專題1.3二次函數(shù)的圖象與性質十大考點精講精練（知識梳理+典例剖析+變式訓練）（解析版）

（一）二次函數(shù)的定義+c(其中a≠0，a、b、c是常數(shù))的式，稱y（二）二次函數(shù)的性質y=ax2開口方向a>0開口向上函數(shù)有最小值頂點為最低點a<0開口向下函數(shù)有最大值頂點為最高點對稱軸直線x=h直線x=-直線x=頂點坐標(h，k)2x1+x2，-a(x1-x2))224增減性當a>0時，在對稱軸左側，y隨著x的增大而減少；在對稱軸右側，y隨著x的增大而增大；當a<0時，在對稱軸左側，y隨著x的增大而增大；在對稱軸右側，y隨著x的增大而減少；最值當x=h時，y最值=k4ac-b2y最值=4ay最值=-a(x14-x2)2（或用代入法）(1)a決定拋物線的開口方向①a>0開口向上；②a<0開口向下.(2)c決定拋物線與y軸交點的位置①c>0圖象與y軸交點在x軸上方；②c=0圖象過原點；③c<0圖象與y軸交點在x軸下方.(3)a、b決定拋物線對稱軸的位置(對稱軸：x=-①a、b同號對稱軸在y軸左側；②b=0對稱軸是y軸；③a、b異號對稱軸在y軸右側，簡記為：左同右異中為0.(4)頂點坐標(-，).2-4ac決定拋物線與x軸的交點情況.①△>0拋物線與x軸有兩個不同交點；②△=0拋物線與x軸有唯一的公共點(相切)；③△<0拋物線與x軸無公共點.(6)二次函數(shù)是否具有最大、最小值由a判斷.①當a>0時，拋物線有最低點，函數(shù)有最小值；②當a<0時，拋物線有最高點，函數(shù)有最大值.xy2a-b2a+bxy2a-b2a+b①若對稱軸在直線x=1的左側，則2a+b與a同號，若對稱軸在直線x=1的右側，則2a+b與a異號，若對稱軸為直線x=1，則2a+b=0，簡記為：1的兩.側判2a+b，左同右異中為0；②若對稱軸在直線x=-1的左側，則2a-b與a異號，若對稱軸在直線x=-1的右側，則2a-b與a同號，若對稱軸為直線x=-1，則2a-b=0，簡記為1的兩側判2a-b，左異右同中為0；當x=-1時，y=a-b+c，所以a-b+c的符號由x=-1時，對應的函數(shù)值y的符號決定；當x=-2時，y=4a-2b+c，所以4a-2b+c的符號由x=-2時，對應的函數(shù)值y的符號決定；簡記為：表達式，請代值，對應y值定正負；對稱軸，用處多，三種式a相約；.y軸兩側判a、b，左同右異中為0；-1兩側判2a-b，左異右同中為0.（三）二次函數(shù)的解析式≠0)，用于已知三點，求拋物線的解析式.②頂點式：y=a(x-h)2+k，用于已知頂點坐標或最值或對稱軸，求拋物線的解析式.③交點式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2是二次函數(shù)與x軸的兩個交點的橫坐標.若已知對稱軸和在x軸上的截距，也可用此式.（四）二次函數(shù)的增減性當a>0時，在對稱軸左側，y隨著x的增大而減少；在對稱軸右側，y隨著x的增大而增大；當a<0時，在對稱軸左側，y隨著x的增大而增大；在對稱軸右側，y隨著x的增大而減少.（五）二次函數(shù)圖象的平移方法一：頂點法二次函數(shù)的平移實際上是頂點的平移，故可以把原拋物線化為頂點式，通過頂點的平移來尋找答案。方法二：直接法如果y是x的函數(shù)，則可以用直接法。平移規(guī)律如下：左右平移變x，左+右上下平移變常數(shù)項，上+下-；平移結果先知道，反向平移是訣竅；平移方式不知道，通過頂點來尋找.（六）對稱：y=ax2y=a(-x)2+b(-x)+c，關于原點軸對稱的解析式為-y=a(-x)2+b(-x)+c，在頂點處翻折后的解析式為y=-a(x-h)2+k（a相反，定點坐標不變）.（七）二次函數(shù)的最值（1）一般二次函數(shù)求最值根據(jù)最值公式計算即可，或把對稱軸代入表達式，對應的函數(shù)值就是最值。（2）給定自變量取值范圍求二次函數(shù)的最值①如果給定的范圍在對稱軸的一側，只需要計算兩個端點的函數(shù)值，兩個值中最大的為最大值，最小的為最小值。②如果給定的范圍包含對稱軸，需要計算兩個端點的函數(shù)值和頂點的縱坐標，三個值中最大的為最大值，最小的為最小值。（3）分段函數(shù)求最值根據(jù)（2）中的方法求出每一段的最大（?。┲担詈蟊容^得出整·個函數(shù)的最大（?。┲?。（八）二次函數(shù)與不等式（組）+c，則y>0的解集是x軸上方的圖象對應的自變量x的取值范圍，y<0的解集是x軸下方的圖象對應的自變量x的取值范圍?！究键c1】二次函數(shù)的定義【例1】（2021·江蘇·啟東市百杏中學九年級階段練習）下列關于x的函數(shù)一定為二次函數(shù)的是()【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義分析判斷即可.【詳解】解：A、y=2x+1是一次函數(shù)，故本選項錯誤；B、y=-5x2-3一定是二次函數(shù)，故本選項正確；+bx+c，當a＝0時，是一次函數(shù)，故本選項錯誤；+x+1是三次函數(shù)，故本選項錯誤；【點睛】本題考查二次函數(shù)的定義：形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，且a≠0）的函數(shù)是x的二次函數(shù)，牢記此定義是解題的關鍵.【變式1.1】（撫順縣期末）函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)）是二次函數(shù)的條件是()A．a(chǎn)≠0，b≠0，c≠0B．a(chǎn)＜0，b≠0，c≠0C．