新教材2024年秋高中數(shù)學(xué)第4章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.1指數(shù)第2課時指數(shù)冪及其運算教師用書含答案新人教A版必修第一冊

第2課時指數(shù)冪及其運算1．理解分數(shù)指數(shù)冪的含義，駕馭根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)2．駕馭實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，并能對代數(shù)式進行化簡或求值．(數(shù)學(xué)運算)某國國家統(tǒng)計局有關(guān)數(shù)據(jù)顯示，該國科研和開發(fā)機構(gòu)基礎(chǔ)探討經(jīng)費支出近些年呈爆炸式增長：2024年為221.59億元，2024年、2024年、2024年的年增長率分別為16.84%，14.06%，14.26%．你能依據(jù)這三個年增長率的數(shù)據(jù)，算出年平均增長率，并以2024年的經(jīng)費支出為基礎(chǔ)，預(yù)料2024年及以后各年的經(jīng)費支出嗎？學(xué)問點1分數(shù)指數(shù)冪的意義分數(shù)指數(shù)冪正分數(shù)指數(shù)冪規(guī)定：amn＝nam(a>0，m，n負分數(shù)指數(shù)冪規(guī)定：a-mn＝1amn＝1na0的分數(shù)指數(shù)冪0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義學(xué)問點2有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．學(xué)問點3無理數(shù)指數(shù)冪一般地，無理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0，α為無理數(shù))是一個確定的實數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪．1．思索辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)0的任何指數(shù)冪都等于0． ()(2)52(3)分數(shù)指數(shù)冪與根式可以相互轉(zhuǎn)化，如4a(4)amn可以理解為mn(5)53(6)23[答案](1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(6)√2．計算：813＝________；212[813類型1根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化【例1】(源自蘇教版教材)用分數(shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式(a>0)：(1)a2a；(2)1a3；(3)[解](1)a2a＝a2a1(2)1a(3)aa根式與分數(shù)指數(shù)冪互化的規(guī)律(1)根指數(shù)分數(shù)指數(shù)的分母，被開方數(shù)(式)的指數(shù)分數(shù)指數(shù)的分子．(2)在詳細計算時，通常會把根式轉(zhuǎn)化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，然后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)解題．[跟進訓(xùn)練]1．將下列根式與分數(shù)指數(shù)冪進行互化：(1)a3·3a(2)a-4b23[解](1)a3·3a2＝a3·(2)a＝a-4b類型2利用分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡求值【例2】化簡求值：(1)0.02713－61412＋2563(2)(a-2b-3)·(－4a-1b)÷(12a-4b-2c)；(3)23a÷46ab·3[解](1)原式＝(0.33)13－52212＋(44)3(2)原式＝－4a-2-1b-3+1÷(12a-4b-2c)＝－13a-3-(-4)b-2-(-2)c＝－13ac-1＝－a(3)原式＝2a13÷(4a＝12a1指數(shù)冪運算的常用技巧(1)有括號先算括號里的，無括號先進行指數(shù)運算．(2)負指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù)．(3)底數(shù)是小數(shù)，要先化成分數(shù)；底數(shù)是帶分數(shù)，要先化成假分數(shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于用指數(shù)冪的運算性質(zhì)．[跟進訓(xùn)練]2．計算下列各式的值(式中字母均是正數(shù))：(1)(2(2)aπ3a[解](1)原式＝(23·m32)23(2)原式＝aπ3＋2類型3條件求值問題【例3】已知a1(1)a＋a-1；(2)a2＋a-2．思路導(dǎo)引：a[解](1)將a12+a-12＝4兩邊平方，得a＋a(2)將a＋a-1＝14兩邊平方，得a2＋a-2＋2＝196，故a2＋a-2＝194．[母題探究]1．在本例條件不變的條件下，求a－a-1的值．[解]令a－a-1＝t，則兩邊平方得a2＋a-2＝t2＋2，∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±83，即a－a-1＝±82．在本例條件不變的條件下，求a2－a-2的值．[解]由上題可知，a2－a-2＝(a－a-1)(a＋a-1)＝±83×14＝±112解決條件求值問題的思路(1)在利用條件等式求值時，往往先將所求式子進行有目的地變形，或先對條件式加以變形，找出所求式子與條件等式的聯(lián)系，以便用整體代入法求值．(2)在利用整體代入法求值時，要留意完全平方公式的應(yīng)用．[跟進訓(xùn)練]3．已知a12-a-12＝m，求a＋a-1[解]∵a12-∴a12-a-122＝a即a＋a-1＝m2＋2．∴a2＋a-2＝(a＋a-1)2－2＝(m2＋2)2－2＝m4＋4m2＋2．1．把根式aa化成分數(shù)指數(shù)冪是()A．(－aC．－a3D[由題意可知a≥0，故解除A、B、C選項，故選D．]2．計算π3A．πB．πC．－πD．1[答案]D3．已知x12＋x-A．5B．23C．25D．27B[∵x12＋x-12＝5，∴x＋4．計算：23501615[原式＝1＋1回顧本節(jié)學(xué)問，自主完成以下問題：1．na[提示]na2．分數(shù)指數(shù)冪有哪些性質(zhì)？[提示](1)asar＝as＋r；(2)(ar)s＝