2021屆數(shù)學(xué)新高考小題 (十)

2021屆新高考“8+4+4”小題狂練(10)

一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

L設(shè)集合A={x|lnx<l},8={尤,2_4x—12N()},則AD(CRB)=()

A.(-oo,6)B.(-2,6)c.(0,6]D.(0,e)

【答案】B

【解析】

【分析】

分別解出集合A,集合B以及集合B的補集，然后對集合A和集合B的補集取并集即可.

[詳解】集合A={x|lnx<1}={x|lnx<Ine}={x[O<x<e},

6=卜產(chǎn)-4x-i2Nt)}={目(％—6)(》+2)20}={x|—2或xN6},

CRB={xI-2<x<6},則AD(CR8)={x|-2cx<6}=(-2,6)

故選：B

【點睛】本題考查集合的并集補集運算，考查對數(shù)不等式和一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

1+Z

2.已知復(fù)數(shù)z=l+i,彳為Z的共軌復(fù)數(shù)，則——=()

Z

3+i1+il-3il+3i

A.——B.C.D.

2222

【答案】D

【解析】

【分析】

求出直接由復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運算化簡復(fù)數(shù).

_1+z2+i_(2+z)(l+0_1+3/

詳解】=-

z1-z22

故選：D

【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運算，共輒復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題目.

3.馬林?梅森(MarinMersenne,1588-1648)是17世紀法國著名的數(shù)學(xué)家和修道士，也是當(dāng)時歐洲科學(xué)界一位

獨特的中心人物.梅森在歐幾里得、費馬等人研究的基礎(chǔ)上對2。-1作了大量的計算、驗證工作，人們?yōu)榧o念

梅森在數(shù)論方面的這一貢獻，將形如2，'-1(其中，是素數(shù))的素數(shù)，稱為梅森素數(shù).在不超過40的素數(shù)中，

隨機選取兩個不同的數(shù)，至少有一個為梅森素數(shù)的概率是()

51c

A.-6-

【分析】

可知不超過40的素數(shù)有12個，梅森素數(shù)有3個，求出隨機取兩個數(shù)的種數(shù)，求出至少有一個為梅森素數(shù)的

種數(shù)，即可得出概率.

【詳解】可知不超過40的素數(shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37共12個，

其中梅森素數(shù)有3,7,37共3個，

則在不超過40的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)共有=66種，

其中至少有一個為梅森素數(shù)有C；C；+=30利

305

所以至少有一個為梅森素數(shù)的概率是P=H=.

66711V

故選：A.

【點睛】本題考查古典概型概率的求解，屬于基礎(chǔ)題.

4.已知參加2020年某省夏季高考的53萬名考生的成績Z近似地服從正態(tài)分布^(453,992),估計這些考

生成績落在(552,651］的人數(shù)約為()

(附：Z?則P(//-cr<ZW4+(T)=0.6827,P(/.z-2cr<Z<//+2CT)=0.9545)

A.36014B.72027C.108041D.168222

【答案】B

【解析】

【分析】

由題可求出P(354<Z<552)=0.6827,P(255<Z<651)=0.9545,即可由此求出

P(552<Z<651),進而求出成績落在(552,651］的人數(shù).

【詳解】?:Z~N(453,99?),〃=453,b=99,

P(354<Z<552)=0.6827,P(255<Z<651)=0.9545,

...P(552<Z.651)=P(255<Z?651)“(354<Z4552)=0.9545-0.6827=QB59

這些考生成績落在(552,651］的人數(shù)約為53(XXX)x0.1359=72027.

故選：B.

【點睛】本題考查正態(tài)分布的相關(guān)概率計算，屬于基礎(chǔ)題.

5.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”.1852年，英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)''問題的

解法傳至歐洲.1874年英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得到的關(guān)于問余式解法的一般性定理,

因而西方稱之為“中國剩余定理此定理講的是關(guān)于整除的問題，現(xiàn)將1到1009這1009個數(shù)中，能被2除

余1且被5除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列（??},則該數(shù)列共有（）

A.100項B.101項C.102項D.103項

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出數(shù)列的通項公式，然后根據(jù)通項公式進行求解項數(shù).

【詳解】因為能被2除余1且被5除余1的數(shù)就能被10整除余1,

所以按從小到大的順序排成一列可得4=10〃-9,

由4=10〃-941009,得〃W101.8,故此數(shù)列的項數(shù)為101.

故選:B.

【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式，熟記公式是求解的關(guān)鍵，屬于容易題，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的

核心素養(yǎng).

