【專題02一元一次不等式（組）】-2024年新八年級數學暑假提升講義復習資料（滬科版）

專題02一元一次不等式（組）知識點1：不等式的定義（1）不等式的概念：用“＞”或“＜”號表示大小關系的式子，叫做不等式，用“≠”號表示不等關系的式子也是不等式．（2）凡是用不等號連接的式子都叫做不等式．常用的不等號有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知數，也可不含未知數．知識點2：不等式的性質（1）不等式的基本性質①不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變，即：若a＞b，那么a±m(xù)＞b±m(xù)；②不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞；③不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變，即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜；（2）不等式的變形：①兩邊都加、減同一個數，具體體現(xiàn)為“移項”，此時不等號方向不變，但移項要變號；②兩邊都乘、除同一個數，要注意只有乘、除負數時，不等號方向才改變．【規(guī)律方法】1．應用不等式的性質應注意的問題：在不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數時，一定要改變不等號的方向；當不等式的兩邊要乘以（或除以）含有字母的數時，一定要對字母是否大于0進行分類討論．2．不等式的傳遞性：若a＞b，b＞c，則a＞c．知識點3：不等式的解集（1）不等式的解的定義：使不等式成立的未知數的值叫做不等式的解．（2）不等式的解集：能使不等式成立的未知數的取值范圍，叫做不等式的解的集合，簡稱解集．（3）解不等式的定義：求不等式的解集的過程叫做解不等式．（4）不等式的解和解集的區(qū)別和聯(lián)系不等式的解是一些具體的值，有無數個，用符號表示；不等式的解集是一個范圍，用不等號表示．不等式的每一個解都在它的解集的范圍內．知識點4：在數軸上表示不等式的解集用數軸表示不等式的解集時，要注意“兩定”：一是定界點，一般在數軸上只標出原點和界點即可．定邊界點時要注意，點是實心還是空心，若邊界點含于解集為實心點，不含于解集即為空心點；二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”．【規(guī)律方法】不等式解集的驗證方法某不等式求得的解集為x＞a，其驗證方法可以先將a代入原不等式，則兩邊相等，其次在x＞a的范圍內取一個數代入原不等式，則原不等式成立．知識點5：一元一次不等式的定義（1）一元一次不等式的定義：含有一個未知數，未知數的次數是1的不等式，叫做一元一次不等式．（2）概念解析一方面：它與一元一次方程相似，即都含一個未知數且未知項的次數都是一次，但也有不同，即它是用不等號連接，而一元一次方程是用等號連接．另一方面：它與不等式有區(qū)別，不等式中可含、可不含未知數，而一元一次不等式必含未知數．但兩者也有聯(lián)系，即一元一次不等是屬于不等式．知識點6：解一元一次不等式根據不等式的性質解一元一次不等式基本操作方法與解一元一次方程基本相同，都有如下步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤化系數為1．以上步驟中，只有①去分母和⑤化系數為1可能用到性質3，即可能變不等號方向，其他都不會改變不等號方向．注意：符號“≥”和“≤”分別比“＞”和“＜”各多了一層相等的含義，它們是不等號與等號合寫形式．知識點7：一元一次不等式的整數解解決此類問題的關鍵在于正確解得不等式的解集，然后再根據題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據得到的條件進而求得不等式的整數解．可以借助數軸進行數形結合，得到需要的值，進而非常容易的解決問題．題型歸納【題型1不等式的定義】滿分技法判斷一個式子是否為不等式的關鍵是看連接的符號，若連接的符號不是不等號，則式子一定不是不等式.1．（2023春?埇橋區(qū)期中）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，你認為其中是不等式的有A．2個 B．3個 C．4個 D．5個2．（2023春?埇橋區(qū)校級期中）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有A．2個 B．3個 C．4個 D．5個3．（2023春?亳州期末）八年級（1）班生物興趣小組在恒溫箱中培養(yǎng)甲，乙兩種菌種，甲種菌種生長的溫度在之間，乙種菌種的生長溫度在之間，那么恒溫箱的溫度應該設定在范圍A． B． C． D．4．（2023春?廬陽區(qū)校級期中）老師和同學們玩猜數游戲．老師在心里想一個100以內的數字，同學們可以提問，老師只能點頭或者搖頭回應對錯．甲問：“小于50嗎？”老師搖頭．乙問：“不大于75嗎？”老師點頭．丙問：“不小于60嗎？”老師點頭．老師心里想的數字所在的范圍為A． B． C． D．5．（2023春?宣城期中）據氣象臺預報，2021年6月某日我區(qū)最高氣溫，最低氣溫，則當天氣溫的變化范圍是A． B． C． D．【題型2不等式的性質】滿分技法運用不等式的性質3對不等式進行變形時，一定要注意不等號方向要改變.6．（2023春?泗縣期末）如果，那么下列各式中一定正確的是A． B． C． D．7．（2023春?碭山縣校級期中）下列不等式一定成立的是A． B． C． D．8．（2023春?花山區(qū)校級期中）若，則下列式子中正確的是A． B． C． D．9．（2024春?廬陽區(qū)校級期中）若，則下列不等式一定成立的是A． B． C． D．10．（2024春?廬江縣校級期中）已知實數，滿足，，則下列結論不正確的是A． B． C． D．11．（2024春?瑤海區(qū)校級期中）若，則下列不等式正確的是A． B． C． D．【題型3不等式的解集】滿分技法1.不等式解集的兩個特征(1)解集中每一個數值都能使不等式成立;(2)使不等式成立的每一個數值都在不等式的解集中.2.不等式的解集一般是一個范圍，如果這個范圍不包括所有使不等式成立的未知數的值，或者這個范圍內存在使不等式不成立的值，那么它就不是不等式的解集.12．（2023春?桐城市期末）若不等式的解集為，則不等式的解集為A． B． C． D．13．（2023春?界首市期末）下列各數，是不等式的解的是A． B． C．1 D．314．（2023春?廬江縣期末）若不等式組無解，則的取值范圍是A． B． C． D．15．（2023春?金安區(qū)校級期中）若不等式組的解集為，則的取值范圍是A． B． C． D．16．（2023春?蕭縣期中）一元一次不等式組的解集是，則的取值范圍是．17．（2023春?埇橋區(qū)校級期中）若不等式的解集是，則的取值范圍是．18．（2023春?碭山縣校級期中）若三個代數式滿足：只要其中有兩個代數式之和大于另外一個代數式的解集為大于2的實數，則稱這三個代數式構成“禮讓不等式”．例如：三個代數式，，有：當時的解集為，則稱，，，構成“禮讓不等式”．（1），1，可以構成“禮讓不等式”嗎？請說明理由；（2）若，，構成“禮讓不等式”，求的值．【題型4在數軸上表示不等式的解集】滿分技法1.在數軸上，右邊的點表示的數總比左邊的點表示的數大，因此，在數軸上表示不等式時，要牢記:①大于向右畫，小于向左畫;②有等號的端點畫實心圓點，無等號的端點畫空心圓圈.2.在數軸上表示不等式的解集或根據不等式的解集在數軸上的表示來寫不等式時，要特別注意兩點:(1)準確確定方向和邊界點;(2)準確使用不等號.19．（2023春?