高中數(shù)學(xué)選擇性必修一課件：2 2 3 直線的一般式方程(人教A版)

第二章

§2.2直線的方程2.2.3直線的一般式方程1.掌握直線的一般式方程.2.理解關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)都表示

直線.3.會(huì)進(jìn)行直線方程的五種形式之間的轉(zhuǎn)化.學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO內(nèi)容索引知識(shí)梳理題型探究隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1知識(shí)梳理PARTONE知識(shí)點(diǎn)一直線的一般式方程關(guān)于x和y的二元一次方程都表示一條直線.我們把關(guān)于x，y的二元一次方程

(其中A，B不同時(shí)為0)叫做直線的

，簡(jiǎn)稱一般式.Ax＋By＋C＝0一般式方程思考平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程表示嗎？答案都可以，原因如下：(1)若直線的斜率k存在.直線可表示成y＝kx＋b，可轉(zhuǎn)化為kx＋(－1)y＋b＝0，這是關(guān)于x，y的二元一次方程.(2)若直線的斜率k不存在，方程可表示成x－a＝0，它可以認(rèn)為是關(guān)于x，y的二元一次方程，此時(shí)方程中y的系數(shù)為0.知識(shí)點(diǎn)二直線的五種形式的方程形式方程局限點(diǎn)斜式_______________不能表示斜率不存在的直線斜截式_________不能表示斜率不存在的直線兩點(diǎn)式_____________截距式不能表示____________________________一般式______________無(wú)y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋bx1≠x2，y1≠y2與坐標(biāo)軸平行及過(guò)原點(diǎn)的直線Ax＋By＋C＝0思考當(dāng)A＝0或B＝0時(shí)，方程Ax＋By＋C＝0分別表示什么樣的直線？答案(1)若A＝0，此時(shí)B≠0，方程化為y＝

，表示與y軸垂直的一條直線.(2)若B＝0，此時(shí)A≠0，方程化為x＝

，表示與x軸垂直的一條直線.知識(shí)點(diǎn)三直線各種形式方程的互化知識(shí)點(diǎn)三直線各種形式方程的互化思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.任何直線方程都能表示為一般式.(

)2.任何一條直線的一般式方程都能與其他四種形式互化.(

)3.對(duì)于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，當(dāng)A＝0，B≠0時(shí)，方程表示斜率不存在的直線.(

)4.當(dāng)A，B同時(shí)為零時(shí)，方程Ax＋By＋C＝0也可表示為一條直線.(

)√×××2題型探究PARTTWO一、直線的一般式方程例1根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程：(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－1,5)，B(2，－1)兩點(diǎn)；即2x＋y－3＝0.(3)在x軸，y軸上的截距分別為－3，－1；即x＋3y＋3＝0.(4)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(4,2)，且平行于x軸.解y－2＝0.(4)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(4,2)，且平行于x軸.解y－2＝0.反思感悟求直線一般式方程的策略在求直線方程時(shí)，設(shè)一般式方程有時(shí)并不簡(jiǎn)單，常用的還是根據(jù)給定條件選出四種特殊形式之一求方程，然后轉(zhuǎn)化為一般式.跟蹤訓(xùn)練1

(1)根據(jù)下列各條件寫出直線的方程，并化成一般式.③經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1(3，－2)，P2(5，－4)的直線方程為____________.x＋2y＋4＝02x－y－3＝0x＋y－1＝0(2)直線2x－y－2＝0繞它與y軸的交點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°所得的直線方程是A.x－2y＋4＝0 B.x＋2y－4＝0C.x－2y－4＝0 D.x＋2y＋4＝0√解析直線2x－y－2＝0與y軸的交點(diǎn)為A(0，－2)，二、直線的一般式方程的應(yīng)用例2設(shè)直線l的方程為(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.(1)已知直線l在x軸上的截距為－3，求m的值；解由題意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，(2)已知直線l的斜率為1，求m的值.由直線l化為斜截式方程得m＝－2或m＝－1(舍去).∴m＝－2.延伸探究對(duì)于本例中的直線l的方程，若直線l與y軸平行，求m的值.解∵直線l與y軸平行，反思感悟含參直線方程的研究策略(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則需滿足A，B不同時(shí)為0.(2)令x＝0可得在y軸上的截距.令y＝0可得在x軸上的截距.若確定直線斜率存在，可將一般式化為斜截式.(3)解分式方程要注意驗(yàn)根.跟蹤訓(xùn)練2

