高中數(shù)學(xué)選擇性必修一課件：2 4 2 圓的一般方程(人教版)

2.4.2圓的一般方程第二章

§2.4圓的方程1.掌握圓的一般方程及其特點(diǎn).2.會將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能熟練地指出圓心的坐標(biāo)

和半徑的大小.3.能根據(jù)某些具體條件，運(yùn)用待定系數(shù)法確定圓的方程.學(xué)習(xí)目標(biāo)前面我們已討論了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，現(xiàn)將其展開可得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.可見，任何一個圓的方程都可以變形為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式.請大家思考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示的曲線是不是圓？下面我們來探討這一方面的問題.導(dǎo)語隨堂演練課時對點(diǎn)練一、圓的一般方程的辨析二、求圓的一般方程三、圓的軌跡問題內(nèi)容索引一、圓的一般方程的辨析問題1

如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圓的方程，有什么條件？當(dāng)D2＋E2－4F>0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓.問題2

當(dāng)D2＋E2－4F＝0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么圖形？條件圖形D2＋E2－4F<0不表示任何圖形D2＋E2－4F＝0D2＋E2－4F>0表示以

為圓心，以

為半徑的圓1.圓的一般方程：當(dāng)D2＋E2－4F>0時，二元二次方程_________________

稱為圓的一般方程.2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圖形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0知識梳理注意點(diǎn)：(1)二元二次方程要想表示圓，需x2和y2的系數(shù)相同且不為0，沒有xy這樣的二次項(xiàng).(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是D2＋E2－4F>0.注意點(diǎn)：(1)二元二次方程要想表示圓，需x2和y2的系數(shù)相同且不為0，沒有xy這樣的二次項(xiàng).(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是D2＋E2－4F>0.例1

若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圓.(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；解由表示圓的充要條件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，(2)寫出圓心坐標(biāo)和半徑.解將方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，反思感悟圓的一般方程的辨析(1)由圓的一般方程的定義，若D2＋E2－4F>0成立，則表示圓，否則不表示圓.(2)將方程配方后，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征求解.跟蹤訓(xùn)練1

(1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圓，則圓心坐標(biāo)和半徑分別為________________.解析方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)，(2)點(diǎn)M，N在圓x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且點(diǎn)M，N關(guān)于直線x－y＋1＝0對稱，則該圓的面積為_____.由圓的性質(zhì)，知直線x－y＋1＝0經(jīng)過圓心，9π∴該圓的面積為9π.(2)點(diǎn)M，N在圓x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且點(diǎn)M，N關(guān)于直線x－y＋1＝0對稱，則該圓的面積為_____.由圓的性質(zhì)，知直線x－y＋1＝0經(jīng)過圓心，9π∴該圓的面積為9π.二、求圓的一般方程例2

已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1).(1)求△ABC的外接圓的一般方程；解設(shè)△ABC外接圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，即△ABC的外接圓的方程為x2＋y2－8x－2y＋12＝0.(2)若點(diǎn)M(a，2)在△ABC的外接圓上，求a的值.解由(1)知，△ABC的外接圓的方程為x2＋y2－8x－2y＋12＝0，∵點(diǎn)M(a，2)在△ABC的外接圓上，∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或6.反思感悟求圓的方程的策略(1)幾何法：由已知條件通過幾何關(guān)系求得圓心坐標(biāo)、半徑，得到圓的方程；(2)待定系數(shù)法：選擇圓的一般方程或標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)條件列關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組解出系數(shù)得到方程.∵圓心在直線x＋y－1＝0上，即D＋E＝－2. ①∴D2＋E2＝20. ②又∵圓心在第二象限，故圓的一般方程為x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.三、圓的軌跡問題問題3

軌跡和軌跡方程有什么區(qū)別？提示軌跡是指點(diǎn)在運(yùn)動變化中形成的圖形，比如直線、圓等.軌跡方程是點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式.例3

點(diǎn)A(2,0)是圓x2＋y2＝4上的定點(diǎn)，點(diǎn)B(1,1)是圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動點(diǎn).(1)求線段AP的中點(diǎn)M的軌跡方程；解設(shè)線段AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)公式，得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2x－2,2y).∵點(diǎn)P在圓x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，故線段AP的中點(diǎn)M的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ的中點(diǎn)N的軌跡方程.解設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON(圖略)，則ON⊥PQ，∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，故線段PQ的中點(diǎn)N的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.延伸探究1.在本例條件不變的情況下，求過點(diǎn)B的弦的中點(diǎn)T的軌跡方程.解設(shè)T(x，y).因?yàn)辄c(diǎn)T是弦的中點(diǎn)，所以O(shè)T⊥BT.當(dāng)斜率存在時，有kOT·kBT＝－1.整理得x2＋y2－x－y＝0.當(dāng)x＝0或1時，點(diǎn)(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)也都在圓上.故所求軌跡方程為x2＋y2－x－y＝0.2.本例條件不變，求BP的中點(diǎn)E的軌跡方程.解設(shè)點(diǎn)E(x，y)，P(x0，y0).整理得x0＝2x－1，y0＝2y－1，∵點(diǎn)P在圓x2＋y2＝4上，∴(2x－1)2＋(2y－1)2＝4，反思感悟求與圓有關(guān)的軌跡問題的方程(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程.(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程.(3)代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等.跟蹤訓(xùn)練3

