2023人教A版高中數(shù)學(xué)精講4．1 指數(shù)

第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

1.求下列各式的值：

(1)址-8)3;(2)7(-10)2;⑶,(3—乃)4;(4).

a-b,a>b

【答案】(I)-8；(2)10；(3)萬(wàn)一3；(4)匕,.

b-a,a<b

【解析】

【分析】

利用根式的性質(zhì)逐一對(duì)(1)(2)(3)(4)中各式化簡(jiǎn)即可.

【詳解】(1)正8)3=-8；

(2)^(-10)2=|-10|=10；

(3)目(3-萬(wàn))4=|3-句=1-3；

E??{a-b,a>b

(4)叫=卜-4={

，[b-a,a<b

【點(diǎn)睛】本題考查利用根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.求值：2*；1(63--)4

881

【答案】4；—

O

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算法則：求值，注意運(yùn)算過(guò)程中應(yīng)用8=23、

嶼丫簡(jiǎn)化運(yùn)算

81⑴

22,2

【詳解】8§=(23)3=2、X5=22=4

OH產(chǎn)YT

【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)運(yùn)算；運(yùn)用指數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求值

3.用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式表示下列各式(其中。>0)：

⑴〃.療；(2)7^.

g2

【答案】（1）a3；（2）

【解析】

【分析】

將根式化為分式指數(shù)累，然后利用指數(shù)幕的運(yùn)算律可將（1）（2）中的代數(shù)式表示為

。的分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式.

22+28

【詳解】（1）4.標(biāo)=23Q3=；

1

/4\22

\7

【點(diǎn)睛】本題考查根式與指數(shù)幕的互化，同時(shí)也涉及了指數(shù)幕的運(yùn)算律的應(yīng)用，考

查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.計(jì)算下列各式（式中字母均是正數(shù)）:

215\|_3

234

(1)2a3b2-6ab+—3a6b'?(2)mn8；（舶.

八7\77

加2

【答案】（1）4a；（2）殍；（3）^-a.

n

【解析】

【分析】

（1）利用指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算即可,但需注意底數(shù)相同的項(xiàng)對(duì)應(yīng)指數(shù)相加減;

（2）利用指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算即可;

（3）將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)累，然后利用指數(shù)事的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)即可.

【詳解】（1）

11A152111+15

2a3b2-6a2b3-3/必=[2乂(一6)+(-3)]〃^2-6b23-6=4ab0=4a；

J\7

23_3\8

(2)m4n8旭4=//=4

n

/\7

23\!1-L111

+*=涼5_*-c^-a-y[a-a

7

【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)幕的運(yùn)算，解題時(shí)要注意將同類項(xiàng)進(jìn)行合并，將根式化為分

數(shù)指數(shù)幕，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.用根式的形式表示下列各式(”>())：

1332

(1)混；(2)加；(3)??；(4)

Ll11

【答案】(1)6；(2)正；(3)審；(4)方.

【解析】

【分析】

利用分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的定義可將(1)(2)(3)(4)中的分?jǐn)?shù)指數(shù)累化為根式的形式.

【詳解】⑴

(2)

(3)

(4)

【點(diǎn)睛】本題考查將分?jǐn)?shù)指數(shù)幕化為根式，熟悉分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的定義是解題的關(guān)鍵,

考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式表示下列各式：

(1)V?(x>0)T2)鼻(m—(加>〃)；(3)(/?>0);(4)

;

【答案】⑴x3(%>0)⑵(〃2-〃￥("?>〃)；⑶p5(p>0)；(4)

【解析】

【分析】

利用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的定義可將(1)(2)(3)(4)中的根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)累的形式.