a(chǎn)＞0，b≠0，c≠0D．a(chǎn)≠0【分析】根據(jù)二次函數(shù)定義就可以解答.【解析】根據(jù)二次函數(shù)定義中對常數(shù)a，b，c的要求，只要a≠0，b，c可以是任意實數(shù)，故選：D.【變式1.2】（鄂城區(qū)期中）下列函數(shù)關系中，是二次函數(shù)的是()A．在彈性限度內(nèi)，彈簧的長度y與所掛物體質量x之間的關系B．當距離一定時，火車行駛的時間t與速度v之間的關系C．等邊三角形的周長C與邊長a之間的關系D．圓的面積S與半徑R之間的關系【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，分別列出關系式，進行選擇即可.【解析】A、關系式為：y＝kx+b，故A錯誤；B、關系式為t=，故錯誤；C、關系式為：C＝3a，故C錯誤；D、S=πR2，故D正確.故選：D.【變式1.3】（南關區(qū)校級期中）已知y＝（m+2）x|m|是關于x的二次函數(shù)，那么m的值為()【分析】利用二次函數(shù)定義可得：|m|＝2，且m+2≠0，再解出m的值即可.【解析】由題意得：|m|＝2，且m+2≠0，故選：B.【考點2】二次函數(shù)的圖象【例2】（蕭山區(qū)模擬）已知函數(shù)y1＝mx2+n，y2＝nx+m（mn≠0則兩個函數(shù)在同一坐標系中的圖象可能【分析】可先根據(jù)一次函數(shù)的圖象判斷m的符號，再判斷二次函數(shù)圖象與實際是否相符，進而判斷選項的正誤.【解析】A、由一次函數(shù)y2＝nx+m（mn≠0）的圖象可得：n＜0，m＞0．此時二次函數(shù)y1＝mx2+n的圖象應該開口向上，拋物線與y軸交于負半軸，故選項不符合題意；B、由一次函數(shù)y2＝nx+m（mn≠0）的圖象可得：n＞0，m＜0．此時二次函數(shù)y1＝mx2+n的圖象應該開口向下，拋物線與y軸交于正半軸，故本選項不符合題意；C、由一次函數(shù)y2＝nx+m（mn≠0）的圖象可得：n＜0，m＜0．此時二次函數(shù)y1＝mx2+n的圖象應該開口向下，拋物線與y軸交于負半軸，故本選項不符合題意；D、由一次函數(shù)y2＝nx+m（mn≠0）的圖象可得：n＞0，m＞0．此時二次函數(shù)y1＝mx2+n的圖象開口向上，拋物線與y軸交于正半軸，故本選項不符合題意；故選：A.【變式2.1】（2022·浙江杭州·二模）如圖，二次函數(shù)y＝a（x+2）2+k的圖象與x軸交于A(﹣6，0B兩點，下列說法錯誤的是()A．a(chǎn)＜0B．圖象的對稱軸為直線x=﹣2C．當x＜0時，y隨x的增大而增大D．點B的坐標為（2，0）【答案】【答案】C【分析】根據(jù)圖象即可判斷A、C；由解析式即可判斷B；根據(jù)拋物線的對稱性即可判斷D.【詳解】解：∵二次函數(shù)y＝a（x+2）2+k的圖象開口方向向下，∴a＜0，故A正確，不合題意；由圖象可知，拋物線的對稱軸為直線x=﹣2，故B正確，不合題意；由圖象知，當x＜0時，由圖象可知y隨x的增大先增大后減小，故C錯誤，符合題意；∵拋物線的對稱軸為直線x=﹣2，且過A(﹣6，0∴B點的坐標為（2，0故D正確，不合題意；故選：C.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質，熟練運用二次函數(shù)的圖像和性質是解題關鍵【變式2.2】（北侖區(qū)期中）若a＞0，則二次函數(shù)y＝ax2+2x﹣1的圖象可能是()B.D.【分析】根據(jù)a＞0，判斷拋物線開口向上，對稱軸為直線由拋物線解析式可知與y軸的交點為（01據(jù)此作出判斷即可.【解析】∵a＞0，∴拋物線開口向上，∵對稱軸直線∴對稱軸在y軸的左側，由y＝ax2+2x﹣1可知，拋物線與y軸的交點為（01故選：D.【變式2.3】（西林縣期中）如圖，在用一坐標中，函數(shù)y＝ax2+bx（a≠0）與y＝ax+b的圖象大致是()B.D.【分析】根據(jù)每一選項中a、b的符號是否相符，逐一判斷.【解析】A、由拋物線可知，a＞0，b＜0，由直線可知，a＞0，b＞0，故本選項錯誤；B、由拋物線可知，a＞0，由直線可知，a＜0，故本選項錯誤；C、由拋物線可知a＜0，由直線可知a＞0，故本選項錯誤；D、由拋物線可知，a＞0，b＞0，由直線可知，a＞0，b＞0，且交x軸于同一點，故本選項正確；故選：D.【考點3】二次函數(shù)的性質【答案】B【分析】根據(jù)解析式y(tǒng)=?(x?2)2+9畫出拋物線圖象，可知?1≤x≤5時，0≤y≤9，根據(jù)圖象即可得出m的取值范圍，由此可解.【詳解】解：對于拋物線y=?(x?2)2+9，當x=2時，y取最大值9.結合函數(shù)圖象，四個選項中，只有B選項m=1滿足條件，故選：B.【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質，掌握數(shù)形結合思想，根據(jù)函數(shù)解析式畫出拋物線大致形狀是解題的關鍵.【變式3.1】（岳麓區(qū)校級月考）下列拋物線中，與拋物線y＝x2﹣2x+4具有相同對稱軸的是()A．y＝4x2+2x+1B．y＝2x2+4x+1C．y＝x2﹣4x+2D．y＝2x2﹣4x+1【分析】根據(jù)題目中的拋物線，可以求得它的對稱軸，然后再求出各個選項中的二次函數(shù)的對稱軸，即可解答本題.【解析】∵拋物線y＝x2﹣2x+4x﹣1）2+3，∴該拋物線的對稱軸是直線x＝1，∵y＝4x2+2x+1的對稱軸是直線故選項A不符合題意；∵y＝2x2+4x+1的對稱軸是直線=?1，故選項B不符合題意；∵y＝x2﹣4x+2的對稱軸是直線故選項C不符合題意；∵y＝2x2﹣4x+1的對稱軸是直線故選項D符合題意；故選：D.