高考數(shù)學一輪復習考點微專題(新高考地區(qū)專用)考向31利用向量法解決立體幾何問題(十五大經(jīng)典題型)(原卷版+解析)

考向31利用向量法解決立體幾何問題經(jīng)典題型一：空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算經(jīng)典題型二：空間共線向量定理的應用經(jīng)典題型三：空間向量的數(shù)量積運算經(jīng)典題型四：證明三點共線經(jīng)典題型五：證明多點共面的方法經(jīng)典題型六：證明直線和直線平行經(jīng)典題型七：證明直線和平面平行經(jīng)典題型八：證明平面與平面平行經(jīng)典題型九：證明直線與直線垂直經(jīng)典題型十：證明直線與平面垂直經(jīng)典題型十一：證明平面和平面垂直經(jīng)典題型十二：求兩異面直線所成角經(jīng)典題型十三：求直線與平面所成角經(jīng)典題型十四：求平面與平面所成角經(jīng)典題型十五：距離問題(2023·全國·高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點．(1)證明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．【解析】（1）證明：連接并延長交于點，連接、，因為是三棱錐的高，所以平面，平面，所以、，又，所以，即，所以，又，即，所以，，所以所以，即，所以為的中點，又為的中點，所以，又平面，平面，所以平面（2）過點作，如圖建立平面直角坐標系，因為，，所以，又，所以，則，，所以，所以，，，，所以，則，，，設平面的法向量為，則，令，則，，所以；設平面的法向量為，則，令，則，，所以；所以.設二面角的大小為，則，所以，即二面角的正弦值為.(2023·全國·高考真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設D為的中點，，平面平面，求二面角的正弦值．【解析】（1）在直三棱柱中，設點A到平面的距離為h，則，解得，所以點A到平面的距離為；（2）取的中點E,連接AE,如圖，因為，所以,又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，，又平面且相交，所以平面，所以兩兩垂直，以B為原點，建立空間直角坐標系，如圖，由（1）得，所以，，所以，則,所以的中點，則，,設平面的一個法向量，則，可取，設平面的一個法向量，則，可取，則，所以二面角的正弦值為.方法技巧一：空間向量及其加減運算（1）空間向量在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長度或模．空間向量也可用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的模，若向量的起點是，終點是，則向量也可以記作，其模記為或．（2）零向量與單位向量規(guī)定長度為0的向量叫做零向量，記作．當有向線段的起點與終點重合時，．模為1的向量稱為單位向量．（3）相等向量與相反向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量．在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量．空間任意兩個向量都可以平移到同一個平面，成為同一平面內(nèi)的兩個向量．與向量長度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為．（4）空間向量的加法和減法運算①，．如圖所示．②空間向量的加法運算滿足交換律及結(jié)合律，方法技巧二：空間向量的數(shù)乘運算（1）數(shù)乘運算實數(shù)與空間向量的乘積稱為向量的數(shù)乘運算．當時，與向量方向相同；當時，向量與向量方向相反．的長度是的長度的倍．（2）空間向量的數(shù)乘運算滿足分配律及結(jié)合律，．（3）共線向量與平行向量如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，平行于，記作．（4）共線向量定理對空間中任意兩個向量，，的充要條件是存在實數(shù)，使．（5）直線的方向向量如圖8-153所示，為經(jīng)過已知點且平行于已知非零向量的直線．對空間任意一點，點在直線上的充要條件是存在實數(shù)，使①，其中向量叫做直線的方向向量，在上取，則式①可化為②①和②都稱為空間直線的向量表達式，當，即點是線段的中點時，，此式叫做線段的中點公式．（6）共面向量如圖8-154所示，已知平面與向量，作，如果直線平行于平面或在平面內(nèi)，則說明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．（7）共面向量定理如果兩個向量，不共線，那么向量與向量，共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使．推論：①空間一點位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使；或?qū)臻g任意一點，有，該式稱為空間平面的向量表達式．②已知空間任意一點和不共線的三點，，，滿足向量關(guān)系式（其中）的點與點，，共面；反之也成立．方法技巧三：空間向量的數(shù)量積運算（1）兩向量夾角已知兩個非零向量，，在空間任取一點，作，，則叫做向量，的夾角，記作，通常規(guī)定，如果，那么向量，互相垂直，記作．（2）數(shù)量積定義已知兩個非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作，即．零向量與任何向量的數(shù)量積為0，特別地，．（3）空間向量的數(shù)量積滿足的運算律：，（交換律）；（分配律）．方法技巧四：空間向量的坐標運算及應用（1）設，，則；；；；；．（2）設，，則．這就是說，一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示該向量的有向線段的終點的坐標減起點的坐標．（3）兩個向量的夾角及兩點間的距離公式．①已知，，則；；；；②已知，，則，或者．其中表示與兩點間的距離，這就是空間兩點的距離公式．（4）向量在向量上的投影為．方法技巧五：法向量的求解與簡單應用（1）平面的法向量：如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量．幾點注意：=1\*GB3①法向量一定是非零向量；=2\*GB3②一個平面的所有法向量都互相平行；=3\*GB3③向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內(nèi)，則有．第一步：寫出平面內(nèi)兩個不平行的向；第二步：那么平面法向量，滿足．（2）判定直線、平面間的位置關(guān)系=1\*GB3①直線與直線的位置關(guān)系：不重合的兩條直線，的方向向量分別為，．若∥，即，則；若，即，則．=2\*GB3②直線與平面的位置關(guān)系：直線的方向向量為，平面的法向量為，且．若∥，即，則；若，即，則．（3）平面與平面的位置關(guān)系平面的法向量為，平面的法向量為．若∥，即，則；若⊥，即，則⊥．方法技巧六：空間角公式．（1）異面直線所成角公式：設，分別為異面直線，上的方向向量，為異面直線所成角的大小，則．（2）線面角公式：設為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為與所成角的大小，則．（3）二面角公式：設，分別為平面，的法向量，二面角的大小為，則或（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補），其中．方法技巧七：空間中的距離求解空間中的距離（1）異面直線間的距離：兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段，只需利用向量的正射影性質(zhì)直接計算．如圖，設兩條異面直線的公垂線的方向向量為，這時分別在上任取兩點，則向量在上的正射影長就是兩條異面直線的距離．則即兩異面直線間的距離，等于兩異面直線上分別任取兩點的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值．（2）點到平面的距離為平面外一點（如圖），為平面的法向量，過作平面的斜線及垂線．用向量法可以證點共線、線共點、線（或點）共面、兩直線（或線與面、面與面）垂直的問題，也可以求空間角和距離．因此，凡涉及上述類型的問題，都可以考慮利用向量法求解，且其解法一般都比較簡單．用向量法解題的途徑有兩種：一種是坐標法，即通過建立空間直角坐標系，確定出一些點的坐標，進而求出向量的坐標，再進行坐標運算；另一種是基底法，即先選擇基向量（除要求不共面外，還要能夠便于表示所求的目標向量，并優(yōu)先選擇相互夾角已知的向量作為基底，如常選擇幾何體上共點而不共面的三條棱所在的向量為基底），然后將有關(guān)向量用基底向量表示，并進行向量運算．經(jīng)典題型一：空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算1．(2023·全國·高三專題練習（理））如圖所示，在平行六面體中，M為與的交點，若，，，則（

）A． B．C． D．2．(2023·浙江·高三開學考試）在平行六面體中，為的中點，為的中點，，則（

）A． B．C． D．3．(2023·廣西桂林·模擬預測（文））如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的中心為O，則下列結(jié)論中①+與1+1是一對相反向量；②-1與-1是一對相反向量；③1+1+1+1與+++是一對相反向量；④-與1-1是一對相反向量．正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．44．(2023·全國·高三專題練習）如圖，設，，，若，，則（

