浙江省臺州市2024-2025學年高三數(shù)學上學期一模期中試題含解析

Page22本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.請考生按規(guī)定用筆將全部試題的答案涂、寫在答題紙上.選擇題部分（共60分）一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將集合中的元素代入集合，驗證的元素即可.【詳解】集合中元素為點，故解除A，D；當，時，，故，故C錯誤；當，時，，故，故B正確.故選：B2.若，則的取值可以為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)兩角和的余弦公式，結合幫助角公式進行求解即可.【詳解】由，得，即，所以，即，當時，.故選：C.3.已知非零向量，，滿意，，若為在上的投影向量，則向量，夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意，由平面對量的數(shù)量積運算，向量的投影向量的計算公式，結合其夾角公式代入計算，即可得到結果.【詳解】由，為在上的投影向量，所以，故故選：B4.設，是兩個不同的平面，a，b是兩條不同的直線，且，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由空間中的線面關系結合充分必要條件的推斷得答案【詳解】由，，則，又，所以，故“”是“”的充分條件.當滿意，，時，直線可能平行，可能相交，也可能異面.故“”不是“”的必要條件.故選：A5.杭州第19屆亞運會火炬9月14日在浙江臺州傳遞，火炬?zhèn)鬟f路途以“和合臺州活力城市”為主題，全長8公里．從和合公園動身，途經臺州市圖書館、文化館、體育中心等地標建筑．假設某段線路由甲、乙等6人傳遞，每人傳遞一棒，且甲不從乙手中接棒，乙不從甲手中接棒，則不同的傳遞方案共有（）A.288種 B.360種 C.480種 D.504種【答案】C【解析】【分析】依據(jù)排列數(shù)以及插空法的學問求得正確答案.【詳解】先支配甲乙以外的個人，然后插空支配甲乙兩人，所以不同的傳遞方案共有種.故選：C6.函數(shù)的圖象如圖①所示，則如圖②所示的函數(shù)圖象所對應的函數(shù)解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)給定的函數(shù)圖象，由推理解除CD；由①中函數(shù)當時，分析推斷得解.【詳解】由圖①知，，且當時，，由②知，圖象過點，且當時，，對于C，當時，，C不行能；對于D，當時，，D不行能；對于A，當時，，而當時，，則，A可能；對于B，當時，，而當時，，則，B不行能.故選：A7.已知二面角的平面角為，，，，，，與平面所成角為．記的面積為，的面積為，則的最小值為（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)正弦定理、三角形的面積公式、二面角的學問求得正確答案.【詳解】過作，垂足為，連接，依題意，，由于平面，所以平面，由于平面，所以，所以.由于，所以平面，平面，所以在平面上的射影為，所以，依據(jù)三角形的面積公式以及正弦定理得：，由于，所以當時，取得最小值為.故選：D8.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】構造函數(shù),，探討得出函數(shù)單調性遞增后，通過做差或做商推斷，大小后，即可推斷,的大小，利用下凸函數(shù)與割線的關系即可推斷,的大小.【詳解】因為，連接和,得割線方程,因為在上是下凸函數(shù)，所以在上，割線在正切曲線上方，即,所以當時，,令，，，當時，因為,即，所以在單調增，即,因為，所以，即，故，即.故選：A.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.袋子中有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取5次，每次取一個球．記錄每次取到的數(shù)字，統(tǒng)計后發(fā)覺這5個數(shù)字的平均數(shù)為2，方差小于1，則（）A.可能取到數(shù)字4 B.中位數(shù)可能是2C.極差可能是4 D.眾數(shù)可能是2【答案】BD【解析】【分析】對于AC：依據(jù)題意結合平均數(shù)、方差和極差的定義分析推斷；對于BD：舉例說明即可.【詳解】設這5個數(shù)字為，對于A：若取到數(shù)字4，不妨設為，則，可得，可知這4個數(shù)中至少有2個1，不妨設為，則這5個數(shù)字的方差，不合題意，故A錯誤；對于C：因為這5個數(shù)字的平均數(shù)為2，這5個數(shù)字至少有1個1，不妨設為，若極差是4，這最大數(shù)為5，不妨設為，則這5個數(shù)字的平均數(shù)，則，可知這3個數(shù)有2個1，1個2，此時這5個數(shù)字的方差，不合題意，故C錯誤；對于BD：例如2，2，2，2，2，可知這5個數(shù)字的平均數(shù)為2，方差為0，符合題意，且中位數(shù)是2，眾數(shù)是2，故BD正確；故選：BD.10.