【變式3.2】2022·浙江寧波·九年級專題練習）已知一元二次方程2x2+bx?1＝0的一個根是1，若二次函數(shù)y＝2x2+bx?1的圖象上有三個點（0，y1）、(?1，y2）、y3則y1，y2，y3的大小關系為()A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y2【答案】C【分析】利用一元二次方程根的意義求得b值，將b值代入二次函數(shù)的解析式，求出拋物線的對稱軸，利用二次函數(shù)圖象的性質即可得出結論.【詳解】∵元二次方程2x2+bx-1=0的一個根是1，∴二次函數(shù)y=2x2-x-1=2∴拋物線y=2x2-x-1的對稱軸為直線，∵該拋物線開口向上，點(0，y1)、(-1，y2)y3)到對稱軸的距離分別為：∵該拋物線開口向上，51114511144=4=4444且1<5<y3<<y3<y2故選：C.【點睛】本題主要考查了拋物線的性質，二次函數(shù)圖象上點的坐標的特征，一元二次方程根的意義，利用二次函數(shù)的增減性解答是解題的關鍵.【變式3.3】（三門縣一模）已知函數(shù)在自變量x≤m的范圍內(nèi)，相應的函數(shù)最小值為0，則m的取值范圍是.【分析】畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)函數(shù)的圖象即可求得.【解析】畫出函數(shù)的圖象如圖：在自變量x≤m的范圍內(nèi)，相應的函數(shù)最小值為0，由圖象可知：m的取值范圍是1≤m≤3，故答案為1≤m≤3.【考點4】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系【例4】（2022·浙江·九年級專題練習）二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結論不正確A．a(chǎn)bc＜0C．4a﹣2b＋c＜0D．3a＋c＝1【答案】【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的開口方向、對稱軸、與y軸的交點坐標判斷出a、b、c的符號，進而可得A正確；根據(jù)x＝m（m≠1）時，y＝am2+bm+c，x＝1時，y有最大值為a+b+c，可得B正確；根據(jù)當x=﹣2時，y＜0，可得C正確；根據(jù)x＝3時，y＜0，結合b=﹣2a，可求出3a+c＜0，可得D錯誤.【詳解】解：∵拋物線開口向下，∵拋物線對稱軸為直線x=﹣b＝1，2a∴b=﹣2a＞0，∵拋物線與y軸交點在x軸上方，∴abc＜0，故A正確；當x＝m（m≠1）時，y＝am2+bm+c，當x＝1時，y有最大值為a+b+c，∴am2+bm+c＜a+b+c，∴am2+bm＜a+b，∴a+b＞m（am+bm≠1故B正確；由圖象知，當x=﹣2時，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，故C正確；由圖象知，拋物線與x軸的交點橫坐標大于﹣1小于0，對稱軸為x＝1，∴拋物線與x軸另一交點的橫坐標大于2小于3，∴9a+3b+c＜0，∵b=﹣2a，故選：D.【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質，解題的關鍵是熟練運用二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系，本題屬于基礎題型.【變式4.1】（鼓樓區(qū)校級模擬）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列命題中：①b=﹣2a；②此拋物線向下移動c個單位后過點；③﹣1＜a<?;④方程x2﹣2x+有實數(shù)根，結論正確【分析】A．函數(shù)的對稱軸為即可求解；B．新拋物線表達式為：y＝ax2+bx＝ax2﹣2ax＝ax（x﹣2即可求解；C．x=﹣1時，y＝a﹣b+c＜0，x＝1時，y＝a+b+c＝2，即即可求解；D.△=4a2﹣4a＝4a，而﹣1＜a即可求解.【解析】A．函數(shù)的對稱軸為=1，解得：b=﹣2a；故A正確；B．此拋物線向下移動c個單位后，新拋物線表達式為：y＝ax2+bx＝ax2﹣2ax＝ax（x﹣2則x＝2時，y＝0，故拋物線過點（2，0故B正確；C．x=﹣1時，y＝a﹣b+c＜0，x＝1時，y＝a+b+c＝2，即，解得：﹣1＜a<?,故C正確；∴x2﹣2x+變形為ax2﹣2ax+1＝0，∵△=4a2﹣4a＝4a，而﹣1＜a<?∴△>0，故方程x2﹣2x+有實數(shù)根，故D正確；故選：D.【變式4.2】（2022·浙江寧波·模擬預測）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A1，0）和B，與y軸交于點C．下列結論：①abc＜0；②2a+b＞0；③4a－2b+c＞0；④3a+c＞0．其中錯誤的結論個數(shù)為 【答案】A【分析】根據(jù)拋物線的開口方向、對稱軸、特殊點的位置、以及與x軸y軸的交點，綜合判斷即可.【詳解】①由拋物線的開口向上知a＞0，∵對稱軸位于y軸的右側，∵拋物線與y軸交于負半軸，②對稱軸為直線-b，即2a+b＞0，故②正確；③由圖可知：當x=-2時，y＞0，故③正確；④∵當x=-1時，y=0，∴0=a-b+c＜a+2a+c=3a+c，故④正確.綜上所述，有①錯誤.綜上所述，有①錯誤.故選：A.【點睛】本題主要考查拋物線與x軸的交點坐標，二次函數(shù)圖象與函數(shù)系數(shù)之間的關系，解題的關鍵是掌握數(shù)形結合思想的應用，注意本題選擇錯誤的結論個數(shù).