高二數(shù)學(xué)新教材同步教學(xué)講義(人教A版選擇性必修第一冊(cè))1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示(原卷版+解析)

1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示【知識(shí)點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、空間直角坐標(biāo)系1.空間直角坐標(biāo)系從空間某一定點(diǎn)O引三條互相垂直且有相同單位長(zhǎng)度的數(shù)軸，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸、y軸、z軸叫做坐標(biāo)軸，這三條坐標(biāo)軸中每?jī)蓷l確定一個(gè)坐標(biāo)平面，分別是平面、yOz平面、zOx平面.2.右手直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.3.空間點(diǎn)的坐標(biāo)空間一點(diǎn)A的坐標(biāo)可以用有序數(shù)組(x，y，z)來(lái)表示，有序數(shù)組(x，y，z)叫做點(diǎn)A的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo).要點(diǎn)二、空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)1.空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的求法通過(guò)該點(diǎn)，作兩條軸所確定平面的平行平面，此平面交另一軸于一點(diǎn)，交點(diǎn)在這條軸上的坐標(biāo)就是已知點(diǎn)相應(yīng)的一個(gè)坐標(biāo).特殊點(diǎn)的坐標(biāo)：原點(diǎn)；軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為；坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.2.空間直角坐標(biāo)系中對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，則有點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于橫軸(x軸)的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于縱軸(y軸)的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于豎軸(z軸)的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)是.要點(diǎn)三、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）空間兩點(diǎn)的距離公式若，則①即:一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。②，或.要點(diǎn)詮釋：兩點(diǎn)間距離公式是模長(zhǎng)公式的推廣，首先根據(jù)向量的減法推出向量的坐標(biāo)表示，然后再用模長(zhǎng)公式推出。（2）空間線段中點(diǎn)坐標(biāo)空間中有兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為.（3）向量加減法、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算若，則①;②;③;（4）向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算若，則即：空間兩個(gè)向量的數(shù)量積等于他們的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和。（5）空間向量長(zhǎng)度及兩向量夾角的坐標(biāo)計(jì)算公式若，則(1).(2).要點(diǎn)詮釋：①夾角公式可以根據(jù)數(shù)量積的定義推出：，其中的范圍是②.③用此公式求異面直線所成角等角度時(shí)，要注意所求角度與θ的關(guān)系（相等，互余，互補(bǔ)）。（6）空間向量平行和垂直的條件若，則①②規(guī)定：與任意空間向量平行或垂直作用：證明線線平行、線線垂直.【題型歸納目錄】題型一：空間向量的坐標(biāo)表示題型二：空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算題型三：空間向量的共線與共面題型四：空間向量模長(zhǎng)坐標(biāo)表示題型五：空間向量平行坐標(biāo)表示題型六：空間向量垂直坐標(biāo)表示題型七：空間向量夾角坐標(biāo)表示【典型例題】題型一：空間向量的坐標(biāo)表示例1．(2023·江蘇常州·高二期中）平行六面體中，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．例2．(2023·全國(guó)·高二期末）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，則______．例3．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長(zhǎng)方體，，，．求：(1)向量，，的坐標(biāo)；(2)，的坐標(biāo)．例4．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別為A1B1，A1A的中點(diǎn)，試建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求向量，，的坐標(biāo)．【方法技巧與總結(jié)】解決這類給定直角坐標(biāo)系，求相關(guān)點(diǎn)的空間坐標(biāo)時(shí)，關(guān)鍵是確定這些點(diǎn)在坐標(biāo)軸的三個(gè)不同方向上的分解向量的模．同一幾何圖形中，由于空間直角坐標(biāo)系建立的不同，從而各點(diǎn)的坐標(biāo)在不同的坐標(biāo)系中也不一定相同，但其實(shí)質(zhì)是一樣的．建立空間直角坐標(biāo)系的關(guān)鍵是根據(jù)幾何圖形的特征，盡量先找到三條互相垂直且交于一點(diǎn)的線段，如若找不到，就要想辦法構(gòu)造．題型二：空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算例5．（多選題）(2023·福建三明·高二期末）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則（

）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0，2） B．C．的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1，1） D．點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為（－2，2，－2）例6．(2023·吉林白山·高二期末）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵中，M是的中點(diǎn)，，，，若，則（

）A． B． C． D．例7．(2023·浙江寧波·高一期中）已知向量，，則的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．例8．（2023·廣東·新會(huì)陳經(jīng)綸中學(xué)高二期中）已知向量，，則（