蕪湖期末）如圖，在數軸上表示的的取值范圍是A． B． C． D．20．（2023春?淮南期末）不等式的解在數軸上如圖所示，則這個不等式的解是A． B． C． D．21．（2024春?太湖縣期中）不等式組的解集在數軸上表示為A． B． C． D．22．（2024春?蜀山區(qū)期中）如圖所示，在數軸上表示為，它的解集是A． B． C． D．23．（2023春?天長市校級期中）定義運算：，例如：，若不等式的解集在數軸上如圖所示，則的值是．24．（2023春?阜南縣校級期末）如圖，該數軸表示的不等式的解集為．【題型5一元一次不等式的定義】滿分技法判斷一個式子是否為一元一次不等式，要做到兩點:(1)式子需要化簡的,先進行化簡;(2)判斷是否具備一元一次不等式的三個條件.只有同時滿足上面要求的，才是一元一次不等式.25．（2024春?埇橋區(qū)期中）下列各式中，是一元一次不等式的是A． B． C． D．【題型6解一元一次不等式】滿分技法解不等式時的注意事項：(1)去分母時,每一項都要乘以各分母的最小公倍數，尤其不要漏乘常數項.(2)去括號時，若括號前面有負號,則括號里的每一項都要變號.(3)移項時,不要忘記變號.(4)不等式兩邊都乘以(或除以)同一個負數時,不等號的方向改變.26．（2024春?埇橋區(qū)期中）關于的方程的解是正數，那么的取值范圍是A． B． C． D．27．（2024春?蜀山區(qū)校級期中）不等式的解集是A． B． C． D．28．（2024春?金安區(qū)校級期中）解不等式：．29．（2024春?廬陽區(qū)校級期中）解不等式：．30．（2024春?蜀山區(qū)校級期中）定義一種新運算“※”：當時，※；當時，※．例如：3※，※．（1）填空：2※；（2）若是一個負數，且滿足※，求的取值范圍．31．（2024春?埇橋區(qū)校級期中）解不等式，并把它的解集表示在數軸上．【題型7一元一次不等式的特殊解】滿分技法求不等式的特殊解的兩種方法方法：方法1:先求出不等式的解集,再在解集中確定符合要求的特殊解.方法2:運用數形結合思想，把不等式的解集在數軸上表示出來,這樣更易于確定不等式的特殊解.32．（2023春?廬陽區(qū)校級期末）不等式的非負整數解有個．33．（2023春?蜀山區(qū)校級期中）不等式的正整數解有個．34．（2023春?瑤海區(qū)期末）若關于的不等式恰有3個正整數解，則的取值范圍是．35．（2024春?長豐縣期中）已知關于的方程的解是不等式的最小整數解，求的算術平方根．36．（2023春?潛山市期中）若不等式的最小整數解是關于的方程的解，求式子的值．37．（2024春?太湖縣期中）計算：（1）已知關于，的二元一次方程組的解滿足，求的取值范圍；（2）若關于的不等式的最小整數解為2，求的取值范圍．【題型8由實際問題抽象出一元一次不等式】滿分技法解決此類題的關鍵是從實際問題中獲取有用的信息，找出相等和不等關系，把實際問題轉化為數學問題.38．（2024春?太湖縣期中）一件商品的成本價是50元，如果按原價的八五折銷售，至少可獲得的利潤，若設該商品的原價是元，則列式正確的是A． B． C． D．39．（2023春?宣州區(qū)校級期中）某種商品的進價為80元，出售時標價為120元，后來由于該商品積壓，商店準備打折出售，但要保證利潤率不低于，則至多可打幾折？如果將該商品打折銷售，則下列不等式中能正確表示該商店的促銷方式的是A． B． C． D．40．（2024春?長豐縣期中）燃放某種禮花彈時，為了確保安全，人在點燃導火線后要在禮花彈燃放前轉移到以外的安全區(qū)域．已知導火線的燃燒速度為，人離開的速度為，則導火線的長（單位：應滿足的不等式為A． B． C． D．41．（2023春?霍邱縣期中）語句“的與的差不超過3”可以表示為A． B． C． D．42．（2023春?宣城期中）北京2022冬奧會吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜愛，某網店出售這兩種吉祥物禮品，售價如圖所示．小明媽媽一共買10件禮品，總共花費不超過900元，如果設購買冰墩墩禮品件，則能夠得到的不等式是A． B． C． D．43．（2024春?安慶期中）“的3倍與2的差不小于9”列出的不等式是．44．（2023春?安慶期末）“與2的差大于”用不等式表示為．【題型9一元一次不等式的應用】滿分技法利用不等式解決實際問題的一般步驟：審、設、列、解、驗、答.45．（2024春?大觀區(qū)校級期中）某商品進價4元，標價5元出售，商家準備打折銷售，但其利潤率不能少于，則最多可打折．46．（2023春?埇橋區(qū)校級期中）某環(huán)保知識競賽一共有20道題，規(guī)定：答對一道題得5分，答錯或不答一道題扣1分，在這次競賽中，小明被評為優(yōu)秀分或85分以上），則小明至少答對了道題．47．（2023春?蜀山區(qū)校級期中）小明打算周末與同學一起徒步大蜀山，計劃上午8點出發(fā)，到最遠處后休息，下午5點以前必須回到出發(fā)點．如果他們去時的平均速度是，回來時的平均速度是，他們最遠能到的距離為（表示出發(fā)點到山頂的路程）．48．（2024春?太湖縣期中）科幻電影《流浪地球》的成功標志著中國電影工業(yè)化邁向了新的臺階．某企業(yè)眼光獨到，準備生產一批樂高模型投放市場，計劃生產“笨笨”、“”兩種產品共100件，需購買價格為30元千克的種材料和價格為20元千克的種材料．通過調研，獲得以下信息：信息1：生產一件“笨笨”需種材料4千克，種材料1千克；信息2：生產一件“”需種材料3千克，種材料4千克．根據以上信息，解決下列問題：（1）現(xiàn)工廠用于購買、兩種材料的資金不能超過15000元，且生產“”不少于30件，請問有哪幾種符合條件的生產方案？（2）在（1）的條件下，若生產一件“笨笨”需加工費60元，生產一件“”需加工費80元，應選擇哪種生產方案，才能使生產這批產品的成本最低？49．（2024春?埇橋區(qū)期中）哈美佳外校為迎接“2023年元旦雪地足球賽”，計劃購買品牌、品牌兩種品牌號的足球．已知品牌足球比品牌足球單價多10元，若購買20個品牌足球和15個品牌足球需用3350元．（1）求每個品牌足球和每個品牌足球各多少元；（2）哈美佳外校決定購買品牌足球和品牌足球共50個，總費用不超過4650元，那么最多可以購買多少個品牌足球？50．（2024春?廬陽區(qū)校級期中）在七年級進行的“知識問答”競賽預賽中共有20道題．規(guī)定每答對一道題得10分，答錯或者不答倒扣5分，總得分不少于85分者通過預賽．小李同學通過了預賽，問他至少答對了幾道題？51．（2024春?蜀山區(qū)校級期中）為了進一步落實“雙減”政策，增加學生室外活動時間，我校計劃從商場一次性購買一批足球和籃球用于開展課后服務訓練，經多方調研，現(xiàn)決定購買品牌籃球和品牌足球共50個，要求采購總費用不超過1.21萬元．若甲、乙兩商店銷售這兩種商品的零售價相同，其中籃球每個零售價300元，足球每個零售價200元．（1）若按照商場零售價直接購買，至多可以買籃球多少個？（2）為促進消費，盤活庫存，甲、乙兩商店均開展“大訂單超值購”活動，推出不同的優(yōu)惠方案：甲店籃球按零售價格打8折銷售，足球按照零售價格原價銷售；乙店按照購買籃球和足球的零售總價格打9折銷售；若學校至少采購籃球18個，請你運用所學知識，幫采購人員算一算：我校從哪家商店購買籃球和足球更合算？說說你的理由（按照采購規(guī)定，籃球和足球只能從同一家商店購買）．【題型10解一元一次不等式組】滿分技法抓住三個關鍵點,正確解一元一次不等式組：(1)準確地解出各一元一次不等式;(2)準確地把各不等式的解集表示在數軸上;(3)準確地找出各不等式解集在數軸上的公共部分.52．（2024春?廬陽區(qū)校級期中）解不等式組．53．（2024春?瑤海區(qū)校級期中）解不等式組，并將解集在數軸上表示出來．54．