高考數(shù)學微專題集專題4：恒成立與存在性問題(原卷版+解析)

專題4：恒成立與存在性問題專題4：恒成立與存在性問題專題闡述：無論是不等式的證明、解不等式,還是不等式的恒成立問題、有解問題、無解問題,構造函數(shù),運用函數(shù)的思想,利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(單調性和最值),達到解題的目的,是一成不變的思路,合理構思,善于從不同角度分析問題是解題的法寶.考法一：不等式恒成立問題[規(guī)律方法]不等式恒成立問題常見處理方法：①分離參數(shù)恒成立(可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結合(圖象在上方即可)；③最值法：討論最值或恒成立；④討論參數(shù).例1．已知函數(shù)，若在上恒成立，則的取值范圍是_________答案：【解析】恒成立的不等式為，便于參數(shù)分離，所以考慮嘗試參變分離法，其中只需要，令（導函數(shù)無法直接確定單調區(qū)間，但再求一次導即可將變?yōu)?，所以二階導函數(shù)的單調性可分析，為了便于確定的符號，不妨先驗邊界值），，（判斷單調性時一定要先看定義域，有可能會簡化判斷的過程）在單調遞減，在單調遞減【點睛】求導數(shù)的目的是利用導函數(shù)的符號得到原函數(shù)的單調性，當導函數(shù)無法直接判斷符號時，可根據導函數(shù)解析式的特點以及定義域嘗試在求一次導數(shù)，進而通過單調性和關鍵點（邊界點，零點）等確定符號.例2．已知函數(shù)，若存在，且，，使得恒成立，則實數(shù)的取值范圍是____.答案：【解析】作出圖象，如圖所示，設，則，，.令，則，所以，所以當時，，所以在上單調遞增，所以當時，，所以，所以由函數(shù)圖象可知，所以.例3．已知函數(shù)f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）為f（x）的導數(shù)．（1）證明：f′（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點；（2）若x∈[0，π]時，f（x）≥ax，求a的取值范圍．【解析】（1）令，則當時，令，解得：當時，；當時，在上單調遞增；在上單調遞減又，，即當時，，此時無零點，即無零點，使得又在上單調遞減為，即在上的唯一零點綜上所述：在區(qū)間存在唯一零點（2）若時，，即恒成立令則，由（1）可知，在上單調遞增；在上單調遞減且，，，①當時，，即在上恒成立在上單調遞增，即，此時恒成立②當時，，，，使得在上單調遞增，在上單調遞減又，在上恒成立，即恒成立③當時，，，使得在上單調遞減，在上單調遞增時，，可知不恒成立④當時，在上單調遞減可知不恒成立綜上所述：【針對訓練】1．已知關于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．2．已知函數(shù)若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．3．已知函數(shù)f（x）=ex+1-alnax+a（a＞0）．（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（2）若關于x的不等式f（x）＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．考法二：不等式（方程）有解（能成立）問題[規(guī)律方法]根據導數(shù)的方法研究不等式能成立問題，一般可對不等式變形，分離參數(shù)，根據分離參數(shù)后的結果，構造函數(shù)，由導數(shù)的方法求出函數(shù)的最值，進而可求出結果；有時也可根據不等式，直接構造函數(shù)，根據導數(shù)的方法，利用分類討論求函數(shù)的最值，即可得出結果.例4．已知函數(shù)，若存在實數(shù)m使得不等式成立，求實數(shù)n的取值范圍為（

）A．B．C．D．答案：A【解析】由，求導，，當時，，則，當時，，則，，則，令，則，函數(shù)，即單調遞增，令，解得：，當時，解得：，單調遞增；當時，解得：，單調遞減，當時，取得極小值，極小值為，的最小值為1，若存在實數(shù)m使得不等式，則，則，解得：或，即實數(shù)n的取值范圍是，故選：A．例5．已知函數(shù)的導函數(shù)為，且對任意的實數(shù)都有(是自然對數(shù)的底數(shù))，且，若關于的不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C．D．答案：C【解析】即，所以，則，所以，因為，所以，所以，，由得，此時單調遞增，由得或，此時單調遞減，所以時，取得極大值為，當時，取得極小值，又因為，，，且時，，的解集中恰有兩個整數(shù)等價于在下方的圖象只有2個橫坐標為整數(shù)的點，結合函數(shù)圖象可得：則，解得，所以時，的解集中恰有兩個整數(shù)，故實數(shù)的取值范圍是故選：C【點睛】的解集中恰有兩個整數(shù)，需求出解析式，所以對已知條件變形可得即結合可求出，的解集中恰有兩個整數(shù)等價于在下方的圖象只有2個橫坐標為整數(shù)的點，對求導數(shù)形結合即可求出實數(shù)的取值范圍.例6．已知函數(shù).（1）當時，討論的單調性；（2）設，若關于的不等式在上有解，求的取值范圍.【解析】(1)由題意知，，令，當時，恒成立，∴當時，，即；當時，，即；∴函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減.

