2024年四川省南充市中考數(shù)學(xué)試卷答案

2024年四川省南充市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分）每小題都有代號(hào)為A，B，C，D四個(gè)答案選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的．請(qǐng)根據(jù)正確選項(xiàng)的代號(hào)填涂答題卡對(duì)應(yīng)位置，填涂正確記4分，不涂、錯(cuò)涂或多涂記0分．1．（4分）如圖，數(shù)軸上表示的點(diǎn)是（）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D2．（4分）學(xué)校舉行籃球技能大賽，評(píng)委從控球技能和投球技能兩方面為選手打分，各項(xiàng)成績(jī)均按百分制計(jì)，然后再按控球技能占60%，投球技能占40%計(jì)算選手的綜合成績(jī)（百分制）．選手李林控球技能得90分，投球技能得80分．李林綜合成績(jī)?yōu)椋ǎ〢．170分 B．86分 C．85分 D．84分3．（4分）如圖，兩個(gè)平面鏡平行放置，光線經(jīng)過(guò)平面鏡反射時(shí)，∠1＝∠2＝40°，則∠3的度數(shù)為（）A．80° B．90° C．100° D．120°4．（4分）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)2+a3＝a5 B．a(chǎn)8÷a4＝a2 C．a(chǎn)2?a3＝a6 D．（3a2）3＝27a65．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為邊AB上一點(diǎn)，則線段DE長(zhǎng)度的最小值為（）A． B． C．2 D．36．（4分）我國(guó)古代《算法統(tǒng)宗》里有這樣一首詩(shī)“我問(wèn)開(kāi)店李三公，眾客都來(lái)到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”詩(shī)中后面兩句的意思是：如果每一間客房住7人，那么有7人無(wú)房可??；如果每一間客房住9人，那么就空出一間客房．設(shè)有客房x間，客人y人，則可列方程組為（）A． B． C． D．7．（4分）若關(guān)于x的不等式組的解集為x＜3，則m的取值范圍是（）A．m＞2 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤28．（4分）如圖，已知線段AB，按以下步驟作圖：①過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AB，使BCAB，連接AC；②以點(diǎn)C為圓心，以BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AC于點(diǎn)D；③以點(diǎn)A為圓心，以AD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)E．若AE＝mAB，則m的值為（）A． B． C． D．9．（4分）當(dāng)2≤x≤5時(shí)，一次函數(shù)y＝（m+1）x+m2+1有最大值6，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．﹣3或0 B．0或1 C．﹣5或﹣3 D．﹣5或110．（4分）如圖是我國(guó)漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱(chēng)它為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成．在正方形ABCD中，AB＝10．下列三個(gè)結(jié)論：①若tan∠ADF，則EF＝2；②若Rt△ABG的面積是正方形EFGH面積的3倍，則點(diǎn)F是AG的三等分點(diǎn)；③將△ABG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG'，則BG′的最大值為55．其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分）請(qǐng)將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)的橫線上．11．（4分）計(jì)算的結(jié)果為．12．（4分）若一組數(shù)據(jù)6，6，m，7，7，8的眾數(shù)為7，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為．13．（4分）如圖，AB是⊙O的直徑，位于AB兩側(cè)的點(diǎn)C，D均在⊙O上，∠BOC＝30°，則∠ADC＝度．14．（4分）已知m是方程x2+4x﹣1＝0的一個(gè)根，則（m+5）（m﹣1）的值為．15．（4分）如圖，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，∠ABE＝30°，將△ABE沿BE折疊得△FBE，連接CF，DF，若CF平分∠BCD，AB＝2，則DF的長(zhǎng)為．16．（4分）已知拋物線C1：y＝x2+mx+m與x軸交于兩點(diǎn)A，B（A在B的左側(cè)），拋物線C2：y＝x2+nx+n（m≠n）與x軸交于兩點(diǎn)C，D（C在D的左側(cè)），且AB＝CD．