐標(biāo)為4時(shí)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)設(shè)點(diǎn)Q(a,b),用含m、b的代數(shù)式表示a；

(3)如圖，點(diǎn)Q在第一象限內(nèi)，點(diǎn)D在x軸的正半軸上，點(diǎn)C為OD的中點(diǎn)，QO平分NAQC,AQ=2QC,當(dāng)QD=m

時(shí)，求m的值.

8.關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+c=0有實(shí)數(shù)根，且c為正整數(shù).

(1)求c的值；

(2)若此方程的兩根均為整數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2-4x+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)(A在B左

側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)P為對(duì)稱軸上一點(diǎn)，且四邊形OBPC為直角梯形，求PC的長(zhǎng)；

(3)將(2)中得到的拋物線沿水平方向平移，設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,n),當(dāng)拋物線與(2)中的直角梯形OBPC

只有兩個(gè)交點(diǎn)，且一個(gè)交點(diǎn)在PC邊上時(shí)，直接寫出m的取值范圍.

9.如圖，己知AD為△ABC的角平分線，EF為AD的垂直平分線.求證：FD2=FB?FC.

10.如圖，AD是△ABC的角平分線，EF是AD的垂直平分線.

求證：(1)ZEAD=ZEDA.

(2)DF〃AC.

(3)ZEAC=ZB.

11.已知：關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2+(m-2)x-1=0(m為實(shí)數(shù))

(1)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍；

(2)在(1)的條件下，求證：無論m取何值，拋物線y=(m-1)x2+(m-2)x-1總過x軸上的一個(gè)固定點(diǎn)；

(3)關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2+(m-2)x-1=0有兩個(gè)不相等的整數(shù)根，把拋物線y=(m-1)x2+(m

-2)x-1向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，求平移后的解析式.

12.已知△ABC,以AC為邊在△ABC外作等腰△ACD,其中AC=AD.

(1)如圖1,若NDAC=2/ABC,AC=BC,四邊形ABCD是平行四邊形，貝|/ABC=；

(2)如圖2,若NABC=30。，ZiACD是等邊三角形，AB=3,BC=4.求BD的長(zhǎng)；

(3)如圖3,若NACD為銳角，作AHJ_BC于H.當(dāng)BD2=4AH?+BC2時(shí)，NDAC=2NABC是否成立？若不成立,

請(qǐng)說明你的理由；若成立，證明你的結(jié)論.

13.已知關(guān)于x的方程mx、(3-2m)x+(m-3)=0,其中m>0.

(1)求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

Xo-1

(2)設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為XI，X2,其中X1>X2,若產(chǎn)二一，求y與m的函數(shù)關(guān)系式;

3xj

(3)在(2)的條件下，請(qǐng)根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出使不等式y(tǒng)v-m成立的m的取值范圍.

14.已知：關(guān)于x的一元二次方程x?+(n-2m)x+m?-mn=O①

(1)求證：方程①有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)若m-n-1=0,求證：方程①有一個(gè)實(shí)數(shù)根為1;

(3)在(2)的條件下，設(shè)方程①的另一個(gè)根為a.當(dāng)x=2時(shí)，關(guān)于m的函數(shù)yi=nx+am與y2=x?+a(n-2m)x+m2

-mn的圖象交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，平行于y軸的直線L與y1、y2的圖象分別交于點(diǎn)C、D.當(dāng)L沿

AB由點(diǎn)A平移到點(diǎn)B時(shí)，求線段CD的最大值.

w

15.如圖，已知拋物線y=(3-m)x2+2(m-3)x+4m-m?的頂點(diǎn)A在雙曲線y=H上，直線y=mx+b經(jīng)過點(diǎn)A,

x

與y軸交于點(diǎn)B,與x軸交于點(diǎn)C.

(1)確定直線AB的解析式；

(2)將直線AB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，與x軸交于點(diǎn)D,與y軸交于點(diǎn)E,求sin/BDE的值；

(3)過點(diǎn)B作x軸的平行線與雙曲線交于點(diǎn)G,點(diǎn)M在直線BG上，且到拋物線的對(duì)稱軸的距離為6.設(shè)點(diǎn)N在

直線BG上，請(qǐng)直接寫出使得NAMB+NANB=45。的點(diǎn)N的坐標(biāo).

16.如圖，AB為的直徑，AB=4,點(diǎn)C在。O上，CF±OC,且CF=BF.

(1)證明BF是。0的切線；

(2)設(shè)AC與BF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,若MC=6,求/MCF的大小.

