專題01 第1章 集合與邏輯-滬教版高一《數(shù)學》上學期期末復(fù)習課專題（解析版）

第第頁PAGE【教師版】專題01第1章集合與邏輯第1章集合與邏輯【課本目錄】1.1集合初步1.1.1集合；1.1.2集合的表示方法；1.1.3集合之間的關(guān)系；1.1.4集合的運算1.2常用邏輯用語1.2.1命題；1.2.2充分條件與必要條件；1.2.3反證法本章內(nèi)容提要1.集合的概念與表示：（1）集合是一些確定對象的全體.集合中的元素具有確定、無序、不重復(fù)的特征.常用數(shù)集有等；（2）空集是不含任何元素的集合；（3）當時，滿足的所有實數(shù)組成的集合記作開區(qū)間，滿足的所有實數(shù)組成的集合記作閉區(qū)間等；2.集合的關(guān)系與運算：（1）子集關(guān)系可分為兩類：真子集與相等的集合；（2）集合與的交集是這兩個集合的所有公共元素所組成的集合，記作；集合與的并集是這兩個集合的所有元素所組成的集合，記作；（3）相對于全集，其任一子集均有補集.一個集合的補集是指在全集中而不在中的全體元素所組成的集合，記作；3.命題（1）命題是指能判斷其真假的語句；（2）命題有真、假兩類；4.充分條件與必要條件：（1）當時，是的充分條件，是的必要條件；（2）當時，是的充要條件.此時，在推理過程中與能互相替換；5.反證法，是指通過否定結(jié)論，推出矛盾，進而證明結(jié)論成立的證明方法；題型1、集合的含義與表示例1、（1）設(shè)集合B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若1∈B，則B＝（）A．{1，3} B．{1，0}C．{1，－3} D．{1，5}【提示】明確元素與集合的關(guān)系；；【答案】A；【解析】∵集合B＝{x|x2－4x＋m＝0}，1∈B，∴1－4＋m＝0，解得m＝3，∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}；（2）)已知集合A＝{0，1，2}，則集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的個數(shù)是個；【提示】明確集合的元素與元素滿足的性質(zhì)；【答案】6；【解析】方法1、（枚舉法）當x＝0時，y＝0；當x＝1時，y＝0或y＝1；當x＝2時，y＝0,1,2.故集合B＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，即集合B中有6個元素；方法2；借助坐標軸，數(shù)形結(jié)合；【說明】解決集合含義問題的關(guān)鍵：一是確定構(gòu)成集合的元素；二是確定元素的限制條件；三是根據(jù)元素的特征（滿足的條件）構(gòu)造關(guān)系式解決相應(yīng)問題；特別提醒：含字母的集合問題，在求出字母的值后，需要驗證集合的元素是否滿足互異性；題型2、集合與集合間的關(guān)系例2、（1）設(shè)集合A＝{x||x－a|＝1}，B＝{－1，0，b}(b＞0)．若A?B，則對應(yīng)的實數(shù)對(a，b)有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個【提示】注意理解集合的元素與集合間關(guān)系；【答案】B；【解析】由|x－a|＝1，解得x1＝a－1，x2＝a＋1，故A＝{a－1，a＋1}；因為A?B，B＝{－1，0，b}(b＞0)，所以當a－1＝－1時，a＝0，A＝{－1,1}，則b＝1；當a－1＝0時，a＝1，A＝{0,2}，則b＝2；因為a＋1＞a－1，所以不存在滿足a－1＝b且A?B的實數(shù)對(a，b)；綜上，對應(yīng)的實數(shù)對(a，b)為(0,1)，(1,2)，有2個；（2）已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＞a}．若A?B，則實數(shù)a的取值范圍是________．【提示】注意：理解集合的元素與用好“數(shù)形結(jié)合”【答案】{a|a≤1}；【解析】如圖，在數(shù)軸上表示出A，B.因為A?B，所以a≤1.