下列四個(gè)結(jié)論：①C1與C2交點(diǎn)為（﹣1，1）；②m+n＝4；③mn＞0；④A，D兩點(diǎn)關(guān)于（﹣1，0）對(duì)稱(chēng)．其中正確的結(jié)論是.（填寫(xiě)序號(hào)）三、解答題（本大題共9個(gè)小題，共86分）解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：（x+2）2﹣（x3+3x）÷x，其中x＝﹣2．18．（8分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：△BDE≌△CDA．（2）若AD⊥BC，求證：BA＝BE．19．（8分）某研學(xué)基地開(kāi)設(shè)有A，B，C，D四類(lèi)研學(xué)項(xiàng)目．為了解學(xué)生對(duì)四類(lèi)研學(xué)項(xiàng)目的喜愛(ài)情況，隨機(jī)抽取部分參加完研學(xué)項(xiàng)目的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)（每名學(xué)生必須選擇一項(xiàng)，并且只能選擇一項(xiàng)），并將調(diào)查結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖（如圖）．根據(jù)圖中信息，解答下列問(wèn)題：（1）參加調(diào)查統(tǒng)計(jì)的學(xué)生中喜愛(ài)B類(lèi)研學(xué)項(xiàng)目有多少人？在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，求C類(lèi)研學(xué)項(xiàng)目所在扇形的圓心角的度數(shù)．（2）從參加調(diào)查統(tǒng)計(jì)喜愛(ài)D類(lèi)研學(xué)項(xiàng)目的4名學(xué)生（2名男生2名女生）中隨機(jī)選取2人接受訪談，求恰好選中一名男生一名女生的概率．20．（10分）已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2﹣2kx+k2﹣k+1＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍．（2）若k＜5，且k，x1，x2都是整數(shù)，求k的值．21．（10分）如圖，直線y＝kx+b經(jīng)過(guò)A（0，﹣2），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，與雙曲線y（x＜0）交于點(diǎn)C（a，2）．（1）求直線和雙曲線的解析式．（2）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)P在x軸上，若以O(shè)，A，P為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．22．（10分）如圖，在⊙O中，AB是直徑，AE是弦，點(diǎn)F是上一點(diǎn)，，AE，BF交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為BF延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠CAD＝∠CDA．（1）求證：AD是⊙O的切線．（2）若BE＝4，AD＝2，求⊙O的半徑長(zhǎng)．23．（10分）2024年“五一”假期期間，閬中古城景區(qū)某特產(chǎn)店銷(xiāo)售A，B兩類(lèi)特產(chǎn)．A類(lèi)特產(chǎn)進(jìn)價(jià)50元/件，B類(lèi)特產(chǎn)進(jìn)價(jià)60元/件．已知購(gòu)買(mǎi)1件A類(lèi)特產(chǎn)和1件B類(lèi)特產(chǎn)需132元，購(gòu)買(mǎi)3件A類(lèi)特產(chǎn)和5件B類(lèi)特產(chǎn)需540元．（1）求A類(lèi)特產(chǎn)和B類(lèi)特產(chǎn)每件的售價(jià)各是多少元？（2）A類(lèi)特產(chǎn)供貨充足，按原價(jià)銷(xiāo)售每天可售出60件．市場(chǎng)調(diào)查反映，若每降價(jià)1元，每天可多售出10件（每件售價(jià)不低于進(jìn)價(jià)）．設(shè)每件A類(lèi)特產(chǎn)降價(jià)x元，每天的銷(xiāo)售量為y件，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍．（3）在（2）的條件下，由于B類(lèi)特產(chǎn)供貨緊張，每天只能購(gòu)進(jìn)100件且能按原價(jià)售完．設(shè)該店每天銷(xiāo)售這兩類(lèi)特產(chǎn)的總利潤(rùn)為w元，求w與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出每件A類(lèi)特產(chǎn)降價(jià)多少元時(shí)總利潤(rùn)w最大，最大利潤(rùn)是多少元？（利潤(rùn)＝售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）24．（10分）如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為6cm，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，CE＝2AE，點(diǎn)P在AB邊上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在BC邊上以2cm/s的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t≤3）．