2

【詳解】(1)當(dāng)x>0時(shí)，底？=/；

(2)當(dāng)初>〃時(shí)，m—n>0,則|加_幾1=(加一〃尸;

((__656511

(3)當(dāng)。>0時(shí)，.p?=p55=p2；

“3Y3」工

(4)當(dāng)a>0時(shí)，-r=-=a2=a'

7a2

a2

【點(diǎn)睛】本題考查將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)累，熟悉分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的定義是解題的關(guān)鍵,

考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.計(jì)算下列各式:

（1）I||j2;（2）26x3疝x痘；（3）（4）2--xi-lx^

【答案】（1）——；（2）18；（3）i；（4）1---.

343ax

【解析】

【分析】

（1）利用指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算即可；

（2）將各數(shù)化為2和3的指數(shù)累，利用指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算即可；

（3）利用指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算即可；

（4）利用指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算即可.

3

(36丫6丫卡16丫_216.

【詳解】（1）

國(guó)1)一⑺-3431

⑵2^x3^/L5x^2=2x3Ix3xf|Yx(22x3)^

11111,111.11

——————I+——+—卜―c

=2x32x3x33x23x23x36=233x3236=2x32=18:

⑶8=RZ1=;

_2/1I2A2_1_2A

(4)2x'J—戶—2元§J4X§5=1x.

【點(diǎn)睛】本題考查利用指數(shù)哥的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算，解題時(shí)要注意將根式化為分?jǐn)?shù)

指數(shù)累，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.計(jì)算下列各式：

【答案】（1）64m3；（2）1.

【解析】

【分析】

（1）將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)累，利用指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算即可；

（2）利用指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算即可.

【詳解】（I）原式=2'石?加2=2瓜26./〃2八=26/篦3=64加3；

\/

⑵原式_/+寺。&。7.

-V<一（41

【點(diǎn)睛】本題考查利用指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算，解題時(shí)要注意將根式化為分?jǐn)?shù)

指數(shù)幕，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.利用計(jì)算工具，探究下列實(shí)數(shù)指數(shù)幕的變化規(guī)律：

（1）X取負(fù)實(shí)數(shù)，使得兇的值逐漸增大并趨向于無(wú)窮大，計(jì)算相應(yīng)的2、（xe/?）

的值，觀察變化趨勢(shì)；

（2）X取正實(shí)數(shù)，使得X的值逐漸增大并趨向于無(wú)窮大，計(jì)算相應(yīng)的

的值，觀察變化趨勢(shì).

【答案】（1）X取負(fù)實(shí)數(shù)，使得國(guó)的值逐漸增大并趨向于無(wú)窮大時(shí)，2、趨向于0,

值見(jiàn)解析；

（2）x取正實(shí)數(shù)，使得x的值逐漸增大，當(dāng)”的值趨向于無(wú)窮大時(shí)，的值趨

向于0,值見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】

（1）分別取x的值一1、一2、一3、T、—5、-6、—7、—10、-12、-15、L,利

用計(jì)算器計(jì)算出對(duì)應(yīng)的2、的值，列出表格，即可得出規(guī)律；

（2）分別取x的值1、2、3、4、5、6、7、10、12、15、L,利用計(jì)算器計(jì)

算出對(duì)應(yīng)的（g）的值，列出表格，即可得出規(guī)律.

【詳解】（1）

X-1-2-3-4-5—6-7-10-12-15…

0.0.20.10.060.0310.0150.00780.0000.0000.0000

2X…

5525252562512598244305

由此可以看出，X取負(fù)實(shí)數(shù)，使得國(guó)的值逐漸增大并趨向于無(wú)窮大時(shí)，2,趨向于

0；

(2)

Xi234567101215

fiY0.0.0.10.060.0310.0150.00780.0000.0000.0000

52525252562512598244305

由此可以看出，刀取正實(shí)數(shù)，使得x的值逐漸增大，當(dāng)工的值趨向于無(wú)窮大時(shí)，

丁丫的值趨向于0?

【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)幕的值的變化規(guī)律，計(jì)算時(shí)可充分利用表格的形式將數(shù)據(jù)呈

現(xiàn)出來(lái)，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.求下列各式的值：

⑴VlOO7；(2)#(-0.1)5；(3)&?！?)2；(4)弧―y)6.