）A． B． C． D．例9．(2023·廣東·高二階段練習(xí)）如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，四棱錐的底面是正方形，平面，且，若，則點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．例10．(2023·全國(guó)·高二期末）在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，四邊形框架為正方形，為矩形，且，且它們所在的平面互相垂直，N為對(duì)角線上的一個(gè)定點(diǎn)，且，活動(dòng)彈子M在正方形對(duì)角線上移動(dòng)，當(dāng)取最小值時(shí)，的值為_(kāi)___________.例11．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．例12．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若?，點(diǎn)C在線段AB上，且，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是___________.例13．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為是它內(nèi)切球的一條弦(我們把球面上任意兩點(diǎn)之間的線段稱為球的弦)，為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦的長(zhǎng)度最大時(shí)，的取值圍是_______________________．例14．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在中，，，.（1）求頂點(diǎn)、的坐標(biāo)；（2）求；（3）若點(diǎn)在上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo).【方法技巧與總結(jié)】空間向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算與平面向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算方法類似，向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積的和。題型三：空間向量的共線與共面例15．(2023·河南·平頂山市教育局教育教學(xué)研究室高二開(kāi)學(xué)考試（理））已知空間三點(diǎn)，，，若三點(diǎn)共線，則（

）．A． B．1 C． D．2例16．(2023·浙江·平湖市當(dāng)湖高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知向量，，，若，，共面，則___________.例17．(2023·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知，，．若、、三向量共面，則實(shí)數(shù)______．例18．（2023·福建福州·高二期中）若，，，且共面，則_______.例19．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）證明，，，四點(diǎn)共面，你能給出幾種證明方法？例20．(2023·福建龍巖·高二期中）已知空間中三點(diǎn)，，．(1)若，，三點(diǎn)共線，求的值；(2)若，的夾角是鈍角，求的取值范圍．【方法技巧與總結(jié)】（1）在空間直角坐標(biāo)系下，兩向量的共線，可利用向量的共線定理，通過(guò)列方程組求解.要證三向量共面，即證存在，使得.（2）在空間直角坐標(biāo)系下，兩向量的共線，三向量的共面問(wèn)題，均可靈活應(yīng)用共線，共面的基本定理，利用向量坐標(biāo)通過(guò)方程求解。題型四：空間向量模長(zhǎng)坐標(biāo)表示例21．(2023·江蘇·漣水縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知空間三點(diǎn)A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，則在上的投影向量的模是______.例22．(2023·江蘇常州·高二期中）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為3，，點(diǎn)N為B1B的中點(diǎn)，則___________.例23．(2023·江蘇宿遷·高二期中）設(shè)空間向量是一組單位正交基底，若空間向量滿足對(duì)任意的的最小值是2，則的最小值是_________．例24．(2023·全國(guó)·高二單元測(cè)試）若向量，，且，則實(shí)數(shù)______．【方法技巧與總結(jié)】若，則.題型五：空間向量平行坐標(biāo)表示例25．(2023·山東省鄆城第一中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）已知向量，若，則實(shí)數(shù)________．例26．（2023·湖北武漢·高二期中）已知兩個(gè)向量，，且，則的值為（

）A．1 B．2 C．4 D．8例27．(2023·江西贛州·高二期中（理））空間中，與向量同向共線的單位向量為（

）A． B．或C． D．或例28．(2023·河北邢臺(tái)·高二階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，，若，則x的值為（

）A．4 B． C．4或 D．5【方法技巧與總結(jié)】若，則題型六：空間向量垂直坐標(biāo)表示例29．(2023·江蘇徐州·高二期中）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為6，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面上的動(dòng)點(diǎn)，滿足的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．例30．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，P是的中點(diǎn)，點(diǎn)M在側(cè)面（含邊界）內(nèi)，若.則△BCM面積的最小值為（）A．8 B．4 C． D．例31．(2023·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知，．設(shè)D在直線AB上，且，設(shè)，若，則實(shí)數(shù)______．例32．(2023·福建龍巖·高二期中）已知向量，，點(diǎn)，.(1)求；(2)若直線AB上存在一點(diǎn)E，使得，其中O為原點(diǎn)，求E點(diǎn)的坐標(biāo).【方法技巧與總結(jié)】若，則題型七：空間向量夾角坐標(biāo)表示例33．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，分別是軸、軸、軸正方向上的單位向量，若為非零向量，且，，則______．例34．(2023·四川·閬中中學(xué)高二階段練習(xí)（理））若向量若與的夾角為銳角，則的范圍為_(kāi)________.例35．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱中，，，棱，、分別為、的中點(diǎn).建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，解決如下問(wèn)題：(1)求的模；(2)求的值；(3)求證：平面.例36．(2023·福建省長(zhǎng)汀縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)向量，，計(jì)算以及與所成角的余弦值．例37．(2023·新疆·烏蘇市第一中學(xué)高二期中（理））已知空間向量，，．（1）若，求；（2）若，求的值．例38．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線中，并完成問(wèn)題.問(wèn)題：如圖，在正方體中，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，E為棱上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，___________，試問(wèn)是否存在點(diǎn)，滿足？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【方法技巧與總結(jié)】若，則(1).(2).【同步練習(xí)】一、單選題1．(2023·四川省綿陽(yáng)普明中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知空間向量，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．且 B．且C．且 D．以上都不對(duì)2．(2023·江蘇·漣水縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）向量，若，則的值為（

