人教A版選擇性必修第二冊42等差數(shù)列的概念

等差數(shù)列的概念

=基礎練少=(30分鐘60分)

一、選擇題(每題5分，共30分，多項選擇題全部選對得5分，選對

但不全的得2分，有選錯的得0分)

1.｛即｝為等差數(shù)列，a?+as=12,那么as等于()

A.4B.5C.6D.7

【解析】選2+a8=ai+d+ai+7d=2ai+8d=12,所以a1+4d=6，所

以as=6.

2.等差數(shù)列｛aj中，a3=7,a5=13,那么a7=()

A.16B.17C.18D.19

【解析】選D.由等差數(shù)列的性質可得2a5=a3+a7z

所以a7=2a5-a3=19.

3.假設等差數(shù)列的前3項依次是x-1,x+1,2x+3,那么其通項

公式為()

A.an=2n-5(n￡N*)B.an=2n-3(n￡N*)

C.an=2n-l(nEN*)D.an=2n+l(n￡N*)

【解析】選B.由于x-1,x+1,2x+3是等差數(shù)列的前3項,所以

2(x+l)=x-l+2x+3,解得x=0.

所以a]=x-1=-1,a2=1,a3=3,

所以d=2,所以an=-1+2(n-1)=2n-3(n￡N*).

4.在數(shù)列｛a"中,ai=1,an+i-an=2,nWN*,那么a?5的值為()

A.49B.50C.89D.99

【解析】選A.由于ai=l,an+1-an=2,nGN\所以數(shù)列｛aj是等差

數(shù)列,那么a25=1+2x（25-1）=49.

5.數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，數(shù)列｛bn｝分別滿意以下各式，其中數(shù)列

｛bn｝必為等差數(shù)列的是（）

A.bn=|an|B.bn=a：

C.b=D.b=-y

ndnn乙

【解析】選D.設數(shù)列｛即｝的公差為d,

選項A,B,C,都不滿意bn-bn-尸同一常數(shù)，所以三個選項都是錯

誤的；

d

?…Q-1-1-

對于選項D,bn-bn-1=-ny+；2

所以數(shù)列｛bn｝必為等差數(shù)列.

6.（多項選擇題）假設數(shù)列｛“｝滿后、ai=1,3an+l=3an+1,n￡N*,那

么數(shù)列｛冊｝是（）

A.公差為1的等差數(shù)列

B.公差為;的等差數(shù)列

C.通項公式為an=§+|的等差數(shù)列

D.通項公式為an=^+1的等差數(shù)列

【解析】選BC.由3an+1=3an+1,得3an+i-3an=1,即an+i-an=1.

所以數(shù)列｛an｝是公差為g的等差數(shù)列.又由于ai=1,得到an=l+

(n-1)x；=￡+|,應選BC.

二、填空題(每題5分，共10分)

7.在等差數(shù)列｛%｝中，假設a1=5,d=2,那么a10=；假設

ai=3,d=4,an=59,3B么n=.

【解析】aio=ai+(10-l)d=5+9x2=23.由于an=a]+(n-l)d,所以

59=3+4(n-1),解得n=15.

答案：2315

8.等差數(shù)列1,-1,-3,-5,...,-89的項數(shù)為.

【解析】由于ai=1,d=-1-1=-2,

所以an=ai+(n-l)d=-2n+3.

由-2n+3=-89,得n=46.

答案：46

三、解答題(每題10分，共20分)

9.等差數(shù)列｛an｝滿意ai+a2=10,34-a3=2.

(1)求首項及公差；

⑵求｛aj的通項公式.

【解析】(1)設等差數(shù)列｛aj的公差為d.

由于a3=2,所以d=2.

又由于a】+a2=10,

所以2ai+d=10,故a1=4.

(2)由⑴可知an=4+2(n-l)=2n+2(n=l,2,…).

10.等差數(shù)列｛a"：3,7,11,15,....

(1)135,4m+19(m￡N*)是數(shù)列｛aj中的項嗎？試說明理由；

(2)假設ap,aq(p,q￡N*)是數(shù)列⑶｝中的項,那么2ap+3aq是數(shù)列｛aj

中的項嗎？并說明你的理由.