17.如圖1,已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為1,D、E、F分別是AB、BC、AC邊上的點(diǎn)(均不與點(diǎn)A、B、C重合)，

記^DEF的周長(zhǎng)為p.

(1)若D、E、F分別是AB、BC、AC邊上的中點(diǎn)，則p=；

(2)若D、E、F分別是AB、BC、AC邊上任意點(diǎn)，則p的取值范圍是.

小亮和小明對(duì)第(2)問中的最小值進(jìn)行了討論，小亮先提出了自己的想法：將△ABC以AC邊為軸翻折一次得

AAB1C,再將△AB|C以BiC為軸翻折一次得△A1B|C,如圖2所示.則由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，DF+FEi+EiD2=p,

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可得廬DD2.老師聽了后說："你的想法很好，但DD2的長(zhǎng)度會(huì)因點(diǎn)D的位置變化而變化,

所以還得不出我們想要的結(jié)果."小明接過老師的話說："那我們繼續(xù)再翻折3次就可以了請(qǐng)參考他們的想法，寫

出你的答案.

圖1圖2

18.已知關(guān)于x的方程x?-(m-3)x+m-4=0.

(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)若方程有一個(gè)根大于4且小于8,求m的取值范圍；

(3)設(shè)拋物線y=x2-(m-3)x+m-4與y軸交于點(diǎn)M,若拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱點(diǎn)恰

好是點(diǎn)M,求m的值.

孫

o~~iX

19.在RSABC中，ZACB=90°,tanZBAC=l.點(diǎn)D在邊AC上(不與A,C重合)，連接BD,F為BD中點(diǎn).

2

(1)若過點(diǎn)D作DE_LAB于E,連接CF、EF、CE,如圖1.設(shè)CF=kEF,貝ijk=；

(2)若將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得D、E、B三點(diǎn)共線，點(diǎn)F仍為BD中點(diǎn)，如圖2所示.求證：BE-

DE=2CF；

(3)若BC=6,點(diǎn)D在邊AC的三等分點(diǎn)處，將線段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)F始終為BD中點(diǎn)，求線段CF長(zhǎng)度的最

20.我們給出如下定義：如果四邊形中一對(duì)頂點(diǎn)到另一對(duì)頂點(diǎn)所連對(duì)角線的距離相等，則把這對(duì)頂點(diǎn)叫做這個(gè)四邊

形的一對(duì)等高點(diǎn).例如：如圖1,平行四邊形ABCD中，可證點(diǎn)A、C到BD的距離相等，所以點(diǎn)A、C是平行四

邊形ABCD的一對(duì)等高點(diǎn)，同理可知點(diǎn)B、D也是平行四邊形ABCD的一對(duì)等高點(diǎn).

(1)如圖2,已知平行四邊形ABCD,請(qǐng)你在圖2中畫出一個(gè)只有一對(duì)等高點(diǎn)的四邊形ABCE(要求：畫出必要的

輔助線)；

(2)已知P是四邊形ABCD對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)(不與B、D點(diǎn)重合)，請(qǐng)分別探究圖3、圖4中Si，S2，S3,

S4四者之間的等量關(guān)系(Si，S2,S3，S4分別表示AABP,△CBP,△CDP,AADP的面積)：

①如圖3,當(dāng)四邊形ABCD只有一對(duì)等高點(diǎn)A、C時(shí)，你得到的一個(gè)結(jié)論是；

②如圖4,當(dāng)四邊形ABCD沒有等高點(diǎn)時(shí)，你得到的一個(gè)結(jié)論是_____________.

21.已知：關(guān)于x的一元一次方程kx=x+2①的根為正實(shí)數(shù)，二次函數(shù)y=ax?-bx+kc(exO)的圖象與x軸一個(gè)交

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.

(1)若方程①的根為正整數(shù)，求整數(shù)k的值；

22

(2)求代數(shù)式型22___b+ab的值;

akc

(3)求證：關(guān)于x的一元二次方程ax2-bx+c=O②必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

22.已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(0,4)、B(1,4)、C(3,2),與x軸正半軸交于點(diǎn)D.

(1)求此拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)在x軸上求一點(diǎn)E,使得ABCE是以BC為底邊的等腰三角形；

(3)在(2)的條件下，過線段ED上動(dòng)點(diǎn)P作直線PF〃BC,與BE、CE分別交于點(diǎn)F、G,將△EFG沿FG翻折

得到AEFG.設(shè)P(x,0),AE，F(xiàn)G與四邊形FGCB重疊部分的面積為S,求S與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取

值范圍.

