第1章 第1課時　集合-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學一輪復習（解析版）

【教師備選資源】新高考卷三年考情圖解高考命題規(guī)律把握1．常考點：集合．常與一元二次不等式交匯命題，主要考查一元二次不等式的解法及集合的交、并、補運算．2．輪考點：常用邏輯用語、不等式的性質、基本不等式．(1)充分、必要條件的判斷常與數(shù)列、平面向量等知識交匯命題，注重對基本概念、基本性質的考查；(2)全稱量詞與存在量詞命題?？疾槠浞穸ㄐ问降淖R別；(3)不等式的性質主要是數(shù)(式)的大小比較；(4)基本不等式主要體現(xiàn)在求代數(shù)式的最值．第1課時集合[考試要求]1．了解集合的含義，了解全集、空集的含義.2．理解元素與集合的屬于關系，理解集合間的包含和相等關系.3．會求兩個集合的并集、交集與補集.4．能用自然語言、圖形語言、集合語言描述不同的具體問題，能使用Venn圖表示集合間的基本關系和基本運算．1．集合與元素(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性．(2)元素與集合的兩種關系：屬于和不屬于，分別用符號∈和?表示．(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法和圖示法．(4)五個特定的數(shù)集的表示集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集記法NN*(或N＋)ZQR2．集合間的基本關系(1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集，記作A?B或(B?A)．(2)真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集，記作AB或(BA)．(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B.提醒：(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(2)若集合A有n(n≥1)個元素，則集合A有2n個子集，有2n－1個真子集，有2n－2個非空真子集．3．集合的基本運算并集交集補集圖形表示集合表示A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}?UA＝{x|x∈U，且x?A}[常用結論]1．A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A．2．card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．3．(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)；(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)．一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列舉法表示為{－1，0，1}． ()(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}． ()(3)若1∈{x2，x}，則x＝－1或x＝1． ()(4)直線y＝x＋3與y＝－2x＋6的交點組成的集合是{1，4}． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版必修第一冊P8例1改編)集合A＝{2，3，4}的子集有()A．4個B．6個C．8個D．9個C[A＝{2，3，4}的子集個數(shù)為23＝8，故選C.]2．(多選)(人教A版必修第一冊P5習題1.1T1改編)若集合A＝{x|x2－1＝0}，則下列結論正確的是()A．1∈A B．{－1}?AC．??A D．{－1，1}?A[答案]ABC3．(人教A版必修第一冊P35T9改編)(2023·新高考Ⅱ卷)設集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A?B，則a＝()A．2 B．1C．23 B[依題意，有a－2＝0或2a－2＝0，當a－2＝0時，解得a＝2，此時A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不滿足A?B；當2a－2＝0時，解得a＝1，此時A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，滿足A?B.所以a＝1，故選B.]4．(人教A版必修第一冊P14T4改編)設全集為R，集合A＝{x|3≤x＜9}，B＝{x|(x－2)(x－10)＜0}，則?R(A∪B)＝________，(?RA)∩B＝________．{x|x≤2或x≥10}{x|2＜x＜3或9≤x＜10}[由題意，集合A＝{x|3≤x＜9}，B＝{x|2＜x＜10}，可得A∪B＝{x|2＜x＜10}，所以?R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，又由?RA＝{x|x＜3或x≥9}，所以(?RA)∩B＝{x|2＜x＜3或9≤x＜10}．]