【變式4.3】（柯橋區(qū)期中）如圖是拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象，其頂點坐標為（1，n且與x軸的一個交點在點（3，0）和（4，0）之間，則下列結論：③拋物線另一個交點（m，0）在﹣2到﹣1之間；④當x＜0時，ax2+（b+2）x＜0；⑤一元二次方程ax2+（b?)x+c＝0有兩個不相等的實數(shù)根其中正確結論的個數(shù)是()【分析】①根據(jù)拋物線的對稱軸公式即可求解；②當x等于1時，y等于n，再利用對稱軸公式即可求解；③根據(jù)拋物線的對稱性即可求解；④根據(jù)拋物線的平移即可求解；⑤根據(jù)一元二次方程的判別式即可求解.【解析】①因為拋物線的對稱軸為x＝1，即?=1，所以b=﹣2a，所以①錯誤；所以a+b+c＝n，因為b=﹣2a，所以②正確；③因為拋物線的頂點坐標為（1，n即對稱軸為x＝1，且與x軸的一個交點在點（3，0）和（4，0）之間，所以拋物線另一個交點（m，0）在﹣2到﹣1之間；所以③正確；④因為ax2+（b+2）x＜0，即ax2+bx<﹣2x根據(jù)圖象可知：把拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象向下平移c個單位后圖象過原點，即可得拋物線y＝ax2+bx（a≠0）的圖象，所以當x＜0時，ax2+bx<﹣2x，即ax2+（b+2）x＜0.所以④正確；⑤一元二次方程ax2+（b?)x+c＝0因為根據(jù)圖象可知：a＜0，c＞0，所以﹣4ac＞0，所以△=2﹣4ac＞0所以一元二次方程ax2+（b?)x+c＝0有兩個不相等的實數(shù)根.所以⑤正確.故選：D.【考點s】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征【例5】（2022·浙江·九年級專題練習）已知拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A(m，n)，B(4﹣m，n)，且拋物線與x軸有交點，則c的最大值為()【答案】【答案】C【分析】利用拋物線的對稱性求得拋物線的對稱軸，進而得到b的值，再利用拋物線與x軸有交點則Δ≥0，列出不等式即可求解.【詳解】解：∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（m，nB（4﹣m，n∴拋物線的對稱軸為直線∴b=﹣4.∵拋物線與x軸有交點，故選：C.【點睛】本題主要考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的性質，拋物線上的點的坐標的特征，不等式的解法，利用拋物線的對稱性求得拋物線的對稱軸是解題的關鍵.【變式5.1】（平和縣期中）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象過A(﹣3，mB（5，mC（0，m+2D(﹣1，y1E(﹣5，y2F（6，y3則函數(shù)值y1，y2，y3的大小關系是()A．y2＜y3＜y1B．y3＜y1＜y2C．y2＜y1＜y3D．y1＜y3＜y2【分析】A(﹣3，mB（5，mC（0，m+2）求得拋物線對稱軸和開口方向，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質判斷可得.【解析】∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象過A(﹣3，mB（5，mC（0，m+2∴拋物線的對稱軸為拋物線的開口向下，∴拋物線上離對稱軸水平距離越大的點，對應函數(shù)值越小，則y2＜y3＜y1，故選：A.【變式5.2】（道里區(qū)校級期中）如圖，A、B是拋物線y＝a（x﹣2）2﹣4上的點，且AB∥x軸，若點A的坐標是（5，6則點B的坐標是()【分析】利用二次函數(shù)的性質得到拋物線的對稱軸為直線x＝2，則利用AB∥x軸得到點A和點B關于直線x＝2對稱，然后利用對稱性確定B點坐標.【解析】∵y＝a（x﹣2）2﹣4上的點，∴拋物線的對稱軸為直線x＝2，∴點A和點B關于直線x＝2對稱，而點A的坐標是（5，6故選：D.【變式5.3】】（2022·浙江溫州·九年級專題練習）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點M(?2，c)．若自變量x取?4，?,1，3時，對應的函數(shù)值分別為y1，y2，y3，y4，則下列說法一定正確的是()A．若y3y4+1>y3+y4，則y1y2+1>y1+y2B．若y4y1+1>y4+y1，則y2y3+1>y2+y3C．若y1y2+1<y1+y2，則y3y4+1<y3+y4D．若y1y3+1<y1+y3，則y2y4+1<y2+y4【答案】【答案】D【分析】先求得該圖象的對稱軸為=-1，不妨設a>0，根據(jù)各點橫坐標與對稱軸的距離大小得到y(tǒng)4>y1>y3>y2，再對條件分解因式，即可判斷.【詳解】解：∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點M(?2，c)，∴4a-2b+c=c，即b=2a，二次函數(shù)的解析式為y=ax2+2ax+c，∴該圖象的對稱軸為x=-2ba=-1，不妨設不妨設a>0，4>y1>y3>y2，A、若y3y4+1>y3+y4，即y3y4+1?y3?y4=y3(y4?1)?(y4?1)=(y4?1)(y3?1)>0，則y1y2+1?y1?y2=y1(y2?1)?