初中數(shù)學(xué)北師大八年級(jí)下冊(cè)（2023年修訂） 因式分解公式法

第四章因式分解

3.公式法（二）

一、學(xué)生起點(diǎn)分析

學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)：學(xué)生在七年級(jí)下冊(cè)第一章中已經(jīng)學(xué)習(xí)過完全平方公式，

將其逆用就是本節(jié)課所涉及的主體知識(shí).對(duì)于公式逆用，學(xué)生已經(jīng)不是第一次接觸

了，在上一節(jié)課中學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷過將平方差公式逆用的過程，應(yīng)該說是比較熟悉的.

學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：通過上節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生積累了一定的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).本節(jié)課的

學(xué)習(xí)模式與前者基本相同：公式倒用，分析公式的結(jié)構(gòu)特征，整體思想換元進(jìn)行分

解因式以及要求分解徹底.這些活動(dòng)方法是學(xué)生非常熟悉的觀察、對(duì)比、討論等方法,

學(xué)生有較好的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

二、教學(xué)任務(wù)分析

學(xué)生在學(xué)習(xí)了用平方差公式進(jìn)行因式分解的基礎(chǔ)上，本節(jié)課又安排了用完全平

方公式進(jìn)行因式分解，旨在讓學(xué)生能熟練地應(yīng)對(duì)各種形式的多項(xiàng)式的因式分解，為

下一章分式的運(yùn)算以及今后的方程、函數(shù)等知識(shí)的學(xué)習(xí)奠定一個(gè)良好的基礎(chǔ).

本節(jié)課的具體教學(xué)目標(biāo)為：

1.知識(shí)與技能：使學(xué)生了解運(yùn)用公式法分解因式的意義；會(huì)用公式法（直接用

公式不超過兩次）分解因式（指數(shù)是正整數(shù)）；使學(xué)生清楚地知道提公因式法是分解

因式的首先考慮的方法，再考慮用平方差公式或完全平方公式進(jìn)行分解因式.

2.過程與方法：經(jīng)歷通過整式乘法的完全平方公式逆向得出運(yùn)用公式法分解因

式的方法的過程，發(fā)展學(xué)生的逆向思維和推理能力.

3.情感與態(tài)度：培養(yǎng)學(xué)生靈活的運(yùn)用知識(shí)的能力和積極思考的良好行為，體會(huì)

因式分解在數(shù)學(xué)學(xué)科中的地位和價(jià)值.

三、教學(xué)過程分析

本節(jié)課設(shè)計(jì)了七個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)回顧一一學(xué)習(xí)新知一一落實(shí)基礎(chǔ)一一范例學(xué)

習(xí)一一隨堂練習(xí)一一聯(lián)系拓廣一一自主小結(jié).

第一環(huán)節(jié)復(fù)習(xí)回顧

活動(dòng)內(nèi)容：

(a+i)2=a2+2ab+b2

完全平方公式：,,2

(a-b")2=a2Zab+b?

現(xiàn)在我們把完全平方公式反過來，可得：

a2+2ab+b2=(a+b)2

a2-2ab+b2=(a-b)2

兩個(gè)數(shù)的平方和，加上這兩個(gè)數(shù)的

積的兩倍，等于這兩數(shù)和的平方.

活動(dòng)目的：回顧完全平方公式，直入主題將完全平方公式倒置得新的分解因式方法.

注意事項(xiàng)：在上一課時(shí)平方差公式倒置學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，學(xué)生比較容易理解和接受此

課時(shí)的學(xué)習(xí)鋪墊內(nèi)容.

第二環(huán)節(jié)學(xué)習(xí)新知

活動(dòng)內(nèi)容：

學(xué)習(xí)新知__________________________

a2+2ab+b2=(a+b)2

a2-Zab+bz-(a-b)2

兩個(gè)數(shù)的平方和，加上(或減去)這兩個(gè)數(shù)

的積的兩倍，等于這兩數(shù)和(或者差)的平方.

a2+2ab+Z?2

形如a2-2ab+b2的多項(xiàng)式稱為完全平方式?