）A． B．C． D．經(jīng)典題型二：空間共線向量定理的應用5．(2023·全國·高三專題練習）在下列命題中：①若向量共線，則所在的直線平行；②若向量所在的直線是異面直線，則向量一定不共面；③若三個向量兩兩共面，則三個向量一定也共面；④已知三個向量，則空間任意一個向量總可以表示為.其中正確命題的個數(shù)為（

）A． B． C． D．6．(2023·全國·高三專題練習）若空間中任意四點O，A，B，P滿足，其中m＋n＝1，則（

）A．P∈AB B．P?ABC．點P可能在直線AB上 D．以上都不對7．(2023·全國·高三專題練習）設為空間中的四個點，則“”是“四點共面”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．(2023·全國·高三專題練習）A，B，C三點不共線，對空間內(nèi)任意一點O，若，則P，A，B，C四點（

）A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．無法判斷是否共面經(jīng)典題型三：空間向量的數(shù)量積運算9．(2023·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，為的中點，則的值為（

）A．1 B． C． D．10．(2023·全國·高三專題練習）已知在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，同一頂點為端點的三條棱長都等于1，且彼此的夾角都是60°，則此平行六面體的對角線AC1的長為（

）．A．6 B． C．3 D．11．(2023·全國·高三專題練習）如圖，在平行六面體中，，，則（

）A．1 B． C．9 D．312．(2023·全國·高三專題練習）正四面體的棱長為4，空間中的動點P滿足，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．13．(2023·湖南益陽·模擬預測）在正三棱錐中，是的中心，，則(

)A． B． C． D．14．(2023·全國·高三專題練習）在三棱錐中，已知，，，則___________經(jīng)典題型四：證明三點共線15．(2023·全國·高三專題練習）已知向量，，不共面，，，．求證：B，C，D三點共線．16．(2023·全國·高三專題練習）在長方體中，M為的中點，N在AC上，且，E為BM的中點.求證：，E，N三點共線.17．(2023·全國·高三專題練習）如圖，在平行六面體中，，．(1)求證：、、三點共線；(2)若點是平行四邊形的中心，求證：、、三點共線．經(jīng)典題型五：證明多點共面的方法18．(2023·全國·高三專題練習）如圖，在幾何體ABCDE中，ABC，BCD，CDE均為邊長為2的等邊三角形，平面ABC⊥平面BCD，平面DCE⊥平面BCD．求證：A，B，D，E四點共面；19．(2023·全國·高三專題練習）已知、、、、、、、、為空間的個點（如圖所示），并且，，，，．求證：（1）、、、四點共面，、、、四點共面；經(jīng)典題型六：證明直線和直線平行20．(2023·全國·高三專題練習）在四棱錐中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD為梯形．，，且，，．若M是棱PA的中點，則對于棱BC上是否存在一點F，使得MF與PC平行．21．(2023·全國·高三專題練習）如圖，已知O?A?B?C?D?E?F?G?H為空間的9個點，且，，，，，.求證：(1)A?B?C?D四點共面，E?F?G?H四點共面；(2)；(3).22．(2023·全國·高三專題練習）已知、、、、、、、、為空間的個點（如圖所示），并且，，，，．求證：．23．(2023·全國·高三專題練習）已知長方體中，，，，點S、P在棱、上，且，，點R、Q分別為AB、的中點．求證：直線直線．經(jīng)典題型七：證明直線和平面平行24．(2023·全國·高三專題練習）如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點．試用向量的方法證明：平面．25．(2023·四川·成都七中高三開學考試（理））如圖所示，在四棱錐中，平面，平面，，，又，，為中點.(1)證明：平面；26．(2023·全國·高三專題練習）如圖，且，，且，且，平面ABCD，.若M為CF的中點，N為EG的中點，求證：平面CDE；27．(2023·全國·高三專題練習）如圖，三棱柱中側(cè)棱與底面垂直，且，，分別為的中點．求證：∥平面；經(jīng)典題型八：證明平面與平面平行28．(2023·全國·高三專題練習）如圖，已知棱長為4的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F(xiàn)分別是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中點，求證：平面∥平面.29．(2023·全國·高三專題練習）如圖，正方體中，、分別為、的中點．用向量法證明平面平面；經(jīng)典題型九：證明直線與直線垂直30．(2023·全國·高三專題練習）如圖，已知直三棱柱中，，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點，D為棱上的一點．證明：；31．(2023·全國·高三專題練習）已知四棱錐中，底面為正方形，平面，，，、分別為、的中點.求證：；32．(2023·全國·高三專題練習）如圖，在棱長為a的正方體中，M為的中點，E為與的交點，F(xiàn)為與的交點．(1)求證：，．(2)求證：是異面直線與的公垂線段．33．(2023·全國·高三專題練習）如圖，四棱錐中，為矩形，，且．為上一點，且．(1)求證：平面；(2)分別在線段上的點，是否存在，使且，若存在，確定的位置；若不存在，說明理由．經(jīng)典題型十：證明直線與平面垂直34．(2023·全國·高三專題練習）在正方體中，如圖E、F分別是，CD的中點，求證：平面ADE；35．(2023·全國·高三專題練習）如圖，在正方體中，，分別為，的中點．求證：平面；36．(2023·天津·南開中學模擬預測）在四棱錐中，，，，，，平面，．(1)若是的中點，求證：平面；(2)求證：平面；經(jīng)典題型十一：證明平面和平面垂直37．(2023·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，，，，平面平面，且，為的中點，證明：平面平面.38．(2023·全國·高三專題練習）在三棱臺ABC－A1B1C1中，C1C⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB=BC=C1C=2A1B1，O為AC的中點，P是C1C的中點．證明：平面A1BC⊥平面POB；39．(2023·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，平面PAB，平面PAB，．．求證：平面平面ABCD.經(jīng)典題型十二：求兩異面直線所成角40．(2023·河北·青龍滿族自治縣實驗中學高三開學考試）如圖，正四棱錐中，，，為棱上的動點．(1)若為棱的中點，求證：平面；(2)若滿足，求異面直線與所成角的余弦值．41．(2023·天津市第九十五中學益中學校高三開學考試）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，四邊形ADPQ是梯形，，，平面平面ABCD，且.(1)求證：平面PDC；(2)求平面CPB與平面PBQ所成角的正弦值；(3)已知點H在棱PD上，且異面直線AH與PB所成角的余弦值為，求線段DH長.42．(2023·全國·高三專題練習）如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱的長度為2，且．(1)求的長；(2)直線與所成角的余弦值．經(jīng)典題型十三：求直線與平面所成角43．(2023·浙江·湖州中學高三階段練習）如圖，四棱錐中，平面平面ABC，，，，，，．(1)求證：；(2)當時，求直線MC與平面PAC所成角的正弦值．44．(2023·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，面ABCD，，且，，，，，N為PD的中點.(1)求證：平面PBC；(2)在線段PD上是否存在一點M，使得直線CM與平面PBC所成角的正弦值是.若存在，求出的值，若不存在，說明理由.經(jīng)典題型十四：求平面與平面所成角45．(2023·湖南·寧鄉(xiāng)市教育研究中心模擬預測）如圖，在四棱錐中，已知底面，底面是正方形，且，是線段上一點.(1)若是的中點，求證:平面；(2)若二面角的余弦值是，試求在線段上的位置.46．(2023·河北邯鄲·高三開學考試）如圖，在四棱錐中，底面為梯形，，平面平面.(1)證明：；(2)若為正三角形，求二面角的正弦值.47．(2023·全國·高三專題練習）如圖，在直三棱柱中，底面是邊長為4的等邊三角形，且，D是棱上一動點（不包括端點）．(1)若D為的中點，證明：；(2)設平面ABC與平面所成的銳二面角為，求的取值范圍．48．(2023·黑龍江·哈九中三模（理））如圖，在三棱柱中，平面，，，，點分別在棱和棱上，且，為棱的中點．(1)求證：；(2)求二面角的正弦值．49．(2023·全國·高三專題練習（理））如圖，四邊形是正方形，平面，，，，F(xiàn)為的中點．(1)求證：平面；(2)求二面角的大?。?0．(2023·貴州貴陽·一模（理））如圖，AC，BD為圓柱底面的兩條直徑，PA為圓柱的一條母線，且.(1)證明：；(2)若，求二面角的正弦值.經(jīng)典題型十五：距離問題51．(2023·全國·高三專題練習）已知正方體的棱長為a，則平面與平面的距離為（