(y2?1)=(y2?1)(y1?1)不一定大于0，故該選項不符合題意；B、若y4y1+1>y4+y1，同理得：(y4?1)(y1?1)>0，則(y2?1)(y3?1)不一定大于0，故該選項不符合題意；C、若y1y2+1<y1+y2，同理得：(y2?1)(y1?1)<0，則(y3?1)(y4?1)不一定小于0，故該選項不符合題意；D、若y1y3+1<y1+y3，則(y2?1)(y4?1)一定小于0，故該選項符合題意；故選：D.【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，因式分解的應用，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，求出y4>y1>y3>y2是解題的關鍵.【考點6】二次函數(shù)平移問題【例6】（2022·浙江·九年級專題練習）將二次函數(shù)y=x2+2x+n的圖象先向右平移2個單位，再向上平移m(m>0)個單位，得到函數(shù)y=x2?2x+4的圖象，則m+n的值為()【答案】【答案】D【分析】分別求出兩拋物線的頂點坐標，再根據(jù)平移規(guī)律可得結論.【分析】分別求出兩拋物線的頂點坐標，再根據(jù)平移規(guī)律可得結論.【詳解】解：y=x2+2x+n=(x+1)2+n?1∴拋物線y=x2+2x+n的頂點坐標為-1，n-1）y=x2?2x+4=(x?1)2+3∴拋物線y=x2?2x+4的頂點坐標為（1，3）∵將二次函數(shù)y=x2+2x+n的圖象先向右平移2個單位，再向上平移mm>0個單位，得到函數(shù)y=x2?2x+4的圖象，故選：D【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換.由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式.【變式6.1】（稷山縣校級一模）已知二次函數(shù)y＝x2﹣bx+1(﹣1≤b≤1當b從﹣1逐漸變化到1的過程A．先往左上方移動，再往左下方移動B．先往左下方移動，再往左上方移動C．先往右上方移動，再往右下方移動D．向往右下方移動，再往右上方移動【分析】先分別求出當b=﹣1、0、1時函數(shù)圖象的頂點坐標即可得出答案.【解析】當b=﹣1時，此函數(shù)解析式為：y＝x2+x+1，頂點坐標為：(?,);當b＝0時，此函數(shù)解析式為：y＝x2+1，頂點坐標為0，1當b＝1時，此函數(shù)解析式為：y＝x2﹣x+1，頂點坐標為：(,).故函數(shù)圖象應先往右上方移動，再往右下方移動.故選：C.【變式6.2】（錦江區(qū)校級期中）在平面直角坐標系中，已知M1（3，2N1（51線段M1N1平移至線段MN處（注：M1與M，N1與N分別為對應點若平移后點N在拋物線x+k上，點M的坐標為(﹣2，5則k=.【分析】首先根據(jù)點M的移動方向和單位得到點N的平移方向和單位，然后按照平移方向和單位進行移動即可求得N的坐標，將點N的坐標代入函數(shù)的解析式即可求得k值.【解析】（1）由點M1（3，2）到點(﹣2，5）可知，點的橫坐標減5，縱坐標加3，∴點N的坐標為（5﹣51+3即（0，2∵N（0，2）在拋物線x+k上，故答案為2.【變式6.3】（萊州市期中）把一條拋物線先向左平移1個單位，再向上平移2個單位，得到拋物線【分析】根據(jù)圖象反向平移，可得原函數(shù)圖象，根據(jù)圖象左加右減，上加下減，可得答案.【解析】根據(jù)題意知，將拋物線x2﹣1先向右平移1個單位，再向下平移2個單位得到原拋物線的表達式為2﹣1﹣2，即y=2﹣3.故選：B.【考點7】二次函數(shù)最值問題【例7】（余姚市模擬）如圖，已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（3，1點B（0，4）.（1）求該二次函數(shù)的表達式及頂點坐標；（2）點C（m，n）在該二次函數(shù)圖象上.①當m=﹣1時，求n的值；②當m≤x≤3時，n最大值為5，最小值為1，請根據(jù)圖象直接寫出m的取值范圍.【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；（2）①把x=﹣1代入（1）中求得的解析式求得函數(shù)y的值，即可求得n的值；②把y＝1代入拋物線解析式求得對應的x的值，然后根據(jù)圖象即可求得m的取值范圍.【解析】（1）∵二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（3，1點B（0，4）.∴該二次函數(shù)為y=﹣x2+2x+4，∵y=x﹣1）2+5，（2）∵點C（m，n）在該二次函數(shù)圖象上，把C(﹣1，n）代入y=﹣x2+2x+4得，n＝1；②當m≤x≤3時，n最大值為5，最小值為1，∵拋物線的頂點為（1，5把y＝1代入y=﹣x2+2x+4得1=﹣x2+2x+4，解得x1＝3，x2=﹣1，∴m的取值范圍是﹣1≤m≤1.【變式7.1】（贛州期中）已知拋物線y＝ax2+2ax+a+1（a≠0）過點A（m，3B（n，3）兩點，若線段AB的長不大于2，則代數(shù)式a2﹣a﹣2的最小值是.【分析】根據(jù)題意得a+1≥3，解不等式求得a≥2，把x＝2代入代數(shù)式即可求得.【解析】∵拋物線y＝ax2+2ax+a+1＝a（x+1）2+1（a≠0過點A（m，3B（n，3）兩點，∴對稱軸為直線x=﹣1，線段AB的長不大于2，∴a2﹣a﹣2的最小值為2）2﹣2﹣2＝0；故答案為0.【變式7.2】（2021·浙江金華·九年級期末）已知二次函數(shù)y＝x2＋ax＋4的圖象以y軸為對稱軸．