(2)因為，由題意知，存在，使得成立.即存在，使得成立；令，，①當時，對任意，都有，∴函數(shù)在上單調遞減，成立，解得，；②當時，令，解得；令，解得，∴函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，又，，解得無解；③當時，對任意的，都有，∴函數(shù)在上單調遞增，，不符合題意，舍去；綜上所述，的取值范圍為.【針對訓練】4．已知為奇函數(shù)，當時，，當，，若關于的不等式有解，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．5．已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)）與的圖象上存在關于軸對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)（1）若函數(shù)圖像上各點切線斜率的最大值為2，求函數(shù)的極值點；（2）若不等式有解，求a的取值范圍．【強化訓練】7．已知，若對任意兩個不等的正實數(shù)都有成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若對，且，有恒成立，則實數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．9．設函數(shù)，若不等式有解，則實數(shù)的最小值為A． B． C． D．10．已知函數(shù)，若不等式在上有解，則實數(shù)的最小值為A． B．C． D．11．已知函數(shù)，若存在，使得，則實數(shù)b的取值范圍是（

）A． B． C． D．12．已知，，若存在，，使得成立，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．13．已知函數(shù)，當時，的極小值為，當時，有極大值．（1）求函數(shù)；（2）存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．14．已知函數(shù)，，，其中（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的極值；（3）若，使不等式成立，求的取值范圍專題4：恒成立與存在性問題專題4：恒成立與存在性問題專題闡述：無論是不等式的證明、解不等式,還是不等式的恒成立問題、有解問題、無解問題,構造函數(shù),運用函數(shù)的思想,利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(單調性和最值),達到解題的目的,是一成不變的思路,合理構思,善于從不同角度分析問題是解題的法寶.考法一：不等式恒成立問題[規(guī)律方法]不等式恒成立問題常見處理方法：①分離參數(shù)恒成立(可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結合(圖象在上方即可)；③最值法：討論最值或恒成立；④討論參數(shù).例1．已知函數(shù)，若在上恒成立，則的取值范圍是_________答案：【解析】恒成立的不等式為，便于參數(shù)分離，所以考慮嘗試參變分離法，其中只需要，令（導函數(shù)無法直接確定單調區(qū)間，但再求一次導即可將變?yōu)?，所以二階導函數(shù)的單調性可分析，為了便于確定的符號，不妨先驗邊界值），，（判斷單調性時一定要先看定義域，有可能會簡化判斷的過程）在單調遞減，在單調遞減【點睛】求導數(shù)的目的是利用導函數(shù)的符號得到原函數(shù)的單調性，當導函數(shù)無法直接判斷符號時，可根據導函數(shù)解析式的特點以及定義域嘗試在求一次導數(shù)，進而通過單調性和關鍵點（邊界點，零點）等確定符號.例2．已知函數(shù)，若存在，且，，使得恒成立，則實數(shù)的取值范圍是____.