23.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象分別經(jīng)過點(diǎn)(0,3),(3,0),(-2,-5).求：

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

(2)求這個(gè)二次函數(shù)的最值；

(3)若設(shè)這個(gè)二次函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)C,D(點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè))，且點(diǎn)A是該圖象的頂點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)谶@個(gè)二次函

數(shù)的對(duì)稱軸上確定一點(diǎn)B,使AACB是等腰三角形，求出點(diǎn)B的坐標(biāo).

24.根據(jù)所給的圖形解答下列問題：

(1)如圖1,△ABC中，AB=AC,ZBAC=90",AD_LBC于D,把△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，并拼接成一個(gè)與△ABC

面積相等的正方形，請(qǐng)你在圖中完成這個(gè)作圖；

(2)如圖2,△ABC中，AB=AC,NBAC=90。，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種與(1)不同的方法，將這個(gè)三角形拆分并拼接成

一個(gè)與其面積相等的正方形，畫出利用這個(gè)三角形得到的正方形；

(3)設(shè)計(jì)一種方法把圖3中的矩形ABCD拆分并拼接為一個(gè)與其面積相等的正方形，請(qǐng)你依據(jù)此矩形畫出正形，

并根據(jù)你所畫的圖形，證明正方形面積等于矩形ABCD的面積的結(jié)論.

25.例.如圖①，平面直角坐標(biāo)系xOy中有點(diǎn)B(2,3)和C(5,4),求△OBC的面積.

解：過點(diǎn)B作BDLx軸于D,過點(diǎn)C作CELx軸于E.依題意，可得

S&OBC=S抑形BDEC+SAOBD-SAOCE

=-1(BD+CE)(OE-OD)+如-^OE-CE

=L(3+4)x(5-2)+i<2x3-1x5x4=35

222

.,.△OBC的面積為3.5.

(1)如圖②，若B(xi，yP、C(X2,y2)均為第一象限的點(diǎn)，0、B、C三點(diǎn)不在同一條直線上.仿照例題的解

法，求△OBC的面積(用含xi、X2、yry2的代數(shù)式表示)；

(2)如圖③，若三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,5),B(7,7),C(9,1),求四邊形OABC的面積.

26.閱讀：

①按照某種規(guī)律移動(dòng)一個(gè)平面圖形的所有點(diǎn)，得到一個(gè)新圖形稱為原圖形的像.如果原圖形每一個(gè)點(diǎn)只對(duì)應(yīng)像的一

個(gè)點(diǎn)，且像的每一個(gè)點(diǎn)也只對(duì)應(yīng)原圖形的一個(gè)點(diǎn)，這樣的運(yùn)動(dòng)稱為幾何變換.特別地，當(dāng)新圖形與原圖形的形狀大

小都不改變時(shí)，我們稱這樣的幾何變換為正交變換.

問題1：我們學(xué)習(xí)過的平移、、變換都是正交變換.

②如果一個(gè)圖形繞著一個(gè)點(diǎn)(旋轉(zhuǎn)中心)旋轉(zhuǎn)n。(0<n<360)后，像又回到原圖形占據(jù)的空間(重合)，則稱該

變換為該圖形的n度旋轉(zhuǎn)變換.特別地，具有180。旋轉(zhuǎn)變換的圖形稱為中心對(duì)稱圖形.

例如，圖A中奔馳車標(biāo)示意圖具有120。，240。，360。的旋轉(zhuǎn)變換.

圖B的幾何圖形具有180。的旋轉(zhuǎn)變換，所以它是中心對(duì)稱圖形.

問題2：圖C和圖D中的兩個(gè)幾何圖形具有n度旋轉(zhuǎn)變換，請(qǐng)分別寫出n的最小值.

答：(圖C)；答：(圖D).

問題3：如果將圖C和圖D的旋轉(zhuǎn)中心重合，組合成一個(gè)新的平面圖形，它具有n度旋轉(zhuǎn)變換，則n的最小值為一

問題4：請(qǐng)你在圖E中畫出一個(gè)具有180。旋轉(zhuǎn)變換的正多邊形.(要求以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，頂點(diǎn)在直線與圓的交點(diǎn)上)

27.已知：點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)(與A、B兩點(diǎn)不重合).在同一平面內(nèi)，把線段AP、BP分別折成4CDP、△EFP,

其中NCDP=NEFP=90°,且D、P、F三點(diǎn)共線，如圖所示.

(1)若ACDP、AEFP均為等腰三角形，且DF=2,求AB的長(zhǎng)；

(2)若AB=12,tan/C=9,且以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形和以E、F、P為頂點(diǎn)的三角形相似，求四邊形CDFE

3

的面積的最小值.

