高三數學一輪復習第一章集合、常用邏輯用語、不等式第2課時常用邏輯用語學案

第2課時常用邏輯用語[考試要求]1．理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判定定理與充分條件、性質定理與必要條件、數學定義與充要條件的關系．2．理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確地對含有一個量詞的命題進行否定．考點一充分、必要條件的判斷與應用若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且qpp是q的必要不充分條件pq且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件pq且qp設p，q成立的對象構成的集合分別為A，B．(1)p是q的充分不必要條件?AB；(2)p是q的必要不充分條件?BA；(3)p是q的充要條件?A＝B；(4)p是q的既不充分也不必要條件?A與B沒有包含關系．[典例1](1)(2024·煙臺一模)在△ABC中，“A>π6”是“sinA>12A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件(2)設命題p：|4x－3|≤1；命題q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0．若q是p的必要不充分條件，則實數a的取值范圍是________．(1)B(2)0，12[(1)在△ABC中，A由sinA>12，可得π6<A<所以“A>π6”是“sinA>12故選B．(2)由|4x－3|≤1，得12解x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a∵q是p的必要不充分條件，即由命題p成立能推出命題q成立，但由命題q成立不能推出命題p成立．∴12，1[a，∴a≤12且a＋1解得0≤a∴實數a的取值范圍是0，11．充分條件、必要條件的兩種判定方法(1)定義法：根據p?q，q?p進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題．(2)集合法：根據p，q對應的集合之間的包含關系進行判斷，多適用于條件中涉及參數范圍的推斷問題．2．利用充要條件求參數的兩個關注點(1)巧用轉化求參數：把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間的關系列出關于參數的不等式(或不等式組)求解．(如本例(2))(2)端點取值慎取舍：在求參數范圍時，要注意邊界或區(qū)間端點值的檢驗，從而確定取舍．跟進訓練1(1)已知m，n是兩條不重合的直線，α是一個平面，n?α，則“m⊥α”是“m⊥n”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件(2)命題“?x∈[1，2]，2x＋ax≥0A．a≥－1 B．a≥－2C．a≥－3 D．a≥－4(3)(2023·烏蘇市第一中學?？计谀?已知函數f(x)＝log34x-①求集合A；②已知集合B＝{x|m－1<x<3m＋1}，m∈R，若x∈A是x∈B的充分不必要條件，求m的取值范圍．(1)A(2)A[(1)由線面垂直的性質知，若m⊥α，n?α，則m⊥n成立，即充分性成立；根據線面垂直的定義，m必須垂直平面α內的兩條相交直線，才有m⊥α，即必要性不成立．故選A．(2)命題“?x∈[1，2]，2x＋ax≥0”為真命題，可化為“?x∈[1，2]，2x2＋a≥0即只需a≥(－2x2)max＝－2，所以命題“?x∈[1，2]，2x＋ax≥0”為真命題的一個充要條件是a而要找的一個充分不必要條件即為集合{a|a≥－2}的真子集，由選項可知A符合題意．故選A．](3)[解]①要使函數有意義，則4x-1>0，log故A＝x│②x∈A是x∈B的充分不必要條件，B＝{x|m－1<x<3m＋1}，m∈R，則集合A是集合B的真子集．則有m-1<3m+1，所以實數m的取值范圍是m│考點二全稱量詞命題、存在量詞命題及其否定1．全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，用符號“?”表示．2．存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，用符號“?”表示．3．全稱量詞命題和存在量詞命題及其否定名稱全稱量詞命題存在量詞命題結構對M中任意一個x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立簡記?x∈M，p(x)?x∈M，p(x)否定?x∈M，?p(x)?x∈M，?p(x)提醒：含有一個量詞的命題的否定的規(guī)律是“改量詞，否結論”．[典例2](1)命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≤x”的否定是()A．?x∈R，?n∈N*，使得n>xB．?x∈R，?n∈N*，都有n>xC．?x∈R，?n∈N*，使得n>xD．?x∈R，?n∈N*，都有n>x(2)由命題“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命題，求得m的取值范圍是(a，＋∞)，則實數a的值是________．(1)D(2)1[(1)“?x∈R，?n∈N*，使得n≤x”是全稱量詞命題，全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，故其否定是?x∈R，?n∈N*，都有n>x．故選D．(2)因為命題“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命題，所以命題“?x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命題，故Δ＝22－4m<0，即m>1，故a＝1．]1．全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷方法命題名稱真假判斷方法一判斷方法二全稱量詞命題真所有對象使命題為真否定為假假存在一個對象使命題為假否定為真存在量詞命題真存在一個對象使命題為真否定為假假所有對象使命題為假否定為真2．全稱量詞命題與存在量詞命題的否定(1)改寫量詞；(2)否定結論．本例(2)根據命題的否定為真，轉化為一元二次不等式恒成立問題，利用判別式求解．