第09講 直線的方程（十大題型）（教師版）-2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接講義

第第頁第09講直線的方程【題型歸納目錄】題型一：點斜式直線方程題型二：斜截式直線方程題型三：兩點式直線方程題型四：截距式直線方程題型五：中點坐標公式題型六：直線的一般式方程題型七：直線方程的綜合應(yīng)用題型八：判斷動直線所過定點題型九：直線與坐標軸形成三角形問題題型十：直線方程的實際應(yīng)用【知識點梳理】知識點一：直線的點斜式方程方程SKIPIF1<0由直線上一定點及其斜率決定，我們把SKIPIF1<0叫做直線的點斜式方程，簡稱點斜式．知識點詮釋：1、點斜式方程是由直線上一點和斜率確定的，點斜式的前提是直線的斜率存在．點斜式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線；2、當直線的傾斜角為SKIPIF1<0時，直線方程為SKIPIF1<0；3、當直線傾斜角為SKIPIF1<0時，直線沒有斜率，它的方程不能用點斜式表示．這時直線方程為：SKIPIF1<0．4、SKIPIF1<0表示直線去掉一個點SKIPIF1<0；SKIPIF1<0表示一條直線．知識點二：直線的斜截式方程如果直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，且與SKIPIF1<0軸的交點為SKIPIF1<0，根據(jù)直線的點斜式方程可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．我們把直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸的交點SKIPIF1<0的縱坐標SKIPIF1<0叫做直線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上的截距，方程SKIPIF1<0由直線的斜率SKIPIF1<0與它在SKIPIF1<0軸上的截距SKIPIF1<0確定，所以方程SKIPIF1<0叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式．知識點詮釋：1、b為直線SKIPIF1<0在y軸上截距，截距可以取一切實數(shù)，即可以為正數(shù)、零、負數(shù)；距離必須大于或等于零；2、斜截式方程可由過點SKIPIF1<0的點斜式方程得到；3、當SKIPIF1<0時，斜截式方程就是一次函數(shù)的表示形式．4、斜截式的前提是直線的斜率存在．斜截式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線．5、斜截式是點斜式的特殊情況，在方程SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是直線的斜率，SKIPIF1<0是直線在SKIPIF1<0軸上的截距．知識點三：直線的兩點式方程經(jīng)過兩點SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0)的直線方程為SKIPIF1<0，稱這個方程為直線的兩點式方程，簡稱兩點式．知識點詮釋：1、這個方程由直線上兩點確定；2、當直線沒有斜率(SKIPIF1<0)或斜率為SKIPIF1<0時，不能用兩點式求出它的方程．3、直線方程的表示與SKIPIF1<0選擇的順序無關(guān)．4、在應(yīng)用兩點式求直線方程時，往往把分式形式SKIPIF1<0通過交叉相乘轉(zhuǎn)化為整式形式SKIPIF1<0，從而得到的方程中，包含了SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的情況，但此轉(zhuǎn)化過程不是一個等價的轉(zhuǎn)化過程，不能因此忽略由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0和SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是否相等引起的討論．要避免討論，可直接假設(shè)兩點式的整式形式．知識點四：直線的截距式方程若直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸的交點為SKIPIF1<0，與y軸的交點為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則過AB兩點的直線方程為SKIPIF1<0，這個方程稱為直線的截距式方程．a(chǎn)叫做直線在x軸上的截距，b叫做直線在y軸上的截距．知識點詮釋：1、截距式的條件是SKIPIF1<0，即截距式方程不能表示過原點的直線以及不能表示與坐標軸平行的直線．2、求直線在坐標軸上的截距的方法：令x=0得直線在y軸上的截距；令y=0得直線在x軸上的截距．知識點五：直線方程幾種表達方式的選取在一般情況下，使用斜截式比較方便，這是因為斜截式只需要兩個獨立變數(shù)，而點斜式需要三個獨立變數(shù)．在求直線方程時，要根據(jù)給出的條件采用適當?shù)男问剑话愕兀阎稽c的坐標，求過這點的直線，通常采用點斜式，再由其他條件確定斜率；已知直線的斜率，常用斜截式，再由其他條件確定在y軸上的截距；已知截距或兩點選擇截距式或兩點式．從結(jié)論上看，若求直線與坐標軸所圍成的三角形的面積或周長，則選擇截距式求解較方便，但不論選用哪一種形式，都要注意各自的限制條件，以免遺漏．知識點六：直線方程的一般式關(guān)于x和y的一次方程都表示一條直線．我們把方程寫為SKIPIF1<0，這個方程(其中A、B不全為零)叫做直線方程的一般式．知識點詮釋：1、A、B不全為零才能表示一條直線，若A、B全為零則不能表示一條直線．當SKIPIF1<0時，方程可變形為SKIPIF1<0，它表示過點SKIPIF1<0，斜率為SKIPIF1<0的直線．當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，方程可變形為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，它表示一條與SKIPIF1<0軸垂直的直線．由上可知，關(guān)于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的二元一次方程，它都表示一條直線．2、在平面直角坐標系中，一個關(guān)于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的二元一次方程對應(yīng)著唯一的一條直線，反過來，一條直線可以對應(yīng)著無數(shù)個關(guān)于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的一次方程．