）A．2 B．1 C． D．3．(2023·江蘇宿遷·高二期中）若向量，，則向量與的夾角為（

）A．0 B． C． D．4．(2023·江蘇省江浦高級(jí)中學(xué)高二期中）在空間直角坐標(biāo)系中，，，，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．3 B． C． D．5．(2023·江蘇·南京市中華中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）在空間直角坐標(biāo)系中，若，，與的夾角為，則的值為（

）A．1 B． C．或 D．17或6．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若平面?的法向量分別為，，且，則等于（

）A． B．C． D．7．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折成直二面角，、分別為、的中點(diǎn)，是正方形的中心，則的大小為（

）A． B． C． D．8．(2023·安徽省亳州市第一中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段上，點(diǎn)F在線段上，則線段EF長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C．1 D．二、多選題9．(2023·福建龍巖·高二期中）對(duì)于非零空間向量，，，現(xiàn)給出下列命題，其中為真命題的是（

）A．若，則，的夾角是鈍角B．若，，則C．若，則D．若，，，則，，可以作為空間中的一組基底10．(2023·福建省連城縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知空間三點(diǎn)，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．11．(2023·湖南益陽(yáng)·高二期末）已知四面體的所有棱長(zhǎng)都是分別是棱的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．12．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，則（

）A．存在點(diǎn)使得B．存在點(diǎn)使得C．存在點(diǎn)使得D．存在點(diǎn)使得三、填空題13．(2023·江蘇·東?？h教育局教研室高二期中）已知，，則_______.14．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量，，．當(dāng)時(shí)，若向量與垂直，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____．15．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，圓錐的軸截面SAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓錐底面內(nèi)(包括圓周).若，則點(diǎn)S與P距離的最小值是___________．16．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））在長(zhǎng)方體中，已知AB=2，BC=t，若在線段AB上存在點(diǎn)E，使得，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是______．四、解答題17．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，將正三棱柱放在空間直角坐標(biāo)系中，使得棱AB的中點(diǎn)恰為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，A，B兩點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，若，，寫(xiě)出，的坐標(biāo)，并求它們夾角的余弦值．18．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量，，計(jì)算：(1)，，；(2)．19．(2023·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)等于，為正方形的中心，、分別為棱、的中點(diǎn)．試判斷下列結(jié)論是否成立，并說(shuō)明理由．(1)；(2)；(3)；(4)為直角三角形；(5)的面積為．20．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，以棱長(zhǎng)為1的正方體的三條棱所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)Q在線段DC上.（1）當(dāng)，且點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為M時(shí)，求的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)點(diǎn)P是面對(duì)角線AB的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在面對(duì)角線DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究的最小值.21．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線中，并完成問(wèn)題.問(wèn)題：如圖，在正方體中，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，E為棱上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，___________，試問(wèn)是否存在點(diǎn)，滿足？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.22．(2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）假設(shè)在一個(gè)以米為單位的空間直角坐標(biāo)系中，平面內(nèi)有一跟蹤和控制飛行機(jī)器人的控制臺(tái)，的位置為.上午10時(shí)07分測(cè)得飛行機(jī)器人在處，并對(duì)飛行機(jī)器人發(fā)出指令：以速度米/秒沿單位向量作勻速直線飛行(飛行中無(wú)障礙物)，10秒后到達(dá)點(diǎn)，再發(fā)出指令讓機(jī)器人在點(diǎn)原地盤(pán)旋秒，在原地盤(pán)旋過(guò)程中逐步減速并降速到米/秒，然后保持米/秒，再沿單位向量作勻速直線飛行(飛行中無(wú)障礙物)，當(dāng)飛行機(jī)器人最終落在平面內(nèi)發(fā)出指令讓它停止運(yùn)動(dòng).機(jī)器人近似看成一個(gè)點(diǎn).（1）求從點(diǎn)開(kāi)始出發(fā)20秒后飛行機(jī)器人的位置；（2）求在整個(gè)飛行過(guò)程中飛行機(jī)器人與控制臺(tái)的最近距離(精確到米).1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示【知識(shí)點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、空間直角坐標(biāo)系1.