人教A版普通高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章第6節(jié)離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征課件

第10章計數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布第六節(jié)離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征·考試要求·1．了解離散型隨機(jī)變量的概念，理解離散型隨機(jī)變量的分布列．2．理解并會求離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征．知識點一隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)1．判斷下列說法的正誤，正確的打“√”，錯誤的打“×”．(1)在離散型隨機(jī)變量的概率分布列中，各個概率之和可以小于1. (

)(2)若X是隨機(jī)變量，則Y＝aX＋b(a，b為常數(shù))也是隨機(jī)變量．

(

)(3)如果隨機(jī)變量X的分布列由下表給出，則它服從兩點分布．

(

)必備知識落實“四基”X25P0.30.7××√2．甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，則{ξ＝3}表示(

)A．甲贏三局B．甲贏一局輸兩局C．甲、乙平局二次D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次D

解析：因為甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，故{ξ＝3}表示兩種情況，即甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次．√

X－101P0.51－2qq21．隨機(jī)變量(1)隨機(jī)變量：一般地，對于隨機(jī)試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω，都有______的實數(shù)X(ω)與之對應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量．(2)離散型隨機(jī)變量：可能取值為________或可以__________的隨機(jī)變量，我們稱為離散型隨機(jī)變量．(3)字母表示：通常用大寫英文字母表示隨機(jī)變量；用小寫英文字母表示隨機(jī)變量的取值．唯一有限個一一列舉注意點：離散型隨機(jī)變量X的每一個可能取值為實數(shù)，其實質(zhì)代表的是“事件”，即事件是用一個反映結(jié)果的實數(shù)表示的．2．離散型隨機(jī)變量的分布列(1)定義：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n為X的概率分布列，簡稱分布列．(2)表示方法：①表格；②概率分布圖．(3)性質(zhì)：①pi____0，i＝1，2，3，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝___．≥13．兩點分布：X的分布列如下表所示．稱X服從兩點分布或0－1分布．X01P1－pp

X－101P2．籃球運動員在比賽中每次罰球得分的規(guī)則：命中得1分，不中得0分．已知某籃球運動員罰球命中的概率為0.9，設(shè)其罰球一次的得分為X，則X的方差D(X)＝________.0.09

解析：由題意知，隨機(jī)變量X的可能取值為0，1.因為P(X＝1)＝0.9，P(X＝0)＝1－0.9＝0.1，所以E(X)＝1×0.9＋0×0.1＝0.9，D(X)＝(1－0.9)2×0.9＋(0－0.9)2×0.1＝0.09.3．甲、乙兩名工人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)的廢品數(shù)分別是兩個隨機(jī)變量X，Y，其分布列如下：若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等，則甲、乙兩人中技術(shù)較好的是__________．乙

解析：E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，所以E(Y)＜E(X)，故乙的技術(shù)較好．X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2

X01Pa2a

1．離散型隨機(jī)變量的均值(1)定義：若離散型隨機(jī)變量X的分布列為則稱E(X)＝______________________＝_________為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡稱期望．(2)意義：均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的____________，它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率，反映了隨機(jī)變量取值的__________．Xx1x2…xnPp1p2…pnx1p1＋x2p2＋…＋xnpn加權(quán)平均數(shù)平均水平注意點：E(X)是一個實數(shù)，由X的分布列唯一確定，即作為隨機(jī)變量X是可變的，可取不同的值，而E(X)是不變的，它描述X取值的平均狀態(tài)．

Xx1x2…xnPp1p2…pn(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn

偏離程度集中分散3．若X服從兩點分布，則E(X)＝___；則D(X)＝_________．pp(1－p)【常用結(jié)論】若Y＝aX＋b，其中a，b是常數(shù)，X是隨機(jī)變量，則(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k為常數(shù)．(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)．(3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．(4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.應(yīng)用1

(多選題)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為

若離散型隨機(jī)變量Y滿足Y＝2X＋1，則下列結(jié)果正確的有(

)A．q＝0.1 B．E(X)＝2，D(X)＝1.4C．E(X)＝2，D(X)＝1.8 D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2ACD