知識點七：直線方程的不同形式間的關(guān)系名稱方程的形式常數(shù)的幾何意義適用范圍點斜式SKIPIF1<0SKIPIF1<0是直線上一定點，SKIPIF1<0是斜率不垂直于SKIPIF1<0軸斜截式SKIPIF1<0SKIPIF1<0是斜率，SKIPIF1<0是直線在y軸上的截距不垂直于SKIPIF1<0軸兩點式SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直線上兩定點不垂直于SKIPIF1<0軸和SKIPIF1<0軸截距式SKIPIF1<0SKIPIF1<0是直線在x軸上的非零截距，SKIPIF1<0是直線在y軸上的非零截距不垂直于SKIPIF1<0軸和SKIPIF1<0軸，且不過原點一般式SKIPIF1<0SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為系數(shù)任何位置的直線直線方程的五種形式的比較如下表：知識點詮釋：在直線方程的各種形式中，點斜式與斜截式是兩種常用的直線方程形式，要注意在這兩種形式中都要求直線存在斜率，兩點式是點斜式的特例，其限制條件更多SKIPIF1<0，應(yīng)用時若采用SKIPIF1<0的形式，即可消除局限性．截距式是兩點式的特例，在使用截距式時，首先要判斷是否滿足“直線在兩坐標軸上的截距存在且不為零”這一條件．直線方程的一般式包含了平面上的所有直線形式．一般式?；癁樾苯厥脚c截距式．若一般式化為點斜式，兩點式，由于取點不同，得到的方程也不同．知識點八：直線方程的綜合應(yīng)用1、已知所求曲線是直線時，用待定系數(shù)法求．2、據(jù)題目所給條件，選擇適當?shù)闹本€方程的形式，求出直線方程．對于兩直線的平行與垂直，直線方程的形式不同，考慮的方向也不同．(1)從斜截式考慮已知直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0于是與直線SKIPIF1<0平行的直線可以設(shè)為SKIPIF1<0；垂直的直線可以設(shè)為SKIPIF1<0．(2)從一般式考慮：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，記憶式(SKIPIF1<0)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于是與直線SKIPIF1<0平行的直線可以設(shè)為SKIPIF1<0；垂直的直線可以設(shè)為SKIPIF1<0．【典例例題】題型一：點斜式直線方程例1．(2023·高二課時練習(xí))已知直線的方程是SKIPIF1<0，則()A．直線經(jīng)過點SKIPIF1<0，斜率為-1 B．直線經(jīng)過點SKIPIF1<0，斜率為-1C．直線經(jīng)過點SKIPIF1<0，斜率為-1 D．直線經(jīng)過點SKIPIF1<0，斜率為1【答案】C【解析】根據(jù)已知可得出直線的點斜式方程為SKIPIF1<0，所以，直線經(jīng)過點SKIPIF1<0，斜率為-1.故選：C.例2．過兩點SKIPIF1<0的直線方程為()A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由兩點SKIPIF1<0，可得過兩點的直線的斜率為SKIPIF1<0，又由直線的點斜式方程，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故選：B.例3．過點SKIPIF1<0且傾斜角為150°的直線l的方程為(

)A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】依題意，直線l的斜率SKIPIF1<0，故直線l的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故選：B.例4．過點SKIPIF1<0且與直線SKIPIF1<0垂直的直線方程為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】與直線SKIPIF1<0垂直的直線的斜率SKIPIF1<0，∴所求的直線方程為SKIPIF1<0，即為SKIPIF1<0，故選：SKIPIF1<0.例5．過點SKIPIF1<0，傾斜角為SKIPIF1<0的直線方程為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】依題意，直線的斜率SKIPIF1<0，所以直線方程為：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故選：B題型二：斜截式直線方程例6．寫出下列直線的斜截式方程：(1)斜率是SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0軸上的截距是SKIPIF1<0；(2)傾斜角為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0軸上的截距是SKIPIF1<0；(3)傾斜角為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0軸上的截距是SKIPIF1<0．【解析】(1)SKIPIF1<0(2)因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．(3)因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．例7．根據(jù)條件寫出下列直線的斜截式方程：(1)傾斜角為150°，在y軸上的截距是－2；(2)傾斜角為60°，與y軸的交點到坐標原點的距離為3．【解析】(1)因為傾斜角α＝150°，所以斜率k＝tan150°＝－SKIPIF1<0，由斜截式可得直線方程為y＝－SKIPIF1<0x－2．(3)因為直線的傾斜角為60°，所以斜率k＝tan60°＝SKIPIF1<0．因為直線與y軸的交點到坐標原點的距離為3，所以直線在y軸上的截距b＝3或b＝－3，故所求直線的斜截式方程為y＝SKIPIF1<0x＋3或y＝SKIPIF1<0x－3.例8．寫出下列直線的斜截式方程.(1)斜率是SKIPIF1<0，在y軸上的截距是SKIPIF1<0；(2)斜率是SKIPIF1<0，在y軸上的截距是4．【解析】(1)因為直線斜率是SKIPIF1<0，在y軸上的截距是SKIPIF1<0，所以直線的斜截式方程為SKIPIF1<0；(2)因為直線斜率是SKIPIF1<0，在y軸上的截距是4，所以直線的斜截式方程為SKIPIF1<0；題型三：兩點式直線方程例9．已知直線分別經(jīng)過下面兩點，用兩點式方程求直線的方程：(1)A(3,1),B(2,－3)；(2)A(2,1),B(0,－3)；(3)A(0,5),B(4,0).【解析】(1)直線的兩點式方程為SKIPIF1<0.(2)直線的兩點式方程為SKIPIF1<0.(3)直線的兩點式方程為SKIPIF1<0.例10．在SKIPIF1<0中，已知點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求SKIPIF1<0邊上中線所在直線的兩點式方程．【解析】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以線段BC的中點D的坐標為SKIPIF1<0．又BC邊上的中線經(jīng)過點SKIPIF1<0，所以BC邊上中線的兩點式方程為SKIPIF1<0．例11．求經(jīng)過下列兩點的直線的兩點式方程.(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；