空間直角坐標(biāo)系從空間某一定點(diǎn)O引三條互相垂直且有相同單位長(zhǎng)度的數(shù)軸，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸、y軸、z軸叫做坐標(biāo)軸，這三條坐標(biāo)軸中每?jī)蓷l確定一個(gè)坐標(biāo)平面，分別是平面、yOz平面、zOx平面.2.右手直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.3.空間點(diǎn)的坐標(biāo)空間一點(diǎn)A的坐標(biāo)可以用有序數(shù)組(x，y，z)來(lái)表示，有序數(shù)組(x，y，z)叫做點(diǎn)A的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo).要點(diǎn)二、空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)1.空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的求法通過(guò)該點(diǎn)，作兩條軸所確定平面的平行平面，此平面交另一軸于一點(diǎn)，交點(diǎn)在這條軸上的坐標(biāo)就是已知點(diǎn)相應(yīng)的一個(gè)坐標(biāo).特殊點(diǎn)的坐標(biāo)：原點(diǎn)；軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為；坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.2.空間直角坐標(biāo)系中對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，則有點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于橫軸(x軸)的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于縱軸(y軸)的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于豎軸(z軸)的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)是.要點(diǎn)三、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）空間兩點(diǎn)的距離公式若，則①即:一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。②，或.要點(diǎn)詮釋：兩點(diǎn)間距離公式是模長(zhǎng)公式的推廣，首先根據(jù)向量的減法推出向量的坐標(biāo)表示，然后再用模長(zhǎng)公式推出。（2）空間線段中點(diǎn)坐標(biāo)空間中有兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為.（3）向量加減法、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算若，則①;②;③;（4）向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算若，則即：空間兩個(gè)向量的數(shù)量積等于他們的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和。（5）空間向量長(zhǎng)度及兩向量夾角的坐標(biāo)計(jì)算公式若，則(1).(2).要點(diǎn)詮釋：①夾角公式可以根據(jù)數(shù)量積的定義推出：，其中的范圍是②.③用此公式求異面直線所成角等角度時(shí)，要注意所求角度與θ的關(guān)系（相等，互余，互補(bǔ)）。（6）空間向量平行和垂直的條件若，則①②規(guī)定：與任意空間向量平行或垂直作用：證明線線平行、線線垂直.【題型歸納目錄】題型一：空間向量的坐標(biāo)表示題型二：空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算題型三：空間向量的共線與共面題型四：空間向量模長(zhǎng)坐標(biāo)表示題型五：空間向量平行坐標(biāo)表示題型六：空間向量垂直坐標(biāo)表示題型七：空間向量夾角坐標(biāo)表示【典型例題】題型一：空間向量的坐標(biāo)表示例1．(2023·江蘇常州·高二期中）平行六面體中，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】分析：利用空間向量的坐標(biāo)表示，即得.【詳解】設(shè)，∵，又，∴，解得，即.故選：B.例2．(2023·全國(guó)·高二期末）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，則______．答案：【解析】分析：由坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】故答案為：例3．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長(zhǎng)方體，，，．求：(1)向量，，的坐標(biāo)；(2)，的坐標(biāo)．答案：(1)，，(2)【解析】分析：（1）先寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得向量的坐標(biāo)；（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算加法和減法即可.(1)由已知，則，，(2),.例4．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別為A1B1，A1A的中點(diǎn)，試建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求向量，，的坐標(biāo)．答案：＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)．【解析】分析：以點(diǎn)C為原點(diǎn)，分別以CA，CB，CC1的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，利用空間向量坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，分別以CA，CB，CC1的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，如圖所示．則B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)，∴＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)．【方法技巧與總結(jié)】解決這類給定直角坐標(biāo)系，求相關(guān)點(diǎn)的空間坐標(biāo)時(shí)，關(guān)鍵是確定這些點(diǎn)在坐標(biāo)軸的三個(gè)不同方向上的分解向量的模．同一幾何圖形中，由于空間直角坐標(biāo)系建立的不同，從而各點(diǎn)的坐標(biāo)在不同的坐標(biāo)系中也不一定相同，但其實(shí)質(zhì)是一樣的．建立空間直角坐標(biāo)系的關(guān)鍵是根據(jù)幾何圖形的特征，盡量先找到三條互相垂直且交于一點(diǎn)的線段，如若找不到，就要想辦法構(gòu)造．題型二：空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算例5．（多選題）(2023·福建三明·高二期末）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則（