答案：{a|a≤1}；【說明】1、子集個數(shù)的求解方法：（1）窮舉法：將集合的子集一一列舉出來，從而得到子集的個數(shù)，適用于集合中元素個數(shù)較少的情況；（2）公式法：含有n個元素的集合的子集個數(shù)是2n，真子集的個數(shù)是2n－1，非空真子集的個數(shù)是2n－2；2、已知兩集合的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的條件，解決這類問題常常要合理利用數(shù)軸、文氏圖或圖象幫助分析；題型3、集合的相關(guān)運算例3、（1）已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|ex－2≤1}，則A∪B＝（）A．(－∞，4) B．(1，4)C．(1，2) D．(1，2]【提示】注意：利用相關(guān)知識化簡已知集合，明確集合的元素及其性質(zhì)；【答案】A；【解析】由題設(shè)，解得A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，所以A∪B＝(－∞，4)．（2）若集合A＝{x|2x2－9x＞0}，B＝{y|y≥2}，則(?RA)∪B＝()【答案】[0，＋∞)；【解析】因為A＝{x|2x2－9x＞0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞\f(9,2)，或x＜0))))，所以?RA＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(9,2)))))，又B＝{y|y≥2}，所以(?RA)∪B＝[0，＋∞)．【說明】解答集合間的運算問題，關(guān)鍵是：利用相關(guān)知識化簡已知集合，明確集合的元素是什么？滿足什么性質(zhì)？題型4、依據(jù)集合運算求參數(shù)或范圍例4、（1）設(shè)集合A＝{x|x(4－x)＞3}，B＝{x||x|≥a}，若A∩B＝A，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≤1B．a(chǎn)＜1C．a(chǎn)≤3D．a(chǎn)＜3【提示】注意：先利用相關(guān)知識化簡已知集合，然后，理解集合的元素與性質(zhì)進行運算；【答案】A；【解析】由已知，化簡得：A＝{x|1＜x＜3}，∵A∩B＝A，∴A?B，①若a≤0，B＝R，滿足A?B；②若a＞0，則B＝{x|x≥a，或x≤－a}；∴0＜a≤1，綜上可得，a≤1；（2）設(shè)A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}．已知A∩B＝{9}，則a＝________，A∪B＝________.【答案】－3；{－7，－4，－8，4，9}；【解析】由已知A∩B＝{9}，得a2＝9或2a－1＝9，解得a＝±3或a＝5；當a＝3時，A＝{9，5，－4}，B＝{－2，－2，9}，B中元素不滿足集合元素的互異性，舍去．當a＝－3時，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8，4，9}，A∩B＝{9}滿足題意，故A∪B＝{－7，－4，－8，4，9}；當a＝5時，A＝{25，9，－4}，B＝{0，－4，9}，此時A∩B＝{－4，9}，與A∩B＝{9}矛盾，故舍去．綜上所述，a＝－3，A∪B＝{－7，－4，－8，4，9}；【說明】根據(jù)集合運算的結(jié)果確定參數(shù)值或范圍的步驟；主要是利用相關(guān)知識化簡已知集合；同時明確集合的運算與性質(zhì)；在進行集合運算時，列出方程或不等式（組）求相關(guān)的參數(shù)；題型5、數(shù)形結(jié)合解答有關(guān)集合問題例5、（1）圖中陰影部分所表示的集合是（）A．?U(A∪C)∩B B．(A∪B)∪(B∪C)C．(A∪C)∩(?UB) D．?U(A∩C)∪B【答案】C；【解析】由文氏圖可知陰影部分所表示的集合為集合A，C的并集與集合B在全集U中補集的交集，即為(A∪C)∩(?UB)．（2）調(diào)查了100名攜帶藥品出國的旅游者，其中75人帶有感冒藥，80人帶有胃藥，那么對于既帶感冒藥又帶胃藥的人數(shù)統(tǒng)計中，下列說法正確的是（）A．最多人數(shù)是55 B．最少人數(shù)是55C．最少人數(shù)是75 D．最多人數(shù)是80【答案】B；【解析】設(shè)100名攜帶藥品出國的旅游者組成全集I，其中帶感冒藥的人組成集合A，帶胃藥的人組成集合B；又設(shè)所攜帶藥品既非感冒藥又非胃藥的人數(shù)為x，則x∈[0,20]，以上兩種藥都帶的人數(shù)為y.根據(jù)題意畫出文氏圖，如圖所示，由圖可知，x＋75＋80－y＝100.