（1）求證：△AEP∽△CEQ．（2）當(dāng)△EPQ是直角三角形時(shí)，求t的值．（3）連接AQ，當(dāng)tan∠AQE時(shí)，求△AEQ的面積．25．（12分）已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）．（1）求拋物線的解析式．（2）如圖1，拋物線與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為線段OC上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），直線PA，PB分別交拋物線于點(diǎn)E，D，設(shè)△PAD面積為S1，△PBE面積為S2，求的值．（3）如圖2，點(diǎn)K是拋物線對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)K的直線（不與對(duì)稱(chēng)軸重合）與拋物線交于點(diǎn)M，N，過(guò)拋物線頂點(diǎn)G作直線l∥x軸，點(diǎn)Q是直線l上一動(dòng)點(diǎn)．求QM+QN的最小值．

2024年四川省南充市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分）每小題都有代號(hào)為A，B，C，D四個(gè)答案選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的．請(qǐng)根據(jù)正確選項(xiàng)的代號(hào)填涂答題卡對(duì)應(yīng)位置，填涂正確記4分，不涂、錯(cuò)涂或多涂記0分．1．（4分）如圖，數(shù)軸上表示的點(diǎn)是（）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D【答案】C【解答】解：∵，∴12，由數(shù)軸可知，只有點(diǎn)C的取值范圍在1和2之間，故選：C．2．（4分）學(xué)校舉行籃球技能大賽，評(píng)委從控球技能和投球技能兩方面為選手打分，各項(xiàng)成績(jī)均按百分制計(jì)，然后再按控球技能占60%，投球技能占40%計(jì)算選手的綜合成績(jī)（百分制）．選手李林控球技能得90分，投球技能得80分．李林綜合成績(jī)?yōu)椋ǎ〢．170分 B．86分 C．85分 D．84分【答案】B【解答】解：李林綜合成績(jī)?yōu)椋?0×60%+80×40%＝86（分），故選：B．3．（4分）如圖，兩個(gè)平面鏡平行放置，光線經(jīng)過(guò)平面鏡反射時(shí)，∠1＝∠2＝40°，則∠3的度數(shù)為（）A．80° B．90° C．100° D．120°【答案】C【解答】解：如圖：∵∠1＝∠2＝40°，∴∠4＝180°﹣∠1﹣∠2＝100°，∵兩個(gè)平面鏡平行放置，∴經(jīng)過(guò)兩次反射后的光線與入射光線平行，∴∠3＝∠4＝100°，故選：C．4．（4分）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)2+a3＝a5 B．a(chǎn)8÷a4＝a2 C．a(chǎn)2?a3＝a6 D．（3a2）3＝27a6【答案】D【解答】解：A．∵a2，a3不是同類(lèi)項(xiàng)，不能合并，∴此選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；B．∵a8÷a4＝a4，∴此選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；C．∵a2?a3＝a5，∴此選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；D．∵（3a2）3＝27a6，∴此選項(xiàng)的計(jì)算正確，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．5．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為邊AB上一點(diǎn)，則線段DE長(zhǎng)度的最小值為（）A． B． C．2 D．3【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，tanB，∴AC．∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD．在Rt△ACD中，tan∠CAD，∴CD．∵AD平分∠CAB，且DC⊥AC，∴點(diǎn)D到AB邊的距離等于線段CD的長(zhǎng)，即線段DE長(zhǎng)度的最小值為2．故選：C．6．（4分）我國(guó)古代《算法統(tǒng)宗》里有這樣一首詩(shī)“我問(wèn)開(kāi)店李三公，眾客都來(lái)到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”詩(shī)中后面兩句的意思是：如果每一間客房住7人，那么有7人無(wú)房可??；如果每一間客房住9人，那么就空出一間客房．設(shè)有客房x間，客人y人，則可列方程組為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵如果每一間客房住7人，那么有7人無(wú)房可住，∴7x+7＝y(tǒng)；∵如果每一間客房住9人，那么就空出一間客房，∴9（x﹣1）＝y(tǒng)．