初高中數(shù)學(xué)銜接教材(人教版)

初高中數(shù)學(xué)銜接教材(人教版)7.15

初高中數(shù)學(xué)銜接教材

1.絕對值

絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的木身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對

值仍是零.即

a,a0,a0,a0,

a,a0.

絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.

兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義：ab表示在數(shù)軸上，數(shù)a和數(shù)b之間的距離.

1.填空：

⑴若x5,貝ijx=；若x4,貝ljx=.

(2)如果ab5,且a1,貝b=；若c2,貝I」c=________.

2.選擇題:

下列敘述正確的是()

(A)若ab,則ab(B)若ab,則ab(C)若ab,貝ljab(D)若ab,

則ab

2.乘法公式

我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式：

(1)平方差公式(ab)(ab)a2b2；(2)完全平方公式

(ab)2a22abb2.

我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：

(1)立方和公式(ab)(a2abb2)a3b3；

(2)立方差公式(ab)(aabb)ab；

(3)三數(shù)和平方公式(abc)abc2(abbeac)；

(4)兩數(shù)和立方公式(ab)a3ab3abb；

(5)兩數(shù)差立方公式(ab)a3ab3abb.

對上面列出的五個公式，有興趣的同學(xué)可以自己去證明.

332233322322222233

112

42

1212(C)m(D)m(變式：配方)163

例1計算：(x1)(x1)(x2x1)(x2x1).(2)(a2)(a2)(a44a216)

2k是一個完全平方式，則k等于()例題(1)若xmx(A)m(B)m2

222例2已知abc4,abbeac4,求abc的值.

2例3計算：(1)(4m)(164mm)(2)(m1

5111In)(m2mnn2)225104第1頁(共6頁)

1.填空：

(1)121211ab(ba)()9423

(2)(4m)216m24m()；

(3)(a2bc)2a24b2c2().

(2)不論a,b為何實數(shù)，ab2a4b8的值()

(A)總是正數(shù)(B)總是負(fù)數(shù)(C)可以是零(D)可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)

3.二次根式

一般地，形

5

如22a0)的代數(shù)式叫做二次根式.2.二次根

式的意

義a

例1

a,a0,a,a0.將下列式子化為最簡二次根式：(1

y/llb

(2

a0)；(3

)x0).

例2

6

有

(3.

例3試比較下列各組數(shù)的大小:

石+4

和.例4化簡

73

x/2

叵

x/6

20042005.

例5化簡：(1

4口后

(2

MY"

X1).

5、分解因式

十字相乘法：1.x(pq)xpq

【例11把下列各式因式分解：

(3)x5x24(4)x2x15

【例3］把下列各式因式分解：

(1)xxy6y

第2頁(共6頁)22222222(1)x7x62(2)x13x362(2)

(xx)8(xx)122.一般二次三項式axbx二型的因式分解

【例4】把下列各式因式分解：

2.提取公因式法與分組分解法

例5分解因式：(1)x93x3x；

1.選擇題：多項式2xxy15y的一個因式為()

(A)2x5y(B)x3y(C)x3y(D)x5y

2.分解因式:

(1)x2+6x+8；(2)x4xy4y(3)(1)5x2-3x-2；

(4)4(xy1)y(y2x).(5)x2+4x—12；(6)x(ab)xyaby；

(7)xy1xy.(8)8a3—b3；(9)3x5x8

6、一元二次方程——根的判別式

綜上所述，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO),有2322(1)12x5x22(2)

5x26xy8y2222222

(1)當(dāng)A>0時;方程有兩個不相等的實數(shù)根xl,2

—b±xjb2—4ac

b(2)當(dāng)△=()時，方程有兩個相等的實數(shù)根xl=x2=—；2a

(3)當(dāng)△V0時，方程沒有實數(shù)根.

例1判定下列關(guān)于x的方程的根的情況(其中a為常數(shù))，如果方程有實數(shù)根，寫出方

程的實數(shù)根.