考點一集合的概念[典例1](1)已知集合A＝{1，2，3}，則B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，|x－y|∈A}中所含元素的個數(shù)為()A．2 B．4C．6 D．8(2)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，則m的值為________．(1)C(2)－32[(1)因為A所以B＝{(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)，(3，2)}，即B中含6個元素．故選C.(2)由題意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，則m＝1或m＝－32當m＝1時，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根據(jù)集合中元素的互異性可知不滿足題意；當m＝－32時，m＋2＝12，而2m2＋m＝3，符合題意，故m＝－3【教師備選資源】非空有限數(shù)集S滿足：若a，b∈S，則必有a2，b2，ab∈S，則滿足條件且含有兩個元素的數(shù)集S＝________．(寫出一個即可){0，1}(或{－1，1})[由題意，不妨設S＝{a，b}，根據(jù)題意有a2，ab，b2∈S，所以a2，ab，b2中必有兩個是相等的，若a2＝b2≠ab，則a＝－b，故ab＝－a2，又a2＝a，或a2＝b＝－a，所以a＝0(舍去)或a＝1或a＝－1，此時S＝{－1，1}；若a2＝ab≠b2，則a＝0，此時b2＝b，故b＝1或b＝0(舍去)，此時S＝{0，1}，若b2＝ab≠a2，則b＝0，此時a2＝a，故a＝1或a＝0(舍去)，此時S＝{0，1}，綜上，S＝{0，1}，或S＝{－1，1}．]解決集合含義問題的注意點一是確定構成集合的元素；二是確定元素的限制條件；三是根據(jù)元素的特征(滿足的條件)構造關系式解決相應問題．[跟進訓練]1．(1)(2023·上海高考)已知集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P且x?Q}，則M＝()A．{1} B．{2}C．{1，2} D．{1，2，3}(2)已知集合A＝x∈N4x?2A．3 B．4C．5 D．6(1)A(2)C[(1)∵P＝{1，2}，Q＝{2，3}，M＝{x|x∈P且x?Q}，∴M＝{1}．故選A.(2)∵4x?2∈Z，∴x－2的取值有－4，－2，－1，1，2，4，∴x又x∈N，故x的值為0，1，3，4，6.故集合A中有5個元素．]考點二集合間的基本關系[典例2](1)(2023·江蘇南京、鹽城一模)設M＝xx=k2，A．MN B．NMC．M＝N D．M∩N＝?(2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B?A，則實數(shù)m的取值范圍是________．(1)B(2)[－1，＋∞)[(1)因為x＝k＋12＝2k+12，因為k∈Z，所以2k＋1為奇數(shù)，故故選B.(2)①當B＝?時，2m－1>m＋1，解得m>2；②當B≠?時，2m?1≤m+1，綜上，實數(shù)m的取值范圍是[－1，＋∞)．]【教師備選資源】在本例(2)中，若把B?A改為BA，則實數(shù)m的取值范圍是________．[－1，＋∞)[①當B＝?時，2m－1>m＋1，所以m>2；②當B≠?時，2m?1或2m?1≤m+1，綜上，實數(shù)m的取值范圍是[－1，＋∞)．]已知兩個集合間的關系求參數(shù)時，關鍵是將條件轉化為元素或區(qū)間端點間的關系，進而轉化為參數(shù)所滿足的關系，常用數(shù)軸、Venn圖等直觀表示解決這類問題的過程，特別注意端點值的取舍，“＝”加不加．提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合關系問題時，必須考慮空集的情況，否則易造成漏解．[跟進訓練]2．(1)(2024·廣東肇慶期中)設集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，集合B＝{x|ax－1＝0}，若B?A，則實數(shù)a取值集合的真子集的個數(shù)為()A．2 B．3C．7 D．8(2)(2024·福建廈門模擬)設集合A＝{x|1≤x≤3}，集合B＝{x|y＝x?1}，若ACB，寫出一個符合條件的集合C，則C＝________．(寫出一個即可)(1)C(2){x|1≤x≤4}(答案不唯一)[(1)由x2－8x＋15＝0，得(x－3)(x－5)＝0，解得x＝3或x＝5，所以A＝{3，5}．當a＝0時，B＝?，滿足B?A.當a≠0時，B＝1a，因為B?A，所以1a＝3或1a＝5，得a＝13或綜上，實數(shù)a的取值集合為0，13，15，所以實數(shù)(2)A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x≥1}，若ACB，則可有C＝{x|1≤x≤4}．]