）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0，2） B．C．的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1，1） D．點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為（－2，2，－2）答案：BCD【解析】分析：根據(jù)空間直角坐標(biāo)系，可求點(diǎn)的坐標(biāo)，由此判斷A;求出的坐標(biāo)，可判斷B;利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得的中點(diǎn)坐標(biāo)，可判斷C;根據(jù)空間點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱點(diǎn)的特點(diǎn)可判斷D.【詳解】根據(jù)題意可知點(diǎn)的坐標(biāo)為，故A錯(cuò)誤；由空間直角坐標(biāo)系可知：,故B正確；由空間直角坐標(biāo)系可知：,故的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1，1），故C正確；點(diǎn)坐標(biāo)為，關(guān)于于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為（－2，2，－2），故D正確，故選：BCD例6．(2023·吉林白山·高二期末）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵中，M是的中點(diǎn)，，，，若，則（

）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)表示向量，求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.不妨令，則，，，，，.因?yàn)?，所以，則，，，，則解得，，，故.故選：C例7．(2023·浙江寧波·高一期中）已知向量，，則的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】分析：根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算直接求解即可【詳解】，，∴．故選：B．例8．（2023·廣東·新會(huì)陳經(jīng)綸中學(xué)高二期中）已知向量，，則（

）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解【詳解】，，則故選：C例9．(2023·廣東·高二階段練習(xí)）如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，四棱錐的底面是正方形，平面，且，若，則點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．答案：B【解析】分析：根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算直接計(jì)算.【詳解】由題意得，，所以，所以，所以的坐標(biāo)為．故選：B．例10．(2023·全國(guó)·高二期末）在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，四邊形框架為正方形，為矩形，且，且它們所在的平面互相垂直，N為對(duì)角線上的一個(gè)定點(diǎn)，且，活動(dòng)彈子M在正方形對(duì)角線上移動(dòng)，當(dāng)取最小值時(shí)，的值為_(kāi)___________.答案：【解析】分析：根據(jù)給定條件建立以直線BA，BE，BC分別為x軸，y軸，z軸的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量即可計(jì)算，求其最小值即可．【詳解】解：因ABCD為正方形，則AB⊥BC，而平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD?平面ABEF＝AB，于是得AB⊥平面ABEF，又ABEF為矩形，即BE⊥AB，以射線BA，BE，BC分別為x，y，z軸的非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則B（0，0，0），A（1，0，0），C（0，0，1），E（0，3，0），F(xiàn)（1，3，0），因點(diǎn)N在BF上，且2FN＝BN，則，又M在線段AC上移動(dòng)，則有，于是得點(diǎn)，?，因此，當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)，，.故答案為：例11．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：設(shè)，用表示出，求得的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得當(dāng)時(shí)，取得最小值，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】設(shè)，則＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝.所以當(dāng)λ＝時(shí)，取得最小值，此時(shí)＝＝，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.故選：C例12．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若?，點(diǎn)C在線段AB上，且，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是___________.答案：【解析】分析：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可得，即可得到方程組，解得即可求得的坐標(biāo)．【詳解】解：點(diǎn)?，為線段上一點(diǎn)，且，所以，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，則，即，解得，即；故答案為：．例13．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為是它內(nèi)切球的一條弦(我們把球面上任意兩點(diǎn)之間的線段稱為球的弦)，為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦的長(zhǎng)度最大時(shí)，的取值圍是_______________________．答案：【解析】首先確定弦過(guò)球心，再通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法得到，再通過(guò)構(gòu)造幾何意義求的最大值和最小值.【詳解】當(dāng)弦的長(zhǎng)度最大時(shí)，弦過(guò)球心，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)是上下底面的中心，則，，，，，則，而表示點(diǎn)和定點(diǎn)距離的平方，很顯然正方體的頂點(diǎn)到定點(diǎn)距離的平方最大，最大值是正方體面的中心到定點(diǎn)的距離的平方最小，最小值是，所以的最小值是，最大值是.故答案為：例14．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在中，，，.（1）求頂點(diǎn)、的坐標(biāo)；（2）求；（3）若點(diǎn)在上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo).答案：（1），；（2）；（3）.【解析】分析：（1）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求得點(diǎn)、的坐標(biāo)；（2）計(jì)算出向量、的坐標(biāo)，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得的值；（3）由可得，可求得向量的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則.，則；（2），則，又，因此，；（3）設(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則，則，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為.【方法技巧與總結(jié)】空間向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算與平面向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算方法類似，向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積的和。題型三：空間向量的共線與共面例15．(2023·河南·平頂山市教育局教育教學(xué)研究室高二開(kāi)學(xué)考試（理））已知空間三點(diǎn)，，，若三點(diǎn)共線，則（