∴根據(jù)題意得可列方程組．故選：D．7．（4分）若關(guān)于x的不等式組的解集為x＜3，則m的取值范圍是（）A．m＞2 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2【答案】B【解答】解：解不等式2x﹣1＜5，得：x＜3，∵關(guān)于x的不等式組的解集為x＜3，∴m+1≥3，∴m≥2．故選：B．8．（4分）如圖，已知線段AB，按以下步驟作圖：①過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AB，使BCAB，連接AC；②以點(diǎn)C為圓心，以BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AC于點(diǎn)D；③以點(diǎn)A為圓心，以AD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)E．若AE＝mAB，則m的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：令A(yù)B的長(zhǎng)為2a，則BC，在Rt△ABC中，AC．因?yàn)镃D＝CB，AE＝AD，所以AE，則AEAB，所以m的值為．故選：A．9．（4分）當(dāng)2≤x≤5時(shí)，一次函數(shù)y＝（m+1）x+m2+1有最大值6，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．﹣3或0 B．0或1 C．﹣5或﹣3 D．﹣5或1【答案】A【解答】解：當(dāng)m+1＞0，即m＞﹣1時(shí)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝5時(shí)，一次函數(shù)y＝（m+1）x+m2+1有最大值6，∴5（m+1）+m2+1＝6，解得m1＝0，m2＝﹣5（舍去），當(dāng)m+1＜0，即m＜﹣1時(shí)，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝2時(shí)，一次函數(shù)y＝（m+1）x+m2+1有最大值6，∴2（m+1）+m2+1＝6，解得m1＝﹣3，m2＝1（舍去），綜上，當(dāng)2≤x≤5時(shí)，一次函數(shù)y＝（m+1）x+m2+1有最大值6，則實(shí)數(shù)m的值為0或﹣3，故選：A．10．（4分）如圖是我國(guó)漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱(chēng)它為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成．在正方形ABCD中，AB＝10．下列三個(gè)結(jié)論：①若tan∠ADF，則EF＝2；②若Rt△ABG的面積是正方形EFGH面積的3倍，則點(diǎn)F是AG的三等分點(diǎn)；③將△ABG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG'，則BG′的最大值為55．其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【解答】解：在Rt△ADF中，tan∠ADF．令A(yù)F＝3x，DF＝4x，則（3x）2+（4x）2＝102，解得x＝2（舍負(fù)），所以AF＝6，DF＝8．因?yàn)橥獠康乃膫€(gè)直角三角形全等，所以DE＝AF＝6，所以EF＝8﹣6＝2．故①正確．因?yàn)镽t△ABG的面積是正方形EFGH面積的3倍，所以3FG2．因?yàn)锽G＝AF＝AG﹣FG，所以，整理得，6FG2+FG?AG﹣AG2＝0．則，解得（舍負(fù)），則點(diǎn)F是AG的三等分點(diǎn)．故②正確．由旋轉(zhuǎn)可知，∠AG′D＝∠AGB＝90°，所以點(diǎn)G′在以AD為直徑的圓上．在Rt△ABM中，BM．當(dāng)點(diǎn)B，M，G′共線時(shí)，BG′取得最大值，此時(shí)BG′．故③正確．故選：D．二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分）請(qǐng)將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)的橫線上．11．（4分）計(jì)算的結(jié)果為1．【答案】1．【解答】解：原式＝1，故答案為：1．12．（4分）若一組數(shù)據(jù)6，6，m，7，7，8的眾數(shù)為7，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為7．【答案】7．【解答】解：∵一組數(shù)據(jù)6，6，m，7，7，8的眾數(shù)為7，∴m＝7，∴這組數(shù)據(jù)從小到大排列順序?yàn)椋?，6，7，7，7，8，∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是7．故答案為：7．13．（4分）如圖，AB是⊙O的直徑，位于AB兩側(cè)的點(diǎn)C，D均在⊙O上，∠BOC＝30°，則∠ADC＝75度．【答案】75．【解答】解：∵∠BOC＝30°，∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠AOC＝150°，∴∠ADC∠AOC＝75°，故答案為：75．14．