若點P（m，n）在該二次函數(shù)的圖像上，則m－n的最大值等于()【答案】【答案】C【分析】根據(jù)題意，可以得到a的值，m和n的關系，然后將m、n作差，利用二次函數(shù)的性質，即可得到m-n的最大值.【詳解】解：∵點P（m，n）在以y軸為對稱軸的二次函數(shù)y=x2+ax+4的圖象上，∴n=m2+4，∴當m=時，m-n取得最大值，此時m?n=?故選：C.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質，求二次函數(shù)的最值問題，掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵.【變式7.3】（2022·浙江金華·九年級期末）已知二次函數(shù)y=?x??2（h為常數(shù)當2≤x≤5時，函數(shù)y的最大值為?1，則h的值為()【答案】【答案】D【分析】解答時，分h＞5和h＜2兩種情形計算.【詳解】當h＞5時，∵二次函數(shù)y=?x??2（h為常數(shù)當2≤x≤5時，函數(shù)y的最大值為?1，解得h=6或h=4(舍去)；∵二次函數(shù)∵二次函數(shù)y=?x??2（h為常數(shù)當2≤x≤5時，函數(shù)y的最大值為?1，解得h=1或h=3(舍去)；故選D.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的最值和增減性，熟練掌握二次函數(shù)的增減性，并正確確定取何值時，函數(shù)有最值是解題的關鍵.【變式7.4】（豐臺區(qū)一模）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax.（1）二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=;（2）當0≤x≤3時，y的最大值與最小值的差為4，求該二次函數(shù)的表達式；（3）若a＜0，對于二次函數(shù)圖象上的兩點P（x1，y1Q（x2，y2當t≤x1≤t+1，x2≥3時，均滿足y1≥y2，請結合函數(shù)圖象，直接寫出t的取值范圍.【分析】（1）由對稱軸是直線可求解；（2）分a＞0或a＜0兩種情況討論，求出y的最大值和最小值，即可求解；（3）利用函數(shù)圖象的性質可求解.【解析】（1）由題意可得：對稱軸是直線故答案為：1；（2）當a＞0時，∵對稱軸為x＝1，當x＝1時，y有最小值為﹣a，當x＝3時，y有最大值為3a，）＝∴二次函數(shù)的表達式為：y＝x2﹣2x；當a＜0時，同理可得y有最大值為﹣a；y有最小值為3a，∴a=﹣1，∴二次函數(shù)的表達式為：y=﹣x2+2x；綜上所述，二次函數(shù)的表達式為y＝x2﹣2x或y=﹣x2+2x；（3）∵a＜0，對稱軸為x＝1，∴x≤1時，y隨x的增大而增大，x＞1時，y隨x的增大而減小，x=﹣1和x＝3時的函數(shù)值相等，∵t≤x1≤t+1，x2≥3時，均滿足y1≥y2，【考點8】二次函數(shù)與方程、不等式之間的關系【例8】（蘄春縣期中）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）的對稱軸為x=﹣1，與x軸的一個交點為（2，0若關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）有整數(shù)根，則p的值有3個.【分析】根據(jù)題意可知一元二次方程的根應為整數(shù)ax2+bx+c＝p（p＞0通過拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）的對稱軸為x=﹣1，與x軸的一個交點為（2，0可以畫出大致圖象判斷出直線y＝p（0＜p≤﹣9a觀察圖象當0＜y≤﹣9a時，拋物線始終與x軸相交于(﹣4，0）于（2，0故自變量x的取值范圍為﹣4＜x＜2．所以x可以取得整數(shù)﹣321，0，1，共5個．由于x=﹣3與x＝1，x=﹣2與x＝0關于對稱軸直線x=﹣1對稱，所以于x=﹣3與x＝1對應一條平行于x軸的直線，x=﹣2與x＝1對應一條平行于x軸的直線，x=﹣1時對應一條平行于x軸且過拋物線頂點的直線，從而確定y＝p時，p的值應有3個.【解析】∵拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）的對稱軸為x=﹣1=?1，解得b＝2a.又∵拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）與x軸的一個交點為（2，0）.把（2，0）代入y＝ax2+bx+c得，0＝4a+4a+c解得，c=﹣8a.∴y＝ax2+2ax﹣8a（a＜0）對稱軸h=﹣1，最大值=?9a如圖所示，令ax2+2ax﹣8a＝0解得x=﹣4或x＝2∴當a＜0時，拋物線始終與x軸交于(﹣4，0）與（2，0）∴ax2+bx+c＝p即常函數(shù)直線y＝p，由p＞0∴0＜y≤﹣9a由圖象得當0＜y≤﹣9a時4＜x＜2，其中x為整數(shù)時，x=﹣321，0，1∴一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）的整數(shù)解有5個.又∵x=﹣3與x＝1，x=﹣2與x＝0關于直線x=﹣1軸對稱當x=﹣1時，直線y＝p恰好過拋物線頂點.所以p值可以有3個.故答案為3.【變式8.1】（北侖區(qū)期中）如圖，拋物線y＝ax2+c與直線y＝mx+n交于A(﹣23B（3，q）兩點，則不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是.【分析】觀察兩函數(shù)圖象的上下位置關系，即可得出結論.