∴y＝55＋x.∵0≤x≤20，∴55≤y≤75，故最少人數(shù)是55.答案：B【說明】通過本題說明，解解答集合問題時，用好數(shù)軸、直角坐標系、文氏圖，往往可以化抽象為具體；題型6、例析與集合有關(guān)的新定義問題例6、（1）對于任意兩個自然數(shù)m，n，定義某種?運算如下：當m，n都為奇數(shù)或偶數(shù)時，m?n＝m＋n；當m，n中一個為偶數(shù)，另一個為奇數(shù)時，m?n＝mn.則在此定義下，集合M＝{(a，b)|a?b＝18，a∈N，b∈N}中的元素個數(shù)為（）A．26 B．25C．24 D．23【提示】理解與轉(zhuǎn)化“新定義”；【答案】B；【解析】若a和b一奇一偶，則ab＝18，滿足此條件的有1×18＝2×9＝3×6，故數(shù)對(a，b)有6個；若a和b同奇偶，則a＋b＝18，滿足此條件的有0＋18＝1＋17＝2＋16＝3＋15＝4＋14＝…＝17＋1＝18＋0，故數(shù)對(a，b)有19個；所以滿足條件的元素個數(shù)為6＋19＝25；答案：B；（2）已知集合M＝{1,2,3,4}，集合A，B為集合M的非空子集，若對于任意x∈A，y∈B，x＜y恒成立，則稱(A，B)為集合M的一個“子集對”，則集合M的“子集對”共有________個．【答案】17；【解析】由集合M＝{1,2,3,4}集合A，B為集合M的非空子集，若對于任意x∈A，y∈B，x＜y恒成立，則稱(A，B)為集合M的一個“子集對”，則集合M的“子集對”有：當A＝{1}，B＝{2}或{3}或{4}或{2,3}或{2,4}或{3,4}或{2,3,4}；當A＝{2}時，B＝{3}或{4}或{3,4}，當A＝{3}時，B＝{4}，當A＝{1,2}時，B＝{3}或{4}或{3,4}，當A＝{1,3}時，B＝{4}，當A＝{2,3}時，B＝{4}，當A＝{1,2,3}時，B＝{4}．答案：17【說明】與集合有關(guān)的新定義問題，需要認真審題，搞清新定義含義，從而順利解決問題．新定義問題特點是“新”，并不代表“難”，所以面對此問題時，克服畏難情緒很重要；題型7、充要條件的判斷例7、（1）設(shè)x∈R，則“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【提示】注意：先借助相關(guān)知識，化簡已知命題的條件與結(jié)論；【答案】B；【解析】由x2－5x＜0可得0＜x＜5.由|x－1|＜1可得0＜x＜2.由于區(qū)間(0,2)是(0,5)的真子集，故“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的必要而不充分條件；（2）設(shè)命題p：|4x－3|≤1；命題q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若q是p的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍是______________________【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))；【解析】解|4x－3|≤1，得eq\f(1,2)≤x≤1.解x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1.∵q是p的必要不充分條件，即由命題p成立能推出命題q成立，但由命題q成立不能推出命題p成立．∴eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))[a，a＋1]．∴a≤eq\f(1,2)且a＋1≥1，兩個等號不能同時成立，解得0≤a≤eq\f(1,2).∴實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).【說明】1、充分、必要條件的判斷方法：（1）利用定義判斷：直接判斷“若p，則q”“若q，則p”的真假．在判斷時，確定條件是什么、結(jié)論是什么；（2）從集合的角度判斷：利用集合中包含關(guān)系判定，即可解決充分、必要性的問題；2、不能將“若p，則q”與“p?q”混為一談，只有“若p，則q”為真命題時，才有“p?q”，即“p?q”?“若p，則q”為真命題．題型8、充要條件與必要條件的應(yīng)用例8、（1）若x＞0，則x＋eq\f(2024,x)≥a恒成立的一個充分條件是()A．a(chǎn)＞80B．