（2024春?安慶期中）解不等式組：，并把解集在數軸上表示出來．55．（2024春?蜀山區(qū)校級期中）解不等式組，并把解集在數軸上標出來．（2024春?蜀山區(qū)校級期中）解不等式組：，并在數軸上表示其解集．【題型11一元一次不等式組的特殊解】滿分技法求不等式組的特殊解的方法：求不等式組的特殊解時，先求不等式組中各不等式的解集，再求出不等式組的解集,然后在不等式組的解集中找出符合條件的特殊解(如正整數解、最小整數解等).為了直觀明了，可以借助數軸來找特殊解.57．（2021春?馬鞍山期末）解不等式組，并寫出它的正整數解．58．（2024春?瑤海區(qū)期中）解不等式組：，并寫出它的所有非負整數解．59．（2023春?懷寧縣期中）解不等式組：，并寫出此不等式組的整數解．60．（2023春?廬陽區(qū)校級期中）新定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式組解集范圍內，則稱該一元一次方程為該不等式組的“關聯(lián)方程”，例如：方程的解為，而不等式組的解集為，不難發(fā)現(xiàn)在的范圍內，所以方程是不等式組的“關聯(lián)方程”．（1）在方程①；②；③中，不等式組的“關聯(lián)方程”是；（填序號）（2）若關于的方程是不等式組的“關聯(lián)方程”，求的取值范圍；若關于的方程是關于的不等式組的“關聯(lián)方程”，且此時不等式組有4個整數解，試求的取值范圍．過關檢測1．（2024春?蜀山區(qū)校級期中）已知，根據不等式的性質，下列式子不成立的是A． B． C． D．2．（2024春?瑤海區(qū)校級期中）已知三個實數，，滿足，，則A．， B．， C．， D．，3．（2024春?蜀山區(qū)校級期中）如圖表示的是關于的不等式的解集，則的值是A．0 B． C． D．34．（2024春?蜀山區(qū)校級期中）某超市每千克4元的價格購進一批蔬菜，銷售過程中有的蔬菜正常損耗，則超市售價定為不低于元才能避免虧本．A．4.5 B．4.8 C．5 D．65．（2024春?大觀區(qū)校級期中）已知不等式組的解集為，則的值為6．（2023春?大觀區(qū)校級期末）若關于的一元一次不等式組恰有3個整數解，則實數的取值范圍是．7．（2023春?蕪湖期末）將若干只雞放入若干個籠內，若每個籠里放4只，則有1只雞無籠可放；若每個籠里放5只，則有1籠無雞可放，另有1籠沒有放滿，那么最多有只雞．8．（2023春?鳳臺縣期末）如圖，某同學設計了一種計算流程圖，據圖完成下列問題：（1）任意寫出一個實數，使得該值經過一次運行就能輸出結果，則該數為；（2）如果要使開始輸入的的值經過兩次運行才能輸出結果，那么的整數值為．9．（2022春?田家庵區(qū)期末）肺炎疫情期間，口罩成了家家戶戶必備的防疫物品．在某超市購買2只普通醫(yī)用口罩和3只口罩的費用是22元；購買5只普通醫(yī)用口罩和2只口罩的費用也是22元．（1）求該超市普通醫(yī)用口罩和口罩的單價；（2）若準備在該超市購買兩種口罩共50只，且口罩不少于總數的，試通過計算說明，在預算不超過190元的情況下有哪些購買方案．10．（2023春?譙城區(qū)校級期末）2020年4月，隨著蔚來中國總部落戶合肥，全國新能源汽車之都已成為合肥新的代名詞．某汽車經銷商銷售，兩種型號的新能源汽車，已知購進3臺型新能源汽車和2臺型新能源汽車需要85萬元，購進2臺型新能源汽車和1臺型新能源汽車需要50萬元．（1）問型，型新能源汽車的單價分別是多少萬元？（2）若該經銷商計劃購進型和型兩種新能源汽車共20輛，費用不超過365萬元，且型新能源汽車的數量少于型新能源汽車的數量，請你給出費用最省的方案，并求出該方案所需費用．11．（2023春?定遠縣期中）為了提高同學們互助學習的能力，數學老師準備把班里的同學分成幾個學習小組．已知班級學生數為奇數，如果每個小組分5人，那么余4人；如果每個小組分6人，那么最后一個小組有人但分到的人數不足3人，求班里共有多少名學生．

專題02一元一次不等式（組）知識點1：不等式的定義（1）不等式的概念：用“＞”或“＜”號表示大小關系的式子，叫做不等式，用“≠”號表示不等關系的式子也是不等式．（2）凡是用不等號連接的式子都叫做不等式．常用的不等號有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知數，也可不含未知數．知識點2：不等式的性質（1）不等式的基本性質①不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變，即：若a＞b，那么a±m(xù)＞b±m(xù)；②不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞；③不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變，即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜；（2）不等式的變形：①兩邊都加、減同一個數，具體體現(xiàn)為“移項”，此時不等號方向不變，但移項要變號；②兩邊都乘、除同一個數，要注意只有乘、除負數時，不等號方向才改變．【規(guī)律方法】1．應用不等式的性質應注意的問題：在不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數時，一定要改變不等號的方向；當不等式的兩邊要乘以（或除以）含有字母的數時，一定要對字母是否大于0進行分類討論．2．不等式的傳遞性：若a＞b，b＞c，則a＞c．知識點3：不等式的解集（1）不等式的解的定義：使不等式成立的未知數的值叫做不等式的解．（2）不等式的解集：能使不等式成立的未知數的取值范圍，叫做不等式的解的集合，簡稱解集．（3）解不等式的定義：求不等式的解集的過程叫做解不等式．（4）不等式的解和解集的區(qū)別和聯(lián)系不等式的解是一些具體的值，有無數個，用符號表示；不等式的解集是一個范圍，用不等號表示．不等式的每一個解都在它的解集的范圍內．知識點4：在數軸上表示不等式的解集用數軸表示不等式的解集時，要注意“兩定”：一是定界點，一般在數軸上只標出原點和界點即可．定邊界點時要注意，點是實心還是空心，若邊界點含于解集為實心點，不含于解集即為空心點；二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”．【規(guī)律方法】不等式解集的驗證方法某不等式求得的解集為x＞a，其驗證方法可以先將a代入原不等式，則兩邊相等，其次在x＞a的范圍內取一個數代入原不等式，則原不等式成立．知識點5：一元一次不等式的定義（1）一元一次不等式的定義：含有一個未知數，未知數的次數是1的不等式，叫做一元一次不等式．（2）概念解析一方面：它與一元一次方程相似，即都含一個未知數且未知項的次數都是一次，但也有不同，即它是用不等號連接，而一元一次方程是用等號連接．另一方面：它與不等式有區(qū)別，不等式中可含、可不含未知數，而一元一次不等式必含未知數．但兩者也有聯(lián)系，即一元一次不等是屬于不等式．知識點6：解一元一次不等式根據不等式的性質解一元一次不等式基本操作方法與解一元一次方程基本相同，都有如下步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤化系數為1．以上步驟中，只有①去分母和⑤化系數為1可能用到性質3，即可能變不等號方向，其他都不會改變不等號方向．注意：符號“≥”和“≤”分別比“＞”和“＜”各多了一層相等的含義，它們是不等號與等號合寫形式．知識點7：一元一次不等式的整數解解決此類問題的關鍵在于正確解得不等式的解集，然后再根據題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據得到的條件進而求得不等式的整數解．