____B

DPF

28.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線y=-亞x+漢蕊x軸于點(diǎn)C,交y軸于點(diǎn)A.等腰直角三角板OBD的

33

頂點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，如圖A所示.把三角板繞著點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為a((r<a<18(T),使B點(diǎn)恰好落

在AC上的B，處，如圖B所示.

(1)求圖A中的點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)求a的值；

(3)若二次函數(shù)y=mx2+3x的圖象經(jīng)過(1)中的點(diǎn)B,判斷點(diǎn)B，是否在這條拋物線上，并說明理由.

29.已知：如圖，AC是。0的直徑，AB是弦，MN是過點(diǎn)A的直線，AB等于半徑長(zhǎng).

(1)若/BAC=2/BAN,求證：MN是。0的切線.

(2)在(1)成立的條件下，當(dāng)點(diǎn)E是定的中點(diǎn)時(shí)，在AN上截取AD=AB,連接BD、BE、DE,求證：ABED

是等邊三角形.

30.在一個(gè)夾角為120。的墻角放置了一個(gè)圓形的容器，俯視圖如圖，在俯視圖中圓與兩邊的墻分別切于B、C兩點(diǎn).如

果用帶刻度的直尺測(cè)量圓形容器的直徑，發(fā)現(xiàn)直尺的長(zhǎng)度不夠.

(1)寫出此圖中相等的線段.

(2)請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種可以通過計(jì)算求出直徑的測(cè)量方法.(寫出主要解題過程)

B

C

2012年初中難題數(shù)學(xué)組卷

參考答案與試題解析

—.填空題(共2小題)

1.如圖，矩形紙片ABCD中，AB=&，BC=V10-第一次將紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕與BD交于點(diǎn)

O1：OQ的中點(diǎn)為Di，第二次將紙片折疊使點(diǎn)B與點(diǎn)Di重合，折痕與BD交于點(diǎn)。2；設(shè)O2D1的中點(diǎn)為D2,第

三次將紙片折疊使點(diǎn)B與點(diǎn)D2重合，折痕與BD交于點(diǎn)03,?…按上述方法折疊，第n次折疊后的折痕與BD交

于點(diǎn)On，則BOi=2

考點(diǎn):翻折變換(折疊問題)；矩形的性質(zhì)。

專題:規(guī)律型。

分析:(1)結(jié)合圖形和已知條件，可以推出BD的長(zhǎng)度，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì),即可得出Oi點(diǎn)為BD的中點(diǎn)，很容

易就可推出0田=2；

(2)依據(jù)第二次將紙片折疊使點(diǎn)B與點(diǎn)Di重合，折痕與BD交于點(diǎn)。2，OQ的中點(diǎn)為Di，可以推出

B01

4-2-1n-1

O2DI=BO2=----LA-----；以此類推，即可推出：BOn=^——

22-32n

222一3

解答:解：?.?矩形紙片ABCD中，AB=V6，BC=VIO，

；.BD=4,

(1)當(dāng)n=l時(shí)，

:第一次將紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕與BD交于點(diǎn)Oi，

AOiD=OiB=2,

.?.B0|=2=1；

22X1-3

(2)當(dāng)n=2時(shí)，

?.,第二次將紙片折疊使點(diǎn)B與點(diǎn)Di重合，折痕與BD交于點(diǎn)。2,OiD的中點(diǎn)為Di，

B0,

4------2一1

.".OODI=BO2=------L叁------

'2222X2-3

?.?設(shè)O2D1的中點(diǎn)為D2,第三次將紙片折疊使點(diǎn)B與點(diǎn)D2重合，折痕與BD交于點(diǎn)03,

3-吧_

O3D2=O3B=__^-1L2_

Qn-1

???以此類推，當(dāng)n次折疊后，BOn=^-—.

22n-3

點(diǎn)評(píng)：本題考查圖形的翻折變換，解直角三角形的有關(guān)知識(shí)，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸

對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)推出結(jié)論

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，A(-3,0),B(0,1),形狀相同的拋物線Cn(n=l,2,3,4,...)的頂點(diǎn)

在直線AB上，其對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為2,3,5,8,13,…，根據(jù)上述規(guī)律，拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)

為(3,2);拋物線C8的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(55,留).