【解析】由于ai=3,d=4,

所以an=a1+(n-l)d=4n-1.

⑴令an=4n-1=135,所以n=34,

所以135是數(shù)列｛aj中的第34項.

令an=4n-1=4m+19,那么n=m+5￡N*.

所以4m+19是｛aj中的第m+5項.

(2)由于ap,(是｛a)中的項,

所以ap=4p-1,aq=4q-1.

所以2ap+3aq=2(4p-1)+3(4q-1)

=8p+12q-5=4(2p+3q-1)-1,

由于2P+3q-1￡N*,

所以2ap+3aq是｛加｝中的第2P+3q-1項.

=提升練?=(35分鐘70分)

一、選擇題(每題5分，共20分，多項選擇題全部選對得5分，選對

但不全的得2分，有選錯的得0分)

1.給出以下命題：

①數(shù)列6,4,2,0是公差為2的等差數(shù)列；

②數(shù)列a,a-1,a-2,a-3是公差為-1的等差數(shù)列；

③等差數(shù)列的通項公式肯定能寫成an=kn+b的形式(k,b為常數(shù))；

④數(shù)列{2n+1}(n￡N*)是等差數(shù)列.

其中正確命題的序號是()

A.①②B.①③C.②③④D.③④

【解析】選C.依據(jù)等差數(shù)列的定義可知，數(shù)列6,4,2,0的公差為

-2,①錯誤；

對于②，由等差數(shù)列的定義可知，數(shù)列a,a-1,a-2,a-3是公差

為-1的等差數(shù)列，所以②正確；對于③，由等差數(shù)列的通項公式an

=a1+(n-l)d,得an=dn+(ai-d),令k=d,b=a1-d,刃B么an=kn

+b,所以③正確；對于④,由于an+i-an=2(n+1)+1-(2n+1)=2,

所以數(shù)列上n+1}(n￡N*)是等差數(shù)列.所以④正確.

2.我國古代聞名的?周髀算經(jīng)?中提到：凡八節(jié)二十四氣，氣損益九

寸九分六分分之一；冬至暑(gui)長一丈三尺五寸，夏至暑長一尺六

寸.意思是：一年有二十四個節(jié)氣，每相鄰兩個節(jié)氣之間的日影長度

差為9年分；且“冬至〃時日影長度最大，為1350分；“夏至〃時日

影長度最小，為160分.那么“立春〃時日影長度為()

國長逐漸變小

一心

春

,分

清

雌

明

谷

舞O

乜

春

冬

21

大

1220

大

暑

秋

立

。15

處50

暑

21降

霜

唇長逐漸變大

；分B.1052；分

25

C.1155分D.125監(jiān)分

【解析】選B.一年有二十四個節(jié)氣，每相鄰兩個節(jié)氣之間的日影長

度差為99t分，

且“冬至”時日影長度最大，為1350分；

“夏至〃時日影長度最小，為160分.

從“冬至〃至『，立春〃有：“小寒〃和“大寒〃，且日影長變短，所以“立

春〃時日影長度為：

(1190)1八

1350+1-x3=10521(分).

2

3.在等差數(shù)列｛a/中,a2,ai4是方程x+6x+2=0的兩個實根,那

么---=()

a2ai4、'

B.-3C.-6D.2

2

【解析】選A.由于a2,aM是方程x+6x+2=0的兩個實根，所以a2

+an=2a8=-6,a8=-3,a2-a14=2,

所以氏=一1?

a2a14，，

4.（多項選擇題）等差數(shù)列｛aj的首項為a,公差為1,數(shù)列｛1｝滿意

3六7?假設對任意心*，山，那么實數(shù)a的可能取值是（）

A.-7B.-6.5C.-D.-6

【解析】選BC.由于⑶｝是首項為a,公差為1的等差數(shù)列，所以an

=n+a-1.所以bn='=1--'-.

an+1n+a

又由于對任意的nWN*,都有b￡b6成立，

可知」一<—，又由于數(shù)列｛冊｝是遞增數(shù)列，

6+an+a

那么必有7+a-1<0且8+a-1>0,所以-7<a<-6.