a(chǎn)＜80C．a(chǎn)＞100D．a(chǎn)＜100【答案】B；【解析】當x＞0時，x＋eq\f(2024,x)≥2eq\r(2024)＝4eq\r(506)，因為x＋eq\f(2024,x)≥a(x＞0)恒成立，所以a≤4eq\r(506)，結(jié)合各選項知x＋eq\f(2024,x)≥a恒成立的一個充分條件為a＜80；答案：B；（2）若“x2－2x－8＞0”是“x＜m”的必要不充分條件，則m的最大值為________．【答案】－2；【解析】由x2－2x－8＞0，解得x＞4或x＜－2，所以記A＝{x|x＞4，或x＜－2}，B＝{x|x＜m}；若“x2－2x－8＞0”是“x＜m”的必要不充分條件，則B是A的真子集．故m≤－2，所以m的最大值為－2；答案：－2；【說明】已知充分、必要條件或充要條件求參數(shù)取值范圍的策略：1、巧用轉(zhuǎn)化求參數(shù)：把充分、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合的包含、相等關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出有關(guān)參數(shù)的不等式(組)求解，注意條件的等價變形；2、端點值慎取舍：在求參數(shù)范圍時，要注意區(qū)間端點值的檢驗，從而確定取舍；題型9、理解與用好反證法例9、（1）用反證法證明“已知，求證：.”時，應(yīng)假設(shè)（）A． B． C．且 D．或【提示】根據(jù)反證法證明數(shù)學命題的方法，應(yīng)先假設(shè)要證命題的否定成立，求得要證命題的否定，可得結(jié)論；【答案】D【解析】根據(jù)反證法證明數(shù)學命題的方法，應(yīng)先假設(shè)要證命題的否定成立，而的否定為“不都為零”，故選D.【說明】本題主要考查用反證法證明數(shù)學命題的方法和步驟，求一個命題的否定，屬于簡單題.（2）設(shè)a,b,c分別是的三條邊,且；我們知道，如果為直角三角形，那么(勾股定理)；反過來，如果，那么為直角三角形(勾股定理的逆定理)；由此可知,為直角三角形的充要條件是；請利用邊長a,b,c分別給出為銳角三角形和鈍角三角形的一個充要條件，并證明；【提示】根據(jù)勾股定理易得為銳角三角形的充要條件是.為鈍角三角形的充要條件是；再分別證明充分與必要性即可；【答案】為銳角三角形的充要條件是；為鈍角三角形的充要條件是.【解析】（1）設(shè)a,b,c分別是的三條邊,且,為銳角三角形的充要條件是.證明如下：必要性:在中,是銳角,作,D為垂足,如圖(1).顯然,即.充分性：在中,,不是直角.假設(shè)為鈍角,如圖(2).作,交BC延長線于點D.則.即,與“”矛盾.故為銳角,即為銳角三角形.（2）設(shè)a,b,c分別是的三條邊,且,為鈍角三角形的充要條件是.證明如下:必要性:在中,為鈍角,如圖(2),顯然:.即.充分性:在中,,不是直角,假設(shè)為銳角,如圖(1),則.即,這與“”矛盾,從而必為鈍角,即為鈍角三角形.【說明】本題主要考查了銳角與鈍角三角形的充分必要條件證明；證明時注意用反證法；.題型10、巧用補集思想解題例10、（1）已知集合A＝{x∈R|2≤x＜3}，B＝{x∈R|k－1≤x＜2k－1}，若A∩B≠A，求實數(shù)k的取值范圍；【提示】注意：理解補集思想，用好“正難則反”；【解析】若A∩B＝A，則A?B.又A＝{x∈R|2≤x＜3}，B＝{x∈R|k－1≤x＜2k－1}，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－1≤2，,2k－1≥3，))解得2≤k≤3.又k∈R，所以當A∩B≠A時，實數(shù)k的取值范圍為集合{k|2≤k≤3}的補集，即(－∞，2)∪(3，＋∞)．（2）設(shè)集合A＝{x|a≤x≤a＋4}，B＝{x|x＜－1或x＞5}，若A∩B≠?，求實數(shù)a的取值范圍．【提示】A∩B≠?，說明集合A，B有公共元素，由于在數(shù)軸上表示集合B的圖形是兩個斷開的區(qū)域，需對集合A分多種情況討論，求解比較繁瑣．于是可從問題的反面入手，先由A∩B＝?，求出a的取值范圍，然后利用補集思想求解；【解析】當A∩B＝?時，如圖所示，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥－1，,a＋4≤5，))解得－1≤a≤1；即A∩B＝?時，實數(shù)a的取值范圍為M＝{a|－1≤a≤1}．