）A． B． C． D．52．(2023·全國·高三專題練習）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線距離的最小值．在棱長為1的正方體中，直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．53．(2023·全國·高三專題練習）如圖，在正四棱柱中，已知，，E，F(xiàn)分別為，上的點，且．(1)求證：平面ACF：(2)求點B到平面ACF的距離．54．(2023·全國·高三專題練習）如圖，已知平行六面體中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，，M為與的交點，設，，．(1)用，，表示并求BM的長；(2)求點A到直線BM的距離．1．(2023·全國·高考真題（文））在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點，則（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面2．（多選題）（2023·全國·高考真題）在正三棱柱中，，點滿足，其中，，則（

）A．當時，的周長為定值B．當時，三棱錐的體積為定值C．當時，有且僅有一個點，使得D．當時，有且僅有一個點，使得平面3．(2023·天津·高考真題）直三棱柱中，，D為的中點，E為的中點，F(xiàn)為的中點．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面所成二面角的余弦值．4．(2023·全國·高考真題（理））如圖，四面體中，，E為的中點．(1)證明：平面平面；(2)設，點F在上，當?shù)拿娣e最小時，求與平面所成的角的正弦值．5．(2023·全國·高考真題（理））在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．6．(2023·浙江·高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設M，N分別為的中點．(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．7．(2023·北京·高考真題）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點．(1)求證：平面；(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．8．(2023·全國·高考真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設D為的中點，，平面平面，求二面角的正弦值．9．（2023·全國·高考真題）在四棱錐中，底面是正方形，若．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．10．（2023·全國·高考真題（理））如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．11．（2023·全國·高考真題（理））已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點，D為棱上的點．（1）證明：；（2）當為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最小?經(jīng)典題型一：空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算1．答案：D【解析】由題意得，.故選：D2．答案：C【解析】設則.所以，，所以.故選：C3．答案：A【解析】設E,F分別為AD和A1D1的中點，①+與+不是一對相反向量，錯誤；②-與-不是一對相反向量，錯誤；③1+1+1+是一對相反向量,正確；④-與1-不是一對相反向量,是相等向量，錯誤．即正確結(jié)論的個數(shù)為1個故選：A4．答案：A【解析】由題意得=.故選：A經(jīng)典題型二：空間共線向量定理的應用5．答案：A【解析】對于①，若共線，可能在同一條直線上，①錯誤；對于②，向量可以自由平移，所在的直線是異面直線，但可平移到共面狀態(tài)，②錯誤；對于③，三個向量兩兩共面，若，，交于一點，則垂直于所在平面，此時不共面，③錯誤；對于④，只有當不共面時，空間任意一個向量才可以表示為，④錯誤.故選：A.6．答案：A【解析】因為m＋n＝1，所以m＝1－n，所以，即，即，所以與共線．又，有公共起點A，所以P，A，B三點在同一直線上，即P∈AB.故選：A.7．答案：A【解析】由，所以直線重合或互相平行，因此四點共面，當是平行四邊形時，顯然四點共面，顯然不成立，故選：A8．答案：B【解析】因為，則即即由空間向量共面定理可知，共面，則P，A，B，C四點一定共面故選：B經(jīng)典題型三：空間向量的數(shù)量積運算9．答案：D【解析】由題意得，故.故選：D.10．答案：B【解析】∵，∴∴，即AC1的長為.故選：B11．答案：D【解析】在平行六面體中，有，，由題知，，，，，所以，，與的夾角為，與的夾角為，與的夾角為，所以.所以.故選：D.12．答案：D【解析】分別取BC，AD的中點E，F(xiàn)，則，所以，故點的軌跡是以為球心，以為半徑的球面，，又，所以，，所以的取值范圍為．故選：D．13．答案：D【解析】為正三棱椎，為的中心，∴平面，△ABC是等邊三角形，∴PO⊥AO，∴，故．故選：D.14．答案：【解析】設，顯然，則，即，而，即，于是得，，，則有，所以.故答案為：經(jīng)典題型四：證明三點共線15．【解析】，而，所以，故B，C，D三點共線．16．【解析】由圖作出如圖所示長方體由題可得，，，所以，所以，E，N三點共線.17．【解析】（1）由題意，，，故,,故，由于有公共點A，故A、、三點共線；（2）由題意，點是平行四邊形的中心，故，故,因為有公共點D，故、、三點共線．經(jīng)典題型五：證明多點共面的方法18．【解析】取的中點，連接，取的中點，連接，因為平面平面，且平面平面，而為等邊三角形，所以，因此平面，因為平面平面，且平面平面，又因為為等邊三角形，所以，因此平面，又因為平面，因此，又因為為等邊三角形，所以，因此兩兩垂直，從而以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，又因為均為邊長為2的等邊三角形，所以，，，設，則，，，由于，所以，解得，因此，所以，，，所以，由空間向量基本定理可知：共面，所以四點共面；19．【解析】（1）因為，所以，、、為共面向量，因為、、有公共點，故、、、四點共面，因為，則、、為共面向量，因為、、有公共點，故、、、四點共面；經(jīng)典題型六：證明直線和直線平行20．【解析】在平面內(nèi)過點作，交于點，因為平面平面，且平面平面，平面，可得平面，又由，所以兩兩垂直，以為原點，以所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，由，，，可得，假設上存在點，使得，設，其中，因為是棱的中點，可得，又由，所以，設，可得，此方程組無解，所以假設不成立，所以對于上任意一點，與都不平行，即在線段上不存在點，使得與平行．21．【解析】（1）因為，，所以由共面向量定理可得是共面向量，是共面向量，因為有公共點，有公共點，所以A?B?C?D四點共面，E?F?G?H四點共面，（2）因為，所以；（3）22．