(1)x2-3x+3=0；(2)x2-ax-l=O；(3)x2—ax+(a-1)=0；

7、一元二次方程一一根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)

,對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程x2+px+q=0,若xl,x2是其兩根，由韋達(dá)定

理可知

xl+x2=-p,xl?x2=q,即p=—(xl+x2),q=xl?x2,

2例：若xl和x2分別是一元二次方程2x+5x—3=0的兩根.第3頁(共6頁)

(1)求xlx2,xl+x2,的值；(2)求xlx2,(3)求|xl—x21的值；

2211xl2x22的值

1.選擇題:

(1)已知關(guān)于X的方程x2+kx—2=0的一個根是1,則它的另一個根是()

(A)-3(B)3(C)-2(D)2

(2)下列四個說法：

①方程x2+2x—7=0的兩根之和為一2,兩根之積為一7；②方程x2—2x+7=0的兩根

之和為一2,兩根之積為7；

③方程3x2—7=0的兩根之和為0,兩根之積為7；④方程3x2+2x=0的兩根之和

為3

-2,兩根之積為0.

其中正確說法的個數(shù)是()(人)1個(15)2個(03個8)4個

(3)關(guān)于x的一元二次方程ax2—5x+a2+a=0的一個根是0,則a的值是()

(A)0(B)1(C)-1(D)0,或一1

2.填空：

(1)方程kx2+4x—1=0的兩根之和為一2,則k=.

(2)方程2x2—X—4=0的兩根為a,B,貝ija2+32=.

(3)已知關(guān)于x的方程x2—ax—3a=0的一個根是一2,則它的另一個根是.

(4)方程2x2+2x-l=0的兩根為xl和x2,貝”xl—x21=.3.試判定當(dāng)m取何值

時，關(guān)于x的一元二次方程m2x2—(2m+l)x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根？有兩個相等

的實數(shù)根？沒有實數(shù)根？

4.求一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程x2—7x—1=0各根的相反數(shù).

28、二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖像和性質(zhì)

例1求二次函數(shù)y=-3x2—6x+l圖象的開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大

值(或最小值)，并指出當(dāng)x取何值時，y隨x的增大而增大(或減小)？并畫出該函

數(shù)的圖象.

例3把二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到

函數(shù)y=x2的圖像，求b,c的值.

1.選擇題:

(1)下列函數(shù)圖象中，頂點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上的是()

(A)y=2x2(B)y=2x2—4x+2(C)y=2x2-l(D)y=2x2-4x

(2)函數(shù)y=2(x—1)2+2是將函數(shù)y=2x2()

(A)向左平移1個單位、再向上平移2個單位得到的

(B)向右平移2個單位、再向上平移1個單位得到的

(C)向下平移2個單位、再向右平移1個單位得到的

(D)向上平移2個單位、再向右平移1個單位得到的

2.填空題

(1)二次函數(shù)y=2x2—mx+n圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,—2),則m=,n=.

2(2)已知二次函數(shù)y=x+(m—2)x—2m,當(dāng)m=時，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在y軸上；當(dāng)

m=x軸上；當(dāng)m=

(3)函數(shù)y=-3(x+2)2+5的圖象的開口向，對稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)

為；當(dāng)*=時，函數(shù)取最值y=；當(dāng)x時，y隨著x的增大而減小.

3.求下列拋物線的開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大(小)值及y隨x的變化情

況，并畫出其圖象.

(1)y=x2—2x—3；(2)y=l+6x—x2.

4.已知函數(shù)y=-x2—2x+3,當(dāng)自變量x在下列取值范圍內(nèi)時，分別求函數(shù)的最大值

或最小值，并求當(dāng)函數(shù)取最大(小)值時所對應(yīng)的自變量x的值：

(1)xW—2；(2)xW2；(3)-2WxWl；(4)0WxW3.

9、二次函數(shù)的三種表示方式

通過上一小節(jié)的學(xué)習(xí)，我們知道，二次函數(shù)可以表示成以下兩種形式：

1.一般式：y=ax2+bx+c(a20)；

2.頂點(diǎn)式：y=a(x+h)2+k(aWO),其中頂點(diǎn)坐標(biāo)是(一h,k).

y=a(x—xl)(x—x2)(aWO).