而A∩B≠?時，實數(shù)a的取值范圍顯然是集合M在R中的補集，故實數(shù)a的取值范圍為{a|a＜－1或a＞1}；【說明】在討論一些較為復(fù)雜的問題時，可以先求解問題的反面，采用“正難則反”的解題策略，這就是補集思想；具體的講，就是將研究對象的全體視為全集，求出使問題反面成立的集合A，則A的補集即為所求；補集的性質(zhì)A＝?U?UA為我們提供了“正難則反”的解題思想——補集思想，有些數(shù)學問題，若直接從正面解決，要么解題思路不明朗，要么需要考慮的因素太多，因此，考慮用補集思想考慮其對立面，從而化繁為簡，化難為易，開拓新的解題思路.題型11、例析綜合題與創(chuàng)新題新高考下，高考數(shù)學命題遵循課程標準，深化基礎(chǔ)性考查，注重數(shù)學本質(zhì)與創(chuàng)造性思維，深入考查核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力，加強情境化設(shè)計，增強題目的開放性．新情境、新設(shè)問、新題型等都成為新高考的一個特色．機械刷題、套路解題已遠遠達不到新高考的要求，減少刷題、減少套路，重思維、提能力；例11、學校開運動會，設(shè)A={是參加100m跑的同學}，B={是參加200m跑的同學}，C={是參加400m跑的同學}，學校規(guī)定，每個參加上述比賽的同學最多只能參加兩項比賽，請你用集合的運算說明這項規(guī)定，并解釋以下集合運算的含義：（1）；（2）；【提示】（1）根據(jù)并集的定義得到答案；（2）根據(jù)交集的定義得到答案.【答案】；（1）表示參加100m跑或參加200m跑的同學；（2）表示既參加100m跑又參加400m跑的同學【解析】這項規(guī)定用集合表示：（1）表示參加100m跑或參加200m跑的同學；（2）表示既參加100m跑又參加400m跑的同學.【說明】本題考查了交集和并集的定義的理解，屬于簡單題.例12、已知A={滿足條件p},B={滿足條件q},（1）如果,那么p是q的什么條件?（2）如果,那么p是q的什么條件?（3）如果,那么p是q的什么條件?【提示】（1）根據(jù)集合間的基本關(guān)系判斷和的包含關(guān)系再即可.（2）根據(jù)集合間的基本關(guān)系判斷和的包含關(guān)系再即可.（3）根據(jù)集合間的基本關(guān)系判斷和的包含關(guān)系再即可.【答案】（1）充分條件；（2）必要條件；（3）充要條件；【解析】（1）如果,則滿足條件p也滿足條件q.故p是q的充分條件.（2）如果,則滿足條件q也滿足條件p.故p是q的必要條件.（3）如果,則滿足條件p滿足條件q,且滿足條件q也滿足條件p.故p是q的充要條件.【說明】本題主要考查了集合的關(guān)系與充分必要條件的關(guān)系；例13、已知f(x)是R上的奇函數(shù)，則“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的________(選填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)條件．【答案】答案：充分不必要；【解析】因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以若x1＋x2＝0，則x1＝－x2，則f(x1)＝f(－x2)＝－f(x2)，即f(x1)＋f(x2)＝0成立，即充分性成立；若f(x)＝0，滿足f(x)是奇函數(shù)，當x1＝x2＝2時，滿足f(x1)＝f(x2)＝0，此時滿足f(x1)＋f(x2)＝0，但x1＋x2＝4≠0，即必要性不成立．故“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充分不必要條件．例14、設(shè)證明:的充要條件是.【提示】分別證明充分性與必要性即可.【解析】證明：（1）充分性:如果,那么,.（2）必要性:如果,那么,,.由(1)(2)知,的充要條件是；【說明】本題主要考查了充分必要條件的證明,需要分別證明充分性與必要性；例15、已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．（1）若(?RA)∪B＝R，求a的取值范圍；（2）是否存在a使(?RA)∪B＝R且A∩B＝?？【解析】（1）)A＝{x|0≤x≤2}，∴?RA＝{x|x<0或x>2}．