【解析】，，，，，因為、無公共點，故.23．【解析】以點D為原點，分別以、與的方向為x、y與z軸的正方向，建立空間直角坐標系．則、、、、、、、，由題意知、、、，∴，．∴，又，不共線，∴.經(jīng)典題型七：證明直線和平面平行24．【解析】證明：建立如圖所示空間直角坐標系，設，則，，，設平面的法向量為，則，故可令，則，即，又平面,所以平面.25．【解析】（1）過點作的垂線交于，以為原點，以，，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系.如圖所示因為，所以,又，所以點到軸的距離為，到軸的距離為，則有,所以設平面的法向量為，則，即，令，則，所以，所以，即，又平面，所以平面.26．【解析】因為，，平面ABCD，而AD?平面ABCD，所以，，因此以D為坐標原點，分別以??的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系.因為且，且，，所以，，，，，，，，.設為平面CDE的法向量，，，則，不妨令，可得；又，所以.又∵直線平面CDE，∴平面CDE；27．【解析】因為三棱柱中側(cè)棱與底面垂直，所以平面，因為平面，所以，因為,所以AB?AC?兩兩垂直，所以以點A為坐標原點，AB?AC?所在直線分別為x?y?z軸建立空間直角坐標系，則，，，，．取向量為平面的一個法向量，，∴，∴．又∵平面，∴平面．經(jīng)典題型八：證明平面與平面平行28．【解析】由正方體的棱長為4，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，,,,,,設平面的一個法向量為，則即，令，解得所以設平面的一個法向量為，則即，令，解得所以所以∴平面∥平面.29．【解析】如圖建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為，則，，，，，，故，，，，設平面的法向量，則,即,令，則，設平面的法向量，則,即，令，則，所以，即，故平面平面；經(jīng)典題型九：證明直線與直線垂直30．【解析】因為直三棱柱中，，，所以兩兩垂直，以B為坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則，設，所以，故，所以.31．【解析】連接FC，∵面，面，∴又，面，，∴平面即平面，∴∴以為坐標原點，以、、方向分別為，，軸正向建立空間直角坐標系，則，，，∴，，∴，∴.32．【解析】（1）以D為原點，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系．正方體中，，則，，，，，，，，，，．所以，，．因為，所以，即；因為，所以，即；（2）由（1），，．所以，所以，即；，所以，即．又，所以是異面直線與的公垂線段．33．【解析】（1），且平面又平面，矩形中，又，則與相似，則．；又，平面；（2），且平面．又，則可以D為原點分別以DA、DC、DS為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意可知，假設存在滿足且．在線段上，可設的坐標在線段上，可設則．要使且，則，又，可得，解得．故存在使且，其中是線段靠近的四等分點，是線段靠近的四等分點.經(jīng)典題型十：證明直線與平面垂直34．【解析】以D為原點，建立空間直角坐標系，不妨設正方體的棱長為1，則D（0，0，0），A（1，0，0），（0，0，1），E（1，1，），F(xiàn)（0，，0），則＝（0，，－1），＝（1，0，0），＝（0，1，），則＝0，＝0，，，即，，又，平面ADE．故平面ADE．35．【解析】如圖示：以D為原點，DA、DC、DD1分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系．不妨設正方體的邊長為2，則，，，，，，，，，．所以，，，因為，所以，則同理：,即，故，又，平面，平面，所以平面．36．【解析】（1）取的中點，連接．因為是中點，所以,因為，，，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面．（2）證明：因為平面，平面,平面,所以，，又，所以兩兩垂直．如圖，以點坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系．則，所以，，因為，所以，因為平面，所以，因為，平面,平面，所以平面．經(jīng)典題型十一：證明平面和平面垂直37．【解析】如圖，以為坐標原點，以，的方向分別為，軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，.因為，為的中點，所以.因為平面平面且交于，所以平面，令.則，，，所以，，所以，，因為，，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.38．【解析】證明：連接A1O，設A1B1=1，則AB=BC=C1C=2，AC=，A1C1=因為O為AC的中點，所以,因為∥，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，因為C1C⊥平面ABC，平面ABC，所以，所以，因為平面ABC，，所以A1O⊥平面ABC，因為AB=BC，所以BO⊥AC．以O為坐標原點，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系O－，則O（0，0，0），B（，0，0），C（0，，0），（0，0，2），（，，2），（0，，2），P（0，，1）．因為，所以，所以，所以A1C⊥OB，A1C⊥OP．因為，平面POB，所以A1C⊥平面POB．因為平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面POB．39．【解析】取的中點，取的中點，連接，因為，所以，又因為，且平面，所以平面，所以兩兩垂直，故以為原點，以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，因為．，所以，，所以，可得，設平面的一個法向量為，則，取，可得；設平面的一個法向量為，則，取，可得，因為，所以平面平面.經(jīng)典題型十二：求兩異面直線所成角40．【解析】（1）連接交于點,連接,因為四棱錐為正四棱錐，所以四邊形為正方形，所以為的中點，因為為棱的中點，所以,因為平面，平面，所以平面.（2）因為四棱錐為正四棱錐,所以為頂點在底面的射影，所以平面，且,,故以為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，因為，，則,因為上的點滿足，所以,設，則，所以所以，所以設異面直線與所成角為，則.所以異面直線與所成角的余弦值為.41．【解析】（1）由已知可知：，平面ADPQ平面ABCD，平面ADPQ，平面ABCD，∵平面ABQ，平面ABQ，平面PDC，平面PDC，平面ABQ平面PDC，平面PDC；（2）建立空間直角坐標系如圖：以DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，D為原點，則有，，設平面CPB的一個法向量為，則，得，令b=1，則有，設平面PQB的一個法向量為，則有，得，令z=2，則x=1，y=1，，設平面PQB與平面CPB所成二面角的平面角為，則，；（3）∵點H在PD上，∴設H（0,0，t），則有，，依題意有，解得，由于H點PD上，PD=2，，∴

