2006年考研數(shù)學二真題答案解析

2006年全國碩士研究生入學考試數(shù)學（二）解析一、填空題（1）曲線的水平漸近線方程為（2）設函數(shù)在x=0處連續(xù)，則a=（3）廣義積分（4）微分方程的通解是（5）設函數(shù)確定，則 當x=0時，y=1， 又把方程每一項對x求導， (6)設A=21,2階矩陣B滿足BA=B+2E,則|B|=.-12解:由BA=B+2E化得B(A-E)=2E,兩邊取行列式,得|B||A-E|=|2E|=4,計算出|A-E|=2,因此|B|=2.二、選擇題（7）設函數(shù)具有二階導數(shù)，且為自變量x在點x0處的增量，，則[A] （A） （B） （C） （D） 由嚴格單調(diào)增加 是凹的 即知（8）設是奇函數(shù)，除外處處連續(xù)，是其第一類間斷點，則 是[B] （A）連續(xù)的奇函數(shù) （B）連續(xù)的偶函數(shù) （C）在x=0間斷的奇函數(shù) （D）在x=0間斷的偶函數(shù)（9）設函數(shù)則g(1)等于[C] （A） （B） （C） （D）∵，g(1)= （10）函數(shù)滿足的一個微分方程是[D] （A） （B） （C） （D）將函數(shù)代入答案中驗證即可.（11）設為連續(xù)函數(shù)，則等于[C] （A） （B） （C） （D）（12）設均為可微函數(shù)，且在約束條件下的一個極值點，下列選項正確的是[D] （A）若 （B）若 （C）若 （D）若今代入(1)得今故選[D](13)設1,2,…,s都是n維向量，A是mn矩陣，則（）成立.(A)若1,2,…,s線性相關,則A1,A2,…,As線性相關.(B)若1,2,…,s線性相關,則A1,A2,…,As線性無關.(C)若1,2,…,s線性無關,則A1,A2,…,As線性相關.(D)若1,2,…,s線性無關,則A1,A2,…,As線性無關.解:(A)本題考的是線性相關性的判斷問題,可以用定義解.若1,2,…,s線性相關,則存在不全為0的數(shù)c1,c2,…,cs使得c11+c22+…+css=0,用A左乘等式兩邊,得c1A1+c2A2+…+csA于是A1,A2,…,As線性相關.如果用秩來解,則更加簡單明了.只要熟悉兩個基本性質(zhì),它們是:1.1,2,…,s線性無關r(1,2,…,s)=s.2.r(AB)r(B).矩陣(A1,A2,…,As)=A(1,2,…,s),因此r(A1,A2,…,As)r(1,2,…,s).由此馬上可判斷答案應該為(A).(14)設A是3階矩陣,將A的第2列加到第1列上得B,將B的第1列的-1倍加到第2列上得C.記110P=010,則001(A)C=P-1AP.(B)C=PAP-1.(C)C=PTAP.(D)C=PAPT.解:(B)用初等矩陣在乘法中的作用得出B=PA, 1-10C=B010=BP-1=PAP-1.001三、解答題（15）試確定A，B，C的常數(shù)值，使其中是當. 解：泰勒公式代入已知等式得 整理得 比較兩邊同次冪函數(shù)得 B+1=A ①C+B+=0 ② ③式②-③得 代入①得 代入②得 （16）求. 解：原式= .（17）設區(qū)域， 計算二重積分. 解：用極坐標系 .（18）設數(shù)列滿足， 證明：（1）存在，并求極限； （2）計算. 證：（1） 單調(diào)減少有下界 根據(jù)準則1，存在 在兩邊取極限得 因此 （2）原式 離散型不能直接用洛必達法則 先考慮 用洛必達法則 .（19）證明：當時，.證：令 只需證明嚴格單調(diào)增加 嚴格單調(diào)減少又故單調(diào)增加（嚴格） 得證（20）設函數(shù)內(nèi)具有二階導數(shù)，且滿足等式.（I）驗證 ；（II）若求函數(shù).證：（I） （II）令 （21）已知曲線L的方程（I）討論L的凹凸性；（II）過點引L的切線，求切點，并寫出切線的方程；（III）求此切線與L（對應部分）及x軸所圍的平面圖形的面積.解：（I） （II）切線方程為，設，， 則 得 點為（2，3），切線方程為 （III）設L的方程則由于（2，3）在L上，由(22)已知非齊次線性方程組x1+x2+x3+x4=-1,4x1+3x2+5x3-x4=-1，ax1+x2+3x3+bx4=1有3個線性無關的解.=1\*GB3①證明此方程組的系數(shù)矩陣A的秩為2.=2\*GB3②求a,b的值和方程組的通解.解:=1\*GB3①設1,2,3是方程組的3個線性無關的解,則2-1,3-1是AX=0的兩個線性無關的解.于是AX=0的基礎解系中解的個數(shù)不少于2,即4-r(A)2,從而r(A)2.又因為A的行向量是兩兩線性無關的,所以r(A)2.兩個不等式說明r(A)=2.=2\*GB3②對方程組的增廣矩陣作初等行變換:1111-11111-1(A|)=435-1-10–11–53,a13b1004-2a4a+b-54-2a由r(A)=2,得出a=2,b=-3.代入后繼續(xù)作初等行變換:102-4201-15-3.00000得同解方程組x1=2-2x3+4x4，x2=-3+x3-5x4，求出一個特解(2,-3,0,0)T和AX=0的基礎解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1)T.得到方程組的通解:(2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T,c1,c2任意.(23)設3階實對稱矩陣A的各行元素之和都為3,向量1=(-1,2,-1)T,2=(0,-1,1)T都是齊次線性方程組AX=0的解.=1\*GB3①求A的特征值和特征向量.=2\*GB3②求作正交矩陣Q和對角矩陣,使得QTAQ=.解:=1\*GB3①條件說明A(1,1,1)T=(3,3,3)T,即0=(1,1,1)T是A的特征向量,特征值為3.又1,2都是AX=0的解說明它們也都是A的特征向量,特征值為0.由于1,2線性無關,特征值0的重數(shù)大于1.于是A的特征值為3,0,0.屬于3的特征向量:c0,c0.屬于0的特征向量:c11+c22,c1,c2不都為0.=2\