∵(?RA)∪B＝R，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤0，,a＋3≥2.))∴－1≤a≤0.（2）由(1)知(?RA)∪B＝R時，－1≤a≤0，而2≤a＋3≤3，∴A?B，這與A∩B＝?矛盾．即這樣的a不存在．【說明】根據(jù)集合間關(guān)系求參數(shù)范圍時，要深刻理解子集的概念，把形如A?B的問題轉(zhuǎn)化為AB或A＝B，進而列出不等式組，使問題得以解決.在建立不等式過程中，可借助數(shù)軸以形促數(shù)，化抽象為具體.要注意作圖準確，分類全面；例16、已知a≥eq\f(1,2)，y＝－a2x2＋ax＋c，其中a，c均為實數(shù)．證明：對于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1成立的充要條件是c≤eq\f(3,4).【解析】因為a≥eq\f(1,2)，所以函數(shù)y＝－a2x2＋ax＋c的圖象的對稱軸方程為x＝eq\f(a,2a2)＝eq\f(1,2a)，且0＜eq\f(1,2a)≤1，當x＝eq\f(1,2a)時，y＝eq\f(1,4)＋c.先證必要性：對于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1，即eq\f(1,4)＋c≤1，所以c≤eq\f(3,4).再證充分性：因為c≤eq\f(3,4)，當x＝eq\f(1,2a)時，y的最大值為eq\f(1,4)＋c≤eq\f(1,4)＋eq\f(3,4)＝1，所以對于任意x∈{x|0≤x≤1}，y＝－a2x2＋ax＋c≤1，即y≤1.即充分性成立．【說明】利用充分條件和必要條件求參數(shù)的取值范圍，主要是根據(jù)集合間的包含關(guān)系與充分條件和必要條件的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，建立關(guān)于參數(shù)的不等式或不等式組求解；【備用題】1、已知關(guān)于的不等式的解集為不等式的解集；（1）設(shè)不等式等式的解集為，求；（2）若的解集為且是的一個必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍；【提示】（1）根據(jù)二次不等式的解集求出，解二次不等式即可求解；，（2）化簡，是的一個必要不充分條件，即，結(jié)合兩根大小關(guān)系，分類討論出即可求解；【答案】（1）；（2）；【解析】（1）由不等式的解集為，得，解得，則，即，解得，即，則.（2）由是的一個必要不充分條件，即，由，即，即，則當時，即時，，符合題意；當時，，由，則等號不能同時取，解得；當時，，由，則等號不能同時取，解得；綜上，實數(shù)的取值范圍是.2、定義區(qū)間、、、的長度均為，已知不等式的解集為.（1）求的長度；（2）函數(shù)（，）的定義域與值域都是（），求區(qū)間的最大長度；（3）關(guān)于的不等式的解集為，若的長度為6，求實數(shù)的取值范圍；【提示】（1）解不等式得其解集即得區(qū)間長度；(2)由題意求出f（x）的定義域并化簡解析式，判斷出區(qū)間的范圍和的單調(diào)性，由題意列出方程組，轉(zhuǎn)化為m，n是方程的同號的相異實數(shù)根，利用韋達定理表示出mn和m+n，由判別式大于零求出a的范圍，表示出n﹣m利用配方法化簡后，由二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值和a的值；（3）先求出A∩B?（0，6），再轉(zhuǎn)化為不等式組，當x∈（0，6）時恒成立.分析兩個恒成立問題即得t的取值范圍；【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）解不等式得其解為-1≤x＜6，所以解集A區(qū)間長度為6-(-1)=7.(2)由題意得，函數(shù)的定義域是{x|x≠0}，∵[m，n]是其定義域的子集，∴[m，n]?（﹣∞，0）或（0，+∞）．∵f（x）=在[m，n]上是增函數(shù)，∴由條件得，則m，n是方程f（x）=x的同號相異的實數(shù)根，即m，n是方程（ax）2﹣（a2+a）x+1=0同號相異的實數(shù)根．∴mn=，m+n==，則△=（a2+a）2﹣4a2＞0，解得a＞1或a＜﹣3．∴n﹣m====，∴n﹣m的最大值為，此時，解得a=3.即在區(qū)間[m，n]的最大長度為．(3)因為x>0，A=[-1,6），的長度為6，所以A∩B?（0，6）.不等式log2x+log2（tx+3t）＜2等價于又A∩B?（0，6），不等式組的解集的各區(qū)間長度和為6，所以不等式組，當x∈（0，6）時恒成立.