3—

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)。

專題：規(guī)律型。

分析：根據(jù)A(-3,0),B(0,1)的坐標(biāo)求直線AB的解析式為y=^+l,因?yàn)轫旤c(diǎn)C2的在直線AB上，C?坐

標(biāo)可求；根據(jù)橫坐標(biāo)的變化規(guī)律可知，C8的橫坐標(biāo)為55,代入直線AB的解析式y(tǒng):1x+l中，可求縱坐標(biāo).

解答：解：設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b

則[-3k+b=0

[b=l

解得k=工，b=l

3

直線AB的解析式為y=L+l

3

?..拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)為3,且頂點(diǎn)在直線AB上

拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)

?..對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為2,3,5,8,13,...

每個(gè)數(shù)都是前兩個(gè)數(shù)的和

拋物線C8的頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)為55

拋物線C8的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(55,留).

3

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，還考查了點(diǎn)與函數(shù)關(guān)系式的關(guān)系，考查了學(xué)生的分析歸納能

力.

二.解答題(共28小題)

3.已知：關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x+2-k=0(k21).

(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)當(dāng)k取哪些整數(shù)時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根均為整數(shù).

考點(diǎn)：根的判別式；解一元二次方程-公式法。

專題：計(jì)算題；證明題。

分析：（1）先由kHO,確定此方程為一元二次方程.要證明方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，只有證明ANO,通過代數(shù)式變

形即可證明；

（2）先利用求根公式求出兩根，X|=1,只要2被k整除，并且有k21的整數(shù)，即可得到k

X2=l-看

的值.

解答：證明:(1)Vk>l,

.,.kxO,此方程為一元二次方程，

A=4-4k(2-k)=4-8k+4k2=4(k-1)2

而4(k-1)2>0,

.?.方程恒有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

⑵解：方程的根為x「土耳…」一山廠。2

一1±J(k1)/-1±(k-1)

Vk>l,

Vk>l,若k為整數(shù)，

當(dāng)k=l或k=2時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根均為整數(shù).

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（awO,a,b,c為常數(shù)）根的判別式△=b?-4ac.當(dāng)△>0,方程有兩

個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=（），方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△<（）,方程沒有實(shí)數(shù)根.同時(shí)考查了解方程的

方法和整數(shù)的整除性質(zhì).

4.已知：關(guān)于x的方程kx2+（2k-3）x+k-3=0.

（1）求證：方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）當(dāng)k取哪些整數(shù)時(shí)，關(guān)于x的方程kx?+（2k-3）x+k-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根均為負(fù)整數(shù)？

考點(diǎn)：根的判別式；解一元二次方程-公式法。

專題：證明題；分類討論。

分析：（1）分兩種情況討論，當(dāng)k=0時(shí)為一元一次方程，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)kwO時(shí)，利用根的判別式計(jì)算出

△>0,得到方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）先判斷出方程為一元二次方程，然后利用求根公式求出方程的兩個(gè)根，再根據(jù)方程兩根均為負(fù)數(shù)得出

k的取值范圍，從而求出k的值.

解答：解：（1）分類討論：

若k=0,則此方程為一元一次方程，即-3x-3=0,

；.x=-1有根，（1分）

若kwO,則此方程為一元二次方程，

（2k-3）2-4k（k-3）=9>0,（2分）

，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，（3分）

綜上所述，方程總有實(shí)數(shù)根.

（2）;?方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

.?.方程為一元二次方程.

利用求根公式⑵±（4分）

得X產(chǎn)爰X2……

???方程有兩個(gè)負(fù)整數(shù)根，

-1是負(fù)整數(shù),即k是3的約數(shù)

k=+1,±3

但k=l、3時(shí)根不是負(fù)整數(shù)，

，k=-1、-3.（7分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元二次方程根的判別式，要明確：（1）△>00方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=（）=

方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△VOQ方程沒有實(shí)數(shù)根；同時(shí)要加以靈活運(yùn)用.

5.在平面直角坐標(biāo)系中，將直線1：尸-衛(wèi)x-衛(wèi)沿x軸翻折，得到一條新直線與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,

42

將拋物線C|：疔2*2沿x軸平移，得到一條新拋物線C2與y軸交于點(diǎn)D,與直線AB交于點(diǎn)E、點(diǎn)F.

3

（1）求直線AB的解析式；

（2）若線段DF〃x軸，求拋物線C2的解析式；

（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)F在y軸右側(cè)，過F作FH^x軸于點(diǎn)G,與直線1交于點(diǎn)H,一條直線m（m不過△AFH

的頂點(diǎn)）與AF交于點(diǎn)M,與FH交于點(diǎn)N,如果直線m既平分△AFH的面積，又平分△AFH的周長(zhǎng)，求直線m

的解析式.