已知等差數(shù)列中，，公差為，，記為數(shù)列的前n項和，則下列說法正確的是（）A.B.C.若，則D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】由為等差數(shù)列，先求出，由可推斷選項A；對于選項B，分為奇數(shù)和偶數(shù)分別求的前項和，從而可推斷;選項C，先得出，從而得出，，再分為奇數(shù)和偶數(shù)分別求的前項和；對于選項D，由，求出，從而可求出的前項的和.【詳解】由為等差數(shù)列，，公差為，則當時，，則選項A不正確.當為偶數(shù)時，當為奇數(shù)時，故，所以選項B正確.當為偶數(shù)時，當為奇數(shù)時，所以，故選項C正確.所以，所以選項D正確故選：BCD11.已知為雙曲線：上位于第一象限內一點，過點作x軸的垂線，垂足為，點與點關于原點對稱，點為雙曲線的左焦點，則（）A.若，則B.若，則的面積為9C.D.的最小值為8【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)題意結合四邊形的形態(tài)分析A，B；將轉化成直線斜率，借助漸近線斜率推斷C；由雙曲線定義，利用與之間的關系求最值推斷選項D.【詳解】設雙曲線右焦點為，由題意可知，四邊形為平行四邊形，如圖：由雙曲線：可知：，，，對于A，因為，所以，所以四邊形為矩形，所以，故A正確；對于B，據(jù)雙曲線定義可知：，，若，則四邊形為矩形，則，所以，即，所以，所以，所以，故B正確；對于C，由雙曲線的方程可知，在中，又因為雙曲線漸近線方程為：，所以所以，即，故C錯誤；對于D，，當且僅當時，取到最小值為8，故D正確.故選：ABD12.已知是定義域為的函數(shù)的導函數(shù)，，，，，則下列說法正確的是（）A.B.（為自然對數(shù)的底數(shù)，）C.存在，D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】由原函數(shù)和導函數(shù)的對稱性推斷A；令，結合題設條件推斷其單調性后可推斷B，C，D.【詳解】因為是定義域為的函數(shù)的導函數(shù)，所以是定義域為的可導函數(shù)，因為，所以的圖像關于點對稱，所以，而，故，所以的圖像關于對稱，因為，故時，，所以，設，故時，，故在上為增函數(shù)，同理在上為減函數(shù)，對于A，因為，故，故A正確；對于B，，故，故B正確；對于C，當時，；當時，，而時，，故恒成立，故C錯誤；對于D，當時，單調遞減，，，所以，故時，，而，故，故D正確；故選：ABD【點睛】思路點睛：抽象函數(shù)及其導數(shù)性質的探討中，留意軸對稱與中心對稱的轉化，另外對于原函數(shù)與導函數(shù)具有的不等式可適當構建新函數(shù)，通過新函數(shù)的性質得到原函數(shù)的性質.非選擇題部分（共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若（為虛數(shù)單位），則______．【答案】##【解析】【分析】依據(jù)復數(shù)模的計算公式計算可得.【詳解】因為，所以.故答案：14.浙江省高考實行“七選三”選科模式，賜予了學生充分的自由選擇權．甲、乙、丙三所學校分別有75%，60%，50%的學生選了物理，這三所學校的學生數(shù)之比為，現(xiàn)從這三所學校中隨機選取一個學生，則這個學生選了物理的概率為______．【答案】【解析】【分析】先求得這個學生來自每個學校并且選擇了物理概率，最終由分類加法算出總概率.【詳解】設：事務：這個學生來自甲學校；事務：這個學生來自乙學校；事務：這個學生來自丙學校；事務：甲學校學生選了物理；事務：乙學校學生選了物理；事務：丙學校學生選了物理；由題意知：這個學生選擇是物理的概率：.故答案為：.15.在中，角A，，所對的分別為，，．若角A為銳角，，，則的周長可能為______．（寫出一個符合題意的答案即可）【答案】9（答案不唯一，內的任何一個值均可）【解析】【分析】依據(jù)題意利用余弦定理可得，進而可得周長的取值范圍.【詳解】由余弦定理可得，因為角A為銳角，則，可得，所以的周長.故答案為：9（答案不唯一，內的任何一個值均可）.16.拋物線有一條重要性質：從焦點動身的光線，經過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸．過拋物線：上的點（不為原點）作的切線，過坐標原點作，垂足為，直線（為拋物線的焦點）與直線交于點，點，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】設點，切線的方程為，繼而求得切線的斜率，由可求得的方程，與直線聯(lián)立可求得點的坐標，繼而消參可求得點的軌跡方程，則結合圖形可求得得范圍.【詳解】因為點為拋物線：上的點（不為原點），所以可設點，且當切線的斜率不存在時，切點為原點不合題意；當切線的斜率存在時，可設為，聯(lián)立，消去可得，化簡可得，令，可得，化簡可得，即，又，所以的斜率，所以的方程，因為點，所以的斜率為，則的方程為，聯(lián)立，解得，即，當時，的方程為，的方程則或，滿意由兩式相除可得，即由，可得再代入，可得，化簡可得，可得，可知點軌跡為半徑為的圓，圓心為,結合圖形可知，又，，則.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和為，若，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)等比數(shù)列的定義和求和公式求，進而可得結果；（2）由（1）可得：，利用分組求和結合等差、等比數(shù)列的求和公式運算求解.【小問1詳解】設的公比為，因為，即，且，可得，解得或（舍去）．又因為，解得，所以.【小問2詳解】由（1）可得：，所以，所以18.已知．（1）當時，求的最小正周期以及單調遞減區(qū)間；（2）當時，求的值域．【答案】（1）最小正周期為，單調遞減區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）應用幫助角公式化簡函數(shù)，應用公式求得，應用整體代入法即可求單調區(qū)間；（2）應用換元法，設，則函數(shù)轉化為，，即可求解.【小問1詳解】當時，，，令，，得，，所以函數(shù)的最小正周期為，單調遞減區(qū)間為．【小問2詳解】當，，設，則，令，，又，故當時，取得最大值，當時，取得最小值，所以的值域為．19.如圖，已知四邊形為平行四邊形，為的中點，，．將沿折起，使點到達點的位置．（1）若平面平面，求證：；（2）若點A到直線的距離為，求二面角的平面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）或【解析】【分析】（1）依據(jù)題意利用面面垂直的性質定理可得平面，進而可得結果；（2）分析可知即為二面角的平面角，記為，建系，可得，結合點到線的距離公式運算求解.【小問1詳解】因為四邊形為平行四邊形，且為等邊三角形，所以．又因為為的中點，則，所以為等腰三角形，可得，，即，因為平面平面，平面平面，平面，則平面，且平面，所以．【小問2詳解】取的中點，連接，因為為等邊三角形，所以，取的中點，則，由（1）得，所以，所以即為二面角的平面角，記為．以點為坐標原點，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．則，，因為，則，可得；，則點A到直線的距離為，由題意可得，解得，或，所以二面角的平面角的余弦值為或．20.為了了解中學學生課后自主學習數(shù)學時間（分鐘/每天）和他們的數(shù)學成果（分）的關系，某試驗小組做了調查，得到一些數(shù)據(jù)（表一）．表一編號12345學習時間3040506070數(shù)學成果65788599108（1）請依據(jù)所給數(shù)據(jù)求出，的閱歷回來方程，并由此預料每天課后自主學習數(shù)學時間為100分鐘時的數(shù)學成果：（參考數(shù)據(jù)：，，的方差為200）（2）基于上述調查，某校提倡學生周末在校自主學習．經過一學期的實施后，抽樣調查了220位學生．依據(jù)是否參加周未在校自主學習以及成果是否有進步統(tǒng)計，得到列聯(lián)表（表二）．依據(jù)表中數(shù)據(jù)及小概率值的獨立性檢驗，分析“周末在校自主學習與成果進步”是否有關．表二沒有進步有進步合計參加周末在校自主學習35130165未參加周末不在校自主學習253055合計60160220附：，，．0.100.0500100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1），140.5分（2）可以認為“周末自主學習與成果進步”有關．【解析】【分析】（1）先求出平均數(shù)，利用最小二乘法求出回來方程，代入數(shù)據(jù)即可預料；（2）依據(jù)題意計算出，進而由獨立性檢驗得出答案.【小問1詳解】，，又的方差為，所以，，故，當時，，故預料每天課后自主學習數(shù)學時間達到100分鐘時的數(shù)學成果為140.5分．【小問2詳解】零假設為：學生周末在校自主學習與成果進步無關．依據(jù)數(shù)據(jù)，計算得到：，因為，所以依據(jù)的獨立性檢驗，可以認為“周末自主學習與成果進步”有關．21.已知橢圓：的上、下頂點分別為，，點在線段上運動（不含端點），點，直線與橢圓交于，兩點（點在點左側），中點的軌跡交軸于，兩點，且．（1）求橢圓的方程；（2）記直線，的斜率分別為，，求的最小值．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）依據(jù)中點坐標關系即代入橢圓求解點軌跡，即可由求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程可得韋達定理，依據(jù)兩點斜率公式可求解，，即可依據(jù)二次函數(shù)的性質求解最值.【小問1詳解】設中點