）．A． B．1 C． D．2答案：C【解析】分析：求出向量與向量的坐標(biāo)，根據(jù)三點(diǎn)共線，可得向量與向量共線，由此即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，且三點(diǎn)共線，所以向量與向量共線，所以，得．故選：C.例16．(2023·浙江·平湖市當(dāng)湖高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知向量，，，若，，共面，則___________.答案：2【解析】分析：由，，共面，設(shè)，由坐標(biāo)運(yùn)算列出方程求解即可.【詳解】因?yàn)?，，共面，設(shè)，則，則，解得.故答案為：2.例17．(2023·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知，，．若、、三向量共面，則實(shí)數(shù)______．答案：【解析】分析：由題意可得，存在實(shí)數(shù)x，y，使，列出方程組，即可求得答案.【詳解】因?yàn)椴黄叫校?、、三向量共面，所以存在?shí)數(shù)x，y，使，所以，解得，故答案為：例18．（2023·福建福州·高二期中）若，，，且共面，則_______.答案：1【解析】分析：根據(jù)向量共面定理，可得到存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)，使得，列出方程組，解得答案.【詳解】由于共面，故存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)，使得，即，解得，故答案為：1例19．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）證明，，，四點(diǎn)共面，你能給出幾種證明方法？答案：證明見(jiàn)解析【解析】分析：方法一、根據(jù)即可證明；方法二、根據(jù)即可證明.【詳解】證明：方法一、因?yàn)?，，，，所以，，，所以，所以四點(diǎn)共面；方法二、因?yàn)椋?，，，所以，，所以，所以，所以四點(diǎn)共面.例20．(2023·福建龍巖·高二期中）已知空間中三點(diǎn)，，．(1)若，，三點(diǎn)共線，求的值；(2)若，的夾角是鈍角，求的取值范圍．答案：(1)；(2).【解析】分析：（1）由向量的坐標(biāo)表示確定、，再由三點(diǎn)共線，存在使，進(jìn)而求出m、n，即可得結(jié)果.（2）由向量夾角的坐標(biāo)表示求，再根據(jù)鈍角可得，討論的情況，即可求范圍.(1)由題設(shè)，，又，，三點(diǎn)共線，所以存在使，即，可得，所以.(2)由，由（1）知：當(dāng)時(shí)，有；而，又，的夾角是鈍角，所以，可得；又時(shí)、，故，滿足題設(shè)；綜上，.【方法技巧與總結(jié)】（1）在空間直角坐標(biāo)系下，兩向量的共線，可利用向量的共線定理，通過(guò)列方程組求解.要證三向量共面，即證存在，使得.（2）在空間直角坐標(biāo)系下，兩向量的共線，三向量的共面問(wèn)題，均可靈活應(yīng)用共線，共面的基本定理，利用向量坐標(biāo)通過(guò)方程求解。題型四：空間向量模長(zhǎng)坐標(biāo)表示例21．(2023·江蘇·漣水縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知空間三點(diǎn)A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，則在上的投影向量的模是______.答案：【解析】分析：先求得，再根據(jù)投影向量的模的公式求解即可【詳解】由題，，故在上的投影向量的模故答案為：例22．(2023·江蘇常州·高二期中）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為3，，點(diǎn)N為B1B的中點(diǎn)，則___________.答案：【解析】分析：根據(jù)題意，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，即可求解.【詳解】如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)?，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，所以，，故．故答案為：.例23．(2023·江蘇宿遷·高二期中）設(shè)空間向量是一組單位正交基底，若空間向量滿足對(duì)任意的的最小值是2，則的最小值是_________．答案：【解析】分析：以方向?yàn)檩S，垂直于方向?yàn)檩S建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件求得坐標(biāo)，由的表達(dá)式即可求得最小值.【詳解】以方向?yàn)檩S建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)則，當(dāng)時(shí)的最小值是，取則又因?yàn)槭侨我庵担缘淖钚≈凳?取則又因?yàn)槭侨我庵?，所以的最小值?故答案為：.例24．(2023·全國(guó)·高二單元測(cè)試）若向量，，且，則實(shí)數(shù)______．答案：【解析】分析：由向量模長(zhǎng)坐標(biāo)運(yùn)算可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】，，解得：或，又，.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】若，則.題型五：空間向量平行坐標(biāo)表示例25．(2023·山東省鄆城第一中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）已知向量，若，則實(shí)數(shù)________．答案：【解析】分析：利用列方程，即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，且，所以，解得?故答案為：.例26．（2023·湖北武漢·高二期中）已知兩個(gè)向量，，且，則的值為（

）A．1 B．2 C．4 D．8答案：C【解析】分析：由，可知，使，利用向量的數(shù)乘運(yùn)算及向量相等即可得解.【詳解】∵，∴，使，得，解得：，所以故選：C【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：在解決有關(guān)平行的問(wèn)題時(shí)，通常需要引入?yún)?shù)，如本題中已知，引入?yún)?shù)，使，轉(zhuǎn)化為方程組求解；本題也可以利用坐標(biāo)成比例求解，即由，得，求出m，n.例27．(2023·江西贛州·高二期中（理））空間中，與向量同向共線的單位向量為（

）A． B．或C． D．或答案：C【解析】分析：由已知條件，先求出，從而即可求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以與向量同向共線的單位向量，故選：C.例28．(2023·河北邢臺(tái)·高二階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，，若，則x的值為（

