人教A版選擇性必修第二冊第4章41第1課時數列的概念及簡單表示學案

篝四章數列

4.1數列的概念

第1課時數列的概念及簡潔表示

學習任務核心素養(yǎng)

1.理解數列的概念.（重點）1.通過數列概念及數列通項

2.把握數列的通項公式及應用.（重點）的學習，表達了數學抽象及規(guī)

3.理解數列是一種特別的函數.理解數列與函律推理素養(yǎng).

數的關系.（易混點'難點）2.借助數列通項公式的應用，

4.能依據數列的前幾項寫出數列的一個通項公培育規(guī)律推理及數學運算素

式.（難點、易錯點）養(yǎng).

［情境導學?探新知］情境趣味導學預習素養(yǎng)感知

畬情境與問題

在生活與學習中，為了便利，我們經常用一組有規(guī)律的數記錄某一活動或數

量關系.如三角形數，正方形數.古語云：“勤學如春起之苗，不見其增，日有

所長；輟學如磨刀之石，不見其損，日有所虧.〃假如對“春起之苗〃每日用精

密儀器度量，那么每日的高度值按日期排列在一起，就可以組成一個數列，同樣，

對''磨刀之石〃用精密儀器測量，那么每日的質量按日期排起來，也可得到一個

數列等等.

你能舉出幾組有規(guī)律的數列嗎？試想什么是數列？

學問點1數列的概念及一般形式

思考1.(1)數列的項和它的項數是否相同？

(2)數列1,2,3,4,5,數列5,3,2,4,1與｛1,2,3,4,5｝有什么區(qū)

分？

［提示］(1)數列的項與它的項數是不同的概念.數列的項是指這個數列中的

某一個確定的數，是一個函數值，而項數是指該數列中的項的總數.

(2)數列1,2,3,4,5和數列5,3,2,4,1為兩個不同的數列，由于二

者的元素挨次不同，而集合｛1,2,3,4,5｝與這兩個數列也不相同，一方面形

式上不全都，另一方面，集合中的元素具有無序性.

學問點2數列的分類

類別含義

按項的有窮數列項數有限的數列

個數無窮數列項數無限的數列

遞增數列從第2項起，每一項都大王它的前一項的數列

按項的遞減數列從第2項起，每一項都小王它的前一項的數列

變化趨常數列各項都相等的數列

勢從第2項起，有些項大于它的前一項,有些項小于

搖擺數列

它的前一項的數列

體驗1.思索辨析(正確的畫“，錯誤的畫“X〃)

(1)數歹!］1,3,5,7,…,2〃是無窮數列.()

⑵通項公式為斯=總區(qū)的數列是遞減數列.()

(3)—1,1,—1,1,…是一個搖擺數列.()

［答案］(1)X(2)X(3)V

［提示］(1)X,無窮數列末尾帶有；

(2)X,在〃W5時是遞減，在“三6時也是遞減，但在〃?N*上不是遞減；

(3)V,滿意搖擺數列的定義.

學問點3數列的通項公式

假如數列｛而｝的第〃項即與它的序號"之間的對應關系可以用一個式子來表

示，那么這個式子叫做這個數列的通項公式.表達形式為：an=?.

體驗2.依據數列的前4項，寫出數列的一個通項公式.

(1)2,4,6,8,…

(2)2,4,8,16,-

［解］(l)a“=2〃(〃eN*).

(2)防=2汽〃GN*).

學問點4數列與函數的關系

從函數的觀點看，數列可以看作是特別的函數，關系如下表：

定義域正整數集N*(或它的有限子集｛1,2,3,…，刈)

解析式數列的通項公式

自變量從1開頭，依據從小到大的挨次依次取值時,對應的一

值域

列函數值構成

表示方法(1)通項公式(解析法)；(2)列表法;(3)圖象法

思考2.數列的通項公式與函數解析式y=Ax)有什么異同？

［提示］

如圖，數列可以看成以正整數集N*(或它的有限子集｛1,2,〃｝)為定義

域的函數，an=fljl）當自變量依據從小到大的挨次依次取值時所對應的一列函數

值.不同之處是定義域，數列中的〃必需是從1開頭且連續(xù)的正整數，函數的定

義域可以是任意非空數集.

體驗3.在數列｛所｝中，an=3n-l,那么等于.

9[Van=3n~l,.."=33-1=32=9.]

[合作探究?釋疑難]疑難問題解惑學科素養(yǎng)形成

類型1數列的概念與分類

【例1】（1）以下四個數列中，既是無窮數列又是遞增數列的是（）

111

-

^--

A.zV

4?