(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【解析】因為直線的兩點式方程為：SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的兩點式方程：SKIPIF1<0；因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的兩點式方程：SKIPIF1<0；題型四：截距式直線方程例12．已知△ABC中，A(1，﹣4)，B(6，6)，C(﹣2，0).求：(1)△ABC中平行于BC邊的中位線所在直線的一般式方程和截距式方程；(2)BC邊的中線所在直線的一般式方程，并化為截距式方程.【解析】(1)∵SKIPIF1<0，∴△ABC中平行于BC邊的中位線的斜率SKIPIF1<0，又線段AB的中點為SKIPIF1<0，∴△ABC中平行于BC邊的中位線所在直線的方程為SKIPIF1<0，化為一般式6x﹣8y﹣13=0，可得截距式：SKIPIF1<0.(2)BC邊的中點為D(2，3)，SKIPIF1<0∴BC邊的中線所在直線的方程為y﹣3=7(x﹣2)，化為一般式方程7x﹣y﹣11=0，化為截距式方程SKIPIF1<0.例13．根據(jù)下列條件求直線的截距式方程，并畫出圖形.(1)在x軸、y軸上的截距分別是2，3；(2)在x軸、y軸上的截距分別是SKIPIF1<0，6．【解析】(1)由截距式得：SKIPIF1<0.(2)由截距式得：SKIPIF1<0.題型五：中點坐標公式例14．直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0且與SKIPIF1<0軸?SKIPIF1<0軸分別交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，若SKIPIF1<0恰為線段SKIPIF1<0的中點，則直線SKIPIF1<0的方程為__________.【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)點SKIPIF1<0?SKIPIF1<0，由中點坐標公式得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0?SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.例15．直線SKIPIF1<0被直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所截得的線段中點恰為坐標原點，則直線l的方程為______．【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，分別交于點SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，因為所截得的線段中點恰為坐標原點，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.例16．已知點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上，線段SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，則線段SKIPIF1<0的長度為___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】在平面直角坐標系中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為直角三角形，且SKIPIF1<0為斜邊，故SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0例17．已知點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，線段PQ的中點為SKIPIF1<0，則直線PQ的方程為______.【答案】SKIPIF1<0【解析】因為點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，線段PQ的中點為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直線PQ的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.題型六：直線的一般式方程例18．若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則經(jīng)過SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0的一般方程為_________【答案】SKIPIF1<0【解析】若SKIPIF1<0,則點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上,點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，即SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都在同一直線SKIPIF1<0上因為兩點確定一條直線,所以由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0確定的直線即為SKIPIF1<0故答案為:SKIPIF1<0例19．傾斜角為SKIPIF1<0，且過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0的方程為__________.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】因為直線SKIPIF1<0傾斜角為SKIPIF1<0，且過點SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0軸，故直線方程為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0例20．)