可以借助數軸進行數形結合，得到需要的值，進而非常容易的解決問題．題型歸納【題型1不等式的定義】滿分技法判斷一個式子是否為不等式的關鍵是看連接的符號，若連接的符號不是不等號，則式子一定不是不等式.1．（2023春?埇橋區(qū)期中）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，你認為其中是不等式的有A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】【分析】根據不等式的定義逐個判斷即可得到答案．【解答】解：①是不等式；②是不等式；③是不等式；④是整式；⑤是方程；⑥是不等式；題中共有4個不等式，故選：．【點評】本題考查不等式定義，熟記由不等號表示大小關系的式子叫不等式是解決問題的關鍵．2．（2023春?埇橋區(qū)校級期中）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】【分析】根據不等式的定義進行判斷即可．【解答】解：①③⑤是不等式，②④不是不等式，則不等式有3個，故選：．【點評】本題考查不等式的識別，熟練掌握其定義是解題的關鍵．3．（2023春?亳州期末）八年級（1）班生物興趣小組在恒溫箱中培養(yǎng)甲，乙兩種菌種，甲種菌種生長的溫度在之間，乙種菌種的生長溫度在之間，那么恒溫箱的溫度應該設定在范圍A． B． C． D．【答案】【分析】由題意得出的取值范圍即可．【解答】解：甲種菌種生長的溫度在之間，乙種菌種的生長溫度在之間，，即恒溫箱的溫度應該設定在范圍之內，故選：．【點評】本題考查不等式的定義，理解題意后求得的范圍是解題的關鍵．4．（2023春?廬陽區(qū)校級期中）老師和同學們玩猜數游戲．老師在心里想一個100以內的數字，同學們可以提問，老師只能點頭或者搖頭回應對錯．甲問：“小于50嗎？”老師搖頭．乙問：“不大于75嗎？”老師點頭．丙問：“不小于60嗎？”老師點頭．老師心里想的數字所在的范圍為A． B． C． D．【答案】【分析】根據題意得出關于的不等式，求出的取值范圍即可．【解答】解：甲問：“小于50嗎？”老師搖頭，①；乙問：“不大于75嗎？”老師點頭，②；丙問：“不小于60嗎？”老師點頭，③，①②③聯(lián)立可得，．故選：．【點評】本題考查的是不等式的定義，根據題意得出各不等式是解題的關鍵．5．（2023春?宣城期中）據氣象臺預報，2021年6月某日我區(qū)最高氣溫，最低氣溫，則當天氣溫的變化范圍是A． B． C． D．【答案】【分析】根據2021年6月某日我區(qū)最高氣溫和最低氣溫得出答案即可．【解答】解：年6月某日我區(qū)最高氣溫，最低氣溫，當天氣溫的變化范圍是，故選：．【點評】本題考查了不等式的定義，注意：的范圍包括和．【題型2不等式的性質】滿分技法運用不等式的性質3對不等式進行變形時，一定要注意不等號方向要改變.6．（2023春?泗縣期末）如果，那么下列各式中一定正確的是A． B． C． D．【答案】【分析】根據不等式的基本性質進行判斷即可得解．【解答】解：．不等式兩邊同時減5，不等號方向不變，即，故本選項錯誤；．不等式兩邊同時乘以，不等號方向不變，即，故本選項錯誤；．當，時，，，，故本選項錯誤；．不等式兩邊同時乘以，不等號方向改變，即，故本選項正確．故選：．【點評】本題考查了不等式的基本性質，屬基礎題，嚴格按照三條基本性質進行判斷即可得到正確答案．7．（2023春?碭山縣校級期中）下列不等式一定成立的是A． B． C． D．【答案】【分析】根據不等式的基本性質進行判斷即可．【解答】解：、當時，，故本選項不合題意；、因為不等式的兩邊同加（減同一個數（式子），不等號的方向不變，所以一定成立，故本選項符合題意；、當時，，故本選項不合題意；、當時，，故本選項不合題意；故選：．【點評】本題考查了不等式的性質，熟練掌握不等式的基本性質是解題的關鍵．8．（2023春?花山區(qū)校級期中）若，則下列式子中正確的是A． B． C． D．【答案】【分析】根據不等式的性質進行判斷．【解答】解：、不等式的兩邊同時除以2，不等式仍成立，即，故本選項不符合題意；、不等式的兩邊同時減去3，不等式仍成立，即，故本選項不符合題意；、不等式的兩邊同時乘，不等式仍成立，即，故本選項符合題意；、不等式的兩邊同時減去，不等式仍成立，即，故本選項不符合題意．故選：．【點評】本題主要考查了不等式的性質，運用不等式的性質應注意的問題：在不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數時，一定要改變不等號的方向；當不等式的兩邊要乘以（或除以）含有字母的數時，一定要對字母是否大于0進行分類討論．9．（2024春?廬陽區(qū)校級期中）若，則下列不等式一定成立的是A． B． C． D．【答案】【分析】根據不等式性質逐項判斷即可．【解答】解：，，故錯誤，不符合題意；當，時，滿足，但，故錯誤，不符合題意；，，，故正確，符合題意；當時，，故錯誤，不符合題意；故選：．【點評】本題考查不等式的性質，解題的關鍵是掌握在不等式兩邊同時乘除一個負數，不等號的方向改變．10．（2024春?廬江縣校級期中）已知實數，滿足，，則下列結論不正確的是A． B． C． D．【答案】【分析】根據不等式的性質進行計算和推理，即可求解．【解答】解：，，，，項正確，不符合題意；由，得，，項正確，不符合題意；由，得，代入，得，，，，，，項錯誤，符合題意；，，，，，，項正確，不符合題意；故選：．【點評】本題考查了不等式的性質，掌握不等式的性質是關鍵．11．（2024春?瑤海區(qū)校級期中）若，則下列不等式正確的是A． B． C． D．【答案】【分析】利用不等式的性質逐項判斷即可．【解答】解：若，兩邊同時加上2得，則不符合題意；若，兩邊同時乘以得，則不符合題意；若，則，則符合題意；若，兩邊同時乘以得，則不符合題意；故選：．【點評】本題考查不等式性質，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．【題型3不等式的解集】滿分技法不等式解集的兩個特征(1)解集中每一個數值都能使不等式成立;(2)使不等式成立的每一個數值都在不等式的解集中.不等式的解集一般是一個范圍，如果這個范圍不包括所有使不等式成立的未知數的值，或者這個范圍內存在使不等式不成立的值，那么它就不是不等式的解集.12．（2023春?桐城市期末）若不等式的解集為，則不等式的解集為A． B． C． D．【答案】【分析】根據不等式的解集為，判斷出，并求出的值，進而求出不等式的解集即可．【解答】解：，，不等式的解集為，，且，，且，，，，．故選：．【點評】此題主要考查了不等式的性質的應用，以及不等式的解集的求法，解答此題的關鍵是判斷出的正負，并求出的值．13．（2023春?界首市期末）下列各數，是不等式的解的是A． B． C．1 D．3【答案】【分析】應用不等式解的定義進行判定即可得出答案．【解答】解：根據題意可得，．即3是不等式的解．故選．【點評】本題主要考查了不等式的解，熟練掌握不等式的解的定義進行求解是解決本題的關鍵．14．（2023春?廬江縣期末）若不等式組無解，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】【分析】根據大大小小找不到易得．【解答】解：因為不等式組無解，所以．故選：．【點評】本題考查了解一元一次不等式組，解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數軸可以直觀地表示不等式組的解集．解集的規(guī)律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到．15．（2023春?金安區(qū)校級期中）若不等式組的解集為，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】【分析】利用同大取大得到的取值范圍．