）A．4 B． C．4或 D．5答案：A【解析】分析：由向量平行有且，結(jié)合已知坐標(biāo)列方程組求參數(shù)即可.【詳解】由題設(shè)，且，則，可得.故選：A【方法技巧與總結(jié)】若，則題型六：空間向量垂直坐標(biāo)表示例29．(2023·江蘇徐州·高二期中）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為6，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面上的動(dòng)點(diǎn)，滿足的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】分析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段即可得結(jié)果.【詳解】分別以，，為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，，則，，由得，即，由于，所以，，所以點(diǎn)的軌跡為面上的直線：，，即圖中的線段，由圖知：，故選：B.例30．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，P是的中點(diǎn)，點(diǎn)M在側(cè)面（含邊界）內(nèi)，若.則△BCM面積的最小值為（）A．8 B．4 C． D．答案：D【解析】分析：以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量法確定M的軌跡滿足，求出的最小值，可求出面積的最小值.【詳解】以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，得，所以，所以，?dāng)時(shí)，取最小值，易知，且平面，平面故，故所以的最小值為．故選：D.例31．(2023·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知，．設(shè)D在直線AB上，且，設(shè)，若，則實(shí)數(shù)______．答案：【解析】分析：由題知，，進(jìn)而根據(jù)空間向量的垂直關(guān)系求解即可.【詳解】解：因?yàn)樵谥本€上，且，所以所以，，因?yàn)樗裕獾?故答案為：例32．(2023·福建龍巖·高二期中）已知向量，，點(diǎn)，.(1)求；(2)若直線AB上存在一點(diǎn)E，使得，其中O為原點(diǎn)，求E點(diǎn)的坐標(biāo).答案：(1)5(2)【解析】分析：（1）根據(jù)空間向量坐標(biāo)表示的線性運(yùn)算求出，再根據(jù)向量模的坐標(biāo)公式即可得解；（2）設(shè)，根據(jù)求出，再根據(jù)可得，從而可求得，即可求出，從而可得出答案.(1)解：因?yàn)?，，所以，所以?2)解：設(shè)，由，，得，則，故，因?yàn)?，所以，即，解得，所以，設(shè)，則，所以，解得，所以.【方法技巧與總結(jié)】若，則題型七：空間向量夾角坐標(biāo)表示例33．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，分別是軸、軸、軸正方向上的單位向量，若為非零向量，且，，則______．答案：或【解析】分析：設(shè)，由向量數(shù)量積運(yùn)算可求得，，由模長(zhǎng)運(yùn)算可知，由向量夾角公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，又，，，，，即，，，解得：，或，或，又，或.故答案為：或.例34．(2023·四川·閬中中學(xué)高二階段練習(xí)（理））若向量若與的夾角為銳角，則的范圍為_(kāi)________.答案：【解析】分析：由與的夾角為銳角，判斷出，且、不同向共線，列不等式組求出k的范圍.【詳解】因?yàn)橄蛄咳襞c的夾角為銳角，所以，且、不同向共線.只需滿足，解得：或.所以的范圍為.故答案為：.例35．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱中，，，棱，、分別為、的中點(diǎn).建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，解決如下問(wèn)題：(1)求的模；(2)求的值；(3)求證：平面.答案：(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【解析】分析：（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果；（2）利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得的值；（3）利用空間向量法可證得，，再利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立.(1)解：因?yàn)槠矫?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，，則.(2)解：依題意得、、、，所以，，，，又，，所以，.(3)證明：依題意得、、、、，則，，，所以，，，則，，即，，又因?yàn)?，所以，平?例36．(2023·福建省長(zhǎng)汀縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)向量，，計(jì)算以及與所成角的余弦值．答案：，，，【解析】分析：根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算直接計(jì)算可得.【詳解】．.∵，，∴例37．(2023·新疆·烏蘇市第一中學(xué)高二期中（理））已知空間向量，，．（1）若，求；（2）若，求的值．答案：（1）；（2）．【解析】分析：（1）利用空間向量共線定理，列式求解x的值，由向量模的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可；（2）利用向量垂直的坐標(biāo)表示，求出x的值，從而得到，由空間向量的夾角公式求解即可．【詳解】解：（1）空間向量，，，因?yàn)椋源嬖趯?shí)數(shù)k，使得，所以，解得，則．（2）因?yàn)?，則，解得，所以，故．例38．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線中，并完成問(wèn)題.問(wèn)題：如圖，在正方體中，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，E為棱上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，___________，試問(wèn)是否存在點(diǎn)，滿足？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.答案：答案見(jiàn)解析【解析】分析：先利用已知條件寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，進(jìn)而得到的坐標(biāo)，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出；若選①：利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式、空間向量垂直的性質(zhì)即可求解；若選②：利用空間向量模的坐標(biāo)表示公式即可得出結(jié)果；若選③：利用空間向量夾角的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】解：由題意，正方體棱長(zhǎng)為2，則，設(shè)，則，所以.選擇①：，所以，得，若得，則，故存在點(diǎn)，滿足，.選擇②：因?yàn)椋?，得，若，即，?故存在點(diǎn)，滿足，.選擇③：因?yàn)?，所以與不共線，所以，即，則，故不存在點(diǎn)滿足.【方法技巧與總結(jié)】若，則(1).(2).【同步練習(xí)】一、單選題1．(2023·四川省綿陽(yáng)普明中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知空間向量，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．且 B．且C．且 D．以上都不對(duì)答案：C【解析】分析：根據(jù)空間向量垂直平行的性質(zhì)判斷即可【詳解】由題，因?yàn)?，故，又，故故選：C2．(2023·江蘇·漣水縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）向量，若，則的值為（

）A．2 B．1 C． D．答案：C【解析】分析：根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)公式即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可得知，則，因此，所以，故選：C.3．(2023·江蘇宿遷·高二期中）若向量，，則向量與的夾角為（

）A．0 B． C． D．答案：D【解析】分析：利用向量數(shù)量積的定義，直接計(jì)算即可.【詳解】設(shè)向量與的夾角為，且，所以，，所以，故選：D4．(2023·江蘇省江浦高級(jí)中學(xué)高二期中）在空間直角坐標(biāo)系中，，，，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．3 B． C． D．答案：A【解析】分析：由空間向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算．【詳解】由題意，，，，因?yàn)椋?，．故選：A．5．(2023·江蘇·南京市中華中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）在空間直角坐標(biāo)系中，若，，與的夾角為，則的值為（

