假設檢驗課件

假設檢驗

上一章介紹了如何根據樣本來估計總體分布中的未知參數,而在實際工作中,常會遇到另外一類問題,例如,已知樣本來自正態(tài)總體,如何判斷該樣本是否來自均值E(X)為某個已知常量a0的正態(tài)總體?

或者說怎樣根據樣本,推斷總體均值E(X)與已知常量a0是否存在顯著差異?因為樣本出自總體,自然想到利用樣本均值

來對總體均值E(X)作出推斷,但出于抽樣的隨機性,即使

恰好等于a0,也不能肯定E(X)=a0;反之,如果

與

相差甚遠,也不能否定E(X)=a0的可能性。a0

再例如,設是分別來自兩個相互獨立的正態(tài)總體的樣本,怎樣利用樣本判斷這兩個正態(tài)總體的均值相等與否?或者說兩總體的均值是否有顯著差異?人們也會想到利用樣本均值進行分析,但是,與上述同樣的理由,由于抽樣的隨機性,即使與相等,也不能肯定兩個總體的均值相等。如果與不相等,也不能排除兩總體均值相等的可能。那么,該如何分析,才能作出合理的推理呢?這屬于假設檢驗中參數的假設檢驗所研究的內容。假設檢驗還包含另外一類內容,非參數的假設檢驗。例如,已知某個樣本,能否說明該樣本來自某個已知分布的總體等等,討論的對象不是參數,而是分布等。

假設檢驗

§8－1基本概念

§8－2正態(tài)總體均值的假設檢驗§8－3正態(tài)總體方差的假設檢驗§8－4零相關檢驗§8－5非參數假設檢驗§8－1基本概念

基本思想

假設檢驗的一般步驟兩類錯誤

小概率事件（實際推斷原理）將概率很小、接近于0的事件（小概率事件）在一次試驗中看成實際上的不可能事件；將概率較大、接近1的事件（大概率事件）在一次試驗中看成實際上的必然事件。這就是概率論中的一個重要原理，即實際推斷原則。例如，交通事故時有發(fā)生，但對每個人來講，遇到車禍的概率是很小的，可看成實際上的不可能事件；又例如，若某種彩票中頭獎的概率為1/500萬，則買一張彩票就中頭獎是一個小概率事件，也可看成實際上的不可能事件。假設檢驗的基本方法

假設檢驗的基本方法是所謂的概率反證法。即：假定某種假設H0是正確的。在此前提下構造一個小概率事件A，作一次實驗，如果事件A沒有發(fā)生，就接受H0

；反之，就有理由拒絕H0。

例：某車間用一臺自動包裝機包裝奶粉，額定標準假設檢驗的一般步驟下面通過例子來說明假設檢驗的一般步驟為每袋凈重0.5公斤，設包裝機稱得的奶粉重量服從正態(tài)分布，且根據長期的經驗知其標準差是0.015（公斤），某天開工后，為檢驗包裝機的工作是否正常，隨機抽取它所包裝的奶粉9袋，稱得凈重為：0.497，0.506，0.518，0.524，0.488，0.511，0.510，0.515，0.512。問這天包裝機的工作是否正常？

解：設這天包裝機所包裝的奶粉重量為X，已知X~N

(a,0.0152)。首先，假設a=0.5，記作H0:

a=0.5。如果H0成立，

取一臨界值，使之在H0

成立的條件下，則設

因為|1.8|<1.96,這表明小概率事件沒有發(fā)生，我們沒有理由否定原來的假設，只能認為原假設成立，接受原假設H0

，即認為這天包裝機工作正常。這種檢驗又稱顯著性檢驗。假設檢驗的內容和形式盡管很多，但檢驗步驟一般如下：①②③④⑤假設檢驗中的基本術語

上例中“H0:a=0.5”為原假設或零假設，而把相反的結論稱作對立假設或備擇假設，上例中的備擇假設為“H1：a

≠0.5”。如果拒絕H0

，則就接受H1

。給定的小概率為顯著水平。拒絕原假設的區(qū)域稱為拒絕域或否定域。接受原假設的區(qū)域稱為接受域。

兩類錯誤

第一類錯誤(“以真作假”錯誤或“棄真”錯誤):在原假設為真的情況下，如果一次試驗中，小概率事件A發(fā)生了，我們就拒絕原假設，實際上，在成立條件下，雖然事件A發(fā)生的概率很?。ǖ扔陲@著水平），但是，它還是有可能發(fā)生的，一旦發(fā)生，就拒絕原假設，即把一個正確的假定給否定了。犯第一類錯誤的概率就是

。第二類錯誤(“以假作真”錯誤或“取偽”錯誤):在我們進行假設檢驗的時候，當我們接受原假設時，并不能保證原假設一定是正確的。因為在原假設不成立的情況下，統(tǒng)計量的取值也有可能落在接受域。犯第二類錯誤的概率為β（如下圖）。

在樣本容量一定的情況下，變小了，則β變大了；反之,β變小了，則變大，不可能使兩者同時都很小。當然，人們總希望盡可能地減小犯兩類錯誤的概率。但是，欲使和β都變小，必須增加樣本容量。因為n越大，σ2/n越小，分布越集中。

我們知道對同一個原假設，根據同一組樣本，不同，可能有不同的判別結果。因此，的選擇也很重要，一般須根據實際情況來確定。例如，在檢驗藥品中，某種成分是否等于規(guī)定指標，因為關系到人民的安全，我們情愿犯“以真作假”的錯誤，而不愿犯“以假作真”的錯誤，即寧可將合格藥品判為不合格藥品，而不愿將不合格藥品判為合格藥品，此時，應把取大些。而在另外一些場合，例如，檢查盒裝螺絲釘的重量，就不必那么嚴格了，值可以取小些。§8－2正態(tài)總體均值的假設檢驗

分兩種情況討論：一個正態(tài)總體均值的假設檢驗1①1.2.