直線l過點SKIPIF1<0，若l的斜率為3，則直線l的一般式方程為______．【答案】SKIPIF1<0【解析】由直線的點斜式可得，方程為SKIPIF1<0，化為一般式方程為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0例21．過點SKIPIF1<0的直線方程(一般式)為_____．【答案】SKIPIF1<0【解析】因為過點SKIPIF1<0的直線的斜率為SKIPIF1<0，所以直線方程為SKIPIF1<0，化為一般式為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．例22．已知SKIPIF1<0的三個頂點坐標為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則BC邊上的中線AE所在直線的一般方程為______．【答案】SKIPIF1<0【解析】BC的中點坐標為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故BC邊上的中線AE所在直線的方程為SKIPIF1<0，化為一般方程為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0例23．寫出過點SKIPIF1<0，且在兩坐標軸上截距相等的一條直線方程__________.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0寫出1條即可SKIPIF1<0【解析】當直線過原點時，方程設(shè)為SKIPIF1<0代入點A得：SKIPIF1<0；當直線不過原點時，設(shè)直線的方程為：SKIPIF1<0，把點SKIPIF1<0代入直線的方程可得SKIPIF1<0，則直線方程是SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0寫出1條即可SKIPIF1<0題型七：直線方程的綜合應(yīng)用例24．當直線方程SKIPIF1<0的系數(shù)A，B，C滿足什么條件時，該直線分別具有以下性質(zhì)？(1)過坐標原點；(2)與兩條坐標軸都相交；(3)只與x軸相交；(4)是x軸所在直線；(5)設(shè)SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0上一點，證明：這條直線的方程可以寫成SKIPIF1<0．【解析】(1)將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0且SKIPIF1<0不同為SKIPIF1<0方程表示過坐標原點的直線；(2)直線SKIPIF1<0與兩條坐標軸都相交說明橫縱截距都存在，當SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時直線過原點滿足條件，當SKIPIF1<0時，令SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0都不為0，綜上所述，SKIPIF1<0時直線與兩條坐標軸都相交；(3)直線SKIPIF1<0只與x軸相交，就是與SKIPIF1<0軸平行、重合均可，因此直線方程可化成SKIPIF1<0形式，故SKIPIF1<0且SKIPIF1<0；(4)x軸的方程為SKIPIF1<0，因此方程SKIPIF1<0中SKIPIF1<0時方程表示的直線是x軸所在直線；(5)因為SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0上一點，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以方程可化為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以這條直線的方程可以寫成SKIPIF1<0．例25．已知SKIPIF1<0的三個頂點分別是A(4，0)，B(6，6)，C(0，2)．(1)求BC邊上的高所在直線的方程；(2)求AB邊的垂直平分線所在直線的方程．【解析】(1)SKIPIF1<0邊所在的直線的斜率SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0邊上的高與SKIPIF1<0垂直，所以SKIPIF1<0邊上的高所在直線的斜率為SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0邊上的高經(jīng)過點SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0邊上的高所在的直線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0邊所在的直線的斜率SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0邊的垂直平分線的斜率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0邊中點E的坐標是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以AC邊的垂直平分線的方程是SKIPIF1<0即SKIPIF1<0．例26．已知SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.求：(1)SKIPIF1<0邊的中線所在直線的一般式方程，并化為截距式方程.(2)SKIPIF1<0中平行于SKIPIF1<0邊的中位線所在直線的一般式方程.【解析】(1)由題意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0邊的中點為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0邊上的中線所在直線的方程為SKIPIF1<0，即得其一般式方程為SKIPIF1<0，截距式方程為SKIPIF1<0.(2)平行于SKIPIF1<0邊的中位線就是SKIPIF1<0中點的連線.因為線段SKIPIF1<0中點坐標分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以這條直線的方程為SKIPIF1<0，整理得一般式方程為SKIPIF1<0.例27．在SKIPIF1<0中，已知點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求BC邊上中線的方程．(2)若某一直線過B點，且x軸上截距是y軸上截距的2倍，求該直線的一般式方程．