已知△ABC的邊AB長為4，若BC邊上的中線為定長3，求頂點(diǎn)C的軌跡方程.解以直線AB為x軸，AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖)，則A(－2,0)，B(2,0)，設(shè)C(x，y)，BC的中點(diǎn)D(x0，y0).將①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.∵點(diǎn)C不能在x軸上，∴y≠0.綜上，點(diǎn)C的軌跡是以(－6,0)為圓心，6為半徑的圓，去掉(－12,0)和(0,0)兩點(diǎn).軌跡方程為(x＋6)2＋y2＝36(y≠0).1.知識清單：(1)圓的一般方程.(2)求動點(diǎn)的軌跡方程.2.方法歸納：待定系數(shù)法、幾何法、定義法、代入法.3.常見誤區(qū)：忽視圓的一般方程表示圓的條件.課堂小結(jié)隨堂演練1.若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一個圓的方程，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是√1234解析根據(jù)題意，得(－1)2＋12－4×(－2m)>0，2.已知圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圓心坐標(biāo)為(－2,3)，D，E分別為A.4，－6 B.－4，－6C.－4,6 D.4,6√1234又已知該圓的圓心坐標(biāo)為(－2,3)，∴D＝4，E＝－6.3.(多選)圓x2＋y2－4x－1＝0A.關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱B.關(guān)于直線y＝0對稱C.關(guān)于直線x＋3y－2＝0對稱D.關(guān)于直線x－y＋2＝0對稱√1234√√解析x2＋y2－4x－1＝0?(x－2)2＋y2＝5，即圓心的坐標(biāo)為(2,0).A項(xiàng)，圓是關(guān)于圓心對稱的中心對稱圖形，而點(diǎn)(2,0)是圓心，故正確；B項(xiàng)，圓是關(guān)于直徑所在直線對稱的軸對稱圖形，直線y＝0過圓心，故正確；C項(xiàng)，圓是關(guān)于直徑所在直線對稱的軸對稱圖形，直線x＋3y－2＝0過圓心，故正確；D項(xiàng)，圓是關(guān)于直徑所在直線對稱的軸對稱圖形，直線x－y＋2＝0不過圓心，故不正確.12344.已知△ABC的頂點(diǎn)A(0,0)，B(4,0)，且AC邊上的中線BD的長為3，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是____________________.(x－8)2＋y2＝36(y≠0)1234解析設(shè)C(x，y)(y≠0)，∵B(4,0)，且AC邊上的中線BD長為3，即(x－8)2＋y2＝36(y≠0).課時對點(diǎn)練√解析根據(jù)題意，若方程表示圓，則有(2a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，解得a<1，基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√√2.已知圓的方程為x2＋y2＋2ax＋9＝0，圓心坐標(biāo)為(5,0)，則它的半徑為√解析圓的方程x2＋y2＋2ax＋9＝0，即(x＋a)2＋y2＝a2－9，它的圓心坐標(biāo)為(－a，0)，可得a＝－5，123456789101112131415163.(多選)下列結(jié)論正確的是A.任何一個圓的方程都可以寫成一個二元二次方程B.圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程可以互化C.方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0表示圓D.若點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，