例1已知某二次函數(shù)的最大值為2,圖像的頂點(diǎn)在直線y=x+l上，并且圖象經(jīng)過點(diǎn)

(3,-1),求二次函數(shù)的解析式.

例2已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(一3,0),(1,0),且頂點(diǎn)到x軸的距離等于2,求此二

次函數(shù)的表達(dá)式.

1.選擇題：

(1)函數(shù)y=—x2+x—1圖象與x軸的交點(diǎn)個數(shù)是()(A)0個(B)1個(C)2個

(D)無法確定

1(2)函數(shù)y=—(x+l)2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()(A)(1,2)(B)(1,-2)(C)

(-2

1,2)(D)(—1,—2)

2.填空：(1)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過與x軸交于點(diǎn)(一1,0)和(2,0),則該二次函

數(shù)的解析式可設(shè)為y=

Iy=一『十2gx+1的

(2x軸兩交點(diǎn)之間的距離為.

3.根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)的解析式.

(1)圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,-2),(0,-3),(-1,-6)；(2)當(dāng)x=3時，函數(shù)有最小值

5,且經(jīng)過點(diǎn)(1,11)；

（3）函數(shù)圖象與x軸交于兩點(diǎn)（12,0）和（12,0）,并與y軸交于（0,-2）.第5頁

（共6頁）

2.對稱變換

問題2在把二次函數(shù)的圖象關(guān)于與坐標(biāo)軸平行的直線進(jìn)行對稱變換時，有什么特點(diǎn)？依

據(jù)這一特點(diǎn)，可以怎樣來研究二次函數(shù)的圖象平移？.

例2求把二次函數(shù)y=2x2—4x+l的圖象關(guān)于下列直線對稱后

所得到圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式：（1）直線x=-l；（2）直線y=L

2例5】一元二次方程x4xa0有兩個實根，一個比

：°一個根小于0,另一根大于2,

iy

8

<-

!據(jù)下列條件,分別求出女的值.

e?演i=.口.

是百二X、20,:是一%=X2?

一個比3小，求a的取值范圍。0(x3)(x23)0解得：a3解一：由

1

222*【例6]已知一一元二次方程x(a9)xa5a6求a的取值范圍。

解：如圖，設(shè)f(x)x(a9)xa5a6

2222a3f(0)081a23/.則只須f(2)0,解之得

【例7】已知關(guān)于x的方程x(kl)x212k104

(1)方程兩實根的積為5；(2)方程的兩實根xl,x2分析：(1)由韋達(dá)定理即可求之;

(2)所以要分類討論.

解：(D???方程兩實根的積為5

122[(k1)]4(k1)034k,k4

2xxlk215124

所以，當(dāng)k4時，方程兩實根的積為5.

(2)由|xl|x2得知:

第6頁(共6頁)

①當(dāng)xl0時，xlx2,所以方程有兩相等實數(shù)根，故0k3；2②當(dāng)xl0

時，xlx2xlx20k10k1,由于0k3,故k1不合題意，

舍去.2綜上可得，k3時?，方程的兩實根xl,x2滿足|xl|x2.2

2【例8】已知xl,x2是一元二次方程4kx4kxk1。的兩個實數(shù)根.

(1)是否存在實數(shù)k,使(2x1x2)(xl2x2)3成立？若存在，求出k的值；2

若不存在，請您說明理由.

(2)求使xlx22的值為整數(shù)的實數(shù)k的整數(shù)值.x2xl

3成立.2解：(1)假設(shè)存在實數(shù)k,使(2x1x2)(xl2x2)