【解析】(1)BC中點SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故BC邊上中線的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；(2)直線過B點且x軸上截距是y軸上截距的2倍，i.若直線過原點，則直線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；ii.若直線不過原點，設(shè)y軸上截距為m，則直線方程為SKIPIF1<0，代入B點解得SKIPIF1<0，故直線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；故該直線的一般式方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.例28．已知SKIPIF1<0的頂點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求過點SKIPIF1<0，且在兩坐標軸上截距相等的直線的一般式方程；(2)求角SKIPIF1<0的角平分線所在直線的一般式方程.【解析】(1)由題意可知，當所求直線經(jīng)過原點時，所求直線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當所求直線不經(jīng)過坐標原點時，可設(shè)直線的方程為SKIPIF1<0，則因為所求直線經(jīng)過點SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以所求直線的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，綜上所述，所求直線方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.(2)由題意可知，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以角SKIPIF1<0的角平分線所在直線的傾斜角為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當角SKIPIF1<0的角平分線所在直線的傾斜角為SKIPIF1<0，其斜率為SKIPIF1<0，所以角SKIPIF1<0的角平分線所在直線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當角SKIPIF1<0的角平分線所在直線的傾斜角為SKIPIF1<0，其斜率為SKIPIF1<0，所以角SKIPIF1<0的角平分線所在直線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，綜上所述，所求直線方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.例29．在SKIPIF1<0中，已知頂點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求AB邊上中線的方程：(2)求過點B，且在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍的直線方程．【解析】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0中點坐標為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，故AB邊上中線的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0(2)當直線在SKIPIF1<0軸和SKIPIF1<0軸上的截距均為0時，可設(shè)直線的方程為SKIPIF1<0，代入點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以所求直線的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；當直線在SKIPIF1<0軸和SKIPIF1<0軸上的截距均不為0時，可設(shè)直線的方程為SKIPIF1<0，代入點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以所求直線的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，綜上所述，該直線的一般式方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．題型八：判斷動直線所過定點例30．已知實數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0過定點_____.【答案】SKIPIF1<0【解析】由實數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0,代入直線方程SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，聯(lián)立方程組SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.例31．已知直線SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0變化時，直線SKIPIF1<0總是經(jīng)過定點，則定點坐標為______.【答案】SKIPIF1<0【解析】因為直線SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.例32．無論SKIPIF1<0取何值，直線SKIPIF1<0恒過定點__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】直線方程化為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，定點為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．例33．直線SKIPIF1<0恒過定點________.【答案】SKIPIF1<0【解析】依題意，直線SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0恒過定點SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0例34．無論SKIPIF1<0為何值，直線SKIPIF1<0必過定點坐標為______【答案】SKIPIF1<0【解析】直線SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0.所以，直線必過定點坐標為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.