答案：【解析】作出圖象，如圖所示，設，則，，.令，則，所以，所以當時，，所以在上單調遞增，所以當時，，所以，所以由函數(shù)圖象可知，所以.例3．已知函數(shù)f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）為f（x）的導數(shù)．（1）證明：f′（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點；（2）若x∈[0，π]時，f（x）≥ax，求a的取值范圍．【解析】（1）令，則當時，令，解得：當時，；當時，在上單調遞增；在上單調遞減又，，即當時，，此時無零點，即無零點，使得又在上單調遞減為，即在上的唯一零點綜上所述：在區(qū)間存在唯一零點（2）若時，，即恒成立令則，由（1）可知，在上單調遞增；在上單調遞減且，，，①當時，，即在上恒成立在上單調遞增，即，此時恒成立②當時，，，，使得在上單調遞增，在上單調遞減又，在上恒成立，即恒成立③當時，，，使得在上單調遞減，在上單調遞增時，，可知不恒成立④當時，在上單調遞減可知不恒成立綜上所述：【針對訓練】1．已知關于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．2．已知函數(shù)若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．3．已知函數(shù)f（x）=ex+1-alnax+a（a＞0）．（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（2）若關于x的不等式f（x）＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．考法二：不等式（方程）有解（能成立）問題[規(guī)律方法]根據導數(shù)的方法研究不等式能成立問題，一般可對不等式變形，分離參數(shù)，根據分離參數(shù)后的結果，構造函數(shù)，由導數(shù)的方法求出函數(shù)的最值，進而可求出結果；有時也可根據不等式，直接構造函數(shù)，根據導數(shù)的方法，利用分類討論求函數(shù)的最值，即可得出結果.例4．已知函數(shù)，若存在實數(shù)m使得不等式成立，求實數(shù)n的取值范圍為（

）A．B．C．D．答案：A【解析】由，求導，，當時，，則，當時，，則，，則，令，則，函數(shù)，即單調遞增，令，解得：，當時，解得：，單調遞增；當時，解得：，單調遞減，當時，取得極小值，極小值為，的最小值為1，若存在實數(shù)m使得不等式，則，則，解得：或，即實數(shù)n的取值范圍是，故選：A．例5．已知函數(shù)的導函數(shù)為，且對任意的實數(shù)都有(是自然對數(shù)的底數(shù))，且，若關于的不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C．D．答案：C【解析】即，所以，則，所以，因為，所以，所以，，由得，此時單調遞增，由得或，此時單調遞減，所以時，取得極大值為，當時，取得極小值，又因為，，，且時，，的解集中恰有兩個整數(shù)等價于在下方的圖象只有2個橫坐標為整數(shù)的點，結合函數(shù)圖象可得：則，解得，所以時，的解集中恰有兩個整數(shù)，故實數(shù)的取值范圍是故選：C【點睛】的解集中恰有兩個整數(shù)，需求出解析式，所以對已知條件變形可得即結合可求出，的解集中恰有兩個整數(shù)等價于在下方的圖象只有2個橫坐標為整數(shù)的點，對求導數(shù)形結合即可求出實數(shù)的取值范圍.例6．已知函數(shù).（1）當時，討論的單調性；（2）設，若關于的不等式在上有解，求的取值范圍.【解析】(1)由題意知，，令，當時，恒成立，∴當時，，即；當時，，即；∴函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減.