（4分）已知m是方程x2+4x﹣1＝0的一個(gè)根，則（m+5）（m﹣1）的值為﹣4．【答案】﹣4．【解答】解：把x＝m代入m2+4m﹣1＝0，m2+4m＝1，∴（m+5）（m﹣1）＝m2﹣m+5m﹣5＝m2+4m﹣5＝1﹣5＝﹣4，故答案為：﹣4．15．（4分）如圖，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，∠ABE＝30°，將△ABE沿BE折疊得△FBE，連接CF，DF，若CF平分∠BCD，AB＝2，則DF的長(zhǎng)為．【答案】．【解答】解：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，F(xiàn)H⊥CD于點(diǎn)H．∵CF平分∠BCD，∴HF＝FG．∵四邊形ABCD為矩形，∴CD＝AB＝2，∠ABC＝∠BCD＝90°．由翻折得，BF＝AB＝2，∠ABE＝∠FBE＝30°，∴∠FBG＝30°，∴FGBF＝1，∴HF＝1，CH＝FG＝1，∴DH＝CD﹣CH＝1，∴DF．故答案為：．16．（4分）已知拋物線C1：y＝x2+mx+m與x軸交于兩點(diǎn)A，B（A在B的左側(cè)），拋物線C2：y＝x2+nx+n（m≠n）與x軸交于兩點(diǎn)C，D（C在D的左側(cè)），且AB＝CD．下列四個(gè)結(jié)論：①C1與C2交點(diǎn)為（﹣1，1）；②m+n＝4；③mn＞0；④A，D兩點(diǎn)關(guān)于（﹣1，0）對(duì)稱(chēng)．其中正確的結(jié)論是①②④.（填寫(xiě)序號(hào)）【答案】①②④．【解答】解：令x2+mx+m＝x2+nx+n，解得x＝﹣1，把x＝﹣1代入y＝x2+mx+m得，y＝1，∴C1與C2交點(diǎn)為（﹣1，1），故①正確；∵拋物線C1：y＝x2+mx+m與拋物線C2：y＝x2+nx+n的開(kāi)口方向和大小相同，且AB＝CD，∴兩拋物線的關(guān)于直線x＝﹣1對(duì)稱(chēng)，∴A，D兩點(diǎn)關(guān)于（﹣1，0）對(duì)稱(chēng)，故④正確；2，∴m+n＝4，故②正確；由題意可知，m＞1，n＜1或m＜1，n＞1，∴mn＞0不一定成立，故③錯(cuò)誤．故答案為：①②④．三、解答題（本大題共9個(gè)小題，共86分）解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：（x+2）2﹣（x3+3x）÷x，其中x＝﹣2．【答案】4x+1；﹣7．【解答】解：當(dāng)x＝﹣2時(shí)，（x+2）2﹣（x3+3x）÷x＝（x2+4x+4）﹣（x2+3）＝x2+4x+4﹣x2﹣3＝4x+1＝4×（﹣2）+1＝﹣8+1＝﹣7．18．（8分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：△BDE≌△CDA．（2）若AD⊥BC，求證：BA＝BE．【答案】（1）答案見(jiàn)解答過(guò)程；（2）答案見(jiàn)解答過(guò)程．【解答】（1）證明：∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，∴BE∥AC，∴∠EBD＝∠C，∠E＝∠CAD，在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（AAS）；（2）證明：∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，AD⊥BC，∴直線AD為線段BC的垂直平分線，∴BA＝CA，由（1）可知：△BDE≌△CDA，∴BE＝CA，∴BA＝BE．19．（8分）某研學(xué)基地開(kāi)設(shè)有A，B，C，D四類(lèi)研學(xué)項(xiàng)目．為了解學(xué)生對(duì)四類(lèi)研學(xué)項(xiàng)目的喜愛(ài)情況，隨機(jī)抽取部分參加完研學(xué)項(xiàng)目的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)（每名學(xué)生必須選擇一項(xiàng)，并且只能選擇一項(xiàng)），并將調(diào)查結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖（如圖）．根據(jù)圖中信息，解答下列問(wèn)題：（1）參加調(diào)查統(tǒng)計(jì)的學(xué)生中喜愛(ài)B類(lèi)研學(xué)項(xiàng)目有多少人？在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，求C類(lèi)研學(xué)項(xiàng)目所在扇形的圓心角的度數(shù)．（2）從參加調(diào)查統(tǒng)計(jì)喜愛(ài)D類(lèi)研學(xué)項(xiàng)目的4名學(xué)生（2名男生2名女生）中隨機(jī)選取2人接受訪談，求恰好選中一名男生一名女生的概率．【答案】（1）喜愛(ài)B類(lèi)研學(xué)項(xiàng)目有8人，C類(lèi)研學(xué)項(xiàng)目所在扇形的圓心角的度數(shù)為108°；（2）．【解答】解：（1）樣本容量為：16÷40%＝40，參加調(diào)查統(tǒng)計(jì)的學(xué)生中喜愛(ài)B類(lèi)研學(xué)項(xiàng)目人數(shù)：40×20%＝8（人）；在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，求C類(lèi)研學(xué)項(xiàng)目所在扇形的圓心角的度數(shù)為：（40﹣16﹣4﹣8）÷40×360＝108°．