2018-2019數(shù)學(xué)蘇教版必修2 第2章2

第頁(yè)[學(xué)業(yè)水平訓(xùn)練]1.已知圓C:x2＋y2－2x＋2y－3＝0,AB為圓C的一條直徑,點(diǎn)A(0,1),則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_______.解析:由x2＋y2－2x＋2y－3＝0得,(x－1)2＋(y＋1)2＝5,所以圓心C(1,－1).設(shè)B(x0,y0),又A(0,1),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得

,解得

,所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,－3).答案:(2,－3)2.過(guò)點(diǎn)P(1,2)的直線(xiàn)l平分圓C：x2＋y2＋4x＋6y＋1＝0的周長(zhǎng),則直線(xiàn)l的斜率為_(kāi)_______.解析：過(guò)點(diǎn)P(1,2)的直線(xiàn)l平分圓C的周長(zhǎng),則直線(xiàn)l過(guò)圓心(－2,－3),則直線(xiàn)l的斜率為k＝

＝

.答案:

3.點(diǎn)M,N在圓x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上,且點(diǎn)M,N關(guān)于直線(xiàn)x－y＋1＝0對(duì)稱(chēng),則該圓的面積是________.解析：將x2＋y2＋kx＋2y－4＝0化為(x＋

)2＋(y＋1)2＝5＋

,故圓心坐標(biāo)是(－

,－1),由題意知,直線(xiàn)x－y＋1＝0過(guò)圓心,故－

＋1＋1＝0,解得k＝4,此時(shí)圓的半徑為3,圓的面積是9π.答案:9π4.點(diǎn)A(1,0)在圓x2＋y2－2ax＋a2＋3a－3＝0上,則a的值為_(kāi)_______.解析:∵點(diǎn)A在圓上,∴a應(yīng)滿(mǎn)足的條件為

,即

,解得

,∴a＝－2.答案:－25.如果圓的方程為x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0,那么當(dāng)圓面積最大時(shí),圓心的坐標(biāo)是________.解析：將x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化為(x＋

)2＋(y＋1)2＝1－

k2,可知當(dāng)k＝0時(shí),圓的半徑最大,即圓面積最大,此時(shí)圓心坐標(biāo)是(0,－1).答案:(0,－1)6.已知圓的方程為x2＋y2－6x－8y＝0,設(shè)該圓過(guò)點(diǎn)(3,5)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形ABCD的面積為_(kāi)_______.解析:點(diǎn)(3,5)在圓內(nèi),最長(zhǎng)弦AC即為該圓直徑,∴AC＝10,最短弦BD⊥AC,∴BD＝4

,S四邊形ABCD＝eq\f(1,2)AC·BD＝20eq\r(6).答案:20

7.試判斷A(1,2),B(0,1),C(7,－6),D(4,3)四點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上.解:線(xiàn)段AB,BC的斜率分別是kAB＝1,kBC＝－1,得kAB≠kBC,則A,B,C三點(diǎn)不共線(xiàn),設(shè)過(guò)A,B,C三點(diǎn)的圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)在此圓上,所以

,解得

,所以過(guò)A,B,C三點(diǎn)的圓的方程為x2＋y2－8x＋4y－5＝0,將D點(diǎn)坐標(biāo)(4,3)代入方程,得42＋32－8×4＋4×3－5＝0,即點(diǎn)D在此圓上,故A,B,C,D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上.8.一圓經(jīng)過(guò)A(4,2)和B(－1,3)兩點(diǎn),且在兩坐標(biāo)軸上的四個(gè)截距之和是2,求該圓的方程.解:設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0),令y＝0,得x2＋Dx＋F＝0,所以圓在x軸上的截距之和為x1＋x2＝－D.同理圓在y軸上的截距之和為y1＋y2＝－E,由題意知－D－E＝2.①又A,B在圓上,所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0,②1＋9－D＋3E＋F＝0,③由①②③聯(lián)立方程組解得D＝－2,E＝0,F＝－12.所以,所求圓的方程為x2＋y2－2x－12＝0.[高考水平訓(xùn)練]1.設(shè)A為圓(x－1)2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn),PA是圓的切線(xiàn)且PA＝1,則P點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)滿(mǎn)足的方程是________.解析：由題意知,圓心(1,0)到P點(diǎn)的距離為

,所以點(diǎn)P在以(1,0)為圓心,以

為半徑的圓上,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)滿(mǎn)足的方程是(x－1)2＋y2＝2.答案:(x－1)2＋y2＝22.已知圓C:(x－3)2＋(y－4)2＝1,點(diǎn)A(0,－1),B(0,1),設(shè)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn),令d＝PA2＋PB2,則d的最大值及最小值分別為_(kāi)_______、________.解析：如圖,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),∴d＝xeq\o\al(2,0)＋(y0＋1)2＋xeq\o\al(2,0)＋(y0－1)2＝2(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0))＋2＝2PO2＋2.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求P點(diǎn)到原點(diǎn)O距離的最值,∵O在圓外,∴OPmax＝CO＋1＝5＋1＝6,POmin＝CO－1＝5－1＝4.∴dmax＝2×62＋2＝74,dmin＝2×42＋2＝34.答案:74343.已知曲線(xiàn)C:(1＋a)x2＋(1＋a)y2－4x＋8ay＝0,(1)當(dāng)a取何值時(shí),方程表示圓；(2)求證:不論a為何值,曲線(xiàn)C必過(guò)兩定點(diǎn)；(3)當(dāng)曲線(xiàn)C表示圓時(shí),求圓面積最小時(shí)a的值.解:(1)當(dāng)a＝－1時(shí),方程為x＋2y＝0,表示一條直線(xiàn)；當(dāng)a≠－1時(shí),

2＋

2＝

表示圓．(2)證明:方程變形為x2＋y2－4x＋a(x2＋y2＋8y)＝0.對(duì)于a取任何值,上式成立,則有

解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(16,5)，,y＝－\f(8,5)，))∴C過(guò)定點(diǎn)A(0,0),B

.(3)由(2)曲線(xiàn)C過(guò)定點(diǎn)A.B,在這些圓中,當(dāng)以AB為直徑時(shí),圓的面積最小(其余不以AB為直徑的圓,AB為弦,直徑大于AB的長(zhǎng),圓的面積也大),從而得以AB為直徑圓的方程:

2＋

2＝

,∴

＝

,

＝

,

＝

,解得a＝eq\f(1,4).4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)二次函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn),經(jīng)過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C.(1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(2)求圓C的方程；(3)問(wèn)圓C是否經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)(其坐標(biāo)與b無(wú)關(guān))?請(qǐng)證明你的結(jié)論.解:(1)令x＝0,得拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)是(0,b)；令f(x)＝x2＋2x＋b＝0,由題意知b≠0且Δ＞0,解得b＜1且b≠0.(2)設(shè)所求圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0,令y＝0得x2＋Dx＋F＝0,這與x2＋2x＋b＝0是同一個(gè)方程,故D＝2,F＝b.令x＝0得y2＋Ey＋b＝0,此方程有一個(gè)根為b,代入得出E＝－b－1.所以圓C的方程為x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.(3)圓C必過(guò)定點(diǎn),證明如下:假設(shè)圓C過(guò)定點(diǎn)(x0,y0)(x0,y0與b無(wú)關(guān)),將該點(diǎn)代入圓C的方程,并變形為x

＋y

＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0(*),為使(*)式對(duì)所有滿(mǎn)足b＜1且b≠0的b都成立,只需1－y0