當x∈（0，6）時，不等式tx+3t＞0恒成立，得t＞0當x∈（0，6）時，不等式tx2+3tx﹣4＜0恒成立，即恒成立

當x∈（0，6）時，的取值范圍為，所以實數(shù)綜上所述，t的取值范圍為【說明】本題考查一個新定義問題，即區(qū)間的長度，本題解題的關(guān)鍵是對于條件中所給的三種不同的題目進行整理變化，靈活解答函數(shù)的最值問題和恒成立問題.一、填空題（共10小題，每小題4分，滿分40分）1、已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，則m的取值為【答案】1或3；【解析】因為5∈M，所以m＋2＝5或m2＋4＝5，解得m＝3，或m＝1，m＝－1.當m＝3時，M＝{1,5,13}，符合題意；當m＝1時，M＝{1,3,5}，符合題意；當m＝－1時，M＝{1,1,5}，不滿足集合中元素的互異性，不成立，所以m＝3或m＝1.2、若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有一個元素，則實數(shù)a的取值范圍是________．【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥\f(9,8)，或a＝0))))；【解析】若a＝0，則集合A＝{x|3x＋2＝0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))，符合題意；若a≠0，則Δ＝9－8a≤0，解得a≥eq\f(9,8)，符合題意．綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥\f(9,8)，或a＝0))))；答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥\f(9,8)，或a＝0))))3、設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|x＜0}，B＝{x|x＞1}，則A∪(?UB)＝________________【答案】{x|x≤1}；【解析】∵B＝{x|x＞1}，∴?UB＝{x|x≤1}，則A∪(?UB)＝{x|x≤1}；4、命題“對于任意的1≤x≤2，使x2－a≥0”是真命題，則a的取值范圍是_______________【答案】{a|a≤1}；【解析】命題p：a≤x2在1≤x≤2上恒成立，y＝x2在1≤x≤2上的最小值為1，∴a≤1；5、定義集合運算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}．設(shè)集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，則集合A⊙B的所有元素之和為________．【答案】18；【解析】當x＝0時，y＝2、3，對應(yīng)的z＝0；當x＝1時，y＝2、3，對應(yīng)的z＝6、12.即A⊙B＝{0,6,12}．故集合A⊙B的所有元素之和為18；6、已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x|y＝lg(x－3)}，則圖中陰影部分表示的集合為【答案】{1,2,3}；【解析】∵全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|y＝lg(x－3)}＝{x|x＞3}，∴?UB＝{x|x≤3}．∴圖中陰影部分表示的集合為：A∩(?UB)＝{1,2,3}．7、已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)，1，2，3))，則具有性質(zhì)“若x∈A，則eq\f(1,x)∈A”的A的所有非空子集的個數(shù)為個【答案】7；【解析】滿足“x∈A，且eq\f(1,x)∈A”的A的非空子集為{1}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，3))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，2))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1，3))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,3)，2，3))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,3)，1，2，3))，共7個；8、已知集合A＝{x|x－a≤0}，B＝{1,2,3}，若A∩B≠?