）A．1 B． C．或 D．17或答案：D【解析】分析：根據(jù)題意，結(jié)合空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式和空間向量的夾角公式，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，向量，，可得，，，因?yàn)榕c的夾角為，可得，即，整理得，解得或.故選：D.6．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若平面?的法向量分別為，，且，則等于（

）A． B．C． D．答案：D【解析】分析：根據(jù)平面垂直可知法向量垂直，利用數(shù)量積為0求解即可.【詳解】,平面?的法向量分別為，，，,解得，故選：D7．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折成直二面角，、分別為、的中點(diǎn)，是正方形的中心，則的大小為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】分析：建立空間直角坐標(biāo)系，以向量法去求的大小即可解決.【詳解】由題意可得平面，，則兩兩垂直以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)B、OA、OC所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系則，，，，又，則故選：B8．(2023·安徽省亳州市第一中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段上，點(diǎn)F在線段上，則線段EF長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C．1 D．答案：B【解析】分析：根據(jù)給定條件建立空間直角坐標(biāo)系，令，用表示出點(diǎn)E，F(xiàn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，設(shè)，有，線段EF長(zhǎng)最短，必滿足，則有，解得，即，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以線段EF長(zhǎng)的最小值為.故選：B二、多選題9．(2023·福建龍巖·高二期中）對(duì)于非零空間向量，，，現(xiàn)給出下列命題，其中為真命題的是（

）A．若，則，的夾角是鈍角B．若，，則C．若，則D．若，，，則，，可以作為空間中的一組基底答案：BD【解析】分析：根據(jù)空間向量夾角的定義、空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、空間向量基底的定義逐一判斷即可.【詳解】A：當(dāng)，時(shí)，顯然，因?yàn)椋?，的夾角是平角，故本選項(xiàng)命題是假命題；B：因?yàn)?，所以，因此本選項(xiàng)命題是真命題；C：當(dāng)，，時(shí)，顯然，但是，因此本選項(xiàng)命題是假命題；D：假設(shè)，，是共面向量，所以有，顯然不可能，所以，，不是共面向量，因此，，可以作為空間中的一組基底，所以本選項(xiàng)命題是真命題，故選：BD10．(2023·福建省連城縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知空間三點(diǎn)，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．答案：AC【解析】分析：由條件可得的坐標(biāo)，然后逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)椋?，，所以所以，，所以不共線.故選：AC11．(2023·湖南益陽(yáng)·高二期末）已知四面體的所有棱長(zhǎng)都是分別是棱的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．答案：ACD【解析】分析：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量級(jí)的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】以B為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，，，，，.故選：ACD12．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，則（

）A．存在點(diǎn)使得B．存在點(diǎn)使得C．存在點(diǎn)使得D．存在點(diǎn)使得答案：AD【解析】分析：建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)，表示，再利用數(shù)量積運(yùn)算逐項(xiàng)判斷.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，，設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，則，A.，解得，故正確；B.，解得，故錯(cuò)誤；C.，解得，故錯(cuò)誤；D.，解得，故正確.故選：AD三、填空題13．(2023·江蘇·東?？h教育局教研室高二期中）已知，，則_______.答案：6【解析】分析：根據(jù)空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式即可求解.【詳解】由，，得，，..故答案為：.14．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量，，．當(dāng)時(shí)，若向量與垂直，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____．答案：【解析】分析：根據(jù)空間向量模的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合空間向量的加法、數(shù)乘的運(yùn)算的坐標(biāo)表示公式和空間向量垂直的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，，因?yàn)榕c垂直，所以.故答案為：15．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，圓錐的軸截面SAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓錐底面內(nèi)(包括圓周).若，則點(diǎn)S與P距離的最小值是___________．答案：##【解析】分析：以O(shè)為原點(diǎn)，OB為y軸，OS為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)求出y，表示出根據(jù)函數(shù)性質(zhì)即可求其最小值．【詳解】如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，OB為y軸，OS為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則，，∵，∴，解得，∴知，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與距離的最小，其最小值為．故答案為：．16．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））在長(zhǎng)方體中，已知AB=2，BC=t，若在線段AB上存在點(diǎn)E，使得，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是______．答案：【解析】分析：如圖，以為原點(diǎn)，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，然后利用空間向量表示出的關(guān)系，從而可求得結(jié)果【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，（）則，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)閠>0所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是，故答案為：四、解答題17．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，將正三棱柱放在空間直角坐標(biāo)系中，使得棱AB的中點(diǎn)恰為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，A，B兩點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，若，，寫(xiě)出，的坐標(biāo)，并求它們夾角的余弦值．答案：，【解析】分析：寫(xiě)出四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得向量坐標(biāo)，利用夾角公式可得向量夾角的余弦值