Bn2771371

sisin1?

1l1

-

c--^----

z8

4?

D.1,y[2,小，…，

⑵以下數列：

①2014,2015,2016,2017,2018,2019,2020,2021；

②1，：，…，1

-2-〃-一--19....‘

23（一1）"一

③T亍…'2〃一]，…；

,rm

④1,0,—1,…,smg,…；

⑤2,4,8,16,32,…；

⑥一1,一1,一1,-1.

其中，有窮數列是,無窮數列是,遞增數列是,

遞減數列是,常數列是,搖擺數列是.（填序號）

（1）C（2）①⑥②③④⑤①⑤②⑥③④[（l）ABC為無窮數列，其

中A是遞減數列，B是搖擺數列，C是遞增數列，應選C.（2）①為有窮數列且

為遞增數列；②為無窮、遞減數列；③為無窮、搖擺數列；④是搖擺數列，也是

無窮數列；⑤為遞增數列，也是無窮數列；⑥為有窮數列，也是常數列.]

］.......?廢思領悟??..........................

1.有窮數列和無窮數列的推斷標準

推斷給出的數列是有窮數列還是無窮數列，只需觀看數列是有限項還是無限

項.假設數列是有限項，那么是有窮數列，否那么為無窮數列.

2.單調數列與非單調數列的推斷標準

假設滿意所〈如+1,那么｛出｝是遞增數列;假設滿意詼＞斯+1,那么｛如｝是遞

減數列；假設滿意外=詼+1,那么｛板｝是常數列；假設斯與z+i的大小不確定，

那么｛〃｝是搖擺數列.

［跟進訓練］

1.給出以下數列：

①2014?2021年某市一般高中生人數(單位：萬人)構成數列82,93,105,

118,132,147,163,180；

②無窮多個小構成數列小，小，小，事，…;

③一2的1次募，2次募，3次募，4次幕，…構成數列一2,4,—8,16,

~32,….

其中，有窮數列是,無窮數列是,遞增數列是,

常數列是,搖擺數列是.

①②③①②③［①為有窮數列；②③是無窮數列，同時①也是遞

增數列；②為常數列；③為搖擺數列.］

類型2依據數列的前幾項求通項公式

【例2】數列的前幾項，寫出下面數列的一個通項公式.

(1)1,3,7,15,31,…；

(2)9,99,999,9999,…；

12_3_4_5

⑶一不小-16,25'一跖…；

4142

---

^一

z-7

5?1F

(5)1,2,1,2,1,2,….

［解］(1)觀看發(fā)覺各項分別加上1后，數列變?yōu)?,4,8,16,32,…，新

n

數列的通項為2",故原數列的通項公式為an=2—\.

(2)各項加上1后,數列變成10,100,1000,10000,新數列的通項為

10",故原數列的通項公式為以=10"-1.

(3)數列的符號負正相間，可用(一1尸調整，分數的分子依次為自然數，而分

rj

母那么是分子加上1后的平方，故可表示為7E,所以該數列的通項公式為

n

e-D言記

444

數列的符號規(guī)律是正、負相間，使各項分子為數列變?yōu)椋?/p>

(4)4,5Z￡J,o

44444

一行，…，再把各分母分別加上1,數列又變?yōu)閃，一不一五，…，所以an

4X(一1嚴

―_3n~l--

(5)法一：可寫成分段函數形式：

’1,〃為奇數，〃?N*,

12,〃為偶數，〃?N*.

(1+2)+(-1)?+1(1-2)

/Zk■Cln2

3+(-l)n+1(~l)

一2

刖3JT)"

即〃〃=]+-2—?

廣.......成思領悟...........................

1.簡單數列的通項公式的歸納方法

(1)先統一項的結構，如都化成分數、根式等.

(2)分析這一結構中變化的局部與不變的局部，探究變化局部的規(guī)律與對應

序號間的關系.

(3)對于符號交替消失的狀況，可先觀看其肯定值，再用(一1?處理符號.

(4)對于周期消失的數列，考慮利用周期函數的學問解答.

2.常見數列的通項公式

(1)數列一1,1,—1,1,…的一個通項公式是?！?(一1)",數列1,—1,1,

一1,…的一個通項公式是??=(—l)n+1或(T)G.

(2)數列1,2,3,4,…的一個通項公式是以=兒

(3)數列1,3,5,7,…的一個通項公式是的=2〃-1.

(4)數列2,4,6,8,…的一個通項公式是麗=2〃.

(5)數列1,2,4,8,…的一個通項公式是z=2"T.