【解答】解：不等式組的解集為，．故選：．【點評】本題考查了不等式的解集：能使不等式成立的未知數的取值范圍，叫做不等式的解集．16．（2023春?蕭縣期中）一元一次不等式組的解集是，則的取值范圍是．【答案】．【分析】根據判斷不等式解集的口訣”同大取大“和不等式的解集判斷的取值范圍，列出關于的不等式，解不等式即可．【解答】解：一元一次不等式組的解集是，，，，故答案為：．【點評】本題主要考查了不等式的解集，解題關鍵是熟練掌握判斷不等式解集的口訣．17．（2023春?埇橋區(qū)校級期中）若不等式的解集是，則的取值范圍是．【分析】根據不等式基本性質3兩邊都除以，由解集可得，可得的范圍．【解答】解：不等式兩邊都除以，得其解集為，，解得：，故答案為：．【點評】本題主要考查不等式的基本性質3，不等式兩邊都乘以或除以同一個負數不等號方向要改變是關鍵．18．（2023春?碭山縣校級期中）若三個代數式滿足：只要其中有兩個代數式之和大于另外一個代數式的解集為大于2的實數，則稱這三個代數式構成“禮讓不等式”．例如：三個代數式，，有：當時的解集為，則稱，，，構成“禮讓不等式”．（1），1，可以構成“禮讓不等式”嗎？請說明理由；（2）若，，構成“禮讓不等式”，求的值．【答案】（1），1，可以構成“禮讓不等式”，理由見解析；（2）或．【分析】（1）根據新定義，解不等式，即可得出結論；（2）分類討論，分別解不等式，，，，根據解集大于2，求得的值，即可求解．【解答】解：（1），1，可以構成“禮讓不等式”．理由：，即的解集為，，1，可以構成“禮讓不等式”．（2）①若，．，，構成“禮讓不等式”，，解得．②若，即．，，構成“禮讓不等式”，，解得．③若，即，無法保證是大于2的實數（舍去）．綜上所述，或．【點評】本題考查了解一元一次不等式，理解新定義并列出不等式是解題的關鍵．【題型4在數軸上表示不等式的解集】滿分技法在數軸上，右邊的點表示的數總比左邊的點表示的數大，因此，在數軸上表示不等式時，要牢記:①大于向右畫，小于向左畫;②有等號的端點畫實心圓點，無等號的端點畫空心圓圈.在數軸上表示不等式的解集或根據不等式的解集在數軸上的表示來寫不等式時，要特別注意兩點:(1)準確確定方向和邊界點;(2)準確使用不等號.19．（2023春?蕪湖期末）如圖，在數軸上表示的的取值范圍是A． B． C． D．【答案】【分析】根據在數軸上表示的不等式的解集的方法得出答案即可．【解答】解：如圖，在數軸上表示的的取值范圍為，故選：．【點評】本題考查在數軸上表示不等式的解集，掌握不等式的解集在數軸上的表示方法是正確判斷的前提．20．（2023春?淮南期末）不等式的解在數軸上如圖所示，則這個不等式的解是A． B． C． D．【答案】【分析】根據不等式的解集在數軸上的表示方法即可得出結論．【解答】解：處是空心圓點，且折線向右，．故選：．【點評】本題考查的是在數軸上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此題的關鍵．21．（2024春?太湖縣期中）不等式組的解集在數軸上表示為A． B． C． D．【分析】直接把各不等式的解集在數軸上表示出來即可．【解答】解：不等式組的解集在數軸上表示為：．故選：．【點評】本題考查的是在數軸上表示不等式組的解集，熟知：“小于向左，大于向右”是解答此題的關鍵．22．（2024春?蜀山區(qū)期中）如圖所示，在數軸上表示為，它的解集是A． B． C． D．【答案】【分析】根據利用數軸表示不等式的解集的方法，向右表示大于，向左表示小于，有等號用實心圓點，沒有等號用空心圓圈表示，寫出不等式的解集即可．【解答】解：觀察圖形可知，它的解集是．故選：．【點評】本題考查了在數軸上表示不等式的解集，掌握在數軸上表示不等式的解集的方法是解題的關鍵．23．（2023春?天長市校級期中）定義運算：，例如：，若不等式的解集在數軸上如圖所示，則的值是0．【答案】0．【分析】由新定義的運算可得，進而求出關于的不等式的解集，結合不等式解集在數軸上的表示，得出，再求出即可．【解答】解：由新運算的定義可得，，所以，解得，由數軸上表示的解集可知，，解得．故答案為：0．【點評】本題考查在數軸上表示不等式的解集，理解新定義的運算是正確解答的前提．24．（2023春?阜南縣校級期末）如圖，該數軸表示的不等式的解集為．【答案】．【分析】根據不等式解集的特點，直接表示解集即可．【解答】解：根據數軸可知，不等式的解集為，故答案為：．【點評】本題考查在數軸上表示不等式的解集，熟練掌握數軸上點的特點，不等式解集的特點是解題的關鍵．【題型5一元一次不等式的定義】滿分技法判斷一個式子是否為一元一次不等式，要做到兩點:(1)式子需要化簡的,先進行化簡;(2)判斷是否具備一元一次不等式的三個條件.只有同時滿足上面要求的，才是一元一次不等式.25．（2024春?埇橋區(qū)期中）下列各式中，是一元一次不等式的是A． B． C． D．【分析】根據一元一次不等式的定義進行選擇即可．【解答】解：、不含有未知數，錯誤；、不是不等式，錯誤；、符合一元一次不等式的定義，正確；、分母含有未知數，是分式，錯誤．故選：．【點評】本題考查一元一次不等式的識別，注意理解一元一次不等式的三個特點：①不等式的兩邊都是整式；②只含1個未知數；③未知數的最高次數為1次．【題型6解一元一次不等式】滿分技法解不等式時的注意事項：(1)去分母時,每一項都要乘以各分母的最小公倍數，尤其不要漏乘常數項.(2)去括號時，若括號前面有負號,則括號里的每一項都要變號.(3)移項時,不要忘記變號.(4)不等式兩邊都乘以(或除以)同一個負數時,不等號的方向改變。26．（2024春?埇橋區(qū)期中）關于的方程的解是正數，那么的取值范圍是A． B． C． D．【分析】解方程得，由方程的解為正數得出關于的不等式，解之可得．【解答】解：解方程，得：，方程的解為正數，，解得，故選：．【點評】本題主要考查解一元一次不等式，解題的關鍵是掌握解一元一次不等式和一元一次方程的能力．27．（2024春?蜀山區(qū)校級期中）不等式的解集是A． B． C． D．【答案】【分析】根據解一元一次不等式基本步驟：移項、合并同類項、系數化為1可得．【解答】解：，，，則，故選：．【點評】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴格遵循解不等式的基本步驟是關鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個負數不等號方向要改變．28．（2024春?金安區(qū)校級期中）解不等式：．【答案】．【分析】根據解一元一次不等式的方法可以解答本題．【解答】解：，去分母，得：，移項及合并同類項，得：．【點評】本題考查解一元一次不等式，解答本題的關鍵是明確解一元一次不等式的方法．29．（2024春?廬陽區(qū)校級期中）解不等式：．【答案】．【分析】根據解一元一次不等式的方法求解即可．【解答】解：，去分母，得：，去括號，得：，移項及合并同類項，得：，系數化為1，得：．【點評】本題考查解一元一次不等式，解答本題的關鍵是明確解一元一次不等式的方法．30．（2024春?蜀山區(qū)校級期中）定義一種新運算“※”：當時，※；當時，※．例如：3※，※．（1）填空：2※1；（2）若是一個負數，且滿足※，求的取值范圍．【答案】（1）1；（2）．【分析】（1）根據時，※列式計算即可；（2）由判斷，由※得，解之即可得出答案．【解答】解：（1）2※；故答案為：1；（2），，，則，由※得，則，，，．．【點評】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴格遵循解不等式的基本步驟是關鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個負數不等號方向要改變．31．（2024春?