(2)因為，由題意知，存在，使得成立.即存在，使得成立；令，，①當時，對任意，都有，∴函數(shù)在上單調遞減，成立，解得，；②當時，令，解得；令，解得，∴函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，又，，解得無解；③當時，對任意的，都有，∴函數(shù)在上單調遞增，，不符合題意，舍去；綜上所述，的取值范圍為.【針對訓練】4．已知為奇函數(shù)，當時，，當，，若關于的不等式有解，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．5．已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)）與的圖象上存在關于軸對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)（1）若函數(shù)圖像上各點切線斜率的最大值為2，求函數(shù)的極值點；（2）若不等式有解，求a的取值范圍．【強化訓練】7．已知，若對任意兩個不等的正實數(shù)都有成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若對，且，有恒成立，則實數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．9．設函數(shù)，若不等式有解，則實數(shù)的最小值為A． B． C． D．10．已知函數(shù)，若不等式在上有解，則實數(shù)的最小值為A． B．C． D．11．已知函數(shù)，若存在，使得，則實數(shù)b的取值范圍是（

）A． B． C． D．12．已知，，若存在，，使得成立，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．13．已知函數(shù)，當時，的極小值為，當時，有極大值．（1）求函數(shù)；（2）存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．14．已知函數(shù)，，，其中（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的極值；（3）若，使不等式成立，求的取值范圍參考答案：1．C【詳解】最大值,因為當時令因此,由因為為偶函數(shù),所以最大值為,,選C.點睛：對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數(shù)法,使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結合法，將不等式轉化為兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)圖像確定條件.2．C【詳解】顯然，當時，不等式不恒成立，設過原點的直線與函數(shù)相切于點，因為，所以該切線方程為，因為該切線過原點，所以，解得，即該切線的斜率，由圖象，得.故選C.3．(1)（e2-1）x-y-2=0．(2)（0，e2）分析：（1）直接利用函數(shù)的導數(shù)求出直線的斜率，進一步求出直線的方程．（2）利用構造函數(shù)的方法，利用函數(shù)的單調性和函數(shù)的恒成問題的應用，進一步求出參數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）當a=1時，函數(shù)f（x）=ex+1-alnax+a，轉換為：f（x）=ex+1-lnx+1，故：．故切線的斜率k=f′（1）=e2-1，故切線的方程為：y-f（1）=f′（1）（x-1），整理得：y-（e2-1）=（e2-1）（x-1），即（e2-1）x-y-2=0．（2）f（x）=ex+1-alnax+a，所以：=，顯然：g（x）=xex+1-a在（0，+∞）上單調遞增．由于g（0）=-a＜0，所以：g（a）=aea+1-a＞0，則：存在x0∈（0，a），使得g（x0）=0，即：，lna=lnx0+x0+1，又0＜x＜x0，f′（x）＜0，所以函數(shù)f（x）單調遞減．x＞x0，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調遞增．f（x）在x=x0處取得最小值．故：，=由f（x）＞0恒成立，得到：f（x0）＞0，即：，所以：，設h（x）=，則：＜0，所以：函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調遞減．由于h（1）=0，則h（x）＞0，解得：0＜x＜1，所以：0＜x0＜1，，在x0∈（0，1）單調遞增，所以：0＜a＜e2．因此a=，故：a的取值范圍為（0，e2）．【點睛】本題主要考查了導數(shù)的應用，曲線的切線的意義，利用構造函數(shù)的方法利用導數(shù)求出函參數(shù)的取值范圍，主要考察學生的運算能力和轉換能力，屬于中檔題型．4．D分析：利用為奇函數(shù)及已知區(qū)間解析式求出在上分段函數(shù)的表示形式，由有解，即使即可，結合函數(shù)圖象分析即可得的取值范圍；【詳解】若，即，則；∵是奇函數(shù)，∴，則，；同理，若，即，則，有，；綜上，有作出函數(shù)的圖象如圖：1、當時，是的圖象向左平移個單位，即如下圖此時有解，滿足條件.2、當時，是的圖象向右平移個單位，即如下圖