9x2-6X+1=(3X)2-2-(3X)-1+12=(3x-I)2

活動(dòng)目的：總結(jié)歸納完全平方公式的基本特征，講授新知形如/±2砧+〃的多項(xiàng)式稱

為完全平方式.

注意事項(xiàng)：舉例說明便于學(xué)生理解.同時(shí)歸納總結(jié)，由分解因式與整式乘法的互逆

關(guān)系可以看出，如果把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多項(xiàng)式分解因式，

這種分解因式的方法叫做運(yùn)用公式法.

第三環(huán)節(jié)落實(shí)基礎(chǔ)

活動(dòng)內(nèi)容：

1.判別下列各式是不是完全平方式.

(1)/+/；

(2)x2+2盯+〉2；

(3)X2-2xy+y2；

(4)x2+2xy-y2；

(5)—x'+2xy-y1.

2.請(qǐng)補(bǔ)上一項(xiàng)，使下列多項(xiàng)式成為完全平方式.

(1)d++優(yōu)

(2)4a2+9從+；

(3)X2-+4y2；

(4)a2++%；

(5)+2x1y+.

結(jié)論：找完全平方式可以緊扣下列口訣：首平方、尾平方，首尾相乘兩倍在中央；

完全平方式可以進(jìn)行因式分解，

a2-2ab+b2=(a-b)2a2+2ab+b2=Qa+b)2

活動(dòng)目的：加深學(xué)生對(duì)完全平方式特征的理解，為后面的分解因式做能力鋪墊.

注意事項(xiàng)：由于有了七年級(jí)的整式乘法的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，同時(shí)對(duì)照口訣，大多數(shù)學(xué)生能

順利識(shí)別完全平方式，但少部分同學(xué)由于對(duì)完全平方公式的特征的理解模糊，不能

很好地掌握完全平方公式，這需要老師更加耐心地引導(dǎo)和啟發(fā).

第四環(huán)節(jié)范例學(xué)習(xí)

活動(dòng)內(nèi)容：

例1.把下列各式因式分解：

(1)X2+14X+49⑵4/-12仍+9〃

(3)(，〃+〃尸一6(加+〃)+9(4)(m-2/?)2-2(2n-in){m+?)+(m+n)2

活動(dòng)目的：(1)培養(yǎng)學(xué)生對(duì)平方差公式的應(yīng)用能力;

(2)讓學(xué)生理解在完全平方公式中的a與b不僅可以表示單項(xiàng)式，也可以

表示多項(xiàng)式.

注意事項(xiàng)：靈活掌握完全平方式的特征成為運(yùn)用公式法進(jìn)行分解因式的關(guān)鍵，在運(yùn)

用整體法時(shí)，注意去括號(hào)后的符號(hào)變化和系數(shù)變化.

活動(dòng)內(nèi)容：

例2.把下列各式因式分解：

(l)3ar2+6axy+3ay2(2)-x2-4y2+4xy

活動(dòng)目的：對(duì)一個(gè)三項(xiàng)式，如果發(fā)現(xiàn)它不能直接用完全平方公式分解時(shí)，要仔細(xì)觀

察它是否有公因式，使學(xué)生清楚地了解提公因式法(包括提取負(fù)號(hào))是分解因式首

先考慮的方法，再考慮用完全平方公式分解因式.

注意事項(xiàng)：在綜合應(yīng)用提公因式法和公式法分解因式時(shí)，一般按以下兩步完成：(1)

有公因式，先提公因式；(2)再用公式法進(jìn)行因式分解.