6.已知AA6c中，A5=4，AC=40，BC=8,動點P自點。出發(fā)沿線段CB運動，到達點3時停

止，動點。自點8出發(fā)沿線段運動，到達點C時停止，且動點Q的速度是動點P的2倍.若二者同時出

發(fā)，且一個點停止運動時，另一個點也停止，則該過程中福?福的最大值是（）

749

A.—B.4C.—D.23

22

【答案】C

【解析】

【分析】

由題意詼=一2而，AB1AC,ZABC=60,ZACB=30,故/.而=（恁+而）與+的），展

開可得關(guān)于「耳的一元二次函數(shù)，配方，即可求得衣?豆的最大值.

【詳解】AABC中，AB=4,AC=4也,BC=8,

/.AB2+AC2=BC2,:.AB±AC,ZABC=60,ZACS=30.

由題意通=一2而，

：.7^-^Q=[AC+CP^\AB+BQ^=ACAB+ACBQ+CPAB+CPBQ

=0+|Ac||-2Cjp|cos30C1+|CP||AB|COS60°+|GP||-2CP|cos180。

=4百x2同x#+1司x4x92阿

???當(dāng)J。耳=(時，Q.而取得最大值，最大值為日.

故選：C.

【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題.

7.已知直線丫=匕+力恒在函數(shù)y=In(x+4)的圖象的上方，則，的取值范圍是()

K

A.(3,+0O)B.C.(-CO,3)D.[3,4-00)

【答案】A

【解析】

【分析】

由題意構(gòu)造新函數(shù)，然后利用導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的最值討論計算即可確定9的取值范圍.

k

【詳解】很明顯出>0,

否則k<o時，函數(shù)丫=丘+匕單調(diào)遞減，且x->?>o時yfY0,

而y=ln(x+4)當(dāng)xf+20時yf+8,不合題意，

女=0時函數(shù)丫=履+匕為常函數(shù)，

而y=ln(x+4)當(dāng)xf+ao時yf+8,不合題意，

當(dāng)%>0時，構(gòu)造函數(shù)"(x)=(Ax+0)-ln(x+4),

由題意可知"(x)>0恒成立，注意到：H\x)=k--匚="+41,

據(jù)此可得，函數(shù)在區(qū)間(-4,上的單調(diào)遞減，在區(qū)間[：-4,+8)上單調(diào)遞增,

則：”(x)疝n="=1-4Z+/?+lnZ〉0,

.,,〔IbInZ:+1

故人>-1+4%-In%,—>4A-------，

kk

構(gòu)造函數(shù)g(%)=4-■1^”，則/(%)=臂，還是g,)在左=1處取得極值，

KK

bh

結(jié)合題意可知：?>g(l)=3,即菅的取值范圍是(3,+8).

KK

故選：A.

【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識，意在

考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.

8.已知加wR,過定點A的動直線mx+y=O和過定點3的動直線x一沖一根+3=0交于點p,則

1pAi+g|P8|的取值范圍是()

A.(而,2而]B.(710,730]

C.[710,730)D.[何,2啊

【答案】D

【解析】

【分析】

動直線〃?x+y=0過定點A(0,0),動直線x—m)，—加+3=0過定點3(-3,-1),且此兩條直線垂直，因

此點P在以AB為直徑的圓上，|48|=V10,設(shè)NABP=。，則|PA|=布sin4|P81=Ji。cos6,。曰0,g],

代入+中利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.

【詳解】動直線如+y=o過定點4(0,0),動直線x-陽一"2+3=0

即x+3-m(y+l)=0過定點3(-3,—1),且此兩條直線垂直.

.?.點尸在以A8為直徑的圓上，|AB|=jF+32=回,,

設(shè)/ABP=e,貝“PA|=ViUsina|P8|=ViUcose,9e[0,y]

PA|+拘PB|=廂sin6+炳cos0=2Msin16+,

.7171TC571

40,—]?0+—G[—,—J,

2336

sin(0+—)G[—?1],

A2^sinl+yje[Vio>2而],

【點睛】本題考查直線過定點、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查推理能力與

計算能力，屬于中檔題.

二、選擇題：在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

9.若?！?,。＞0,且。+。=4,則下列不等式恒成立的是（）

A.0<—<-B.\[ab<2

ah4

C.D.

ab占4

【答案】CD

【解析】

【分析】

根據(jù)均值不等式及不等式的性質(zhì)分析即可求解.

【詳解】A選項由絲2=2知因為a匕＞0,所以」-N，,當(dāng)且僅當(dāng)a=0=2時等號成

2ab4

立，故A選項錯誤；

B選項，因為而〈蟲也=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=匕=2時等號成立，故B選項錯誤；

2

C選項，—I—22>2x-=l當(dāng)且僅當(dāng)。=b=2時等號成立，故C正確;

ab2

D選項，由@弛1=8,當(dāng)且僅當(dāng)。=^=2時等號成立，所以21，正確,

2a2+b28

故選：CD

【點睛】本題主要考查了均值不等式，重要不等式的應(yīng)用，考查了不等式等號成立的條件，屬于中檔題.