【解析】∵拋物線y＝ax2+c與直線y＝mx+n交于A(﹣23B（3，q）兩點，觀察函數(shù)圖象可知：當x﹣2＜x＜3時，直線y＝mx+n在拋物線y＝ax2+c的上方，∴不等式ax2+c＜mx+n的解集為﹣2＜x＜3，即不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是﹣2＜x＜3.故答案為﹣2＜x＜3.【變式8.2】（東城區(qū)校級期中）如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分，有下列4個結論：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③關于x的方程ax2+bx+c＝0的兩個根是x1=﹣2，x2＝3；④關于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＞﹣2．其中正確的結論是.【分析】根據(jù)拋物線開口方向，對稱軸的位置以及與y軸的交點可對①減小判斷；利用拋物線與x軸的交點個數(shù)可對②進行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質可對③進行判斷；利用圖象則可對④進行判斷.【解析】∵拋物線開口向下，交y軸的正半軸，∴b=﹣a＞0，∴abc＜0，所以①錯誤；∵拋物線與x軸有2個交點，∴△=b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以②正確；∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(﹣2，0而拋物線的對稱軸為直線∴點(﹣2，0）關于直線的對稱點（3，0）在拋物線上，∴關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩根是x1=﹣2，x2＝3，所以③正確.由圖象可知當﹣2＜x＜3時，y＞0，∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣2＜x＜3，所以④錯誤；故答案為②③.【變式8.3】（2022·浙江·九年級專題練習）二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結論不A．a(chǎn)bc＜0B．a(chǎn)＋b＞m（am＋bm≠1）C．4a﹣2b＋c＜0D．3a＋c＝1【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的開口方向、對稱軸、與y軸的交點坐標判斷出a、b、c的符號，進而可得A正確；根據(jù)x＝m（m≠1）時，y＝am2+bm+c，x＝1時，y有最大值為a+b+c，可得B正確；根據(jù)當x=﹣2時，y＜0，可得C正確；根據(jù)x＝3時，y＜0，結合b=﹣2a，可求出3a+c＜0，可得D錯誤.【詳解】解：∵拋物線開口向下，∵拋物線對稱軸為直線x=﹣b＝1，2a∴b=﹣2a＞0，∵拋物線與y軸交點在x軸上方，∴abc＜0，故A正確；當x＝m（m≠1）時，y＝am2+bm+c，當x＝1時，y有最大值為a+b+c，∴am2+bm+c＜a+b+c，∴∴am2+bm＜a+b，∴a+b＞m（am+bm≠1故B正確；由圖象知，當x=﹣2時，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，故C正確；由圖象知，拋物線與x軸的交點橫坐標大于﹣1小于0，對稱軸為x＝1，∴拋物線與x軸另一交點的橫坐標大于2小于3，∴9a+3b+c＜0，∵b=﹣2a，故選：D.【考點9】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式【例9】（海淀區(qū)校級模擬）已知拋物線y＝ax2+2ax+3a2﹣4.（1）該拋物線的對稱軸為；（2）若該拋物線的頂點在x軸上，求拋物線的解析式；（3）設點M（m，y1N（2，y2）在該拋物線上，若y1＞y2，求m的取值范圍.【分析】（1）根據(jù)題意可得拋物線的對稱軸；（2）拋物線的頂點在x軸上，可得頂點坐標為(﹣1，0進而可得a的值；（3）根據(jù)點N（2，y2）關于直線x=﹣1的對稱點為N′(﹣4，y2進而可得m的取值范圍.【解析】（1）∵拋物線y＝ax2+2ax+3a2﹣4.∴對稱軸為直線x=﹣1，故答案為：直線x=﹣1；（2）∵拋物線的頂點在x軸上，解得a=﹣1或a=∴拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣2x﹣1或y=x2+x+；（3）∵對稱軸為直線x=﹣1，∴點N（2，y2）關于直線x=﹣1的對稱點為N′(﹣4，y2①當a＞0時，若y1＞y2，則m<﹣4或m＞2；②當a＜0時，若y1＞y2，則﹣4＜m＜2.【變式9.1】（海珠區(qū)校級期中）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A(﹣1，0B（3，0﹣3）三點，直線l是拋物線的對稱軸.（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使得△ACM的周長最短？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由.【分析】（1）把A(﹣1，0B（3，0C（03）代入y＝ax2+bx+c可求出a、b、c的值，即可確定二次函數(shù)關系式；（2）由對稱可知，直線BC與直線x＝1的交點就是要求的點M，求出直線BC的關系式即可.