二、填空題（每題5分，共20分）

5.｛aj為等差數(shù)列，假設a2=2a3+l,a4=2a3+7,那么a3=.

【解析】由于｛M｝為等差數(shù)列,a2=2as+1,=2a3+7,

fai+d=2（ai+2d）+1

所以r、，

ai+3d=2〔ai+2d〕+7

解得a】=-10,d=3,

所以a3=a1+2d=-10+6=-4.

答案：-4

6.數(shù)列｛%｝中,33=2,37=1,且數(shù)列為等差數(shù)列，那么a5

1

【解析】由數(shù)列；7；為等差數(shù)列，

dn十1

那么有一14+—1二一?▲二，可解得a5="7.

23+1a7+135+13

7

筠安-—

口木,5

7.數(shù)列｛aj滿意：log2an+i=1+log2an，假設a3=10,那么a8=

【解析】log2an+i=1+log2an,所以log2an+i-Iog2an=1,

所以｛logzaj為等差數(shù)列，公差為1,第三項為log210,

所以log2a8=log210+5,

所以a8=320.

答案：320

8.在下面的數(shù)表中，每行、每列中的數(shù)都成等差數(shù)列.

第1歹1」第2列第3列?.,

第1行123?..

第2行246?..

第3行369?..

??????????????.

那么位于表中的第n行第(n+1)列的數(shù)是_______.

【解析】由題意可得，第n行的第一個數(shù)是n,第n行的數(shù)構成以n

為首項，n為公差的等差數(shù)列，其中第(n+1)項為n+n.n=I?+n.所以

題表中的第n行第(n+1)列的數(shù)是n2+n.

答案：W+n

三、解答題(每題10分，共30分)

2x1

9.f(x)=，在數(shù)列｛Xn｝中，X1=彳,x=f(x-])(n>2,neN*),

x+23nn

試說明數(shù)列出是等差數(shù)列，并求X95的值.

【解析】由于當n>2時，Xn=f(xn-1),

2xn-12xn-1-2xn

所以Xn=---------(n>2),即xnxn-]+2xn=2xn-I(n>2),得---------

Xn-1+2XnXn-1

=l(n>2),

即J-；(n>2).

XnZ

Xn-1

又J=3,所以數(shù)列｛是以3為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以

11n+5

工=3+(n-l)x-=—,

所以Xn=」2,

n+5

一21

所以X95=；-----=而.

95+55()

2

10.數(shù)列｛an｝滿意ai=1,an+i=(n+n-X)an(n=1,2,...)，九是常數(shù).

⑴當a2=T時，求入及a3的值；

⑵是否存在實數(shù)X使數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列？假設存在，求出X及數(shù)列

｛an｝的通項公式；假設不存在，請說明理由.

【解析】⑴由于“+1=(n2+n-X)a?(n=1,2,...),

Sai=1.

所以當a2=-1時，得-1=2-入，故九=3.

2

AffOa3=(2+2-3)x(-1)=-3.

⑵數(shù)列｛%｝不行能為等差數(shù)列，

2

證明如下：由a1=1,an+i=(n+n-X)an,

得32=2-X.,as=(6-九)(2-入),

34=(12-九)(6-九)(2-入),

假設存在入使⑶｝為等差數(shù)列，

那么as-a2=U2-ai,即(5-九)(2-X)=1-X,

解得X=3.于是a2-ai=1-X=-2,

34-a3=(ll-X)(6-入)(2-k)=-24.

這與｛an｝為等差數(shù)列沖突.所以，不存在入使⑶｝是等差數(shù)列.

.6Sn~4/\

11.數(shù)列｛aj滿意an+i=------，且ai=3(n￡N1.

a。+2

f11

⑴證明：數(shù)歹I」「是等差數(shù)列；

加一二

(2)求數(shù)列｛aj的通項公式.

6a~4

【解析】(1)由于an+l=n,

即+2

1]

所以=1,=

ai-23-2an+1-26an-4

--------2

an+2

an+2(an-2)+4[j

an+2

-----二-------------+—即

面-4)-2(an+2)4an-84卜-2)an-2----，

111