(1)若直線l：ax＋y－2＝0在x軸和y軸上的截距相等，則a＝____.1解析由題意知a≠0，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2；(2)已知(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0為直線l的方程，求證：不論k取何實(shí)數(shù)，直線l必過(guò)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo).解整理直線l的方程得(x＋y)＋k(x－y－2)＝0.無(wú)論k取何值，該式恒成立，所以直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M(1，－1).核心素養(yǎng)之直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANGYUSHUXUEYUNSUAN一般式下直線的平行與垂直的問(wèn)題典例已知直線l1：3x＋(m＋1)y－6＝0，l2：mx＋2y－(m＋2)＝0，分別求滿足下列條件的m的值.(1)l1⊥l2；解∵l1⊥l2，∴3×m＋(m＋1)×2＝0，(2)l1∥l2.解∵l1∥l2，∴3×2＝m×(m＋1)，∴m＝－3或m＝2，當(dāng)m＝－3時(shí)，l1∥l2；當(dāng)m＝2時(shí)，l1與l2重合，不符合題意，舍去.∴m＝－3.素養(yǎng)提升(1)一般式下，兩直線平行與垂直的判定如下：設(shè)直線l1與l2的方程分別為A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同時(shí)為0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同時(shí)為0)，(2)對(duì)于這類題目既要借助圖形，更要選擇運(yùn)算方法，通過(guò)計(jì)算，確定結(jié)果，所以突出考查直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).3隨堂演練PARTTHREE√1234512345A.30° B.60° C.150° D.120°√3.若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則A，B應(yīng)滿足的條件為A.A≠0 B.B≠0C.A·B≠0 D.A2＋B2≠0√12345解析方程Ax＋By＋C＝0表示直線的條件為A，B不能同時(shí)為0，即A2＋B2≠0.4.已知直線kx－y＋1－3k＝0，當(dāng)k變化時(shí)，所有直線都恒過(guò)點(diǎn)A.(0,0) B.(0,1) C.(3,1) D.(2,1)√12345解析kx－y＋1－3k＝0可化為y－1＝k(x－3)，所以直線過(guò)定點(diǎn)(3,1).5.若直線(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的傾斜角是45°，則實(shí)數(shù)m的值是____.1234531.知識(shí)清單：(1)直線的一般式方程.(2)直線五種形式方程的互化.(3)利用直線方程判定直線的平行與垂直.2.方法歸納：分類討論法、化歸轉(zhuǎn)化.3.常見誤區(qū)：忽視直線斜率不存在情況；忽視兩直線重合情況.課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE4課時(shí)對(duì)點(diǎn)練PARTFOUR1.過(guò)點(diǎn)(2,1)，斜率k＝－2的直線方程為A.x－1＝－2(y－2) B.2x＋y－1＝0C.y－2＝－2(x－1) D.2x＋y－5＝0√基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516解析根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式可得，y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.2.過(guò)點(diǎn)A(2,3)且垂直于直線2x＋y－5＝0的直線方程為A.x－2y＋4＝0 B.2x＋y－7＝0C.x－2y＋3＝0 D.x－2y＋5＝0√12345678910111213141516化簡(jiǎn)可得x－2y＋4＝0，故選A.3.直線3x－2y－4＝0的截距式方程是√123456789101112131415164.已知直線l1：ax＋(a＋2)y＋2＝0與l2：x＋ay＋1＝0平行，則實(shí)數(shù)a的值為A.－1或2 B.0或2C.2 D.－1√12345678910111213141516解析由l1∥l2知，a×a＝1×(a＋2)，即a2－a－2＝0，∴a＝2或a＝－1.當(dāng)a＝2時(shí)，l1與l2重合，不符合題意，舍去；當(dāng)a＝－1時(shí)，l1∥l2.∴a＝－1.√123456789101112131415166.斜率為2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,3)的直線的一般式方程為______________.123456789101112131415162x－y＋1＝0解析由y－3＝2(x－1)得2x－y＋1＝0.7.已知直線(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x軸上的截距為3，則該直線在y軸上的截距為______.12345678910111213141516解析把(3,0)代入已知方程，得(a＋2)×3－2a＝0，∴a＝－6，∴直線方程為－4x＋45y＋12＝0，8.若直線l過(guò)點(diǎn)(1,3)且在兩條坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線l的斜率k＝________.12345678910111213141516－1或3解析直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，可得斜率k＝3.直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線l過(guò)點(diǎn)(1,3)且在兩條坐標(biāo)軸上的截距相等，∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)(a，0)，(0，a).(a≠0).∴k＝－1.綜上可得，直線l的斜率k＝－1或3.9.已知直線l的方程為3x＋4y－12＝0，求直線l′的一般式方程，l′滿足：(1)過(guò)點(diǎn)(－1,3)，且與l平行；方法二