題型九：直線與坐標軸形成三角形問題例35．已知直線l過點SKIPIF1<0，且與x軸、y軸的正方向分別交于A，B兩點，分別求滿足下列條件的直線方程：(1)SKIPIF1<0時，求直線l的方程．(2)當SKIPIF1<0的面積最小時，求直線l的方程．【解析】(1)作SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.由三角形相似，SKIPIF1<0，可求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；(2)根據(jù)題意，設(shè)直線l的方程為SKIPIF1<0，由題意，知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵l過點SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0，化簡，得SKIPIF1<0.①∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍去).∴S的最小值為4，將SKIPIF1<0代入①式，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.∴直線l的方程為SKIPIF1<0.例36．)設(shè)直線l的方程為SKIPIF1<0(1)若l在兩坐標軸上的截距相等，求直線的方程.(2)若l不經(jīng)過第二象限，求實數(shù)a的取值范圍.(3)若直線l交x軸正半軸于點A，交y軸負半軸于點B，SKIPIF1<0的面積為S，求S的最小值并求此時直線l的方程.【解析】(1)當直線過原點時滿足條件，此時SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,化為SKIPIF1<0.當直線不過原點時，則直線斜率為-1，故SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,可得直線SKIPIF1<0的方程為:SKIPIF1<0.綜上所述，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0不經(jīng)過第二象限,∴SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.∴實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.(3)令SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0;令SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.綜上有SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0,當且僅當SKIPIF1<0時取等號.∴SKIPIF1<0(SKIPIF1<0為坐標原點)面積的最小值是6，此時直線方程SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0例37．設(shè)SKIPIF1<0為實數(shù)，若直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，根據(jù)下列條件分別確定SKIPIF1<0的值：(1)直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0；(2)直線SKIPIF1<0與兩坐標軸在第二象限圍成的三角形面積為SKIPIF1<0.【解析】(1)由題意可知，直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.(2)由題意可知SKIPIF1<0，在直線SKIPIF1<0的方程中，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0時，可得SKIPIF1<0，所以，直線SKIPIF1<0分別交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，由題意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.由題意可得SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.例38．已知直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0．(1)求證：不論SKIPIF1<0為何值，直線必過定點SKIPIF1<0；(2)過點SKIPIF1<0引直線SKIPIF1<0，使它與兩坐標軸的負半軸所圍成的三角形面積最小，求SKIPIF1<0的方程．【解析】(1)證明：原方程整理得：SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不論SKIPIF1<0為何值，直線必過定點SKIPIF1<0(2)設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0令SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，三角形面積最?。畡tSKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．例39．已知直線SKIPIF1<0.(1)若直線SKIPIF1<0不能過第三象限，求SKIPIF1<0的取值范圍；(2)若直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0軸負半軸于點SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0軸正半軸于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為坐標原點，設(shè)SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值及此時直線SKIPIF1<0的方程．【解析】(1)由SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，此時直線SKIPIF1<0不過第三象限，合乎題意；當SKIPIF1<0時，在直線SKIPIF1<0的方程中，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，若直線SKIPIF1<0不過第三象限，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.綜上所述，SKIPIF1<0.