高考數(shù)學一輪復習(提升版)(新高考地區(qū)專用)5.3三角函數(shù)的性質(zhì)(精講)(提升版)(原卷版+解析)

5.3三角函數(shù)的性質(zhì)（精講）（提升版）思維導圖思維導圖考點呈現(xiàn)考點呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點一值域【例1-1】(2023·湖南·長郡中學高三階段練習）函數(shù)（）的圖象向左平移個單位后關于直線對稱，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為（

）A． B． C． D．【例1-2】(2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的最大值為（

）A．1 B． C． D．3【例1-3】（2023·河南南陽·高三期末）已知，若對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍為(

)A． B． C． D．【例1-4】(2023·陜西·武功縣普集高級中學高三階段練習（理））函數(shù)在內(nèi)恰有兩個最小值點，則的范圍是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023·江蘇泰州·高三階段練習）已知函數(shù)，的值域為，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．(2023·河南焦作·二模）已知函數(shù)，若方程在區(qū)間上恰有5個實根，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．(2023·全國·高三專題練習）已知函，對于任意的x1，x2∈R，都有f(x1)+f(x2)-2≤0，若f(x)在[0，π]上的值域為，則實數(shù)ω的取值范圍為（

）A． B． C． D．考點二伸縮平移【例2-1】(2023·河南洛陽·模擬預測（文））已知曲線，，為了得到曲線，則對曲線的變換正確的是（

）A．先把橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再把得到的曲線向右平移個單位長度B．先把橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再把得到的曲線向左平移個單位長度C．先把橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），再把得到的曲線向右平移個單位長度D．先把橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），再把得到的曲線向左平移個單位長度【例2-2】(2023·全國·高三專題練習）將函數(shù)的圖象向左平移a(a>0)個單位長度得到函數(shù)g(x)=cos2x的圖象，則a的最小值為（

）A． B． C． D．π【一隅三反】1．(2023·陜西）已知函數(shù)的最小正周期為，若將其圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關于坐標原點對稱，則的圖象（

）A．關于點對稱 B．關于對稱 C．關于點對稱 D．關于對稱2．(2023·湖北·一模）函數(shù)，先把函數(shù)的圖像向左平移個單位，再把圖像上各點的橫坐標縮短到原來的，得到函數(shù)的圖像，則下列說法錯誤的是（

）A．函數(shù)是奇函數(shù)，最大值是2B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C．函數(shù)的圖像關于直線對稱D．π是函數(shù)的周期3．(2023·全國·模擬預測）若將函數(shù)的圖象分別向左平移個單位長度與向右平移個單位長度，所得的兩個函數(shù)圖象恰好重合，則的最小值為（

）A． B． C． D．考點三三角函數(shù)的性質(zhì)【例3-1】(2023·全國·高三專題練習）（多選）下列函數(shù)中，以為最小正周期的函數(shù)有（

）A． B． C． D．【例3-2】（2023·河南）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)圖象的對稱中心完全相同，則（

）A． B． C．1 D．2【例3-3】(2023·四川·瀘縣五中二模（文））將的圖象向左平移個單位后得到的圖象，則有（

）A．為奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減B．為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增C．周期為π，圖象關于點對稱D．最大值為1，圖象關于直線對稱【例3-4】(2023·山東青島·一模）已知函數(shù)，將的圖象先向左平移個單位長度，然后再向下平移1個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若圖象關于對稱，則為（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．(2023·全國·高三專題練習）（多選）下列函數(shù)中，圖象為軸對稱圖形的是（

）A． B．C． D．2．(2023·北京西城·一模）將函數(shù)的圖象向右平移個單位所得函數(shù)圖象關于原點對稱，向左平移個單位所得函數(shù)圖象關于軸對稱，其中，，則（

）A． B． C． D．3．(2023·北京·一模）已知函數(shù).從下列四個條件中選擇兩個作為已知，使函數(shù)存在且唯一確定．(1)求的解析式；(2)設，求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間.條件①：；條件②：為偶函數(shù)；條件③：的最大值為1；條件④：圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為．注：如果選擇的條件不符合要求，第（1）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.4．(2023·浙江浙江·二模）已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求函數(shù)的值域．考點四三角函數(shù)性質(zhì)與其他知識的綜合運用【例4-1】(2023·江蘇蘇州）若函數(shù)在區(qū)間[0，π)內(nèi)有且只有兩個極值點，則正數(shù)ω的取值范圍是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．(2023·江蘇南通·模擬預測）已知函數(shù)在區(qū)間上無極值，則的取值范圍是（