2.

例:由生產經驗知，某種鋼筋的強度服從正態(tài)分布N(a,σ2)

，但a,σ2均未知，今隨機抽取6根鋼筋進行強度試驗，測得強度分別是(單位:kg/mm2)：48.5，49.0，53.5，49.5，56.0，52.5，問能否認為該種鋼筋的強度為52.0(=0.05)？解：

正態(tài)總體均值的雙側假設檢驗與

單側假設檢驗

雙側假設檢驗：假設檢驗的否定域分布在接受域的兩側。單側假設檢驗原假設為：兩個正態(tài)總體均值的假設檢驗

例：設我國南方甲、乙兩市的年降水量，分別服從正態(tài)分布，X~N(a1,σ12),Y~N(a2,σ22)且已知

σ1=250,σ2=260

。根據甲城市的15年降水資料計算得平均年降水量為1050mm，又根據乙城市13年降水資料計算得平均降水量為1000mm

，試在=0.05下檢驗兩市年降水量的均值有無顯著差異？解：

如果兩正態(tài)總體方差未知，但已知兩正態(tài)總體方差相等，則在H0成立時統(tǒng)計量

其中這樣，可以采用t檢驗法。

多個正態(tài)總體均值的假設檢驗

(方差分析)表1:在水文研究中,方差分析主要用于分析水文現象的周期性。§8－3正態(tài)總體方差的假設檢驗

分兩種情況：一個正態(tài)總體方差的假設檢驗a已知

a未知

例：某車間生產的鋼絲折斷力在正常情況服從N(a,σ2)

，按規(guī)定生產精度σ2=64，某天抽取10根鋼絲作折斷試驗，結果為(單位：kg)578，572，570，568，572，570，572，596，584，570。試問該天生產的精度有無顯著變化？（取=0.05）解：，兩個正態(tài)總體方差的假設檢驗

例：

對A，B兩批同類無線電元件的電阻進行測試（單位：歐），各抽6件，根據測試結果。求得,能否認為這兩批元件電阻的方差相等。（＝0.02）解：

根據已知條件，求得F的計算值為：

因為0.09<1.06<11,所以可以認為這兩批元件電阻的方差無顯著差異。§8－4零相關檢驗

設X與Y為服從正態(tài)分布的隨機變量，ρ為它們的相關系數。（X1,X2,…，Xn）和（Y1，Y2,…，Yn）分別為X與Y的樣本，R為它們的樣本相關系數，與其他樣本數字特征一樣，也是隨機變量。

一般來講，如果X與Y的線性相關程度越高，則R的絕對值越大；反之，則R的絕對值越小。但是，有時即使X與Y不相關，甚至相互獨立，由于抽樣的隨機性仍有可能有較大的樣本相關系數。因此，常常有必要對相關系數是否為零進行檢驗，這種檢驗成為零相關檢驗。提出原假設：

H0:ρ=0；H1:ρ≠0在實際工作中，常采用另外一種等價的檢驗方法。

例：根據12年資料，算得某流域年徑流量與年降水量的相關系數r＝0.88，試檢驗該流域的年徑流量和年降水量是否顯著相關（＝0.05）。解：

由＝0.05,根據自由度n-2＝10，查附表（相關系數檢驗表）得：因為

所以拒絕原假設ρ＝0，即該流域的年徑流量與年降水量是顯著相關的?！?－5非參數假設檢驗

分布的假設檢驗獨立性檢驗一致性檢驗

前面所討論的檢驗對象都是總體的未知參數，所以稱為參數假設檢驗。而在某些場合需要檢驗某個樣本是否來自某已知分布的總體，或者根據樣本，要檢驗隨機變量的獨立性，有時還要判斷某組樣本是否屬于同一總體，等等。這些都屬于非參數假設檢驗。分布的假設檢驗

隨機變量X的分布函數F(x)未知,F0(x)為某個已知的分布函數。H0:F(x)=F0(x)，H1:F(x)≠

F0(x)

將X的取值范圍劃分成若干個連續(xù)的區(qū)間，統(tǒng)計樣本落在各區(qū)間內的個數mi，再計算出H0成立時，n次試驗中在各區(qū)間取值的理論頻數npi。皮爾遜證明，當

例：下表中①，②兩列是某隨機變量X的容量n＝269的樣本的頻率分布，試檢驗X

是否服從正態(tài)分布N(a,σ2)(＝0.05)。各組的頻數不應太小，一般要求不小于5，否則，將它與鄰組合并，總組數k按合并后的組數計算。解：根據樣本，用極大似然法估計正態(tài)分布中的兩個參數。將表中的最前2組和最后3組分布合并，使每組頻數不少于5。總組數k＝11。由

＝0.05，自由度v＝11－2－1＝8，查分布表得。由上表求得的值為7.47