10.將函數(shù)/(x)=cos(0x-?(0>0)的圖象向右平移|■個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，且

g(O)=-l,則下列說法正確的是()

A.g(x)為奇函數(shù)

C.當(dāng)◎=5時，g(x)在(0,兀)上有4個極值點

1T

D.若g(x)在0,-上單調(diào)遞增，則3的最大值為5

【答案】BCD

【解析】

【分析】

利用題目已知條件，求出。，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】/(x)=cosj=sin>0)

JI

?,.g(x)=sin69(x--),且g(0)=-l,

——co—一萬)萬(&wZ),即G=1—4A為奇數(shù)，

JI

g(x)=sina)(x--)=±cos&x為偶函數(shù)，故A錯.

由上得：。為奇數(shù)，,g(-])=士cos(一等)=0,故B對.

由上得，當(dāng)0=5時，g(x)=sin(5x---)=-cos5x,7=彳,由圖像可知g(x)在(0,兀)上有4個極值

點，故C對,

兀T7T

??,g（尤）在0,1上單調(diào),所以^一04一=々，解得:0<?<5,又：啰=1—4%,

52co

二。的最大值為5,故D對

故選：BCD.

【點睛】本題考查了三角函數(shù)的平移變換，奇偶性，極值點，單調(diào)區(qū)間，屬于難題.

22

11.已知雙曲線c：三一匕二1,過其右焦點廠的直線/與雙曲線交于兩點A、B,則（）

916

4

A.若A、8同在雙曲線的右支，貝IJ/的斜率大于§

B.若A在雙曲線的右支，則|用|最短長度為2

c.的最短長度為方

D.滿足|A3|=11的直線有4條

【答案】BD

【解析】

【分析】

設(shè)直線/的方程為x=2y+5,設(shè)點4（石,凹）、將直線/的方程與雙曲線C的方程聯(lián)立，利用

判別式、韋達定理、弦長公式可判斷各選項的正誤.

【詳解】易知雙曲線。的右焦點為/（5,0）,

設(shè)點A（%，X）、3（%,三），設(shè)直線/的方程為x=my+5,

當(dāng)時，直線/的斜率為2=工,

m

x=my+5

聯(lián)立《，消去x并整理得(16加2-9)/+l60my+256=0.

16x2-9/=144

16〉一9#03

A=1602/H2-4X256(16m2-9)=962(m2+l)>04

對于A選項，當(dāng)m=0時，直線/_Lx軸，則A、3兩點都在雙曲線的右支上，此時直線/的斜率不存在,

A選項錯誤；

對于B選項，I|E4]inu.n=c—<2=5—3=2,B選項正確；

3?

對于C選項，當(dāng)直線/與X軸重合時，恒卻=2〃=6<§,C選項錯誤;

對于D選項，當(dāng)直線/與x軸重合時，|AB|=2a=6H11；

160/篦256

當(dāng)直線/與x軸不重合時,由韋達定理得y+必=—

16〃/一9

由弦長公式可得

,——-,,）——-r-------------96（/+1）6（16療+16）

+必_%=4+"4（M+%）--4y必=馬二（=I”，&="，解得

16/21-916m-9

-叵或m=±叵.

468

故滿足|AB|=11的直線有4條，D選項正確.

故選：BD.

【點睛】本題考查直線與雙曲線的綜合問題，考查了直線與雙曲線的交點個數(shù)，弦長的計算，考查了韋達

定理設(shè)而不求法的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.

12.如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，AA=AC=2,AB=3,N84C=90°，點O,E分別是線段

ECDC

BC,5。上的動點（不含端點），且則下列說法正確的是（）

n）CJDC

A.ED〃平面4CG

B.四面體A—BZ汨的體積是定值

C.異面直線gc與A4所成角的正切值為巫

2

4

D.二面角A—EC—。的余弦值為一

13

【答案】ACD

【解析】

【分析】

說明四邊形BCC#是矩形，然后證明ED//BB]//A%,推出西〃平面ACC,,判斷A；設(shè)ED=m,

然后求解四面體A—的體積可判斷B；說明異面直線用。與A4所成角為28用。，然后求解三角形,

判斷C；利用空間向量求解二面角A-EC—。的余弦值

【詳解】解：對于A,在直三棱柱ABC-A4G中，四邊形8CGM是矩形，

ECDC

因為=所以ED〃BB|〃AA|，

D|CDC

所以&)〃平面ACCi所以A正確;