第五環(huán)節(jié)隨堂練習(xí)

活動(dòng)內(nèi)容：

1.判別下列各式是不是完全平方式，若是說出相應(yīng)的a、b各表示什么？

(1)x1-6x+9；

(2)l+4a2；

(3)x~—2x+4；

(4)4X2+4X-1；

m~2

(5)1+——m-,

4

(6)4y2-12xy+9x2.

2、把下列各式因式分解：

(1)m2-12mn+367?2(2)16a4+24a2b2+9b4

(3)(4)4-12(%-y)+9Cx-y)2

活動(dòng)目的：通過學(xué)生的反饋練習(xí)，使教師能全面了解學(xué)生對(duì)完全平方公式的特征是

否清楚，對(duì)完全平方公式分解因式的運(yùn)用是否得當(dāng)，因式分解的步驟是否真正了解,

以便教師能及時(shí)地進(jìn)行查缺補(bǔ)漏.

注意事項(xiàng)：當(dāng)完全平方公式中的H與少表示兩個(gè)或兩個(gè)以上字母時(shí)，學(xué)生運(yùn)用起來

有一定的困難，此時(shí)，教師應(yīng)結(jié)合完全平方公式的特征給學(xué)生以有效的學(xué)法指導(dǎo).

第六環(huán)節(jié)聯(lián)系拓廣

活動(dòng)內(nèi)容：

1.用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：20052-4010x2003+20032

2.將4爐+1再加上一個(gè)整式，使它成為完全平方式，你有幾種方法？

3.一天，小明在紙上寫了一個(gè)算式為4x2+8x+ll,并對(duì)小剛說：“無論x取何值，這個(gè)

代數(shù)式的值都是正值，你不信試一試？”

活動(dòng)目的：題1考察學(xué)生靈活應(yīng)用能力，需要學(xué)生有一定的數(shù)感將-4010x2003拆成

-2x2005x2003的形式，從而利用完全平方公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算.題2是一道開放題旨在

考察學(xué)生的分類討論思想.題3難道較大，對(duì)學(xué)有余力的孩子可以適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)習(xí).

注意事項(xiàng)：這3道習(xí)題的設(shè)置均有一定的難度，無需要求所有學(xué)生都能掌握，按學(xué)

生自身能力分層學(xué)習(xí)即可.

第七環(huán)節(jié)自主小結(jié)

活動(dòng)內(nèi)容：從今天的課程中，你學(xué)到了哪些知識(shí)？掌握了哪些方法？你認(rèn)為分解因

式中的平方差公式以及完全平方公式與乘法公式有什么關(guān)系？

結(jié)論：由分解因式與整式乘法的關(guān)系可以看出，如果把乘法公式反過來，那么就可

以用來把某些多項(xiàng)式分解因式，這種分解因式的方法叫做運(yùn)用公式法.

活動(dòng)目的：通過學(xué)生的回顧與反思，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)整式乘法的完全平方公式與因式分

解的完全平方公式的互逆關(guān)系的理解，發(fā)展學(xué)生的觀察能力和逆向思維能力，加深

對(duì)類比數(shù)學(xué)思想的理解.

注意事項(xiàng)：學(xué)生認(rèn)識(shí)到了以下事實(shí)：

(1)形如扇±2〃/>+配形式的多項(xiàng)式可以

用完全平方公式分解因式。

(2)因式分解通常先考慮提取公因式法方法。

再考慮運(yùn)用公式方法。

(3)因式分解要徹底

課后作業(yè)：完成課后習(xí)題；

拓展作業(yè)：兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差能被8整除嗎？為什么？

四、教學(xué)設(shè)計(jì)反思

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了運(yùn)用公式法分解因式的第二種方法，即逆用完全平方公式分

解因式的方法，使用該方法的關(guān)鍵就是觀察完全平方式的結(jié)構(gòu)特征：兩數(shù)的平方和

與這兩個(gè)數(shù)的乘積的2倍，具體應(yīng)用時(shí)要特別關(guān)注第二項(xiàng)的符號(hào).

把一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行