考點三集合的基本運算集合的運算[典例3](1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，則M∩N＝()A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}C．{－2} D．{2}(2)全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A?U，B?U，(?UB)∩A＝{1，9}，A∩B＝{3}，(?UA)∩(?UB)＝{4，6，7}，則A∪B＝________．(1)C(2){1，2，3，5，8，9}[(1)∵x2－x－6≥0，∴(x－3)(x＋2)≥0，∴x≥3或x≤－2，N＝{x|x≤－2，或x≥3}，則M∩N＝{－2}．故選C.(2)由已知條件可得U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，畫出Venn圖如圖所示．由圖可得A∪B＝{1，2，3，5，8，9}．]利用集合的運算求參數(shù)[典例4]已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－2) B．(－∞，－2]C．(－4，＋∞) D．(－∞，－4]D[集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝xx≤?a2，由A∪B＝B可得可知－a2≥2，即a≤－4．解決集合運算問題的注意點(1)看元素構成，集合中元素是數(shù)還是有序數(shù)對，是函數(shù)的自變量還是函數(shù)值．(2)對集合進行化簡，即解不等式，解方程，求定義域、值域等，通過化簡可以使問題變得簡單明了．(3)注意數(shù)形結合思想的應用，集合運算常用的數(shù)形結合形式有數(shù)軸和Venn圖．(4)端點值驗證．[跟進訓練]3．(1)(2023·全國乙卷)設集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，則{x|x≥2}＝()A．?U(M∪N) B．N∪?UMC．?U(M∩N) D．M∪?UN(2)(2024年1月九省聯(lián)考卷)已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，則m的最小值為________．(1)A(2)5[(1)由題意，M∪N＝{x|x<2}，又U＝R，所以?U(M∪N)＝{x|x≥2}，故選A.(2)由A∩B＝A，則A?B，由|x－3|≤m，得－m＋3≤x≤m＋3，故有4≤m+3，?2即m的最小值為5．]考點四Venn圖的應用及創(chuàng)新性問題[典例5](1)如圖所示，A，B是非空集合，定義集合A⊕B為陰影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＝3x，x＞0}，則A⊕B＝________．(2)某班有36名同學參加數(shù)學、物理、化學課外探究小組，每名同學至多參加兩個小組，已知參加數(shù)學、物理、化學小組的人數(shù)分別為26，15，13，同時參加數(shù)學和物理小組的有6人，同時參加物理和化學小組的有4人，則同時參加數(shù)學和化學小組的有________人．(1)[0，1]∪(2，＋∞)(2)8[(1)由題可知B＝(1，＋∞)，所以A∩B＝(1，2].由題意得A⊕B＝?A(A∩B)∪?B(A∩B)＝[0，1]∪(2，＋∞)．(2)設參加數(shù)學、物理、化學小組的人構成的集合分別為A，B，C，同時參加數(shù)學和化學小組的有x人，由題意可得如圖所示的Venn圖．由全班共36名同學可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，即同時參加數(shù)學和化學小組的有8人．]Venn圖具有形象直觀的特征，應用Venn圖可以解決兩大類問題：一是處理部分有限集合的元素個數(shù)的計數(shù)問題；二是解決抽象集合的運算問題或判斷集合間的關系問題．[跟進訓練]4．(1)已知集合P，Q均為R的子集，且(?RQ)∪P＝R，則()A．P∩Q＝R B．P?QC．Q?P D．P∪Q＝R(2)某中學為了解本校學生閱讀《西游記》和《紅樓夢》的情況，隨機調查了100位學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則閱讀過《西游記》的學生人數(shù)為()A．60 B．70C．80 D．90(1)C(2)B[(1)如圖所示，集合P，Q均為R的子集，且滿足(?RQ)∪P＝R，所以Q?P.(2)根據(jù)題意作出Venn圖如下，所以閱讀過《西游記》的學生人數(shù)為10＋60＝70.故選B.]課時分層作業(yè)(一)集合一、單項選擇題1．(2023·北京高考)已知集合M＝{x|x＋2≥0}，N＝{x|x－1<0}，則M∩N＝()A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2<x≤1}C．{x|x≥－2} D．{x|x<1}A[由題意，M＝{x|x≥－2}，N＝{x|x<1}，所以M∩N＝{x|－2≤x<1}．故選A.]2．