）A．（0，5] B．（0，5）C．（0，） D．（0，]2．(2023·陜西·西安中學模擬預測（文））已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，現(xiàn)將的圖像向左平移個單位長度得到的圖像，則方程在上實數(shù)解的個數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．83．(2023·四川省瀘縣第二中學模擬預測（理））已知的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別是a，b，c，且，若將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖像，則下列說法中正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為 B．函數(shù)的圖象關于直線對稱C．當時，函數(shù)的最小值為 D．函數(shù)在上單調(diào)遞增5.3三角函數(shù)的性質(zhì)（精講）（提升版）思維導圖思維導圖考點呈現(xiàn)考點呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點一值域【例1-1】(2023·湖南·長郡中學高三階段練習）函數(shù)（）的圖象向左平移個單位后關于直線對稱，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】函數(shù)的圖象向左平移個單位后的圖象表達式為y，該函數(shù)的圖象關于直線對稱，所以，又所以，，所以.當時，，所以當，即時，的最小值為.故選：A【例1-2】(2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的最大值為（

）A．1 B． C． D．3答案：C【解析】，令，所以，則，所以，所以原函數(shù)可化為，，對稱軸為，所以當時，取得最大值，所以函數(shù)的最大值為，即的最大值為，故選：C【例1-3】（2023·河南南陽·高三期末）已知，若對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍為(

)A． B． C． D．答案：A【解析】，，則，.，若對任意恒成立，則，即.故選：A.【例1-4】(2023·陜西·武功縣普集高級中學高三階段練習（理））函數(shù)在內(nèi)恰有兩個最小值點，則的范圍是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】當時，即時，函數(shù)有最小值，令時，有，，，，因為函數(shù)在內(nèi)恰有兩個最小值點，，所以有：，故選：B【一隅三反】1．（2023·江蘇泰州·高三階段練習）已知函數(shù)，的值域為，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】設，則，所以，且，又的值域為，所以，即實數(shù)的取值范圍為.故選：C.2．(2023·河南焦作·二模）已知函數(shù)，若方程在區(qū)間上恰有5個實根，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】由方程，可得，所以，當時，，所以的可能取值為，，，，，，…，因為原方程在區(qū)間上恰有5個實根，所以，解得，即的取值范圍是.故選：D.3．(2023·全國·高三專題練習）已知函，對于任意的x1，x2∈R，都有f(x1)+f(x2)-2≤0，若f(x)在[0，π]上的值域為，則實數(shù)ω的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】f(x)=asinωx+cos(ωx-)=asinωx+cosωxcos+sinωxsin=(+a)sinωx+cosωx=·sin(ωx+φ)，其中tanφ=.對于任意的x1，x2∈R，都有f(x1)+f(x2)-2≤0，即f(x1)+f(x2)≤2，當且僅當f(x1)=f(x2)=f(x)max時取等號，故2=2，解得a=1或a=-2(舍去)，故f(x)=sinωx+cosωx=sin(ωx+).因為0≤x≤π，所以≤ωx+≤ωπ+.又f(x)在[0，π]上的值域為[]，所以≤ωπ+≤，解得≤ω≤.故選：B.考點二伸縮平移【例2-1】(2023·河南洛陽·模擬預測（文））已知曲線，，為了得到曲線，則對曲線的變換正確的是（

）A．先把橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再把得到的曲線向右平移個單位長度B．先把橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再把得到的曲線向左平移個單位長度C．先把橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），再把得到的曲線向右平移個單位長度D．先把橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），再把得到的曲線向左平移個單位長度答案：C【解析】A.先把曲線上點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得的圖象，再把得到的曲線向右平移個單位長度得的圖象，A錯；B.先把曲線上點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得的圖象，再把得到的曲線向左平移個單位長度得的圖象，B錯；C.先把曲線上點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得的圖象，再把得到的曲線向右平移個單位長度得的圖象，C正確；D.先把曲線上點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得的圖象，再把得到的曲線向左平移個單位長度得的圖象，D錯誤；故選：C．【例2-2】(2023·全國·高三專題練習）將函數(shù)的圖象向左平移a(a>0)個單位長度得到函數(shù)g(x)=cos2x的圖象，則a的最小值為（

）A． B． C． D．π答案：B【解析】將函數(shù)f(x)=sin(2x-)的圖象向左平移a(a>0)個單位長度，可得函數(shù)y=sin[2(x+a)-]=sin[2x+(2a-)]的圖象，所以y=sin[2x+(2a-)]的圖象與g(x)=cos2x的圖象重合.因為g(x)=cos2x=sin(2x+)，所以2a-=2kπ+，k∈Z，即a=kπ+，k∈Z.當k=0時，可得amin=.故選：B.【一隅三反】1．(2023·陜西）已知函數(shù)的最小正周期為，若將其圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關于坐標原點對稱，則的圖象（

）A．關于點對稱 B．關于對稱 C．關于點對稱 D．關于對稱答案：A【解析】依題意，解得，所以，將函數(shù)向左平移個單位長度得到，因為關于坐標原點對稱，所以，解得，因為，所以，所以，因為，所以函數(shù)關于對稱，又，所以函數(shù)關于對稱，，所以函數(shù)關于對稱；故選：A2．(2023·湖北·一模）函數(shù)，先把函數(shù)的圖像向左平移個單位，再把圖像上各點的橫坐標縮短到原來的，得到函數(shù)的圖像，則下列說法錯誤的是（