埇橋區(qū)校級期中）解不等式，并把它的解集表示在數軸上．【答案】．【分析】首先去括號、移項合并同類項，最后把的系數化為1得到不等式的解集，然后利用數軸表示其解集．【解答】解：，則，，解得：．不等式組的解集如圖所示：【點評】本題考查了解一元一次不等式：先去括號，然后移項、合并，最后把未知數的系數化為1即可．也考查了在數軸上表示不等式的解集．【題型7一元一次不等式的特殊解】滿分技法求不等式的特殊解的兩種方法方法：方法1:先求出不等式的解集,再在解集中確定符合要求的特殊解.方法2:運用數形結合思想，把不等式的解集在數軸上表示出來,這樣更易于確定不等式的特殊解.32．（2023春?廬陽區(qū)校級期末）不等式的非負整數解有3個．【答案】3．【分析】不等式移項后，將系數化為1求出解集，找出解集中的非負整數解即可．【解答】解：，，．非負整數有0，1，2共3個，故答案為：3．【點評】此題考查了一元一次不等式的整數解，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．33．（2023春?蜀山區(qū)校級期中）不等式的正整數解有2個．【答案】2．【分析】求出不等式的解集，即可得到滿足條件的正整數解．【解答】解：兩邊同時乘以6得：，去括號得：，移項得：，合并同類項得：，把未知數系數化為1得：，不等式的正整數解有1，2，共2個，故答案為：2．【點評】本題考查解一元一次不等式和求滿足條件的正整數，解題的關鍵是掌握解一元一次不等式的一般步驟．34．（2023春?瑤海區(qū)期末）若關于的不等式恰有3個正整數解，則的取值范圍是．【答案】．【分析】根據已知不等式恰有3個正整數解，確定出的范圍即可．【解答】解：，，關于的不等式恰有3個正整數解，，解得：．故答案為：．【點評】此題考查了一元一次不等式的整數解，熟練掌握不等式的解法是解本題的關鍵．35．（2024春?長豐縣期中）已知關于的方程的解是不等式的最小整數解，求的算術平方根．【答案】2．【分析】先求出不等式的解集，再根據關于的方程的解是不等式的最小整數解，即可得到的值，然后將的值代入方程求出的值，最后求的算術平方根即可．【解答】解：由可得，，關于的方程的解是不等式的最小整數解，，，解得，，即的算術平方根是2．【點評】本題考查一元一次不等式的整數解、一元一次方程的解、算術平方根，解答本題的關鍵是求出的值．36．（2023春?潛山市期中）若不等式的最小整數解是關于的方程的解，求式子的值．【答案】2023．【分析】求出不等式的解集，在解集中找出最小的整數解，將最小的整數解代入方程中，得到關于的方程，求出方程的解得到的值，將的值代入所求代數式中計算，即可求出值．【解答】解：不等式，去括號得：，移項合并得：，解得：，則不等式最小的整數解為，又不等式最小整數解是方程的解，將代入方程得：，解得：，則．【點評】此題考查了一元一次不等式的整數解，代數式的求值，以及一元一次方程的解，找出不等式的最小整數解是解本題的關鍵．37．（2024春?太湖縣期中）計算：（1）已知關于，的二元一次方程組的解滿足，求的取值范圍；（2）若關于的不等式的最小整數解為2，求的取值范圍．【答案】（1）．（2）．【分析】（1）將看作已知數求出方程組的解，即可得到關于的不等式，解不等式求出的范圍即可．（2）先解出不等式，然后根據最小整數解為2得出關于的不等式組，解之即可求得的取值范圍．【解答】解：（1），①②，得，解得．將代入②，得，解得．，，解得．故的取值范圍是．（2）解不等式，得：，不等式有最小整數解2，，解得：，故的取值范圍是．【點評】此題考查了解一元一次不等式，二元一次方程組的解，正確解不等式，求出解集是解答本題的關鍵．【題型8由實際問題抽象出一元一次不等式】滿分技法解決此類題的關鍵是從實際問題中獲取有用的信息，找出相等和不等關系，把實際問題轉化為數學問題，38．（2024春?太湖縣期中）一件商品的成本價是50元，如果按原價的八五折銷售，至少可獲得的利潤，若設該商品的原價是元，則列式正確的是A． B． C． D．【答案】【分析】根據原價乘以0.85減去本價等于利潤列不等式即可得到答案．【解答】解：商品獲利為元，至少可獲得的利潤，，即，故選：．【點評】此題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，正確理解利潤售價減去進價是解題的關鍵．39．（2023春?宣州區(qū)校級期中）某種商品的進價為80元，出售時標價為120元，后來由于該商品積壓，商店準備打折出售，但要保證利潤率不低于，則至多可打幾折？如果將該商品打折銷售，則下列不等式中能正確表示該商店的促銷方式的是A． B． C． D．【分析】直接利用打折與利潤的計算方法得出不等關系進而得出答案．【解答】解：根據題意可得：．故選：．【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，正確得出不等關系是解題關鍵．40．（2024春?長豐縣期中）燃放某種禮花彈時，為了確保安全，人在點燃導火線后要在禮花彈燃放前轉移到以外的安全區(qū)域．已知導火線的燃燒速度為，人離開的速度為，則導火線的長（單位：應滿足的不等式為A． B． C． D．【答案】【分析】根據為了確保安全，人在點燃導火線后要在燃放前轉移到超過以外的安全區(qū)域．已知導火線的燃燒速度為，人離開的速度為，從而可以列出相應的方程．【解答】解：人在點燃導火線后要在燃放前轉移到超過以外的安全區(qū)域，，故選：．【點評】本題考查由實際問題抽象出一元一次不等式，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的不等式．41．（2023春?霍邱縣期中）語句“的與的差不超過3”可以表示為A． B． C． D．【答案】【分析】的即，不超過3是小于或等于3的數，按語言敘述列出式子即可．【解答】解：“的與的差不超過3”，用不等式表示為．故選：．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，讀懂題意，抓住關鍵詞語，弄清運算的先后順序和不等關系，才能把文字語言的不等關系轉化為用數學符號表示的不等式．42．（2023春?宣城期中）北京2022冬奧會吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜愛，某網店出售這兩種吉祥物禮品，售價如圖所示．小明媽媽一共買10件禮品，總共花費不超過900元，如果設購買冰墩墩禮品件，則能夠得到的不等式是A． B． C． D．【答案】【分析】設購買冰墩墩禮品件，則購買雪容融禮品件，根據“冰墩墩單價冰墩墩個數雪容融單價雪容融個數”可得不等式．【解答】解：設購買冰墩墩禮品件，則購買雪容融禮品件，根據題意，得：，故選：．【點評】本題主要考查由實際問題抽象出一元一次不等式，解題的關鍵是理解題意，找到其中蘊含的不等關系．43．（2024春?安慶期中）“的3倍與2的差不小于9”列出的不等式是．【答案】．【分析】不小于9就是大于等于9，根據的3倍與2的差不小于9可列出不等式．【解答】解：的3倍與2的差不小于9，列出的不等式是故答案為：．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，理解題意是解題的關鍵．44．（2023春?安慶期末）“與2的差大于”用不等式表示為．【答案】．【分析】“與2的差大于”可以表示為，本題得以解決．【解答】解：與2的差大于”用不等式表示為，故答案為：．【點評】本題考查由實際問題抽象出一元一次不等式，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的不等式．【題型9一元一次不等式的應用】滿分技法利用不等式解決實際問題的一般步驟：審、設、列、解、驗、答.45．（2024春?大觀區(qū)校級期中）某商品進價4元，標價5元出售，商家準備打折銷售，但其利潤率不能少于，則最多可打8.8折．