；；綜上，平面PQB與平面CPB所成二面角的平面角的正弦值為，.42．【解析】（1）由題意，，，，．（2），，，所以，所以直線與所成角的余弦值為．經(jīng)典題型十三：求直線與平面所成角43．【解析】(1)證明：取中點，連接，因為，所以，因為平面平面，因為平面平面，平面，所以平面，如圖建立空間直角坐標系，則，，，設，則所以，，，所以(2)因為，且，即，所以，所以，，設平面的法向量為，，令，則，，所以，設直線與平面所成角為，所以

所以直線與平面所成角的正弦值為.44．【解析】（1）設是的中點，連接，由于，所以四邊形是矩形，所以，由于平面，所以，以為空間坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，，，，設平面的法向量為，則，故可設.，且平面，所以平面.（2），設，則，，，設直線與平面所成角為，則，，兩邊平方并化簡得，解得或（舍去）.所以存在，使直線與平面所成角的正弦值是，且.經(jīng)典題型十四：求平面與平面所成角45．【解析】（1）證明：如圖，連接交于點，連接，因為是正方形，所以是的中點，又是的中點所以，又平面，平面，故平面；（2）以為坐標原點，建立如圖空間直角坐標系，則，，，，設則，，，由且知，為平面的一個法向量.設為平面的一個法向量，則，即，取，，，則，有，解得，從而是線段的中點.46．【解析】（1）證明：由題意，設，又，得，又，所以，所以，又平面平面，且平面平面平面，所以平面，又平面，所以；（2）方法一（向量法）：取的中點為坐標原點，以的方向為軸正方向，過點分別作和的平行線，分別為軸和軸，建立如圖所示空間直角坐標系，由為正三角形，，得，則，則，設為平面的法向量，則有，即，可取，設為平面的法向量，同理所以，設二面角的平面角為，則，故二面角的正弦值為.方法二（幾何法）：如圖，取的中點，連接，在平面中作，連接，由（1）知，又為正三角形，所以，所以，所以，又，所以為二面角的平面角，因為平面，平面，所以，所以，在中，，所以，所以，在中，，所以，在中，，所以，即二面角的正弦值為.47．【解析】(1)證明：分別取AB，的中點，，則∥,因為平面所以平面ABC，以O為坐標原點，OC，OB，分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系如圖所示，因為直三棱柱的底邊長和側(cè)棱長都為4，D為的中點，所以，，，，故，，則，所以．(2)∵平面ABC，∴取平面ABC的法向量為，設，則點，所以，設平面的法向量為，則n令，則，，故，所以，因為，則，所以．故的取值范圍為．48．【解析】(1)由題意，以為原點，分別以、、的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示可得，，，，，所以，，從而，所以所以；(2)因為平面，平面，所以，，,所以平面.所以平面的一個法向量為，設為平面的法向量，則，即，令，則，可得．設二面角所成的角為，則，所以二面角的正弦值為.49．【解析】(1)依題意，平面，且四邊形是正方形以A為原點，分別以的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系．則，，，，，，取的中點M，連接．，則，∴，∴，∵平面平面，∴平面．(2)，F(xiàn)為的中點，則，，，又，平面，故為平面的一個法向量，設平面的法向量為，因為，，即,令，得，，故．設二面角的大小為，則，由圖知，所求二面角為鈍角，所以二面角的大小是50．【解析】(1)根據(jù)圓柱的幾何性質(zhì)，可建立如圖所示空間直角坐標系，設圓柱的底面半徑為，則高為，則，設，點與點關(guān)于點對稱，所以，，，所以.(2)若，則三角形是等邊三角形，所以，，，設平面的法向量為，則，故可設，同理可求得平面的法向量，設二面角為，由圖可知，為鈍角，所以.經(jīng)典題型十五：距離問題51．答案：D【解析】由正方體的性質(zhì)，∥,∥，，，易得平面平面，則兩平面間的距離可轉(zhuǎn)化為點B到平面的距離．以D為坐標原點，DA，DC，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則，，，，，所以，，，．連接，由，，且，可知平面，得平面的一個法向量為，則兩平面間的距離．故選：D52．答案：B【解析】設為直線上任意一點，過作，垂足為，可知此時到直線距離最短設，，則，，，，即，，即，，，，當時，取得最小值，故直線與之間的距離是.故選：B.53．【解析】（1）以為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：則,設面的一個法向量為，，可得，即，不妨令則,平面.（2），則點到平面的距離為.54．【解析】（1）又，，，故BM的長為．（2）由（1）知，，∴，所以，則為點A到直線BM的距離，又，故點A到直線BM的距離為2．1．答案：A【解析】在正方體中，且平面，又平面，所以，因為分別為的中點，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；選項BCD解法一：如圖，以點為原點，建立空間直角坐標系，設，則，，則，，設平面的法向量為，則有，可取，同理可得平面的法向量為，平面的法向量為，平面的法向量為，則，所以平面與平面不垂直，故B錯誤；因為與不平行，所以平面與平面不平行，故C錯誤；因為與不平行，所以平面與平面不平行，故D錯誤，故選：A.選項BCD解法二：對于選項B，如圖所示，設，，則為平面與平面的交線，在內(nèi)，作于點，在內(nèi)，作，交于點，連結(jié)，則或其補角為平面與平面所成二面角的平面角，由勾股定理可知：，，底面正方形中，為中點，則，由勾股定理可得，從而有：，據(jù)此可得，即，據(jù)此可得平面平面不成立，選項B錯誤；對于選項C，取的中點，則，由于與平面相交，故平面平面不成立，選項C錯誤；對于選項D，取的中點，很明顯四邊形為平行四邊形，則，由于與平面相交，故平面平面不成立，選項D錯誤；故選：A.2．答案：BD【解析】易知，點在矩形內(nèi)部（含邊界）．對于A，當時，，即此時線段，周長不是定值，故A錯誤；對于B，當時，，故此時點軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對于C，當時，，取，中點分別為，，則，所以點軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯誤；對于D，當時，，取，中點為．，所以點軌跡為線段．設，因為，所以，，所以，此時與重合，故D正確．故選：BD．3．【解析】（1）證明：在直三棱柱中，平面，且，則以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、、、、，則，易知平面的一個法向量為，則，故，平面，故平面.（2），，，設平面的法向量為，則，取，可得，.因此，直線與平面夾角的正弦值為.（3），，設平面的法向量為，則，取，可得，則，因此，平面與平面夾角的余弦值為.4．【解析】（1）因為，E為的中點，所以；在和中，因為，所以，所以，又因為E為的中點，所以；又因為平面，，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）連接，由（1）知，平面，因為平面，所以，所以，當時，最小，即的面積最小.因為，所以，又因為，所以是等邊三角形，因為E為的中點，所以，，因為，所以,在中，，所以.以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，設平面的一個法向量為，則，取，則，又因為，所以，所以，設與平面所成的角的正弦值為，所以，所以與平面所成的角的正弦值為.5．【解析】（1）證明：在四邊形中，作于，于，因為，所以四邊形為等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因為平面，平面，所以，又，所以平面，又因為平面，所以；（2）如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，，則，則，設平面的法向量，則有，可取，則，所以與平面所成角的正弦值為.6．【解析】（1）過點、分別做直線、的垂線、并分別交于點、．∵四邊形和都是直角梯形，，，由平面幾何知識易知，，則四邊形和四邊形是矩形，∴在Rt和Rt，，∵，且，∴平面是二面角的平面角，則，∴是正三角形，由平面，得平面平面，∵是的中點，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面．（2）因為平面，過點做平行線，所以以點為原點，，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，設，則，設平面的法向量為由，得，取，設直線與平面所成角為，∴．7．【解析】（1）取的中點為，連接，由三棱柱可得四邊形為平行四邊形，而，則，而平面，平面，故平面，而，則，同理可得平面，而平面，故平面平面，而平面，故平面，（2）因為側(cè)面為正方形，故，而平面，平面平面，平面平面，故平面，因為，故平面，因為平面，故，若選①，則，而，，故平面，而平面，故，所以，而，，故平面，故可建立如所示的空間直角坐標系，則，故，設平面的法向量為，則，從而，取，則，設直線與平面所成的角為，則.若選②，因為，故平面，而平面，故，而，故，而，，故，所以，故，而，，故平面，故可建立如所示的空間直角坐標系，則，故，設平面的法向量為，則，從而，取，則，設直線與平面所成的角為，則.8．【解析】（1）在直三棱柱中，設點A到平面的距離為h，則，解得，所以點A到平面的距離為；（2）取的中點E,連接AE,如圖，因為，所以,又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，，又平面且相交，所以平面，所以兩兩垂直，以B為原點，建立空間直角坐標系，如圖，由（1）得，所以，，所以，則,所以的中點，則，,設平面的一個法向量，則，可取，設平面的一個法向量，則，可取，則，所以二面角的正弦值為.9．【解析】（1）取的中點為，連接.因為，，則，而，故.在正方形中，因為，故，故，因為，故，故為直角三角形且，因為，故平面，因為平面，故平面平面.（2）在平面內(nèi)，過作，交于，則，結(jié)合（1）中的平面，故可建如圖所示的空間坐標系.則，故.設平面的法向量，則即，取，則，故.而平面的法向量為，故.二面角的平面角為銳角，故其余弦值為.10．【解析】（1）[方法一]：空間坐標系+空間向量法平面，四邊形為矩形，不妨以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，設，則、、、、，則，，，則，解得，故；[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法+相似三角形法如圖，連結(jié)．因為底面，且底面，所以．又因為，，所以平面．又平面，所以．從而．因為，所以．所以，于是．所以．所以．[方法三]：幾何法+三角形面積法

如圖，聯(lián)結(jié)交于點N．由[方法二]知．在矩形中，有，所以，即．令，因為M為的中點，則，，．由，得，解得，所以．（2）[方法一]【最優(yōu)解】：空間坐標系+空間向量法設平面的法向量為，則，，由，取，可得，設平面的法向量為，，，由，取，可得，，所以，，因此，二面角的正弦值為.[方法二]：構(gòu)造長方體法+等體積法