2一元二次方程4kx4kxk10的兩個實數(shù)根4k0

(4k)44k(k1)16k0

22k0,又xl,x2是一元二次方程4kx4kxk10的兩個實數(shù)根

xlx21k1xx124k

(2x1x2)(xl2x2)2(x12x22)5x1x22(x1x2)29x1x2

k93k4k29,但k0.53成立.2二不存在實數(shù)k,使(2x1x2)(xl2x2)

xlx2xl2x22(xlx2)24k4(2)*.*2244x2xlxlx2xlx2kIk1

要使其值是整數(shù)，只需k1能被4整除，故k11,2,4,注意到k0,

要使xlx22的值為整數(shù)的實數(shù)k的整數(shù)值為2,3,5..x2xl

練習(xí)第7頁(共6

1.一元二次方程(1k)x22x10有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是(

A.k2

2)B.k2,且k1C.k2D.k2,且k12.若xl,x2是方程2x6x30的兩

個根，則

A.2B.211的值為()xlx212D.C.92

3.已知菱形ABCD的邊長為5,兩條對角線交于0點(diǎn)，且0A、0B的長分別是關(guān)于x的方

程x2(2m1)xm230的根，則m等于()

A.3B.5c.5或3D.5或3

224.若實數(shù)ab,且a,b滿足a8a50,b8b50,則bla1的值為

alb1

()

B.2c.2或20D.2或20A.20

5.若方程2x2(kl)xk30的兩根之差為1,則k的值是.

6.設(shè)xl,x2是方程xpxq0的兩實根，xl1,x21是關(guān)于x的方程xqxp0

的兩實根，則p=，q=.

7.對于二次三項式x10x36,小明得出如下結(jié)論：無論x取什么實數(shù)，其值都不可

能

等于10,您是否同意他的看法？請您說明理由.

228.一元二次方程7x(m13)xmm20兩根xl、x2滿足0xl1x22222

求m取值范圍。

9.已知關(guān)于x的一元二次方程x(4ml)x2m10.

(1)求證：不論為任何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若方程的兩根為

xl,x2,且滿足

22111,求m的值.xlx2210.已知關(guān)于x的方程x(kl)x

12k10.4(1)k取何值時，方程存在兩個正實數(shù)根？(2)若該方程的兩根是一個

矩形相鄰兩邊的長，

求k的值.第8頁(共6頁)

11.己知關(guān)于x的方程(k1)x2(2k3)xk10有兩個不相等的實數(shù)根xl,x2.

(1)求k的取值范圍；

(2)是否存在實數(shù)k,使方程的兩實根互為相反數(shù)？如果存在，求出k的值；如果不存

在，請您說明理由.

12.若xl,x2是關(guān)于x的方程x2(2kl)xk21。的兩個實數(shù)根，且xl,x2都大

于1.

(1)求實數(shù)k的取值范圍；(2)若xll,求k的值.x22

6.答案：1.B2.A

7.正確3.A4.A5.9或3Pl,q3

8.由可得2m1或3m49.⑴16m50(2)m2

10.(l)k

313(2)k211.(l)k且k1212；(2)k7.123(2)不存在12.(1)k且

k14

例1.已知數(shù)軸上三點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為4、-2、-6.求|AB|、|BC|>|AC解：

|AB|(2)46BC|(6)(2)|4AC|4(6)|10

1(x1,yl),P2(x2,y2),

則IPR匕)("2-*1)-+()‘2—H)

2、平面上任意兩點(diǎn)間距離：在直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知兩點(diǎn)P

例2.在直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知兩點(diǎn)A(6,4)、B(2,2),求這兩點(diǎn)間距離|AB|.解：

|AB|

1、已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為xl、x2,求A、B兩點(diǎn)間距離|AB|：1)xl8、

x263)xl4、x211*4)xl2ab、x2a2b

2、求連結(jié)下列兩點(diǎn)的線段的長度1)A(6,0)、B(2,0)22.(滿分14分)如圖，拋物

線y

與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D

(1)求點(diǎn)A,B,D的坐標(biāo)；

(2)連接CD,過原點(diǎn)0作0ELCD,垂足為H,0E與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E,連

接AE,AD.求證：ZAEOZADC；

第9頁(共6頁)(26)2(2(4))264421(x3)21與x軸交于

A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，2(3)以(2)中的點(diǎn)E為圓心，1為半徑畫圓，在對

稱軸右側(cè)的拋物線上有一動點(diǎn)P,

過點(diǎn)P作。E的切線，切點(diǎn)為Q,當(dāng)PQ的長最小時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并直接寫出點(diǎn)Q的

坐標(biāo)

第10頁(共6頁)

第11頁(共6頁)

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