【分析】利潤率不能少于，意思是利潤率大于或等于，相應的關系式為：（打折后的銷售價進價）進價，把相關數值代入即可求解．【解答】解：設這種商品可以按折銷售，則售價為，那么利潤為，所以相應的關系式為，解得：．答：該商品最多可以打8.8折，故答案為：8.8．【點評】此題主要考查了一元一次不等式的應用，解決本題的關鍵是得到利潤率的相關關系式，注意“不能低于”用數學符號表示為“”；利潤率是利潤與進價的比值．46．（2023春?埇橋區(qū)校級期中）某環(huán)保知識競賽一共有20道題，規(guī)定：答對一道題得5分，答錯或不答一道題扣1分，在這次競賽中，小明被評為優(yōu)秀分或85分以上），則小明至少答對了18道題．【答案】18．【分析】設小明答對了道題，則答錯或不答道題，利用得分答對題目數答錯題目數，結合得分不少于85分，可列出關于的一元一次不等式，解之可求出的取值范圍，再取其中的最小整數值，即可得出結論．【解答】解：設小明答對了道題，則答錯或不答道題，根據題意得：，解得：，又為非負整數，的最小值為18，小明至少答對了18道題．故答案為：18．【點評】本題考查了一元一次不等式的應用，根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式是解題的關鍵．47．（2023春?蜀山區(qū)校級期中）小明打算周末與同學一起徒步大蜀山，計劃上午8點出發(fā)，到最遠處后休息，下午5點以前必須回到出發(fā)點．如果他們去時的平均速度是，回來時的平均速度是，他們最遠能到的距離為12（表示出發(fā)點到山頂的路程）．【答案】12．【分析】設他們能到達的距離為，利用時間路程速度，結合下午5點以前必須回到出發(fā)點，可列出關于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出結論．【解答】解：設他們能到達的距離為，根據題意得：，解得：，的最大值為12，即他們最遠能到的距離為．故答案為：12．【點評】本題考查了一元一次不等式的應用，根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式是解題的關鍵．48．（2024春?太湖縣期中）科幻電影《流浪地球》的成功標志著中國電影工業(yè)化邁向了新的臺階．某企業(yè)眼光獨到，準備生產一批樂高模型投放市場，計劃生產“笨笨”、“”兩種產品共100件，需購買價格為30元千克的種材料和價格為20元千克的種材料．通過調研，獲得以下信息：信息1：生產一件“笨笨”需種材料4千克，種材料1千克；信息2：生產一件“”需種材料3千克，種材料4千克．根據以上信息，解決下列問題：（1）現(xiàn)工廠用于購買、兩種材料的資金不能超過15000元，且生產“”不少于30件，請問有哪幾種符合條件的生產方案？（2）在（1）的條件下，若生產一件“笨笨”需加工費60元，生產一件“”需加工費80元，應選擇哪種生產方案，才能使生產這批產品的成本最低？【答案】（1）甲：20、乙：30；甲：19、乙：31；甲：18、乙：32；甲：17、乙：33；（2）選擇甲：80、乙：30這種生產方案，才能使生產這批產品的成本最低．【分析】（1）設生產“”件，生產“笨笨”件．由題意得，解不等式可得出，則可得出答案；（2）由（1）中方案可計算生產這批產品的成本得出答案．【解答】解：（1）設生產乙產品件，生產甲產品件．由題意得，，解得，又生產乙產品不少于30件，，為整數，，31，32，33．符合條件的生產方案有甲：80、乙：30；甲：69、乙：31；甲：68、乙：32；甲：67、乙：33；（2）方案一總共需成本費為：（元，方案二總共需成本費為：（元，方案三總共需成本費為：（元，方案四總共需成本費為：（元，應選擇甲：80、乙：30這種生產方案，才能使生產這批產品的成本最低．【點評】本題考查了一元一次不等式的應用，找準不等關系，正確列出一元一次不等式是解題的關鍵．49．（2024春?埇橋區(qū)期中）哈美佳外校為迎接“2023年元旦雪地足球賽”，計劃購買品牌、品牌兩種品牌號的足球．已知品牌足球比品牌足球單價多10元，若購買20個品牌足球和15個品牌足球需用3350元．（1）求每個品牌足球和每個品牌足球各多少元；（2）哈美佳外校決定購買品牌足球和品牌足球共50個，總費用不超過4650元，那么最多可以購買多少個品牌足球？【答案】（1）每個品牌足球100元，每個品牌足球90元；（2）15個．【分析】（1）根據題意設未知數列方程解方程即可；（2）根據題意列出不等式解不等式得出結果．【解答】解：（1）設每個品牌足球單價為元，則每個品牌足球為元，根據題意可得：，解得：，，答：每個品牌足球100元，每個品牌足球90元；（2）設購買個品牌足球，則購買個品牌足球，依題意得：，解得：，答：最多可以購買15個品牌足球．【點評】本考查的是實際問題與一元一次方程，實際問題與一元一次不等式，審清題意找出數量關系是解題的關鍵．50．（2024春?廬陽區(qū)校級期中）在七年級進行的“知識問答”競賽預賽中共有20道題．規(guī)定每答對一道題得10分，答錯或者不答倒扣5分，總得分不少于85分者通過預賽．小李同學通過了預賽，問他至少答對了幾道題？【答案】他至少答對了11道題．【分析】設答對道，根據總得分不少于80分，列出不等式，解之即可．【解答】解：設答對道，則答錯或不答的題目就有道，由題意可得：，解得：，他至少答對了11道題．【點評】本題考查的是一元一次不等式的運用，解答本題的關鍵是根據題意列出不等式．51．（2024春?蜀山區(qū)校級期中）為了進一步落實“雙減”政策，增加學生室外活動時間，我校計劃從商場一次性購買一批足球和籃球用于開展課后服務訓練，經多方調研，現(xiàn)決定購買品牌籃球和品牌足球共50個，要求采購總費用不超過1.21萬元．若甲、乙兩商店銷售這兩種商品的零售價相同，其中籃球每個零售價300元，足球每個零售價200元．（1）若按照商場零售價直接購買，至多可以買籃球多少個？（2）為促進消費，盤活庫存，甲、乙兩商店均開展“大訂單超值購”活動，推出不同的優(yōu)惠方案：甲店籃球按零售價格打8折銷售，足球按照零售價格原價銷售；乙店按照購買籃球和足球的零售總價格打9折銷售；若學校至少采購籃球18個，請你運用所學知識，幫采購人員算一算：我校從哪家商店購買籃球和足球更合算？說說你的理由（按照采購規(guī)定，籃球和足球只能從同一家商店購買）．【答案】（1）至多可以買籃球21個；（2）當購買籃球18個或19個，到乙店劃算；購買籃球20個，到兩店都一樣；購買籃球多余20個，到甲店劃算．【分析】（1）設購買籃球個，根據采購總費用不超過1.21萬元得：，故，即得至多可以買籃球21個；（2）設購買籃球個，甲店購買總費用為，乙店購買總費用為，可得：，，再分三種情況討論即可．【解答】解：（1）設購買籃球個，則購買足球個，根據題意得：，解得，至多可以買籃球21個；（2）設購買籃球個，甲店購買總費用為，乙店購買總費用為，則購買足球個，根據題意得：，，當時，到乙店劃算，解得，學校至少采購籃球18個，時，到乙店劃算；當時，到兩店都一樣，解得，當時，解得，綜上所述，當購買籃球18個或19個，到乙店劃算；購買籃球20個，到兩店都一樣；購買籃球多余20個，到甲店劃算．【點評】本題考查一元一次不等式的應用，解題的關鍵是分類討論思想的應用．【題型10解一元一次不等式組】滿分技法抓住三個關鍵點,正確解一元一次不等式組：(1)準確地解出各一元一次不等式;(2)準確地把各不等式的解集表示在數軸上;(3)準確地找出各不等式解集在數軸上的公共部分.52．（2024春?廬陽區(qū)校級期中）解不等式組．【答案】．【分析】按照解一元一次不等式組的步驟進行計算，即可解答．【解答】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，原不等式組的解集為：．