J'八

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；三角形的面積；相似三角形的判定與性質(zhì)。

專題：綜合題。

分析：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,將直線尸-ax-四x軸、y軸交點(diǎn)求出，沿x軸翻折，則直線

42

尸-Wx-2直線AB交同一A點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)（0,-衛(wèi)）與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，求出K和b；

7422

（2）設(shè)平移后的拋物線C2的頂點(diǎn)為P（h,0）,則拋物線C2解析式為：尸2（x-h）2,求出D點(diǎn)坐標(biāo),

3

由DF〃x軸，又點(diǎn)F在直線AB上，解得h的值，就能拋物線C2的解析式；

（3）過M作MT±FH于T,可證三角形相似，得FT：TM：FM=FG：GA：FA,設(shè)FT=3k,TM=4k,FM=5k,

求得FN,又由S△冊(cè)JF^S△幽，求得k，故能求得直線m的解析式.

解答：解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,

將直線廠-Wx-'與x軸、y軸交點(diǎn)分別為（-2,0）,（0,-苣），

422

沿X軸翻折，則直線尸-衛(wèi)X-2直線AB與x軸交于同一點(diǎn)（-2,0）,

丫42

AA（-2,0）,

與y軸的交點(diǎn)（0，->!）與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱,

AB(0,3,

2

{-2k+b=0

解得

直線AB的解析式為浮乂二；

V4的

AD(0,2卜2),

3

DF〃x軸，

.?.點(diǎn)F(2h,2,2),

3

又點(diǎn)F在直線AB上，

??.*jh?中(2h)+-|>

解得hi=3,h2=—

...拋物線C2的解析式為尸2(x-3)2/x2-4x+6或尸2x2+xJ；

3338

(3)過M作MT_LFH于T,MP交FH于N

；.RSMTFSRSAGF.

AFT：TM：FM=FG：GA：FA=3：4：5,

設(shè)FT=3k,TM=4k,FM=5k.

貝ljFN=,(AH+HF+AF)-FM=16-5k,

.1(16-5k)4k

■■^AMNFRFN?MT二g

7S△四寺H'AG*12X8=48,

又SAW^^AFH-

解得或k=2(舍去).

；.FM=6,FT=?,MT=_^,GN=4,丁6=絲

555

AM(.§,烏、N(6,-4).

55

直線MN的解析式為：尸-&x+4

3

點(diǎn)評(píng):本題二次函數(shù)的綜合題，涉及的知識(shí)有求直線的解析式和拋物線關(guān)系式，三角形相似等.

6.已知：關(guān)于x的一元二次方程-x?+(m+4)x-4m=0,其中0<mV4.

(1)求此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根(用含m的代數(shù)式表示)；

(2)設(shè)拋物線y=-x?+(m+4)x-4m與x軸交于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))，若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,-2),且

AD?BD=10,求拋物線的解析式；

(3)已知點(diǎn)E(a,yi)>F(2a,y2)>G(3a,y3)都在(2)中的拋物線上，是否存在含有yi、y2>y3.且與a無

關(guān)的等式？如果存在，試寫出一個(gè)，并加以證明；如果不存在，說明理由.

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。

專題：開放型。

分析：(1)在△20的前提下，用求根公式進(jìn)行計(jì)算即可.

(2)根據(jù)(1)的結(jié)果可得出A、B的坐標(biāo)，然后求出AD、BD的長(zhǎng)，代入AD?DB=10中，即可求得m

的值，也就得出了拋物線的解析式.

(2)分別將E、F、G的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，可得出含a的力、y2,y3的表達(dá)式，進(jìn)而判斷出力、

y2、y3的等量關(guān)系.

解答：解：(1)將原方程整理，得X?-(m+4)x+4m=0,

△=b2-4ac=[-(m+4)]2-4(4m)=m2-8m+16=(m-4)2>0

.(in+4)±(in-4)

.,.x=m或x=4；(2分)

(2)由(1)知，拋物線y=-x?+bx+c與x軸的交點(diǎn)分別為(m,0)、(4,0),

?A在B的左側(cè),0<m<4,

AA(m,0),B(4,0).