如圖，構(gòu)造長方體，聯(lián)結(jié)，交點記為H，由于，，所以平面．過H作的垂線，垂足記為G．聯(lián)結(jié)，由三垂線定理可知，故為二面角的平面角．易證四邊形是邊長為的正方形，聯(lián)結(jié)，．，由等積法解得．在中，，由勾股定理求得．所以，，即二面角的正弦值為．【整體點評】（1）方法一利用空坐標系和空間向量的坐標運算求解；方法二利用線面垂直的判定定理，結(jié)合三角形相似進行計算求解，運算簡潔，為最優(yōu)解；方法三主要是在幾何證明的基礎上，利用三角形等面積方法求得.（2）方法一，利用空間坐標系和空間向量方法計算求解二面角問題是常用的方法，思路清晰，運算簡潔，為最優(yōu)解；方法二采用構(gòu)造長方體方法+等體積轉(zhuǎn)化法，技巧性較強，需注意進行嚴格的論證.11．【解析】（1）[方法一]：幾何法因為，所以．又因為，，所以平面．又因為，構(gòu)造正方體，如圖所示，過E作的平行線分別與交于其中點，連接，因為E，F(xiàn)分別為和的中點，所以是BC的中點，易證，則．又因為，所以．又因為，所以平面．又因為平面，所以．[方法二]【最優(yōu)解】：向量法因為三棱柱是直三棱柱，底面，，，，又，平面．所以兩兩垂直．以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖．，．由題設（）．因為，所以，所以．[方法三]：因為，，所以，故，，所以，所以．（2）向量法設平面的法向量為，因為，所以，即．令，則因為平面的法向量為，設平面與平面的二面角的平面角為，則．當時，取最小值為，此時取最大值為．所以，此時．考向31利用向量法解決立體幾何問題經(jīng)典題型一：空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算經(jīng)典題型二：空間共線向量定理的應用經(jīng)典題型三：空間向量的數(shù)量積運算經(jīng)典題型四：證明三點共線經(jīng)典題型五：證明多點共面的方法經(jīng)典題型六：證明直線和直線平行經(jīng)典題型七：證明直線和平面平行經(jīng)典題型八：證明平面與平面平行經(jīng)典題型九：證明直線與直線垂直經(jīng)典題型十：證明直線與平面垂直經(jīng)典題型十一：證明平面和平面垂直經(jīng)典題型十二：求兩異面直線所成角經(jīng)典題型十三：求直線與平面所成角經(jīng)典題型十四：求平面與平面所成角經(jīng)典題型十五：距離問題(2023·全國·高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點．(1)證明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．【解析】（1）證明：連接并延長交于點，連接、，因為是三棱錐的高，所以平面，平面，所以、，又，所以，即，所以，又，即，所以，，所以所以，即，所以為的中點，又為的中點，所以，又平面，平面，所以平面（2）過點作，如圖建立平面直角坐標系，因為，，所以，又，所以，則，，所以，所以，，，，所以，則，，，設平面的法向量為，則，令，則，，所以；設平面的法向量為，則，令，則，，所以；所以.設二面角的大小為，則，所以，即二面角的正弦值為.(2023·全國·高考真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設D為的中點，，平面平面，求二面角的正弦值．【解析】（1）在直三棱柱中，設點A到平面的距離為h，則，解得，所以點A到平面的距離為；（2）取的中點E,連接AE,如圖，因為，所以,又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，，又平面且相交，所以平面，所以兩兩垂直，以B為原點，建立空間直角坐標系，如圖，由（1）得，所以，，所以，則,所以的中點，則，,設平面的一個法向量，則，可取，設平面的一個法向量，則，可取，則，所以二面角的正弦值為.方法技巧一：空間向量及其加減運算（1）空間向量在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長度或模．空間向量也可用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的模，若向量的起點是，終點是，則向量也可以記作，其模記為或．（2）零向量與單位向量規(guī)定長度為0的向量叫做零向量，記作．當有向線段的起點與終點重合時，．模為1的向量稱為單位向量．（3）相等向量與相反向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量．在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量．空間任意兩個向量都可以平移到同一個平面，成為同一平面內(nèi)的兩個向量．與向量長度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為．（4）空間向量的加法和減法運算①，．如圖所示．②空間向量的加法運算滿足交換律及結(jié)合律，方法技巧二：空間向量的數(shù)乘運算（1）數(shù)乘運算實數(shù)與空間向量的乘積稱為向量的數(shù)乘運算．當時，與向量方向相同；當時，向量與向量方向相反．的長度是的長度的倍．（2）空間向量的數(shù)乘運算滿足分配律及結(jié)合律，．（3）共線向量與平行向量如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，平行于，記作．（4）共線向量定理對空間中任意兩個向量，，的充要條件是存在實數(shù)，使．（5）直線的方向向量如圖8-153所示，為經(jīng)過已知點且平行于已知非零向量的直線．對空間任意一點，點在直線上的充要條件是存在實數(shù)，使①，其中向量叫做直線的方向向量，在上取，則式①可化為②①和②都稱為空間直線的向量表達式，當，即點是線段的中點時，，此式叫做線段的中點公式．（6）共面向量如圖8-154所示，已知平面與向量，作，如果直線平行于平面或在平面內(nèi)，則說明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．（7）共面向量定理如果兩個向量，不共線，那么向量與向量，共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使．推論：①空間一點位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使；或?qū)臻g任意一點，有，該式稱為空間平面的向量表達式．②已知空間任意一點和不共線的三點，，，滿足向量關(guān)系式（其中）的點與點，，共面；反之也成立．方法技巧三：空間向量的數(shù)量積運算（1）兩向量夾角已知兩個非零向量，，在空間任取一點，作，，則叫做向量，的夾角，記作，通常規(guī)定，如果，那么向量，互相垂直，記作．（2）數(shù)量積定義已知兩個非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作，即．零向量與任何向量的數(shù)量積為0，特別地，．（3）空間向量的數(shù)量積滿足的運算律：，（交換律）；（分配律）．方法技巧四：空間向量的坐標運算及應用（1）設，，則；；；；；．（2）設，，則．這就是說，一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示該向量的有向線段的終點的坐標減起點的坐標．（3）兩個向量的夾角及兩點間的距離公式．①已知，，則；；；；②已知，，則，或者．其中表示與兩點間的距離，這就是空間兩點的距離公式．（4）向量在向量上的投影為．方法技巧五：法向量的求解與簡單應用（1）平面的法向量：如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量．幾點注意：=1\*GB3①法向量一定是非零向量；=2\*GB3②一個平面的所有法向量都互相平行；=3\*GB3③向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內(nèi)，則有．第一步：寫出平面內(nèi)兩個不平行的向；第二步：那么平面法向量，滿足．（2）判定直線、平面間的位置關(guān)系=1\*GB3①直線與直線的位置關(guān)系：不重合的兩條直線，的方向向量分別為，．若∥，即，則；若，即，則．=2\*GB3②直線與平面的位置關(guān)系：直線的方向向量為，平面的法向量為，且．若∥，即，則；若，即，則．（3）平面與平面的位置關(guān)系平面的法向量為，平面的法向量為．若∥，即，則；若⊥，即，則⊥．方法技巧六：空間角公式．（1）異面直線所成角公式：設，分別為異面直線，上的方向向量，為異面直線所成角的大小，則．（2）線面角公式：設為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為與所成角的大小，則．（3）二面角公式：設，分別為平面，的法向量，二面角的大小為，則或（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補），其中．方法技巧七：空間中的距離求解空間中的距離（1）異面直線間的距離：兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段，只需利用向量的正射影性質(zhì)直接計算．如圖，設兩條異面直線的公垂線的方向向量為，這時分別在上任取兩點，則向量在上的正射影長就是兩條異面直線的距離．則即兩異面直線間的距離，等于兩異面直線上分別任取兩點的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值．（2）點到平面的距離為平面外一點（如圖），為平面的法向量，過作平面的斜線及垂線．用向量法可以證點共線、線共點、線（或點）共面、兩直線（或線與面、面與面）垂直的問題，也可以求空間角和距離．因此，凡涉及上述類型的問題，都可以考慮利用向量法求解，且其解法一般都比較簡單．用向量法解題的途徑有兩種：一種是坐標法，即通過建立空間直角坐標系，確定出一些點的坐標，進而求出向量的坐標，再進行坐標運算；另一種是基底法，即先選擇基向量（除要求不共面外，還要能夠便于表示所求的目標向量，并優(yōu)先選擇相互夾角已知的向量作為基底，如常選擇幾何體上共點而不共面的三條棱所在的向量為基底），然后將有關(guān)向量用基底向量表示，并進行向量運算．經(jīng)典題型一：空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算1．(2023·全國·高三專題練習（理））如圖所示，在平行六面體中，M為與的交點，若，，，則（