(6)數列1,4,9,16,…的一個通項公式是

(7)數列1,3,6,10,…的一個通項公式是

11

列

8數--

甲

牙…的一個通項公式是

［跟進訓練］

2.寫出以下數列的一個通項公式.

111

---

V

5?7?

⑵藥，4不6a8諱,…

(3)4,44,444,4444,…

⑴⑷一'1X2'‘2X3'一3X4''4X'5'…

［解］(1)分數的分子均為1,分母為正奇數數列，所以通項公式為匕.

(2)整數局部為自然數的2倍，分數局部的分子均為1.分母是2的正整數次

幕，即2".所以通項公式為a“=2”十卷.

9

(3)各項都乘以a后變?yōu)?,99,999,9999,…再均加上1變?yōu)?0〃.故該數

列的通項可寫為

(4)各項符號呈負正相間，可表示為(—1)",分數的分子均為1,分母為n(n

+1).故通項公式可寫成1

〃(〃十1)

類型3通項公式的應用

【例31數列｛。〃｝的通項公式為a”=3〃2—28”.

⑴寫出此數列的第4項和第6項；

(2)—49是否是該數列的一項？假如是，應是哪一項？68是否是該數列的一

項呢？

嘗試與發(fā)現

(1)數列是一種特別的函數，是否可考慮求函數值的方法求第n項呢？

(2)由于數列的定義域必需是N*或｛1,2,…，n｝,為此可通過解方程解n.

觀看是否為正整數.

k_________________________________________________________________________)

［解］(1)04=3X42-28X4=-64,

46=3X62—28X6=—60.

7

(2)令3川一28〃=—49,解得〃=7或〃=］(舍去)，

所以一49是該數列的第7項；

34

令3〃2—28〃=68,解得〃=—2或〃=了，均不合題意，所以68不是該數列

的項.

「母題探究］

1.(變結論)假設本例中的條件不變，

(1)試寫出該數列的第3項和第8項；

(2)20是不是該數列的一項？假設是，是哪一項？

［解］(1)由于斯=3層一28〃，

所以43=3X32—28X3=—57,as=3X82-28X8=-32.

2

(2)令3層一28〃=20,解得〃=10或〃=-w(舍去)，

所以20是該數列的第10項.

a2

2.(變條件，變結論)假設將例題中的“如=3層一28/變?yōu)閍n=n-\-2n—

5〃，試推斷數列｛的｝的單調性.

［角星］an=n2~\~2n—5,

2

/?an+\—〃“=(〃+l)+2(n+1)—5—(層+2〃-5)

=n2+2n+1+2n+2—5—n2—2〃+5=2〃+3?

??”￡N*,2n+3>0,an+i>an.

???數列｛如｝是遞增數列.

「......廢思領悟................................

1.由通項公式寫出數列的指定項，主要是對〃進行取值，然后代入通項公

式，相當于函數中，函數解析式和自變量的值求函數值.

2.推斷一個數是否為該數列中的項，其方法是可由通項公式等于這個數求

方程的根，依據方程有無正整數根便可確定這個數是否為數列中的項.

3.在用函數的有關學問解決數列問題時，要留意它的定義域是N*（或它的

有限子集｛1，2,3,…，刈）這一約束條件，否那么，就會造成無故失分.

[當堂達標?夯基礎]課堂知識檢測?小結問題點評

1.以下數列既是遞增數列，又是無窮數列的是（）

A.1,2,3,…，20

B.-1,一2,-3,???,~n,

C.1,2,3,2,5,6,…

D.—L0,1,2,…，100,

D[A為有窮數列，BCD為無窮數列，而B為遞減數列，C為搖擺數列，

D為遞增數列，應選D.]

2.數列1,小，小，木，…,1,那么3小是它的（）

A.第22項B.第23項

C.第24項D.第28項

B[令煙=1=3小，解得“=23.所以3小是它的第23項，故應選B.]

3.（多項選擇題）以下表達不正確的選項是（）

A.1,3,5,7與7,5,3,1是相同的數列

B.1,3,1,3,…是常數列

C.數列0,1,2,3,…的通項公式為物=〃

D.數歹U｛2〃+1｝是遞增數列

ABC[A中，1,3,5,7與7,5,3,1不是相同的數列，由于數列是有

挨次排列的一列數；B中，明顯不是常數列；C中，0,1,2,3,…的通項公式

為以=〃-1;D中｛2九+1｝是遞增數列，故ABC錯.]

4.猜測數列—I，3，一號H，一H，…的通項公式為麗=.

“2

(一1)"+1而］［各項呈正負相間，可用(―I)"1表示，分式的分子為自然數