已知全集U＝N，集合A＝{x∈U|2≤x≤10}，B＝{x|x為素數(shù)}，則A∩?UB＝()A．{4，6，8，10} B．{4，5，6，8，9}C．{2，4，6，8，10} D．{4，6，8，9，10}D[由A∩?UB，即為2≤x≤10，x∈N中不是素數(shù)的數(shù)組成的集合，則A∩?UB＝{4，6，8，9，10}．故選D.]3．(2024·廣州模擬)設集合M＝{x|x2－2x－3<0，x∈Z}，則集合M的真子集個數(shù)為()A．8 B．7C．4 D．3B[集合M＝{x|x2－2x－3<0，x∈Z}＝{x|(x－3)(x＋1)<0，x∈Z}＝{0，1，2}，則集合M中元素個數(shù)為3，故集合M的真子集個數(shù)為23－1＝7.故選B.]4．(2024·山東濱州模擬)已知集合A＝{1，2}，B＝{x|mx－2＝0}，若B?A，則實數(shù)m＝()A．2 B．1C．1或2 D．0或1或2D[因為A＝{1，2}，B＝{x|mx－2＝0}，若B?A，則B＝?或B＝{1}或B＝{2}，當B＝?時，m＝0，當B＝{1}時，m＝2，當B＝{2}時，m＝1.故選D.]5．(2023·山東威海二模)已知全集U＝{x|0<x<5}，集合A滿足?UA＝{x|1<x<3}，則()A．1?A B．2∈AC．3?A D．4∈AD[因為U＝{x|0<x<5}，且?UA＝{x|1<x<3}，所以A＝{x|0<x≤1或3≤x<5}，所以1∈A，2?A，3∈A，4∈A.故選D.]6．(2023·山東濟寧三模)若集合A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N，y∈N}，B＝{(x，y)|y>x}，則集合A∩B中的元素個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3C[因為A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N，y∈N}＝{(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)}，又B＝{(x，y)|y>x}，所以A∩B＝{(0，4)，(1，3)}，即集合A∩B中含有2個元素．故選C.]7．(2024·湖北十堰模擬)若集合A＝{x|y＝x}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，則()A．A∩B＝? B．A∪B＝RC．B?A D．A?BC[因為A＝{x|y＝x}＝[0，＋∞)，B＝{y|y＝2x，x∈A}＝[1，＋∞)，所以B?A.故選C.]8．(2023·湖北華中師大附中一模)滿足等式{0，1}∪X＝x∈Rx3A．1個 B．2個C．3個 D．4個D[因為x∈Rx3=x＝{0，1，－1}，所以{0，1}∪X＝{0，1，－1}，所以符合該等式的集合X為X＝{－1}，X＝{－1，1}，X二、多項選擇題9．已知非空集合M滿足：①M?{－2，－1，1，2，3，4}，②若x∈M，則x2∈M.則集合M可能是()A．{－1，1} B．{－1，1，2，4}C．{1} D．{1，－2，2}AC[由題意可知3?M且4?M，而－2或2與4同時出現(xiàn)，所以－2?M且2?M，所以滿足條件的非空集合M有{－1，1}，{1}．]10．(2023·山東濰坊一模)若非空集合M，N，P滿足：M∩N＝N，M∪P＝P，則()A．P?M B．M∩P＝MC．N∪P＝P D．M∩?PN＝?BC[由M∩N＝N可得N?M，由M∪P＝P，可得M?P，則推不出P?M，故選項A錯誤；由M?P可得M∩P＝M，故選項B正確；因為N?M且M?P，所以N?P，則N∪P＝P，故選項C正確；由N?M可得M∩?PN不一定為空集，故選項D錯誤．故選BC.]三、填空題11．已知集合A＝{1，3，m2}，B＝{1，m}．若A∪B＝A，則實數(shù)m＝________．0或3[因為A∪B＝A，所以B?A.因為A＝{1，3，m2}，B＝{1，m}，所以m2＝m或m＝3，解得m＝0或m＝1或m＝3.當m＝0時，A＝{1，3，0}，B＝{1，0}，符合題意；當m＝1時，集合A，集合B均不滿足集合元素的互異性，不符合題意；當m＝3時，A＝{1，3，9}，B＝{1，3}，符合題意．綜上，m＝0或3．]12．某小學對小學生的課外活動進行了調查．調查結果顯示：參加舞蹈課外活動的有63人，參加唱歌課外活動的有89人，參加體育課外活動的有47人，三種課外活動都參加的有24人，只選擇兩種課外活動參加的有46人，不參加其中任何一種課外活動的有15人．則接受調查的小學生共有________人．120[如圖所示，用Venn圖表示題設中的集合關系，不妨將參加舞蹈、唱歌、體育課外活動的小學生分別用集合A，B，C表示，則card(A)＝63，card(B)＝89，card(C)＝47，card(A∩B∩C)＝24，不妨設總人數(shù)為n，Venn圖中三塊區(qū)域的人數(shù)分別為x，y，z，即card(A∩B)＝24＋x，card(A∩C)＝y(tǒng)＋24，card(B∩C)＝z＋24，x＋y＋z＝46，由Venn圖可知，n－15＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)＝63＋89＋47－(24＋x)－(