解析：由離散型隨機(jī)變量X的分布列的性質(zhì)，得q＝1－0.4－0.1－0.2－0.2＝0.1，則E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8.因為離散型隨機(jī)變量Y滿足Y＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝22D(X)＝7.2.故選ACD.X01234Pq0.40.10.20.2√√√

核心考點提升“四能”√X01P9a2－a3－8a

3．設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為(1)求η＝|X－1|的分布列；(2)求P(1＜2X＋1＜9)．X01234P0.20.10.10.3m解：(1)由題意易知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，所以m＝0.3.由X的分布列可知η＝|X－1|的取值為0，1，2，3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3，所以η＝|X－1|的分布列為(2)由1＜2X＋1＜9，解得0＜X＜4，故P(1＜2X＋1＜9)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.1＋0.1＋0.3＝0.5.η0123P0.10.30.30.3反思感悟離散型隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)的應(yīng)用(1)利用“總概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值．(2)利用“離散型隨機(jī)變量在某范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和”求某些特定事件的概率．(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確．

√

X123P反思感悟求離散型隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)字特征的方法(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值．(2)求X取每個值的概率．(3)寫出X的分布列．(4)由均值的定義求E(X)．(5)由方差的定義求D(X)．(6)涉及形如Y＝aX＋b(a，b為非零常數(shù))的期望、方差時，注意應(yīng)用性質(zhì)求解．

X01234P

均值與方差在決策問題中的應(yīng)用【例2】(2024·泰安模擬)某公司為活躍氣氛提升士氣，年終擬通過抓鬮兌獎的方式對所有員工進(jìn)行獎勵．規(guī)定：每位員工從一個裝有4個標(biāo)有面值的鬮的袋中一次性隨機(jī)摸出2個鬮，鬮上所標(biāo)的面值之和為該員工獲得的獎勵額．(1)若袋中所裝的4個鬮中有1個所標(biāo)的面值為800元，其余3個均為200元，求：①員工所獲得的獎勵額為1000元的概率；②員工所獲得的獎勵額的分布列及數(shù)學(xué)期望．(2)公司對獎勵額的預(yù)算是人均1000元，并規(guī)定袋中的4個鬮只能由標(biāo)有面值200元和800元的兩種鬮或標(biāo)有面值400元和600元的兩種鬮組成．為了使員工得到的獎勵總額盡可能符合公司的預(yù)算且每位員工所獲得的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個鬮的面值給出一個合適的設(shè)計，并說明理由．

X4001000P(2)根據(jù)公司預(yù)算，每個員工的平均獎勵額為1000元，所以先尋找期望為1000元的可能方案．對于面值由800元和200元組成的情況，如果選擇(200，200，200，800)的方案，因為1000元是面值之和的最大值，所以期望不可能為1000元；如果選擇(800，800，800，200)的方案，因為1000元是面值之和的最小值，所以期望不可能為1000元，因此可能的方案是(800，800，200，200)記為方案1.對于面值由600元和400元組成的情況，

反思感悟利用期望與方差進(jìn)行決策的方法(1)若我們比較兩個隨機(jī)變量的差別時，可先求隨機(jī)變量ξ1，ξ2的期望，當(dāng)E(ξ1)＝E(ξ2)時，需要用D(ξ1)，D(ξ2)來進(jìn)一步比較這兩個隨機(jī)變量的偏離程度，從平均水平和離散程度兩個方面進(jìn)行比較．(2)若我們希望比較穩(wěn)定時，應(yīng)先考慮方差，再考慮均值是否相等或者接近．(2021·新高考全國Ⅰ卷)某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題．每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分．已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列．(2)為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？說明理由．解：(1)由題意，X的可能取值為0，20，100，則P(X＝0)＝0.2，P(X＝20)＝0.8×0.4＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列為X020100P0.20.320.48(2)由(1)得，先回答A類問題的期望E(X)＝0×0.2＋2