【答案】(1)100；(2)-0.1；(3)4—7；(4)\x-y\.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)偶次根式運(yùn)算法則可得；

(2)根據(jù)奇數(shù)次根式化簡(jiǎn)運(yùn)算可得；

(3)根據(jù)偶次根式化簡(jiǎn)法則，考慮乃-4<0即可得解；

(4)根據(jù)偶次根式化簡(jiǎn)法則，考慮％-V符號(hào)不確定，加絕對(duì)值即可得解.

【詳解】(1)癰6T=ioo；

(2)s/(-0.1)5=-0.1；

（4）0（x-y）6=|x-y|.

【點(diǎn)睛】此題考查根式的計(jì)算化簡(jiǎn)，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確判定代數(shù)式的符號(hào).

一、選擇題

11.設(shè)。>0,則下列運(yùn)算中正確的是（）.

4323221

44

A，a3a4=。B.=/C.。3a3=。D-（a）=a

【答案】D

【解析】

【分析】利用幕的運(yùn)算性質(zhì)一一計(jì)算即可.

【詳解】根據(jù)基的運(yùn)算性質(zhì)可得：

434325

京京心故A錯(cuò)誤；

2212

a-a^-/'-京w京，故B錯(cuò)誤；

Cl?Cl——Cl—Ct-f-Cl

2222

涼門=序不=a°=l工（T故C錯(cuò)誤；

（涼）4=加"4=“，故D正確.

故選：D.

12.設(shè)a>0,m,〃是正整數(shù)，且〃>1,則下列各式』=仃；a°=l；

*1

a"=-j=；正確的個(gè)數(shù)是（）

Nd”

A.3B.2C.1D.0

【答案】A

【解析】

【分析】利用指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)即可得出.

【詳解】解：：?！?。，m,“是正整數(shù)，且〃>1,

a"=Va?,正確，

顯然a°=l,正確，

--11上］

而4"=七=”，.\?！?-7=正確，

故選：A.

二、填空題

13.在（—?'，24，（：'，2T中最大的數(shù)是：

【答案】出‘

【解析】

【分析】可看出（-^尸<0,且（；片=2；,然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=2*的單調(diào)性即可得

出最大的數(shù).

【詳解】解：（一3尸<0，（；尸>23>21>2-|>0,

，最大的數(shù)是

故答案為：（g）.

14.按從小到大的順序，可將2巴3夜，萬(wàn)巴2"重新排列為（可用計(jì)算工

具）.

【答案】2"<3垃<2"<一

【解析】

【分析】

利用計(jì)算器算出每個(gè)指數(shù)幕的值，即可進(jìn)行比較.

【詳解】利用計(jì)算器

2曲=3.32,3夜=4.73,不行=12.93,2"=8.82，

所以2/<3&<2,〈乃百.

故答案為：26<3&<2"<乃后

【點(diǎn)睛】此題考查指數(shù)累的大小比較，利用計(jì)算器計(jì)算求解，也可根據(jù)函數(shù)單調(diào)性

處理.

15.用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕表示下列各式（式中字母均為正數(shù)）：

y/myfmyfm

(3)--------r

【答案】（1）1；（2）%;（3）1.

【解析】

【分析】

（1）將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕形式再進(jìn)行計(jì)算；

（2）將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)基形式再進(jìn)行計(jì)算；

（3）分別將分子分母的根式化簡(jiǎn)為分?jǐn)?shù)指數(shù)累的形式,進(jìn)行計(jì)算求解.

31

b2a2

【詳解】（1）原式=3農(nóng)

-T*-T

層加

1711151

171

(3)原店式T=------'mj——=An2+3+4~66-4=m0=i1.

6

m?m4

【點(diǎn)睛】此題考查根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)累的化簡(jiǎn)計(jì)算，熟練掌握運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)求

值.