）A． B．C． D．答案：D【解析】由題意得，.故選：D2．(2023·浙江·高三開學考試）在平行六面體中，為的中點，為的中點，，則（

）A． B．C． D．答案：C【解析】設則.所以，，所以.故選：C3．(2023·廣西桂林·模擬預測（文））如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的中心為O，則下列結(jié)論中①+與1+1是一對相反向量；②-1與-1是一對相反向量；③1+1+1+1與+++是一對相反向量；④-與1-1是一對相反向量．正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案：A【解析】設E,F分別為AD和A1D1的中點，①+與+不是一對相反向量，錯誤；②-與-不是一對相反向量，錯誤；③1+1+1+是一對相反向量,正確；④-與1-不是一對相反向量,是相等向量，錯誤．即正確結(jié)論的個數(shù)為1個故選：A4．(2023·全國·高三專題練習）如圖，設，，，若，，則（

）A． B．C． D．答案：A【解析】由題意得=.故選：A經(jīng)典題型二：空間共線向量定理的應用5．(2023·全國·高三專題練習）在下列命題中：①若向量共線，則所在的直線平行；②若向量所在的直線是異面直線，則向量一定不共面；③若三個向量兩兩共面，則三個向量一定也共面；④已知三個向量，則空間任意一個向量總可以表示為.其中正確命題的個數(shù)為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】對于①，若共線，可能在同一條直線上，①錯誤；對于②，向量可以自由平移，所在的直線是異面直線，但可平移到共面狀態(tài)，②錯誤；對于③，三個向量兩兩共面，若，，交于一點，則垂直于所在平面，此時不共面，③錯誤；對于④，只有當不共面時，空間任意一個向量才可以表示為，④錯誤.故選：A.6．(2023·全國·高三專題練習）若空間中任意四點O，A，B，P滿足，其中m＋n＝1，則（

）A．P∈AB B．P?ABC．點P可能在直線AB上 D．以上都不對答案：A【解析】因為m＋n＝1，所以m＝1－n，所以，即，即，所以與共線．又，有公共起點A，所以P，A，B三點在同一直線上，即P∈AB.故選：A.7．(2023·全國·高三專題練習）設為空間中的四個點，則“”是“四點共面”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案：A【解析】由，所以直線重合或互相平行，因此四點共面，當是平行四邊形時，顯然四點共面，顯然不成立，故選：A8．(2023·全國·高三專題練習）A，B，C三點不共線，對空間內(nèi)任意一點O，若，則P，A，B，C四點（

）A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．無法判斷是否共面答案：B【解析】因為，則即即由空間向量共面定理可知，共面，則P，A，B，C四點一定共面故選：B經(jīng)典題型三：空間向量的數(shù)量積運算9．(2023·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，為的中點，則的值為（

）A．1 B． C． D．答案：D【解析】由題意得，故.故選：D.10．(2023·全國·高三專題練習）已知在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，同一頂點為端點的三條棱長都等于1，且彼此的夾角都是60°，則此平行六面體的對角線AC1的長為（

）．A．6 B． C．3 D．答案：B【解析】∵，∴∴，即AC1的長為.故選：B11．(2023·全國·高三專題練習）如圖，在平行六面體中，，，則（

）A．1 B． C．9 D．3答案：D【解析】在平行六面體中，有，，由題知，，，，，所以，，與的夾角為，與的夾角為，與的夾角為，所以.所以.故選：D.12．(2023·全國·高三專題練習）正四面體的棱長為4，空間中的動點P滿足，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．答案：D【解析】分別取BC，AD的中點E，F(xiàn)，則，所以，故點的軌跡是以為球心，以為半徑的球面，，又，所以，，所以的取值范圍為．故選：D．13．(2023·湖南益陽·模擬預測）在正三棱錐中，是的中心，，則(