由l′與l平行，可設(shè)l′方程為3x＋4y＋m＝0.將點(diǎn)(－1,3)代入上式得m＝－9.∴所求直線方程為3x＋4y－9＝0.12345678910111213141516(2)過(guò)點(diǎn)(－1,3)，且與l垂直.12345678910111213141516即4x－3y＋13＝0.方法二

由l′與l垂直，可設(shè)其方程為4x－3y＋n＝0.將(－1,3)代入上式得n＝13.∴所求直線方程為4x－3y＋13＝0.10.已知直線l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0與l2：2(k－3)x－2y＋3＝0.(1)若這兩條直線垂直，求k的值；12345678910111213141516解根據(jù)題意，得(k－3)×2(k－3)＋(4－k)×(－2)＝0，(2)若這兩條直線平行，求k的值.12345678910111213141516解根據(jù)題意，得(k－3)×(－2)－2(k－3)×(4－k)＝0，解得k＝3或k＝5.經(jīng)檢驗(yàn)，均符合題意.∴若這兩條直線平行，則k＝3或k＝5.11.直線x＋(a2＋1)y＋1＝0的傾斜角的取值范圍是√綜合運(yùn)用1234567891011121314151612.兩條直線mx＋y－n＝0和x＋my＋1＝0互相平行的條件是√12345678910111213141516解析令m×m＝1×1，得m＝±1.當(dāng)m＝1時(shí)，要使x＋y－n＝0與x＋y＋1＝0平行，需n≠－1.當(dāng)m＝－1時(shí)，要使－x＋y－n＝0與x－y＋1＝0平行，需n≠1.13.直線y＝mx－3m＋2(m∈R)必過(guò)定點(diǎn)A.(3,2) B.(－3,2)C.(－3，－2) D.(3，－2)√12345678910111213141516解析由y＝mx－3m＋2，得y－2＝m(x－3)，所以直線必過(guò)點(diǎn)(3,2).14.垂直于直線3x－4y－7＝0，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6的直線l的方程為______________________________.4x＋3y－12＝0或4x＋3y＋12＝0解析由題意可設(shè)與直線3x－4y－7＝0垂直的直線的方程為4x＋3y＋c＝0(c≠0)，得c2＝122，c＝±12，∴直線l的方程為4x＋3y－12＝0或4x＋3y＋12＝0.1234567891011121314151615.(多選)若直線l：ax＋y－2－a＝0在x軸和y軸上的截距相等，則直線l的斜率為A.1 B.－1 C.－2 D.2√12345678910111213141516拓廣探究√解析當(dāng)直線ax＋y－2－a＝0過(guò)原點(diǎn)時(shí)，可得a＝－2.當(dāng)直線ax＋y－2－a＝0不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，由題意知，當(dāng)a＝0時(shí)，直線l與x軸無(wú)交點(diǎn)，與在y軸上的截距2＋a相等，綜上知，a＝－2或1.所以直線l的斜率為－1或2.1234567891011121314151616.已知在△ABC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,3)，AB，AC邊上的中線所在直線的方程分別為x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各邊所在直線的方程.12345678910111213141516解設(shè)AB，AC邊上的中線分別為CD，BE，其中D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，∵點(diǎn)B在中線y－1＝0上，∴設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(x，1).又∵A點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3)，D為AB的中點(diǎn)，又∵點(diǎn)D在中線x－2y＋1＝0上，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(5,1).1234567891011121314151612345678910111213141516同理可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)是(－3，－1).故可求出△ABC三邊AB，BC，AC所在直線的方程分別為x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0和x－y＋2＝0.備用工具&資料解設(shè)AB，AC邊上的中線分別為CD，BE，其中D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，∵點(diǎn)B在中線y－1＝0上，∴設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(x，1).又∵A點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3)，D為