對于B,設(shè)ED=m,因為N84C=90°,=AC=2,AB=3,

所以6C=J22+32=屈，

DEDCDEBC_y[\3m

因為即〃8月，所以入7="，所以DC=

￡>￡>)￡>CBB、2

所以80=屈_孕，所以S_舊――2^x1x2x3-3a根)'

2TABD而--x-xZx5-5[l--)

I4,1

四面體A—BDE的體積為一x3(l--}m=m一一病,所以四面體A—8DE的體積不是定值，所以B錯誤;

322

對于C,因為〃A4,所以異面直線B?與AA,所成角為NBB]C,在RMB^C中，B1B=2,BC=屈,

所以tanNB8C=gg=巫，所以C正確；

1BB12

對于D,如圖，以A為坐標原點，以AB,AC,AA所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則

A(0,0,0),5(3,0,0),C(0,2,0),B,(3,0,2),

所以航=(0,2,0),砥=(3,0,2),

設(shè)平面AqC的一個法向量為3=(*,%z),則

n-AC=2y=0_

______,令x=2,則z=—3,所以〃=(2,(),—3),

n-AB]=3x+2z=0

同理可求得平面84c的一個法向量為送=(2,3,0),

2x24

所以二面角A-EC—。的余弦值為-7=~/==—,所以D正確,

J13xJ1313

故選：ACD

【點睛】此題考查立體幾何中的關(guān)每次和計算，二面角的平面角的求法，異面直線所成角的求法，屬于中

檔題

三.填空題：

13.高三一班周一上午有四節(jié)課，分別安排語文、數(shù)學(xué)、英語和體育.其中語文不安排在第一節(jié)，數(shù)學(xué)不安排

在第二節(jié)，英語不安排在第三節(jié)，體育不安排在第四節(jié)，則不同的課表安排方法共有_____種.

【答案】9

【解析】

【分析】

分三類考慮，語文安排在第二節(jié)，語文安排在第三節(jié)，語文安排在第四節(jié)，分別求出各類的安排方法，相加

即可.

【詳解】第一類：語文安排在第二節(jié)，

若數(shù)學(xué)安排在第一節(jié)，則英語安排在第四節(jié),體育安排在第三節(jié)；

若數(shù)學(xué)安排在第三節(jié)，則英語安排在第四節(jié)，體育安排在第一節(jié)；

若數(shù)學(xué)安排在第四節(jié)，則英語安排在第一節(jié),體育安排在第三節(jié)；

第二類：語文安排在第三節(jié)，

若英語安排在第一節(jié)，則數(shù)學(xué)安排在第四節(jié),體育安排在第二節(jié)；

若英語安排在第二節(jié)，則數(shù)學(xué)安排在第四節(jié)，體育安排在第一節(jié)；

若英語安排在第四節(jié)，則數(shù)學(xué)安排在第一節(jié),體育安排在第二節(jié)；

第三類：語文安排在第四節(jié)，

若體育安排在第一節(jié)，則英語安排在第二節(jié),數(shù)學(xué)安排在第三節(jié)；

若體育安排在第二節(jié)，則英語安排在第一節(jié)，數(shù)學(xué)安排在第三節(jié)；

若體育安排在第三節(jié)，則英語安排在第二節(jié)，數(shù)學(xué)安排在第一節(jié)；

所以共有9種方案.

故答案為：9.

【點睛】本題考查有限制的元素排列問題，屬于基礎(chǔ)題.

14.已知四面體A-3c。中，AB=CZ)=石，AC=BD=?，BC=AD=>fB，則其外接球的體積

為.

【答案】冬叵兀

3

【解析】

【分析】

由題意可采用割補法，構(gòu)造長寬高分別x,y,z的長方體，其面對角線分別為6,屈,屈

解出x,y,z,求長方體的體對角線即可.

【詳解】如圖，構(gòu)造長方體，其面對角線長分別為逐,質(zhì),屈，

則四面體A-BCD的外接球即為此長方體的外接球,

設(shè)長方體的長寬高分別x,y,z,外接球半徑為R

則x?+y2-5,y2+z2=10,x2+z2=13,

所以f+丁=5,y2+z2=10,%2+Z2=13,

則x2+y2+z2=14=QA)2,解得R

2

二匚4乃八375/14

所以v=-R3=----

33

故答案為：7^^71

3

【點睛】本題主要考查了球的內(nèi)接四面體的性質(zhì)，考查了構(gòu)造法求球的半徑，球的體積公式，屬于中檔題.

sinl0｛%｝的前?項的和記為s,則乎

15.已知數(shù)列也｝滿足4n

cosricos(?2-l)?30

【答案】3

【解析】

【分析】

a

利用兩角差的正弦公式化簡得出an=-tan(n-l)°+tann,可求得S“，進而可計算得出黃的值.

、30

【詳解】

sin1