則AD2=OA2+OD2=m2+22=m2+4,BD2=OB2+OD2=42+22=20；

VAD*BD=10,

/.AD2*BD2=100；

A20(m2+4)=100；(3分)

解得m=±l；(4分)

V0<m<4,

/.m=l

/.b=m+l=5,c=-4m=-4；

拋物線的解析式為y=-x?+5x-4；(5分)

(3)答：存在含有yi、y2、V3,且與a無關(guān)的等式，

如：Y3=-3(yi-y2)-4(答案不唯一)；(6分)

證明：由題意可得yi=-a?+5a-4,y2=-4a2+10a-4,y3=-9a2+15a-4；

?.,左邊二y3=~9a2+15a-4；

右邊=-3(yi-y2)-4=-3[(-a2+5a-4)-(-4a2+10a-4)]-4

=-9a+15a-4；

J左邊=右邊；

.,.y3=-3(yi-y2)-4成立.(7分)

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元二次方程的解法、二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的求法、二次函數(shù)解析式的確定等知識(shí).

7.點(diǎn)P為拋物線y=x2-2mx+m2(m為常數(shù)，m>0)上任一點(diǎn)，將拋物線繞頂點(diǎn)G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到的新圖

象與y軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方)，點(diǎn)Q為點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn).

(1)當(dāng)m=2,點(diǎn)P橫坐標(biāo)為4時(shí)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)設(shè)點(diǎn)Q(a,b),用含m、b的代數(shù)式表示a；

(3)如圖，點(diǎn)Q在第一象限內(nèi)，點(diǎn)D在x軸的正半軸上，點(diǎn)C為OD的中點(diǎn)，QO平分/AQC,AQ=2QC,當(dāng)QD=m

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。

專題：綜合題。

分析：（1）首先根據(jù)m的值確定出原拋物線的解析式，進(jìn)而可求得P、G的坐標(biāo)，過P作PE，x軸于E,過Q

作QF_Lx軸于F,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：△GQFZZ\PGE,則QF=GE、PE=GF,可據(jù)此求得點(diǎn)Q的坐標(biāo).

（2）已知了Q點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到QF、FG的長(zhǎng)，仿照（1）的方法可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后代入原拋物線

的解析式中，可求得a、b、m的關(guān)系式.

（3）延長(zhǎng)QC到E,使得QC=CE,那么AQ=QE；由于OD、QE互相平分，即四邊形OEDQ是平行四邊

形（或證△QCD^^ECO）,那么QD=OE=m,而AQ=QE,且QO平分NAQC,易證得△AQO絲△EQO,

則OA=OE=m,即A點(diǎn)坐標(biāo)為（0,m）,然后將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入（2）的關(guān)系式中，即可求得m的值.

解答：解：（1）當(dāng)m=2時(shí)，y=（x-2）

則G（2,0）,

?..點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4,且P在拋物線上，

.?.將x=4代入拋物線解析式得：y=（4-2）2=4,

；.P（4,4）,（1分）

如圖，連接QG、PG,過點(diǎn)Q作QFLx軸于E過點(diǎn)P作PELx軸于E,

依題意，可得△GQF^ZkPGE；

則FQ=EG=2,FG=EP=4,

；.FO=2.

AQ（-2,2）.（2分）

(2)已知Q(a,b),則GE=QF=b,FG=m-a；

由(1)知：PE=FG=m-a,GE=QF=a,即P(m+b,m-a),

代入原拋物線的解析式中，得：m-a=(m+b)2-2m(m+b)+m2

m-a=m2+b2+2mb-2m2-2mb+m2

2

a=m-bu,

故用含m,b的代數(shù)式表示a：a=rn-t)2.(4分)

(3)如圖，延長(zhǎng)QC到點(diǎn)E,使CE二CQ,連接OE；

???C為OD中點(diǎn)，

AOC=CD,

VZECO=ZQCD,

AAECO^AQCD,

/.OE=DQ=m；(5分)

VAQ=2QC,

???AQ=QE,

???QO平分NAQC,

AZ1=Z2,

.,.△AQO^AEQO,(6分)

AO=EO=m,

???A（0,m）,（7分）

〈A（0,m）在新的函數(shù)圖象上，

?，?0=m-m2

.*.mi=Lm2=0（舍）,

m=l.（8分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)意義等知識(shí)，難度較大.

8.關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+c=0有實(shí)數(shù)根，且c為正整數(shù).

（1）求c的值；

（2）若此方程的兩根均為整數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2-4x+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B左

側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)P為對(duì)稱軸上一點(diǎn)，且四邊形OBPC為直角梯形，求PC的長(zhǎng)；

（3）將（2）中得到的拋物線沿水平方向平移，設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m,n）,當(dāng)拋物線與（2）中的直角梯形OBPC

只有兩個(gè)交點(diǎn)，且一個(gè)交點(diǎn)在PC邊上時(shí)，直接寫出m的取值范圍.