）A．函數(shù)是奇函數(shù)，最大值是2B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C．函數(shù)的圖像關于直線對稱D．π是函數(shù)的周期答案：B【解析】，把函數(shù)的圖像向左平移個單位，得，再把圖像上各點的橫坐標縮短到原來的，得，所以可知是奇函數(shù)，最大值是2，最小正周期為，當，得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，得，所以也是函數(shù)的對稱軸，所以錯誤的選項為B.故選：B.3．(2023·全國·模擬預測）若將函數(shù)的圖象分別向左平移個單位長度與向右平移個單位長度，所得的兩個函數(shù)圖象恰好重合，則的最小值為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】的圖象向左平移個單位長度得的圖象,向右平移（）個單位長度得的圖象,由題意得（）所以（）又,故的最小值為,故選：A考點三三角函數(shù)的性質(zhì)【例3-1】(2023·全國·高三專題練習）（多選）下列函數(shù)中，以為最小正周期的函數(shù)有（

）A． B． C． D．答案：BD【解析】，其最小正周期為，的最小正周期為，所以的最小正周期為，的最小正周期為，所以的最小正周期為，的最小正周期為故選：BD【例3-2】（2023·河南）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)圖象的對稱中心完全相同，則（

）A． B． C．1 D．2答案：C【解析】由已知，令，解得，所以的對稱中心為，又的對稱中心為，所以.故選：C【例3-3】(2023·四川·瀘縣五中二模（文））將的圖象向左平移個單位后得到的圖象，則有（

）A．為奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減B．為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增C．周期為π，圖象關于點對稱D．最大值為1，圖象關于直線對稱答案：D【解析】將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，得到函數(shù)的圖象.為偶函數(shù)，，，函數(shù)單調(diào)遞減，故A不正確；，，，，函數(shù)不單調(diào)，故B錯誤；的周期為，當時，，故C錯誤；g（x）最大值為1，當時，函數(shù)，為最小值，故的圖象關于直線對稱，故D正確，故選：D．【例3-4】(2023·山東青島·一模）已知函數(shù)，將的圖象先向左平移個單位長度，然后再向下平移1個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若圖象關于對稱，則為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】，的圖象先向左平移個單位長度，然后再向下平移1個單位長度，得到函數(shù)，故，所以，由于，所以.故選：A【一隅三反】1．(2023·全國·高三專題練習）（多選）下列函數(shù)中，圖象為軸對稱圖形的是（

）A． B．C． D．答案：AC【解析】A.因為，所以是偶函數(shù)，函數(shù)圖象關于y軸對稱，故正確；B.因為的對稱軸方程為：，的對稱軸方程為：，又，所以圖象不是軸對稱圖形，故錯誤；C.將向左平移個單位可得，因為，所以是偶函數(shù)，所以是軸對稱圖形，故正確；D.因為的對稱軸方程為：，的對稱軸方程為：，又，所以圖象不是軸對稱圖形，故錯誤；故選：AC2．(2023·北京西城·一模）將函數(shù)的圖象向右平移個單位所得函數(shù)圖象關于原點對稱，向左平移個單位所得函數(shù)圖象關于軸對稱，其中，，則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由函數(shù)的圖象向右平移個單位，可得，又由函數(shù)的圖象向左平移個單位，可得，因為函數(shù)關于原點對稱，可得，解得，即又因為的圖象關于軸對稱，可得，解得，則，即，因為，可得.故選：D.3．(2023·北京·一模）已知函數(shù).從下列四個條件中選擇兩個作為已知，使函數(shù)存在且唯一確定．(1)求的解析式；(2)設，求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間.條件①：；條件②：為偶函數(shù)；條件③：的最大值為1；條件④：圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為．注：如果選擇的條件不符合要求，第（1）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.答案：(1)選擇①④或③④均可得到(2)和【解析】(1)因為，所以，顯然當時為奇函數(shù)，故②不能選，若選擇①③，即最大值為，所以，解得，所以，又，所以，即，，解得，，故不能唯一確定，故舍去；若選擇①④，即圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以，解得，所以，又，所以，解得，所以；若選擇③④，即圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以，解得，所以，又的最大值為，所以，解得，所以；(2)由（1）可得令，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，又，所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間有和；4．(2023·浙江浙江·二模）已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求函數(shù)的值域．答案：(1)(2)【解析】(1)由由得所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：(2)由，則所以由，則所以函數(shù)的值域為考點四三角函數(shù)性質(zhì)與其他知識的綜合運用【例4-1】(2023·江蘇蘇州）若函數(shù)在區(qū)間[0，π)內(nèi)有且只有兩個極值點，則正數(shù)ω的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：