答：喜愛(ài)B類(lèi)研學(xué)項(xiàng)目有8人，C類(lèi)研學(xué)項(xiàng)目所在扇形的圓心角的度數(shù)為108°；（2）喜愛(ài)D類(lèi)研學(xué)項(xiàng)目的4名學(xué)生分別記為：男1，男2，女1，女2．列表如下：第2位第1位男1男2女1女2男1﹣男1，男2男1，女1男1，女2男2男2，男1﹣男2，女1男2，女2女1女1，男1女1，男2﹣女1，女2女2女2，男1女2，男2女2，女1﹣由表可知，抽選2名學(xué)生共有12種等可能的結(jié)果，抽中一名男生和一名女生（記作事件M）共8種可能．∴，答：抽中一名男生和一名女生的概率為．20．（10分）已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2﹣2kx+k2﹣k+1＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍．（2）若k＜5，且k，x1，x2都是整數(shù)，求k的值．【答案】（1）k＞1．（2）k的值為2．【解答】解：（1）∵原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴△＞0，∴Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k+1）＝4k2﹣4k2+4k﹣4＝4k﹣4＞0，解得k＞1．（2）∵1＜k＜5，∴整數(shù)k的值為2，3，4，當(dāng)k＝2時(shí)，方程為x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，當(dāng)k＝3或4時(shí)，此時(shí)方程解不為整數(shù)．綜上所述，k的值為2．21．（10分）如圖，直線y＝kx+b經(jīng)過(guò)A（0，﹣2），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，與雙曲線y（x＜0）交于點(diǎn)C（a，2）．（1）求直線和雙曲線的解析式．（2）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)P在x軸上，若以O(shè)，A，P為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）直線解析式為：y＝﹣2x﹣2；雙曲線解析式為：；（2）點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣4，0）或（﹣1，0）或（1，0）或（4，0）．【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（0，﹣2），B（﹣1，0）在直線y＝kx+b上，∴，解得：，∴直線解析式為：y＝﹣2x﹣2；∵點(diǎn)C（a，2）在直線y＝﹣2x﹣2上，∴﹣2a﹣2＝2，∴a＝﹣2，即點(diǎn)C為（﹣2，2）；∵雙曲線過(guò)點(diǎn)C（﹣2，2），∴m＝﹣4，∴雙曲線解析式為：；（2）∵CD⊥x軸，C（﹣2，2），∴D（﹣2，0），CD＝2，∵B（﹣1，0），∴BD＝1，∵A（0，﹣2），∴OA＝2，若以O(shè)，A，P為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似，OP＝1或4，∵點(diǎn)P在x軸上，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣4，0）或（﹣1，0）或（1，0）或（4，0）．22．（10分）如圖，在⊙O中，AB是直徑，AE是弦，點(diǎn)F是上一點(diǎn)，，AE，BF交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為BF延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠CAD＝∠CDA．（1）求證：AD是⊙O的切線．（2）若BE＝4，AD＝2，求⊙O的半徑長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解答；（2）⊙O的半徑長(zhǎng)為2．【解答】（1）證明：∵，∴∠ABF＝∠BAE，∵∠CAD+∠BAE+∠CDA+∠ABF＝180°，且∠CAD＝∠CDA，∴∠CAD+∠BAE+∠CAD+∠BAE＝180°，∴∠OAD＝∠CAD+∠BAE＝90°，∵OA是⊙O的半徑，且AD⊥OA，∴AD是⊙O的切線．（2）解：連接AF，∵，BE＝4，AD＝2，∴AF＝BE＝4，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AFD＝∠AFB＝90°，∴DF2，∵∠BAD＝∠AFD＝90°，∴tanD2，∴ADAB，∴OAAB＝AD＝2，∴⊙O的半徑長(zhǎng)為2．23．（10分）2024年“五一”假期期間，閬中古城景區(qū)某特產(chǎn)店銷(xiāo)售A，B兩類(lèi)特產(chǎn)．A類(lèi)特產(chǎn)進(jìn)價(jià)50元/件，B類(lèi)特產(chǎn)進(jìn)價(jià)60元/件．已知購(gòu)買(mǎi)1件A類(lèi)特產(chǎn)和1件B類(lèi)特產(chǎn)需132元，購(gòu)買(mǎi)3件A類(lèi)特產(chǎn)和5件B類(lèi)特產(chǎn)需540元．（1）求A類(lèi)特產(chǎn)和B類(lèi)特產(chǎn)每件的售價(jià)各是多少元？