跟進訓練2(1)(多選)下列四個命題中為真命題的是()A．?x∈R，2x-1＞0B．?x∈N*，(x－1)2＞0C．?x∈R，lgx＜1D．?x∈R，tanx＝2(2)若命題“?x∈R，ax2＋1≥0”為真命題，則實數a的取值范圍為()A．a>0 B．a≥0C．a≤0 D．a≤1(3)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝12x－m，若?x1∈[0，3]，?x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，則實數(1)ACD(2)B(3)14，+∞[(1)當x＝1時，(x(2)根據題意，命題“?x∈R，ax2＋1≥0”為真命題，即不等式ax2＋1≥0恒成立，當a＝0時，不等式為1≥0，恒成立．當a≠0時，必有a>0，Δ=0綜上可得a≥0，故選B．(3)當x∈[0，3]時，f(x)min＝f(0)＝0，當x∈[1，2]時，g(x)min＝g(2)＝14－m由f(x)min≥g(x所以m≥1課后習題(二)常用邏輯用語1．(多選)(人教A版必修第一冊P34復習參考題1T5改編)對任意實數a，b，c，給出下列命題，其中假命題是()A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要條件B．“a>b”是“a2>b2”的充分條件C．“a<5”是“a<3”的必要條件D．“a＋5是無理數”是“a是無理數”的充分不必要條件ABD[A：a＝b有ac＝bc成立，ac＝bc不一定有a＝b成立，必要性不成立，假命題；B：當a＝1>b＝－2時，a2<b2，充分性不成立，假命題；C：a<5不一定a<3，但a<3必有a<5，故“a<5”是“a<3”的必要條件，真命題；D：a＋5是無理數，則a是無理數，若a是無理數也有a＋5是無理數，故為充要條件，假命題．故選ABD．]2．(北師大版必修第一冊P20練習T1改編)下列命題中既是全稱量詞命題，又是真命題的是()A．菱形的四條邊都相等B．?x∈N，使2x為偶數C．?x∈R，x2＋2x＋1>0D．π是無理數A[對于A，所有菱形的四條邊都相等，是全稱量詞命題，且是真命題．對于B，?x∈N，使2x為偶數，是存在量詞命題．對于C，?x∈R，x2＋2x＋1>0，是全稱量詞命題，當x＝－1時，x2＋2x＋1＝0，故是假命題．對于D，π是無理數，是真命題，但不是全稱量詞命題．故選A．]3．(人教A版必修第一冊P35復習參考題1T6(3)改編)存在量詞命題“存在實數x，y，使得x＋y>1”，用符號表示為________；此命題的否定是________(用符號表示)，是________(填“真”或“假”)命題．[答案]?x，y∈R，x＋y>1?x，y∈R，x＋y≤1假4．(人教B版必修第一冊P38習題1－2BT5改編)已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的必要不充分條件，則a的取值范圍為________．[答案][3，＋∞)5．(2023·廣東佛山高三一模)命題“?x∈Q，x2－5≠0”的否定為()A．?x?Q，x2－5＝0 B．?x∈Q，x2－5＝0C．?x?Q，x2－5＝0 D．?x∈Q，x2－5＝0D[原命題為全稱量詞命題，該命題的否定為“?x∈Q，x2－5＝0”．故選D．]6．(2024·黑龍江大慶模擬預測)已知向量a＝(x－5，7)，b＝(x，－2)，則“x＝7”是“a⊥b”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A[若x＝7，則a·b＝2×7＋7×(－2)＝0，則a⊥b，滿足充分性；若a⊥b，則x(x－5)－14＝0，解得x＝7或x＝－2，不滿足必要性．故“x＝7”是“a⊥b”的充分不必要條件．故選A．]7．已知“x>k”是“3x+1<1”的充分不必要條件，則A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)C[由3x+1<1，得即x-2x+1>0，解得x∵“x>k”是“3x+1<1”的充分不必要條件，∴k即k的取值范圍為[2，＋∞)．故選C．]8．(2023·廣東佛山市二模)記數列{an}的前n項和為Sn，則“S3＝3a2”是“{an}為等差數列”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件B[等差數列{an}的前n項和為Sn，則S3＝a1＋a2＋a3＝3a2，數列{an}的前n項和為Sn，取a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，顯然有S3＝3a2，而a4－a3＝2≠a3－a2，即數列{an}不是等差數列，所以“S3＝3a2”是“{an}為等差數列”的必要不充分條件．故選B．]9．(多選)以下說法正確的有()A．“－2<x<4”是“x2－2x－15<0”的必要不充分條件B．命題“?x>1，ln(x－1)≥0”的否定是“?x≤1，ln(x－1)<0”C．“l(fā)na>lnb”是“a2>b2”的充分不必要條件D．設a，b∈R，則“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分條件CD[A選項，x2－2x－15＝(x－5)(x＋3)<0，解得－3<x<5，所以“－2<x<4”是“x2－2x－15<0”的充分不必要條件，A選項錯誤．B選項，因為由ln(x－1)≥0，得命題“?x>1，ln(x－1)≥0”的否定是“?x>1，x<2”，所以B選項錯誤．C選項，lna>lnb?a>b>0，所以ln所以“l(fā)na>lnb”是“a2>b2”的充分不必要條件，所以C選項正確．D選項，由于a≠0ab≠0，ab≠0?a≠0，故選CD．]10．已知有三個條件：①ac2>bc2；②ac>bc；③a2>b2，其中能成為a>①[①由ac2>bc2可知c2>0，則a>b,故“ac2>bc2”是“a>b”的充分條件；②當c<0時，a<b；③當a<0，b<0時，由a2>b2，有a<b;故②③不是a>b的充分條件．所以能成為“a>b”的充分條件的只有①．]11．(2023·南京第一次聯考)已知“a≤x≤a2＋1”是“－2≤x≤5”的充分不必要條件，則實數a的取值范圍是________．(－2，2][設A＝{x|a≤x≤a2＋1}，依題設，AB，則a≥解得－2≤a經檢驗，當a＝－2時，不符合題意，所以－2<a≤2．]12．(2024·江