【解析】（1）把A(﹣1，0B（3，0C（03）代入y＝ax2+bx+c得，∴拋物線的關系式為yx2﹣2x﹣3；（2）拋物線y＝x2﹣2x﹣3的對稱軸為∵點M在對稱軸x＝1上，且△ACM的周長最短，∴MC+MA最小，∵點A、點B關于直線x＝1對稱，∴連接BC交直線x＝1于點M，此時MC+MA最小，設直BC的關系式為y＝kx+b，∴解得，∴直線BC的關系式為y＝x﹣3，當x＝1時，y＝1﹣3=﹣2，∴點M（12∴在拋物線的對稱軸上存在一點M，使得△ACM的周長最短，此時M（12）.【變式9.2】（紅谷灘新區(qū)校級期中）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與y軸交于點C（0，4與x軸交于點A和點B，其中點A的坐標為(﹣2，0拋物線的對稱軸是直線x＝1.（1）求拋物線的解析式.（2）若點F是直線BC上方的拋物線上的一個動點，是否存在點F使四邊形ABFC的面積為15，若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由.【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2）連接BF、CF、OF，作FG⊥x軸于點G，設點F的坐標為分別表示出S△OBF、S△OCF、S△AOC，根據(jù)題意列式計算即可.解得，則拋物線的解析式為：y=?x2+x+4；（2）連接BF、CF、OF，作FG⊥x軸于點G，設點F的坐標為（t，?t2+t+4∵S四邊形ABFC＝S△AOC+S△OBF+S△OCF=﹣t2+2t+8，由題意得t2+2t+8＝15，∴存在點F使四邊形ABFC的面積為15，此時，點F的坐標為（1或（3.【變式9.3】（2022·浙江麗水·一模）如圖，拋物線y=ax2+bx+3與x軸相交于點A(1,0),B(3,0)，與y軸相交于點C.(1)求拋物線的解析式.(2)點M(x1,y1,Nx2,y2)是拋物線上不同的兩點.①若y1=y2，求x1,x2之間的數(shù)量關系.②若x1+x2=2(x1?x2)，求y1?y2的最小值.【答案】【答案】(1)y=x2?4x+3(2)①x1+x2=4；②最小值為?2【分析】（1）將A，B兩點代入解析式解得即可2）①若y1=y2，則y1?y2=0，化簡即可得到x1,x2的關系；②y1?y2代入化簡成頂點式即可得到最小值.(1)拋物線y=ax2+bx+3與x軸相交于點A(1,0),B(3,0)解得解得(2)①點Mx1,y1,Nx2,y2是拋物線上不同的兩點.∴y1=x?4x1+3,y2=x?4x2+3若y1=y2，則y1?y2=0.y1?y2=x?4x1+3?x?4x2+3=x1?x2x1+x2?4=0∵x1≠x2∴x1+x2=4；②y1?y2=x12?x22?4x1?x2=x1+x2x1?x2?4x1?x2=2x1?x22?4x1?x2=2x1?x22?2x1?x2當x1?x2=1時，y1?y2的最小值為-2.【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合，考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質和最值問題，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關鍵.【考點10】二次函數(shù)性質的推理計算問題【例10】（永定區(qū)期中）已知拋物線y＝x2﹣2x﹣m2+1，直線y＝x﹣2與x軸交于點M，與y軸交于點N.（1）求證：拋物線與x軸必有公共點；（2）若拋物線與x軸交于A、B兩點，且拋物線的頂點C落在此直線上，求△ABC的面積；（3）若線段MN與拋物線有且只有一個公共點，求m的取值范圍.【分析】（1）△=(﹣2）2﹣4(﹣m2+14m2≥0，即可求解；（2）由△ABC的面積=×AB?|yC|即可求解；（3）將直線MN與拋物線聯(lián)立得到x2﹣3x﹣m2+3＝0，通過設y′＝x2﹣3x﹣m2+3，利用二次函數(shù)y′和x軸的交點情況，分類求解即可.）＝故拋物線與x軸必有公共點；（2）對于y＝x2﹣2x﹣m2+1①,令y＝x2﹣2x﹣m2+1＝0，解得x＝1+m或1﹣m，則拋物線的對稱性為x＝1，當x＝1時，y＝x2﹣2x﹣m2+1=﹣m2，即點C（1m2將點C的坐標代入y＝x﹣2得m2＝1﹣2，解得m=±1，則點C（11則△ABC的面積×AB?|yC|=×2×1＝1；（3）對于y＝x﹣2，令y＝x﹣2＝0，解得x＝2，令x＝0，則y=﹣2，∴N（0，2M（2，0而線段MN為y＝x﹣2②（0≤x≤2聯(lián)立①②得：x2﹣3x﹣m2+3＝0，令y′＝x2﹣3x﹣m2+3，若拋物線y＝x2﹣2x﹣m2+1與線段MN只有1個公共點，即函數(shù)y在0≤x≤2范圍內(nèi)只有一個交點，當與線段相切時，(﹣2）2﹣4×(﹣m2+1）＝0，解得：：﹣【變式10.1】（平和縣期中）已知拋物線y＝x2﹣mx+n經(jīng)過點A（3，0）.（1）當m+n=﹣1時，求該拋物線的解析式和頂點坐標；（2）當B點坐標為（03）時，若拋物線y＝x2﹣mx+n圖象的頂點在直線AB上，求m、n的值；（3）①設m=﹣2，當0≤x≤3時，求拋物線y＝x2﹣mx+n的最小值；②若當0≤x≤3時，二次函數(shù)y＝x2﹣mx+n的最小值為﹣4，求m、n的值.【分析】（1）將點A（3，0）代入解析式，得9﹣3m+n＝0，與m+n＝1組成方程組，解方程組求得m、（2）先表示出二次函數(shù)y＝x2﹣mx+n圖象的頂點，利用直線AB列出式，再與點A在二次函數(shù)上得到的式組成方程組求得m，n的值，（3）①易求拋物線解析式為y＝x2+2x﹣15．根據(jù)拋物線的對稱性和增減性來求二次函數(shù)y＝x2﹣mx+n的最小值；②本題要分