＋Dx0＋Ey0＋F>0√12345678910111213141516√√解析AB顯然正確；C中方程可化為(x－1)2＋(y＋2)2＝0，所以表示點(diǎn)(1，－2)；D正確.4.已知圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝1過點(diǎn)A(1,0)，則圓C的圓心的軌跡是A.點(diǎn) B.直線C.線段 D.圓√解析∵圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝1過點(diǎn)A(1,0)，∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，∴(a－1)2＋b2＝1，∴圓C的圓心的軌跡是以(1,0)為圓心，1為半徑的圓.123456789101112131415165.圓C：x2＋y2－4x＋2y＝0關(guān)于直線y＝x＋1對稱的圓的方程是A.(x＋1)2＋(y－2)2＝5 B.(x＋4)2＋(y－1)2＝5C.(x＋2)2＋(y－3)2＝5 D.(x－2)2＋(y＋3)2＝5√解析把圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝5，∴圓心C(2，－1).設(shè)圓心C關(guān)于直線y＝x＋1的對稱點(diǎn)為C′(x0，y0)，12345678910111213141516∴圓C關(guān)于直線y＝x＋1對稱的圓的方程為(x＋2)2＋(y－3)2＝5.6.若當(dāng)方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圓取得最大面積時，則直線y＝(k－1)x＋2的傾斜角α等于√12345678910111213141516所以當(dāng)k＝0時圓的半徑最大，面積也最大，此時直線的斜率為－1，7.過三點(diǎn)O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)的圓的方程為__________________.x2＋y2－8x＋6y＝0解析設(shè)過三點(diǎn)O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)的圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，12345678910111213141516故所求圓的方程為x2＋y2－8x＋6y＝0.x2＋y2－4x－5＝0解析設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為(a，0)(a>0)，12345678910111213141516解得a＝2(a＝－2舍去)，所以圓C的方程為x2＋y2－4x－5＝0.9.已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一個圓.(1)求t的取值范圍；解圓的方程化為[x－(t＋3)]2＋[y＋(1－4t2)]2＝1＋6t－7t2.12345678910111213141516(2)求這個圓的圓心坐標(biāo)和半徑；12345678910111213141516(3)求該圓半徑r的最大值及此時圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.10.如圖，已知線段AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)是(4,3)，端點(diǎn)A在圓(x＋1)2＋y2＝4上運(yùn)動，求線段AB的端點(diǎn)B的軌跡方程.12345678910111213141516解設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)是(x，y)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(x0，y0)，由于點(diǎn)C的坐標(biāo)是(4,3)且點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，12345678910111213141516于是有x0＝8－x

，y0＝6－y. ①因?yàn)辄c(diǎn)A在圓(x＋1)2＋y2＝4上運(yùn)動，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程(x＋1)2＋y2＝4，把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.所以點(diǎn)B的軌跡方程為(x－9)2＋(y－6)2＝4.11.圓x2＋y2－ax－2y＋1＝0關(guān)于直線x－y－1＝0對稱的圓的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，則a的值為A.0 B.1 C.2 D.3√12345678910111213141516綜合運(yùn)用又兩圓關(guān)于直線x－y－1＝0對稱，12.圓x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面積為A.8π B.4πC.2π D.π√解析原方程可化為(x－1)2＋(y＋3)2＝2，1234567891011121314151613.已知圓C經(jīng)過點(diǎn)(4,2)，(1,3)和(5,1)，則圓C與兩坐標(biāo)軸的四個截距之和為_____.－21234567891011121314151612345678910111213141516解析設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，將(4,2)，(1,3)，(5,1)代入方程中，所以圓的方程為x2＋y2－2x＋4y－20＝0.令x＝0，則y2＋4y－20＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系得y1＋y2＝－4；令y＝0，則x2－2x－20＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝2，故圓C與兩坐標(biāo)軸的四個截距之和為y1＋y2＋x1＋x2＝－4＋2＝－2.14.設(shè)直線2x＋3y＋1＝0和圓x2＋y2－2x－3＝0相交于點(diǎn)A，B，則弦AB的垂直平分線的方程是_____________.解析圓的方程x2＋y2－2x－3＝0，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝4，圓心坐標(biāo)為(1,0)，123456789101112131415163x－2y－3＝0即3x－2y－3＝0.15.已知點(diǎn)P(7,3)，圓M：x2＋y2－2x－10y＋25＝0，點(diǎn)Q為圓M上一點(diǎn)，點(diǎn)S在x軸上，則|SP|＋|SQ|的最小值為A.7 B.8 C.9 D.10√拓廣探究12345678910111213141516解析由題意知圓M的方程可化為(x－1)2＋(y－5)2＝1，所以圓心為M(1,5)，半徑為1.如圖所示，作點(diǎn)P(7,3)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P′(7，－3)，連接MP′，交圓M于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)S，此時|SP|＋|SQ|的值最小，否則，在x軸上另取一點(diǎn)S′，連接S′P，S′P′，S′Q，由于P與P′關(guān)于x軸對稱，所以|SP|＝|SP′|，|S′P|＝|S′P′|，所以|SP|＋|SQ|＝|SP′|＋|SQ|＝|P′Q|<|S′P′|＋|S′Q|＝|S′P|＋|S′Q|.1234567891011121314151616.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，長度為2的線段EF的兩端點(diǎn)E，F(xiàn)分別在兩坐標(biāo)軸上運(yùn)動.(1)求線段EF的中點(diǎn)G的軌跡C的方程；12345678910111213141516解設(shè)G(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得E(2x，0)，F(xiàn)(0,2y)，整理得x2＋y2＝1，∴線段EF的中點(diǎn)G的軌跡C的方程為x2＋y2＝1.(2)設(shè)軌跡C與x軸交于A1，A2兩點(diǎn)，P是軌跡C上異于A1，A2的任意一點(diǎn)，直線PA1交直線l：x＝3于M點(diǎn)，直線PA2交直線l于N點(diǎn)，求證：以MN為直徑的圓C總過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).12345678910111213141516解由已知設(shè)A1(