16.計(jì)算下列各式（式中字母均為正數(shù)）：

137235（1NY?2」『2」

（1）'（2）涼涼十/；（3）4;（4）4a^b3---a3b3

k）VJ/

【答案】（1）。|；（2）渦；（3）/y-9；（心力小

【解析】

【分析】

（1）同底指數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；

235

（2）根據(jù)指數(shù)幕運(yùn)算法則得化簡(jiǎn)即可；

（3）根據(jù)指數(shù)幕運(yùn)算法則求值；

（4）根據(jù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則求值即可.

1375

【詳解】（1）原式—L<一萬(wàn)-用U；

2357

（2）原式——_H六二—Ct15；

（3）原式=%"2.,312=尤4廠9；

（4）原式=（一6）/?/=-6心

【點(diǎn)睛】此題考查指數(shù)基的運(yùn)算法則，同底指數(shù)幕的乘法和除法運(yùn)算，關(guān)鍵在于熟

練掌握運(yùn)算法則準(zhǔn)確求解.

17.如果在某種細(xì)菌培養(yǎng)過(guò)程中，細(xì)菌每10加，力分裂1次（1個(gè)分裂成2個(gè)），那

么經(jīng)過(guò)\h,1個(gè)這種細(xì)菌可以分裂成個(gè).

【答案】64

【解析】

【分析】

一個(gè)小時(shí)分裂6次，根據(jù)分裂規(guī)則，即可求解.

【詳解】由題：細(xì)菌每10，血〃分裂1次（1個(gè)分裂成2個(gè)），

經(jīng)過(guò)1/7可分裂6次，可分裂成26=64（個(gè)）.

故答案為：64

【點(diǎn)睛】此題考查利用指數(shù)幕的知識(shí)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵在于合理地將實(shí)際問(wèn)

題轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)問(wèn)題.

、_,,3m—2n,...

18.（1）已知10"=2,10"=3,求］的值；

3x

（2）己知/，=3,求-戶+二a~的值.

ax+ax

【答案】（1）—；（2）工

33

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)指數(shù)幕運(yùn)算法則將原式轉(zhuǎn)化為I。芋十］.，，即可求值；

（2）利用立方和公式化簡(jiǎn)因式分解再求值.

3

【詳解】⑴原式=105+io"=(10府尸-3=22-3=—；

3

，…ma(a*+a-xa2x-a'a~x+a~2x

(2)原式=1-----

ax+a~x

=a2x-l+a2x

…17

=3-1-1--=—.

33

【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則求代數(shù)式的值，利用整體代換，涉及因式

分解.

19.已知求下列各式的值：⑴a+a'；(2)a2+a-2.

【答案】(1)7；(2)47.

【解析】

【分析】

(1)對(duì)等式劣兩邊同時(shí)平方即可得解；

(2)根據(jù)(1)對(duì)a+qT=7兩邊同時(shí)平方即可得解.

【詳解】(I)〃二〃T兩邊平方得。+2+〃=9.，。+〃=7.

(2)由(1)知a+qT=7,兩邊平方得。2+2+〃-2=49,;.〃+a<=47.

【點(diǎn)睛】此題考查與指數(shù)基運(yùn)算相關(guān)的化簡(jiǎn)求值，關(guān)鍵在于找準(zhǔn)關(guān)系，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)代

換求值.

20.從盛有必純酒精的容器中倒出然后用水填滿；再倒出;L,又用水填

湖....

(1)連續(xù)進(jìn)行5次，容器中的純酒精還剩下多少？

(2)連續(xù)進(jìn)行〃次，容器中的純酒精還剩下多少？

【答案】(1)之⑷；(2)f-Tl.

243⑴

【解析】

【分析】

(1)每進(jìn)行一次倒出和填滿，濃度變?yōu)樵瓉?lái)的2;，根據(jù)比