(2)由(1)可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸負半軸，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸正半軸，所以，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時等號成立，所以，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，此時直線SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0.例40．已知直線l經(jīng)過點P(4,1)，且與兩坐標軸在第一象限圍成的三角形的面積為8，求直線l的點斜式方程.【解析】根據(jù)題意知直線l不垂直于x軸，其斜率存在且為負數(shù)，故可設(shè)直線l的方程為SKIPIF1<0.在方程中，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.故直線l與兩坐標軸交于點SKIPIF1<0與SKIPIF1<0.因為直線l與兩坐標軸在第一象限圍成的三角形的面積為8，所以SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故直線l的點斜式方程為SKIPIF1<0例41．已知直線l過定點SKIPIF1<0，且交x軸負半軸于點A、交y軸正半軸于點B，點O為坐標原點．(1)若SKIPIF1<0的面積為4，求直線l的方程；(2)求SKIPIF1<0的最小值，并求此時直線l的方程；(3)求SKIPIF1<0的最小值，并求此時直線l的方程．【解析】(1)設(shè)直線l：SKIPIF1<0，由直線過SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0.所以直線l的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.(2)設(shè)直線l：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，即SKIPIF1<0時取等號，此時直線方程SKIPIF1<0.(3)設(shè)直線l：SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0三點共線，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0|，當且僅當SKIPIF1<0時，即SKIPIF1<0時取等號，此時直線方程SKIPIF1<0．題型十：直線方程的實際應(yīng)用例42．如圖所示，某縣相鄰兩鎮(zhèn)在同一平面直角坐標系下的坐標為SKIPIF1<0，一條河所在的直線方程為SKIPIF1<0，若在河邊l上建一座供水站P，使之到A，B兩鎮(zhèn)的管道最短，問供水站P應(yīng)建在什么地方?

【解析】如圖，作點A關(guān)于直線l的對稱點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0交l于點P，若點SKIPIF1<0(異于點P)在直線l上，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以供水站建在點P處時，到A，B兩鎮(zhèn)所使用的管道最省，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的中點在l上，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，聯(lián)立方程SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以點P的坐標為SKIPIF1<0，所以供水站P應(yīng)建在點SKIPIF1<0處．【過關(guān)測試】一、單選題1．已知直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0互相垂直且都過點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0過原點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與y軸交點的坐標為()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由題意得直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，由直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0互相垂直可得直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交點為SKIPIF1<0.故選：B.2．經(jīng)過點SKIPIF1<0，且與直線SKIPIF1<0垂直的直線方程為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】設(shè)與直線SKIPIF1<0垂直的直線方程為SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以所求的直線方程為SKIPIF1<0.故選：A3．過點SKIPIF1<0且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】D【解析】設(shè)直線在x，y軸上的截距分別為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，即直線過原點，設(shè)直線為SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故直線方程為SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，設(shè)直線為SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故直線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；綜上所述：直線方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故選：D.4．過點SKIPIF1<0，且與原點距離最遠的直線方程為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】當直線與SKIPIF1<0垂直時，此時原點到直線的距離最大，SKIPIF1<0,所以所求直線斜率為SKIPIF1<0，由點斜式可得直線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF