2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期同步精講精練(人教A版選擇性必修第二冊)4.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(精練)(原卷版+解析)

4.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)1．(2023·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知正項(xiàng)等比數(shù)列首項(xiàng)為1，且成等差數(shù)列，則前6項(xiàng)和為（

）A．31 B． C． D．632．(2023·四川·模擬預(yù)測（文））已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．3．(2023·陜西寶雞·二模（文））已知數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，若，且是與2的等差中項(xiàng)，則q的值是（

）A．1 B．2C．或1 D．或24．(2023·河南安陽·模擬預(yù)測（文））已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．5．(2023·內(nèi)蒙古·滿洲里市教研培訓(xùn)中心模擬預(yù)測（理））直播帶貨是一種直播和電商相結(jié)合的銷售手段，目前受到了廣大消費(fèi)者的追捧，針對這種現(xiàn)狀，某傳媒公司決定逐年加大直播帶貨的資金投入，若該公司今年投入的資金為萬元，并在此基礎(chǔ)上，以后每年的資金投入均比上一年增長，則該公司需經(jīng)過（

）年其投入資金開始超過萬元.（參考數(shù)據(jù)：，，）A． B． C． D．6．(2023·全國·模擬預(yù)測）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，公比，若，的最小值為31，則的值為（

）A． B． C．155 D．7．(2023·遼寧·模擬預(yù)測）如圖是美麗的“勾股樹”，將一個直角三角形分別以它的每一條邊向外作正方形而得到如圖①的第1代“勾股樹”，重復(fù)圖①的作法，得到如圖②的第2代“勾股樹”，…，以此類推，記第n代“勾股樹”中所有正方形的個數(shù)為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若不等式恒成立，則n的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．108．(2023·全國·模擬預(yù)測）公元1202年意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即，此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用．若記，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A．-1 B．0 C．2021 D．2022二、多選題9．(2023·湖南·高二期中）已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，則數(shù)列是等差數(shù)列B．若，，則C．若，，則D．若，則10．(2023·湖南·高三開學(xué)考試）樹人中學(xué)的“希望工程”中，甲?乙兩個募捐小組暑假期間走上街頭分別進(jìn)行了為期兩周的募捐活動.兩個小組第1天都募得1000元，之后甲小組繼續(xù)按第1天的方法進(jìn)行募捐，則從第2天起，甲小組每一天得到的捐款都比前一天少50元；乙小組采取了積極措施，從第1天募得的1000元中拿出了600元印刷宣傳材料，則從第2天起，第天募得的捐款數(shù)為元.若甲小組前天募得捐款數(shù)累計為元，乙小組前天募得捐款數(shù)累計為元（需扣除印刷宣傳材料的費(fèi)用），則（

）A．B．甲小組募得捐款為9550元C．從第7天起，總有D．且三、填空題11．(2023·廣西河池·高二期末（理））觀察如圖的數(shù)陣，根據(jù)數(shù)陣排列的規(guī)律，則該數(shù)陣中第10行，從左往右數(shù)的第10個數(shù)是__________.12．(2023·全國·高二單元測試）已知數(shù)列的首項(xiàng)為4，且滿足，則下列結(jié)論中正確的是______．（填序號）①為等差數(shù)列；②為嚴(yán)格增數(shù)列；③的前n項(xiàng)和；④的前n項(xiàng)和．四、解答題13．(2023·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為．(1)若公比，，，求n；(2)若，求公比q．14．(2023·廣東佛山·高二期中）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．B能力提升15．(2023·內(nèi)蒙古包頭·高三期末（理））已知數(shù)列滿足，.(1)記，寫出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的前12項(xiàng)和.16．(2023·山東·高三開學(xué)考試）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.C綜合素養(yǎng)17．(2023·全國·高二專題練習(xí)）從①；②，；③，是，的等比中項(xiàng)這三個條件中任選一個，補(bǔ)充到下面橫線上，并解答．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差d不等于零，______．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．18．(2023·河北邢臺·高三開學(xué)考試）數(shù)列的前n項(xiàng)積.數(shù)列的前n項(xiàng)和.(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式.(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.4.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)1．(2023·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知正項(xiàng)等比數(shù)列首項(xiàng)為1，且成等差數(shù)列，則前6項(xiàng)和為（

）A．31 B． C． D．63答案：C【詳解】∵成等差數(shù)列，∴，∴，即，解得或，又∵，∴，∴，故選：C.2．(2023·四川·模擬預(yù)測（文））已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．答案：D【詳解】因?yàn)?，所以?shù)列為等比數(shù)列，公比，所以，解得：，所以故選：D3．(2023·陜西寶雞·二模（文））已知數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，若，且是與2的等差中項(xiàng)，則q的值是（

）A．1 B．2C．或1 D．或2答案：A【詳解】由解得.因?yàn)槭桥c2的等差中項(xiàng)，所以.把代入得：，消去得：，解得.故選：A．4．(2023·河南安陽·模擬預(yù)測（文））已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．答案：A【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，所以，得，所以，故選：A5．(2023·內(nèi)蒙古·滿洲里市教研培訓(xùn)中心模擬預(yù)測（理））直播帶貨是一種直播和電商相結(jié)合的銷售手段，目前受到了廣大消費(fèi)者的追捧，針對這種現(xiàn)狀，某傳媒公司決定逐年加大直播帶貨的資金投入，若該公司今年投入的資金為萬元，并在此基礎(chǔ)上，以后每年的資金投入均比上一年增長，則該公司需經(jīng)過（

）年其投入資金開始超過萬元.（參考數(shù)據(jù)：，，）A． B． C． D．答案：C【詳解】設(shè)該公司經(jīng)過年投入的資金為萬元，則，由題意可知，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，，由可得，因此，該公司需經(jīng)過年其投入資金開始超過萬元.故選：C.6．(2023·全國·模擬預(yù)測）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，公比，若，的最小值為31，則的值為（

）A． B． C．155 D．答案：D【詳解】由題可得，，令，則，又，故，因此，即，易知當(dāng)時，有最大值，為，所以的最小值為，所以，解得.故選：D．7．(2023·遼寧·模擬預(yù)測）如圖是美麗的“勾股樹”，將一個直角三角形分別以它的每一條邊向外作正方形而得到如圖①的第1代“勾股樹”，重復(fù)圖①的作法，得到如圖②的第2代“勾股樹”，…，以此類推，記第n代“勾股樹”中所有正方形的個數(shù)為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若不等式恒成立，則n的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10答案：C【詳解】解：第1代“勾股樹”中，正方形的個數(shù)為，第2代“勾股樹”中，正方形的個數(shù)為，…，以此類推，第n代“勾股樹”中所有正方形的個數(shù)為，即，所以，因?yàn)?，所以?shù)列為遞增數(shù)列，又，，所以n的最小值為9．故選：C．8．(2023·全國·模擬預(yù)測）公元1202年意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即，此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用．若記，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A．-1 B．0 C．2021 D．2022答案：B【詳解】解：由題意可知，又，因此，故，故選：B.二、多選題9．(2023·湖南·高二期中）已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，則數(shù)列是等差數(shù)列B．若，，則C．若，，則D．若，則答案：AC【詳解】A：不妨設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，則，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，故A正確；B：因?yàn)?，所以，即，解得或．故B不正確；C：若，，則，注意到，所以，所以C正確；D：由得，所以，當(dāng)時，，，所以D不正確．故選：AC.10．(2023·湖南·高三開學(xué)考試）樹人中學(xué)的“希望工程”中，甲?乙兩個募捐小組暑假期間走上街頭分別進(jìn)行了為期兩周的募捐活動.兩個小組第1天都募得1000元，之后甲小組繼續(xù)按第1天的方法進(jìn)行募捐，則從第2天起，甲小組每一天得到的捐款都比前一天少50元；乙小組采取了積極措施，從第1天募得的1000元中拿出了600元印刷宣傳材料，則從第2天起，第天募得的捐款數(shù)為元.若甲小組前天募得捐款數(shù)累計為元，乙小組前天募得捐款數(shù)累計為元（需扣除印刷宣傳材料的費(fèi)用），則（

）A．B．甲小組募得捐款為9550元C．從第7天起，總有D．且答案：AC【詳解】由題可知且，設(shè)代表第天甲小組募得捐款，且，對于甲小組，，所以，所以，所以且，所以，故選項(xiàng)B不正確；設(shè)代表第天乙小組募得捐款，由題可知，，所以，，故選項(xiàng)D錯誤；因?yàn)?，故該選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)C，令，所以，而當(dāng)時，，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，因此，所以，故選項(xiàng)C正確.故選：AC三、填空題11．(2023·廣西河池·高二期末（理））觀察如圖的數(shù)陣，根據(jù)數(shù)陣排列的規(guī)律，則該數(shù)陣中第10行，從左往右數(shù)的第10個數(shù)是__________.答案：1041【詳解】該數(shù)陣是由從1開始的正奇數(shù)構(gòu)成的，第1行有個數(shù)，第2行有個數(shù)，第3行有個數(shù)，第4行有個數(shù)，故第行有個數(shù)，故第1行到第9行共有（個）數(shù)，則該數(shù)陣中第10行，從左往右數(shù)的第10個數(shù)是從1開始的第個奇數(shù)，故該數(shù)為.故答案為：104112．(2023·全國·高二單元測試）已知數(shù)列的首項(xiàng)為4，且滿足，則下列結(jié)論中正確的是______．（填序號）①為等差數(shù)列；②為嚴(yán)格增數(shù)列；③的前n項(xiàng)和；④的前n項(xiàng)和．答案：②④【詳解】由，兩邊都除以，可得，即，又，故，所以是首項(xiàng)為4公比為2的等比數(shù)列，故①錯誤；所以，解得，所以為嚴(yán)格遞增數(shù)列，故②正確；的前n項(xiàng)和，，兩式相減得，所以，故③錯誤；由可得，所以的前n項(xiàng)和，故④正確．故答案為：②④.四、解答題13．(2023·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為．(1)若公比，，，求n；(2)若，求公比q．答案：(1)6(2)1或（1）依題意，由于，所以兩式相除得，.（2）依題意，即，，解得或.14．(2023·廣東佛山·高二期中）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．答案：(1)；(2).(1)設(shè)公差為，由得，，解得，∴；(2)由得，∴.B能力提升15．(2023·內(nèi)蒙古包頭·高三期末（理））已知數(shù)列滿足，.(1)記，寫出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的前12項(xiàng)和.答案：(1)，，(2)(1)解：由題意得：當(dāng)時，①當(dāng)時，②由②，即，③把③代入①，得故，且，，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列.故.(2)把①代入②，得，且所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，故，于是.16．(2023·山東·高三開學(xué)考試）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.答案：(1)(2)（1）解：因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以，當(dāng)時，當(dāng)時，所以，當(dāng)時也成立，所以.（2）解：由（1）可知，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以，所以，所以，所以.C綜合素養(yǎng)17．(2023·全國·高二專題練習(xí)）從①；②，；③，是，的等比中項(xiàng)這三個條件中任選一個，補(bǔ)充到下面橫線上，并解答．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差d不等于零，______．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．答案：(1