，則a的取值范圍為________________【答案】[1，＋∞)；【解析】集合A＝{x|x≤a}，集合B＝{1,2,3}，若A∩B≠?，則1,2,3這三個元素至少有一個在集合A中，若2或3在集合A中，則1一定在集合A中，因此只要保證1∈A即可，所以a≥1；答案：[1，＋∞)9、已知“x2－x－2＞0”是“2x＋p＞0”的必要條件，則實數(shù)p的取值范圍是________．【答案】(－∞，－4]【解析】由2x＋p＞0，得x＞－eq\f(p,2)，令A(yù)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＞－\f(p,2)))))，由x2－x－2＞0，解得x＞2或x＜－1，令B＝{x|x＞2或x＜－1}，由題意知A?B時，即－eq\f(p,2)≥2，解得p≤－4，∴實數(shù)p的取值范圍是(－∞，－4]．10、若“x2－x－6＞0”是“x＞a”的必要不充分條件，則a的最小值為________．【答案】3；【解析】由x2－x－6＞0，解得x＜－2或x＞3.因為“x2－x－6＞0”是“x＞a”的必要不充分條件，所以{x|x＞a}是{x|x＜－2或x＞3}的真子集，即a≥3，故a的最小值為3；答案：3；二、選擇題（共4小題每小題4分，滿分16分）11、某中學的學生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學生喜歡足球或游泳，60%的學生喜歡足球，82%的學生喜歡游泳，則該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數(shù)占該校學生總數(shù)的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%【答案】C；【解析】設(shè)只喜歡足球的百分比為x，只喜歡游泳的百分比為y，兩個項目都喜歡的百分比為z，由題意，可得x＋z＝60，x＋y＋z＝96，y＋z＝82，解得z＝46.∴該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數(shù)占該校學生總數(shù)的比例是46%.12、已知集合A＝{1,2,3，…，n}(n≥2，n∈N)，集合B＝{j1，j2，…，jk}(k≥2，k∈N)是集合A的子集．若1≤j1＜j2＜…＜jk≤n且ji＋1－ji≥m(i＝1,2，…，k－1)，符合題意的集合B的個數(shù)記為n(k⊕m)，則7(3⊕2)＝（）A．9B．10C．11D．12【答案】B；【解析】由題意可得n＝7，k＝3，m＝2，那么集合A＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合B＝{j1，j2，j3},1≤j1＜j2＜j3≤7且ji＋1－ji≥2(i＝1,2)，符合題意的集合B列舉出來可得{1,3,5}，{1,3,6}，{1,3,7}，{1,4,6}，{1,4,7}，{1,5,7}，{2,4,6}，{2,4,7}，{2,5,7}，{3,5,7}，共10個；答案：B；13、若集合A＝{x|x2－5x＋4＜0}，B＝{x||x－a|＜1}，則“a∈(2,3)”是“B?A”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A；【解析】A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|a－1＜x＜a＋1}；∵B?A，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1≥1，,a＋1≤4，))即2≤a≤3.∵(2,3)[2,3]，∴“a∈(2,3)”是“B?A”的充分不必要條件；答案：A；14、滿足“閉合開關(guān)K1”是“燈泡R亮”的充要條件的電路圖是（）【答案】C；【解析】由題圖A，閉合開關(guān)K1或者閉合開關(guān)K2都可以使燈泡R亮；反之，若要使燈泡R亮，不一定非要閉合開關(guān)K1，因此“閉合開關(guān)K1”是“燈泡R亮”的充分不必要條件．由題圖B，閉