)A． B． C． D．答案：D【解析】為正三棱椎，為的中心，∴平面，△ABC是等邊三角形，∴PO⊥AO，∴，故．故選：D.14．(2023·全國·高三專題練習）在三棱錐中，已知，，，則___________答案：【解析】設，顯然，則，即，而，即，于是得，，，則有，所以.故答案為：經(jīng)典題型四：證明三點共線15．(2023·全國·高三專題練習）已知向量，，不共面，，，．求證：B，C，D三點共線．【解析】，而，所以，故B，C，D三點共線．16．(2023·全國·高三專題練習）在長方體中，M為的中點，N在AC上，且，E為BM的中點.求證：，E，N三點共線.【解析】由圖作出如圖所示長方體由題可得，，，所以，所以，E，N三點共線.17．(2023·全國·高三專題練習）如圖，在平行六面體中，，．(1)求證：、、三點共線；(2)若點是平行四邊形的中心，求證：、、三點共線．【解析】（1）由題意，，，故,,故，由于有公共點A，故A、、三點共線；（2）由題意，點是平行四邊形的中心，故，故,因為有公共點D，故、、三點共線．經(jīng)典題型五：證明多點共面的方法18．(2023·全國·高三專題練習）如圖，在幾何體ABCDE中，ABC，BCD，CDE均為邊長為2的等邊三角形，平面ABC⊥平面BCD，平面DCE⊥平面BCD．求證：A，B，D，E四點共面；【解析】取的中點，連接，取的中點，連接，因為平面平面，且平面平面，而為等邊三角形，所以，因此平面，因為平面平面，且平面平面，又因為為等邊三角形，所以，因此平面，又因為平面，因此，又因為為等邊三角形，所以，因此兩兩垂直，從而以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，又因為均為邊長為2的等邊三角形，所以，，，設，則，，，由于，所以，解得，因此，所以，，，所以，由空間向量基本定理可知：共面，所以四點共面；19．(2023·全國·高三專題練習）已知、、、、、、、、為空間的個點（如圖所示），并且，，，，．求證：（1）、、、四點共面，、、、四點共面；【解析】（1）因為，所以，、、為共面向量，因為、、有公共點，故、、、四點共面，因為，則、、為共面向量，因為、、有公共點，故、、、四點共面；經(jīng)典題型六：證明直線和直線平行20．(2023·全國·高三專題練習）在四棱錐中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD為梯形．，，且，，．若M是棱PA的中點，則對于棱BC上是否存在一點F，使得MF與PC平行．【解析】在平面內(nèi)過點作，交于點，因為平面平面，且平面平面，平面，可得平面，又由，所以兩兩垂直，以為原點，以所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，由，，，可得，假設上存在點，使得，設，其中，因為是棱的中點，可得，又由，所以，設，可得，此方程組無解，所以假設不成立，所以對于上任意一點，與都不平行，即在線段上不存在點，使得與平行．21．(2023·全國·高三專題練習）如圖，已知O?A?B?C?D?E?F?G?H為空間的9個點，且，，，，，.求證：(1)A?B?C?D四點共面，E?F?G?H四點共面；(2)；(3).【解析】（1）因為，，所以由共面向量定理可得是共面向量，是共面向量，因為有公共點，有公共點，所以A?B?C?D四點共面，E?F?G?H四點共面，（2）因為，所以；（3）22．(2023·全國·高三專題練習）已知、、、、、、、、為空間的個點（如圖所示），并且，，，，．求證：．【解析】，，，，，因為、無公共點，故.23．(2023·全國·高三專題練習）已知長方體中，，，，點S、P在棱、上，且，，點R、Q分別為AB、的中點．求證：直線直線．【解析】以點D為原點，分別以、與的方向為x、y與z軸的正方向，建立空間直角坐標系．則、、、、、、、，由題意知、、、，∴，．∴，又，不共線，∴.經(jīng)典題型七：證明直線和平面平行24．(2023·全國·高三專題練習）如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點．試用向量的方法證明：平面．【解析】證明：建立如圖所示空間直角坐標系，設，則，，，設平面的法向量為，則，故可令，則，即，又平面,所以平面.25．(2023·四川·成都七中高三開學考試（理））如圖所示，在四棱錐中，平面，平面，，，又，，為中點.(1)證明：平面；【解析】（1）過點作的垂線交于，以為原點，以，，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系.如圖所示因為，所以,又，所以點到軸的距離為，到軸的距離為，則有,所以設平面的法向量為，則，即，令，則，所以，所以，即，又平面，所以平面.26．(2023·全國·高三專題練習）如圖，且，，且，且，平面ABCD，.若M為CF的中點，N為EG的中點，求證：平面CDE；【解析】因為，，平面ABCD，而AD?平面ABCD，所以，，因此以D為坐標原點，分別以??的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系.因為且，且，，所以，，，，，，，，.設為平面CDE的法向量，，，則，不妨令，可得；又，所以.又∵直線平面CDE，∴平面CDE；27．(2023·全國·高三專題練習）如圖，三棱柱中側(cè)棱與底面垂直，且，，分別為的中點．求證：∥平面；【解析】因為三棱柱中側(cè)棱與底面垂直，所以平面，因為平面，所以，因為,所以AB?AC?兩兩垂直，所以以點A為坐標原點，AB?AC?所在直線分別為x?y?z軸建立空間直角坐標系，則，，，，．取向量為平面的一個法向量，，∴，∴．又∵平面，∴平面．經(jīng)典題型八：證明平面與平面平行28．(2023·全國·高三專題練習）如圖，已知棱長為4的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F(xiàn)分別是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中點，求證：平面∥平面.【解析】由正方體的棱長為4，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，,,,,,設平面的一個法向量為，則即，令，解得所以設平面的一個法向量為，則即，令，解得所以所以∴平面∥平面.29．(2023·全國·高三專題練習）如圖，正方體中，、分別為、的中點．用向量法證明平面平面；【解析】如圖建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為，則，，，，，，故，，，，設平面的法向量，則,即,令，則，設平面的法向量，則,即，令，則，所以，即，故平面平面；經(jīng)典題型九：證明直線與直線垂直30．(2023·全國·高三專題練習）如圖，已知直三棱柱中，，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點，D為棱上的一點．證明：；【解析】因為直三棱柱中，，，所以兩兩垂直，以B為坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則，設，所以，故，所以.31．(2023·全國·高三專題練習）已知四棱錐中，底面為正方形，平面，，，、分別為、的中點.求證：；【解析】連接FC，∵面，面，∴又，面，，∴平面即平面，∴∴以為坐標原點，以、、方向分別為，，軸正向建立空間直角坐標系，則，，，∴，，∴，∴.32．(2023·全國·高三專題練習）如圖，在棱長為a的正方體中，M為的中點，E為與的交點，F(xiàn)為與的交點．(1)求證：，．(2)求證：是異面直線與的公垂線段．【解析】（1）以D為原點，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系．正方體中，，則，，，，，，，，，，．所以，，．因為，所以，即；因為，所以，即；（2）由（1），，．所以，所以，即；，所以，即．又，所以是異面直線與的公垂線段．33．(2023·全國·高三專題練習）如圖，四棱錐中，為矩形，，且．為上一點，且．(1)求證：平面；(2)分別在線段上的點，是否存在，使且，若存在，確定的位置；若不存在，說明理由．【解析】（1），且平面又平面，矩形中，又，則與相似，則．；又，平面；（2），且平面．又，則可以D為原點分別以DA、DC、DS為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意可知，假設存在滿足且．在線段上，可設的坐標在線段上，可設則．要使且，則，又，可得，解得．故存在使且，其中是線段靠近的四等分點，是線段靠近的四等分點.經(jīng)典題型十：證明直線與平面垂直34．(2023·全國·高三專題練習）在正方體中，如圖E、F分別是，CD的中點，求證：平面ADE；【解析】以D為原點，建立空間直角坐標系，不妨設正方體的棱長為1，則D（0，0，0），A（1，0，0），（0，0，1），E（1，1，），F(xiàn)（0，，0），則＝（0，，－1），＝（1，0，0），＝（0，1，），則＝0，＝0，，，即，，又，平面ADE．故平面ADE．35．(2023·全國·高三專題練習）如圖，在正方體中，，分別為，的中點．求證：平面；【解析】如圖示：以D為原點，DA、DC、DD1分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系．不妨設正方體的邊長為2，則，，，，，，，，，．所以，，，因為，所以，則同理：,即，故，又，平面，平面，所以平面．36．(2023·天津·南開中學模擬預測）在四棱錐中，，，，，，平面，．(1)若是的中點，求證：平面；(2)求證：平面；【解析】（1）取的中點，連接．因為是中點，所以,因為，，，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面．（2）證明：因為平面，平面,平面,所以，，又，所以兩兩垂直．如圖，以點坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系．則，所以，，因為，所以，因為平面，所以，因為，平面,平面，所以平面．經(jīng)典題型十一：證明平面和平面垂直37．(2023·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，，，，平面平面，且，為的中點，證明：平面平面.【解析】如圖，以為坐標原點，以，的方向分別為，軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，.因為，為的中點，所以.因為平面平面且交于，所以平面，令.則，，，所以，，所以，，因為，，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.38．(2023·全國·高三專題練習）在三棱臺ABC－A1B1C1中，C1C⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB=BC=C1C=2A1B1，O為AC的中點，P是C1C的中點．證明：平面A1BC⊥平面POB；【解析】證明：連接A1O，設A1B1=1，則AB=BC=C1C=2，AC=，A1C1=因為O為AC的中點，所以,因為∥，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，因為C1C⊥平面ABC，平面ABC，所以，所以，因為平面ABC，，所以A1O⊥平面ABC，因為AB=BC，所以BO⊥AC．以O為坐標原點，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系O－，則O（0，0，0），B（，0，0），C（0，，0），（0，0，2），（，，2），（0，，2），P（0，，1）．因為，所以，所以，所以A1C⊥OB，A1C⊥OP．因為，平面POB，所以A1C⊥平面POB．因為平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面POB．39．(2023·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，平面PAB，平面PAB，．．求證：平面平面ABCD.【解析】取的中點，取的中點，連接，因為，所以，又因為，且平面，所以平面，所以兩兩垂直，故以為原點，以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，因為．，所以，，所以，可得，設平面的一個法向量為，則，取，可得；設平面的一個法向量為，則，取，可得，因為，所以平面平面.經(jīng)典題型十二：求兩異面直線所成角40．(2023·河北·青龍滿族自治縣實驗中學高三開學考試）如圖，正四棱錐中，，，為棱上的動點．(1)若為棱的中點，求證：平面；(2)若滿足，求異面直線與所成角的余弦值．【解析】（1）連接交于點,連接,因為四棱錐為正四棱錐，所以四邊形為正方形，所以為的中點，因為為棱的中點，所以,因為平面，平面，所以平面.（2）因為四棱錐為正四棱錐,所以為頂點在底面的