【點評】本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關鍵．53．（2024春?瑤海區(qū)校級期中）解不等式組，并將解集在數軸上表示出來．【答案】不等式組的解集是，【分析】先求出每一個不等式的解集，然后利用數軸找出兩個解集的公共部分即可．【解答】解：，解不等式①得，，解不等式②得，，不等式組的解集是，在數軸上表示如下：【點評】本題考查的是一元一次不等式組的解，解此類題目常常要結合數軸來判斷．要注意是否取得到，若取得到則在該點是實心的．反之在該點是空心的．54．（2024春?安慶期中）解不等式組：，并把解集在數軸上表示出來．【答案】不等式組的解集是．【分析】先求出每一個不等式的解集，然后利用數軸找出兩個解集的公共部分即可．【解答】解：，解不等式①得，，解不等式②得，，不等式組的解集是，在數軸上表示如下：【點評】本題考查的是一元一次不等式組的解，解此類題目常常要結合數軸來判斷．要注意是否取得到，若取得到則在該點是實心的．反之在該點是空心的．55．（2024春?蜀山區(qū)校級期中）解不等式組，并把解集在數軸上標出來．【答案】不等式組的解集為．【分析】分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在數軸上表示出來即可．【解答】解：由得：；由得：，將不等式的解集表示在數軸上如下：不等式組的解集為．【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．56．（2024春?蜀山區(qū)校級期中）解不等式組：，并在數軸上表示其解集．【答案】，在數軸表示解集見解答．【分析】先求出每個不等式的解集，再根據“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集，再在數軸上表示出不等式組的解集即可．【解答】解：解不等式，得：，解不等式，得：，不等式組的解集為，在數軸表示如下：【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．【題型11一元一次不等式組的特殊解】滿分技法求不等式組的特殊解的方法：求不等式組的特殊解時，先求不等式組中各不等式的解集，再求出不等式組的解集,然后在不等式組的解集中找出符合條件的特殊解(如正整數解、最小整數解等).為了直觀明了，可以借助數軸來找特殊解.57．（2021春?馬鞍山期末）解不等式組，并寫出它的正整數解．【答案】1，2．【分析】先分別求出各不等式的解集，再求其公共解集，然后再確定它的正整數解．【解答】解：，由①得，由②得，不等式組的解集為，則它的正整數解為1，2．【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．58．（2024春?瑤海區(qū)期中）解不等式組：，并寫出它的所有非負整數解．【答案】不等式組的解集為．不等式組的所有非負整數解為0，1，2．【分析】先求出不等式組的解集，再求出不等式組的非負整數解即可．【解答】解：解不等式①，得．解不等式②，得．不等式組的解集為．不等式組的所有非負整數解為0，1，2．【點評】本題考查了解一元一次不等式組，求不等式組的整數解的應用，解此題的關鍵是求出不等式組的解集，難度適中．59．（2023春?懷寧縣期中）解不等式組：，并寫出此不等式組的整數解．【答案】；整數解為．【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集，進而求得整數解．【解答】解：，解不等式①得，，解不等式②得，，所以不等式組的解集為，則不等式組的整數解為．【點評】本題考查了解一元一次不等式組，正確掌握一元一次不等式解集確定方法是解題的關鍵．60．（2023春?廬陽區(qū)校級期中）新定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式組解集范圍內，則稱該一元一次方程為該不等式組的“關聯(lián)方程”，例如：方程的解為，而不等式組的解集為，不難發(fā)現(xiàn)在的范圍內，所以方程是不等式組的“關聯(lián)方程”．（1）在方程①；②；③中，不等式組的“關聯(lián)方程”是①②；（填序號）（2）若關于的方程是不等式組的“關聯(lián)方程”，求的取值范圍；（3）若關于的方程是關于的不等式組的“關聯(lián)方程”，且此時不等式組有4個整數解，試求的取值范圍．【答案】（1）①②；（2）；（3）的取值范圍是．【分析】（1）先求出方程的解和不等式組的解集，再判斷即可；（2）先求出不等式組的解集，然后再解方程求出，最后根據“關聯(lián)方程”的定義列出關于的不等式組，進行計算即可；（3）先求出不等式組的解集，不等式組有4個整數解，即可得出，然后求出方程的解為，根據“關聯(lián)方程”的定義得出，即可得出．【解答】解：（1）①，解得：，②，解得：，③，解得：，，解不等式①得：，解不等式②得：，原不等式組的解集為：，不等式組的“關聯(lián)方程”是：①②，故答案為：①②；（2），解不等式①得：，解不等式②得：，原不等式組的解集為：，，解得：，關于的方程是不等式組的“關聯(lián)方程”，，解得：；（3）關于的方程，解得：，，解不等式①得：，解不等式②得：，原不等式組的解集為：，不等式組有4個整數解，整數的值為1，2，3，4，，，關于的方程是關于的不等式組的“關聯(lián)方程”，，解得：．的取值范圍是．【點評】本題考查了解一元一次不等式組，一元一次方程的解，理解材料中的不等式組的“關聯(lián)方程”是解題的關鍵．過關檢測1．（2024春?蜀山區(qū)校級期中）已知，根據不等式的性質，下列式子不成立的是A． B． C． D．【答案】【分析】利用不等式的性質逐項判斷即可．【解答】解：已知，兩邊同時減去2得，則不符合題意；已知，兩邊同時加上1得，則不符合題意；已知，兩邊同時除以3得，則符合題意；已知，兩邊同時乘以得，則不符合題意；故選：．【點評】本題考查不等式性質，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．2．（2024春?瑤海區(qū)校級期中）已知三個實數，，滿足，，則A．， B．， C．， D．，【答案】【分析】依據題意，由得，，結合，可得，再將代入可以得解．【解答】解：，，，，．．，．故選：．【點評】本題主要考查了完全平方公式，解題時要熟練掌握并理解．3．（2024春?蜀山區(qū)校級期中）如圖表示的是關于的不等式的解集，則的值是A．0 B． C． D．3【答案】【分析】解不等式得出，結合數軸知，據此可得關于的方程，解之可得答案．【解答】解：，，則，由數軸知，，解得，故選：．【點評】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴格遵循解不等式的基本步驟是關鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個負數不等號方向要改變．4．（2024春?蜀山區(qū)校級期中）某超市每千克4元的價格購進一批蔬菜，銷售過程中有的蔬菜正常損耗，則超市售價定為不低于元才能避免虧本．A．4.5 B．4.8 C．5 D．6【答案】【分析】首先設超市售價定為元，由題意得：定價進價4元，然后列出不等式，再解即可．【解答】解：設超市售價定為元，由題意得：，解得：，故選：．【點評】此題主要考查了一元一次不等式的應用，關鍵是正確理解題意，設出未知數，列出不等式．5．（2024春?大觀區(qū)校級期中）已知不等式組的解集為，則的值為1【答案】1．【分析】按照解一元一次不等式組的步驟進行計算，可得，，即可求出，的值，最后再代入式子中進行計算即可解答．【解答】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，原不等式組的解集為：，該不等式組的解集為，