（2）A類(lèi)特產(chǎn)供貨充足，按原價(jià)銷(xiāo)售每天可售出60件．市場(chǎng)調(diào)查反映，若每降價(jià)1元，每天可多售出10件（每件售價(jià)不低于進(jìn)價(jià)）．設(shè)每件A類(lèi)特產(chǎn)降價(jià)x元，每天的銷(xiāo)售量為y件，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍．（3）在（2）的條件下，由于B類(lèi)特產(chǎn)供貨緊張，每天只能購(gòu)進(jìn)100件且能按原價(jià)售完．設(shè)該店每天銷(xiāo)售這兩類(lèi)特產(chǎn)的總利潤(rùn)為w元，求w與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出每件A類(lèi)特產(chǎn)降價(jià)多少元時(shí)總利潤(rùn)w最大，最大利潤(rùn)是多少元？（利潤(rùn)＝售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）【答案】（1）A類(lèi)特產(chǎn)的售價(jià)為60元/件，B類(lèi)特產(chǎn)的售價(jià)為72元/件；（2）y＝10x+60（0≤x≤10）；（3）A類(lèi)特產(chǎn)每件售價(jià)降價(jià)2元時(shí)，每天銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1840元．【解答】解：（1）由題意，設(shè)每件A類(lèi)特產(chǎn)的售價(jià)為x元，則每件B類(lèi)特產(chǎn)的售價(jià)為（132﹣x）元．∴3x+5（132﹣x）＝540．∴x＝60．∴每件B類(lèi)特產(chǎn)的售價(jià)132﹣60＝72（元）．答：A類(lèi)特產(chǎn)的售價(jià)為60元/件，B類(lèi)特產(chǎn)的售價(jià)為72元/件．（2）由題意，∵每件A類(lèi)特產(chǎn)降價(jià)x元，又每降價(jià)1元，每天可多售出10件，∴y＝60+10x＝10x+60（0≤x≤10）．答：y＝10x+60（0≤x≤10）．（3）由題意，∵w＝（60﹣50﹣x）（10x+60）+100×（72﹣60）＝﹣10x2+40x+1800＝﹣10（x﹣2）2+1840．∵﹣10＜0，∴當(dāng)x＝2時(shí)，w有最大值1840．∴A類(lèi)特產(chǎn)每件售價(jià)降價(jià)2元時(shí)，每天銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1840元．24．（10分）如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為6cm，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，CE＝2AE，點(diǎn)P在AB邊上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在BC邊上以2cm/s的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t≤3）．（1）求證：△AEP∽△CEQ．（2）當(dāng)△EPQ是直角三角形時(shí)，求t的值．（3）連接AQ，當(dāng)tan∠AQE時(shí)，求△AEQ的面積．【答案】（1）證明見(jiàn)解答過(guò)程；（2）當(dāng)△EPQ是直角三角形時(shí)，t的值為秒或2秒；（3）S△AEQ＝4cm2．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠PAE＝∠QCE＝45°，∵CE＝2AE，AP＝t，CQ＝2t，∴，∴△AEP∽△CEQ；（2）解：過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥BC于點(diǎn)N．由題意知AE，AM＝ME＝2，EN＝CN＝4，AP＝t，CQ＝2t，BQ＝6﹣2t，MP＝|t﹣2|，BP＝6﹣t，QN＝|2t﹣4|，∴EP2＝EM2+MP2，即EP2＝22+（2﹣t）2＝t2﹣4t+8，PQ2＝BP2+BQ2，即PQ2＝（6﹣t）2+（6﹣2t）2＝5t2﹣36t+72，EQ2＝EN2+NQ2，即EQ2＝42+（2t﹣4）2＝4f2﹣16t+32，①當(dāng)∠EPQ＝90°時(shí)，則EQ2＝EP2+PQ2，即4t2﹣16t+32＝t2﹣4t+8+5t2﹣36t+72，整理得t2﹣12t+24＝0．解得t1＝6，t2＝6（不合題意，舍去），②當(dāng)∠PEQ＝90°時(shí)，則PQ2＝EP2+EQ2，即5t2﹣36t+72＝t2﹣4t+8+4t2﹣16t+32，整理得t﹣2＝0，解得t＝2；③當(dāng)∠PQE＝90°時(shí)，則EP2＝PQ2+EQ2，即t2﹣4t+8＝5t2﹣36t+72+4t2﹣16t+32，整理得t2﹣6t+12＝0，該方程無(wú)實(shí)數(shù)解，綜上所述，當(dāng)△EPQ是直角三角形時(shí)，t的值為秒或2秒；（3）解：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AC，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接FE交AQ于點(diǎn)G．如圖2，∵AF⊥AC，∠ACF＝45°