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。

專題：綜合題。

分析：（1）若關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，那么根的判別式必大于等于0,可據(jù)此求出c的取值范圍，由于

c為正整數(shù)，即可求出符合條件的c值.

（2）首先根據(jù)方程有兩個(gè)整數(shù)根以及拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，確定c的值，從而得到拋物線的解

析式和對(duì)稱軸方程；由于四邊形OBPC是直角梯形，且CP〃OB,P在拋物線的對(duì)稱軸上，那么PC的長(zhǎng)正

好與拋物線對(duì)稱軸的值相同，由此得解.

（3）首先將（2）所得拋物線的解析式化為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，即可得到此時(shí)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

①拋物線向左平移，可先設(shè)出平移后拋物線的解析式；當(dāng)點(diǎn)P位于拋物線對(duì)稱軸右側(cè)的函數(shù)圖象上時(shí)，可

將點(diǎn)P坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得平移的距離；當(dāng)點(diǎn)O位于拋物線對(duì)稱軸右側(cè)的函數(shù)圖象上時(shí),

將點(diǎn)O的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，同樣能求出此時(shí)平移的距離；根據(jù)上面兩種情況所得的m值，即可

得到m的取值范圍.

②拋物線向右平移，方法同①.

解答：解：（1）；關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+c=0有實(shí)數(shù)根，

.,.△=16-4c>0,Ac<4.（1分）

又???<;為正整數(shù)，，c=l,2,3,4.（2分）

（2）二?方程兩根均為整數(shù)，，c=3,4；（3分）

又?..拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，，c=3；

拋物線的解析式為y=x?-4x+3；（4分）

拋物線的對(duì)稱軸為x=2.

?..四邊形OBPC為直角梯形，且NCOB=90。，

...PC〃BO,：P點(diǎn)在對(duì)稱軸上，，PC=2.（5分）

（3）由（2）知：y=x2-4x+3=（x-2）2-1：

①當(dāng)拋物線向左平移時(shí)，設(shè)平移后的拋物線解析式為：y=（x-2+k）2-1；

易知P（2,3）,當(dāng)拋物線對(duì)稱軸右側(cè)的函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)P時(shí)，則有：

（2-2+k）2-1=3,

解得k=2（負(fù)值舍去）；

即y=x2-1,此時(shí)m=0；

當(dāng)拋物線對(duì)稱軸右側(cè)的函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)O時(shí)，則有：

（O-2+k）2-1=0,

解得k=l（舍去），k=3；

即y=（x-1）2-1,此時(shí)m=-1；

故當(dāng)拋物線向作平移時(shí)，-2Vm40（或-ISmSO）.

②當(dāng)拋物線向右平移時(shí)，同①可求得2<m"；

綜上所述，-2<mS0或2Vms4.（7分）（寫對(duì)一個(gè)給1分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了根的判別式、直角梯形的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定以及函數(shù)圖象的平移等知識(shí).在（3）題

中，拋物線向左或向右平移都有符合條件的m值，因此需要分類討論，以免漏解.

9.如圖，已知AD為AABC的角平分線，EF為AD的垂直平分線.求證：FD2=FB?FC.

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)。

專題：證明題。

分析：連AF,則DF=AF,再由△ACFS/^BAF,對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求證.

解答：證明：連接AF,

「AD是角平分線，

，ZBAD=ZCAD,

又EF為AD的垂直平分線，，AF=FD,ZDAF=ZADF,

ZDAC+ZCAF=ZB+ZBAD,

.,.ZCAF=ZB,

VZAFC=ZAFC,

.'.△ACF^ABAF,即里空

AFBF

；.AF2=CF?BF,

即FD2=CF?BF.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)以及垂直平分線的性質(zhì)問題，應(yīng)熟練掌握.

10.如圖，AD是△ABC的角平分線，EF是AD的垂直平分線.

求證：（1）ZEAD=ZEDA.

（2）DF〃AC.

（3）ZEAC=ZB.

考點(diǎn)：線段垂直平分線的性質(zhì)。

專題：證明題。

分析：(1)根據(jù)垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得到AE=DE,再根據(jù)等角對(duì)等邊可得到

ZEAD=ZEDA；

(2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)證明AF=DF,進(jìn)而得到/BAD=/ADF,再利用角平分線的性質(zhì)可得到

ZBAD=ZCAD,禾IJ用等量代換可得NADF=NCAD,再根據(jù)平行線的判定即可得到DF〃AC；

(3)根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系可得到結(jié)論.

解答：證明：(1)；EF是AD的垂直平分線，

；.AE=DE,

ZEAD=ZEDA；

(2)；EF是AD