當?shù)膱D象與在相切時，，此時對應直線斜率，由，得，此時，即切點坐標為；設切線方程為，此時，得；∴當時，滿足題設條件，解之得：；綜上，有或，即的取值范圍是；故選：D.【點睛】本題考查了利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式，并利用函數(shù)不等式能成立，結合函數(shù)圖象分析邊界情況，利用導數(shù)求邊界值，進而得到參數(shù)范圍；5．B分析：由已知，得到方程，可得在區(qū)間上有解，構造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的值域，即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意可知方程在區(qū)間上有解，再轉化為方程在內有解，構造函數(shù)，，得，當時，，此時函數(shù)單調遞減；當時，，此時函數(shù)單調遞增.函數(shù)在處有最小值，又，，且，∴，所以，，故選：B.【點晴】本題考查了構造函數(shù)法求方程的解及參數(shù)范圍；關鍵是將已知轉化為方程在上有解，考查化歸與轉化思想的應用，屬于中等題.6．（1）極小值點為，無極大值點；（2）且.【解析】（1）求導后可知，當時取最大值，求得的值，再利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，進而得到極值點；（2）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，得到，將有解轉化為，設函數(shù)，結合函數(shù)的單調性得到，則等價于且，由此求得的取值范圍．【詳解】解：（1）由于圖像上各點切線斜率的最大值為2，即取得最大值為2，由題可知的定義域為，則，即是關于的二次函數(shù)，∵，∴當時，取得最大值為，∴，而，∴，∴此時，在上單調遞減，在上,單調遞增，∴的極小值點為，無極大值點.（2）∵，其中且，在上，，則單調遞減，在上，，則單調遞增，∴，∵關于的不等式有解，∴，∵，∴，設，則，在上，，則單調遞增，在上，，則單調遞減，∴，即在內恒成立，∴要求，即，則只需即可，即，等價于，解得：且，∴的取值范圍是：且.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值和最值問題，以及構造新函數(shù)和根據不等式有解情況求參數(shù)的取值范圍，考查轉化思想和計算能力，是中檔題．7．A分析：把題意轉化為恒成立.利用分離參數(shù)法求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】對任意兩個不等的正實數(shù)，都有恒成立，即為時，恒成立.所以在上恒成立，則而，則．故選：A．8．C【詳解】因為，所以，所以.因為，且，所以恒成立恒成立恒成立，即恒成立，所以恒成立，又因為時，，所以.故選C.點晴：本題考查構造新函數(shù)，函數(shù)的單調性以及函數(shù)單調性轉化為的恒成立問題，利用導數(shù)研究不等式恒成立問題，首先要構造函數(shù)，本題不等式給出的是分式，應先等價為整式，轉化為函數(shù)的單調性問題進一步轉化為另一個不等式恒成立問題，分離變量重新構造函數(shù)解決問題，注意單調性的轉化中等號的取舍與驗證.9．D分析：先換元，令，將函數(shù)化為，再由不等式分類參數(shù)得：，令，只需求的最小值即可.【詳解】令，則由可得，由可得，即，所以，因為不等式有解，所以只需成立即可，令，只需求出的最小值；因為,令，則，故當，即時，有最小值，故當時，，時，；故有最小值，所以，即的最小值為.故選D【點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究不等式成立的問題，通常情況下需要分離參數(shù)，用導數(shù)的方法求函數(shù)的最值來解決，難度較大.10．C分析：原不等式等價于恒成立，構造函數(shù)，求導研究函數(shù)的單調性進而得到函數(shù)的最值.【詳解】由，可得，令，則，故當時，，當時，，故在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，故，所以實數(shù)的最小值為．故選C．【點睛】（1）若對于恒成立，則應求的最小值；若對于恒成立，則應求的最大值．特別需要關注等號是否成立，以免細節(jié)出錯．（2）在恒成立問題中有時需要取交集，有時需要取并集，一般而言，在同一“問題”中，若是對自變量作分類討論，其結果要取交集；若是對參數(shù)作分類討論，其結果要取并集．（3）若存在，使得成立，則應求的最大值；若存在，使